2025年下學(xué)期高中基于小組學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共12題，每題5分，小組合作完成概念辨析）1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，小組需共同完成以下任務(wù)：成員A：繪制函數(shù)圖像并標(biāo)注極值點；成員B：計算$f'(x)$并分析單調(diào)區(qū)間；成員C：結(jié)合圖像解釋“導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點”，舉例說明。2.立體幾何應(yīng)用某小組計劃用硬紙板制作一個正四棱錐模型，底面邊長為4cm，側(cè)棱長為5cm。合作任務(wù)包括：測量組：計算側(cè)面三角形的高及表面積；設(shè)計組：確定裁剪硬紙板的形狀及尺寸；論證組：用反證法證明“正四棱錐的側(cè)棱長度必大于底面邊長的一半”。3.概率與統(tǒng)計某社區(qū)為了解居民垃圾分類情況，隨機抽取100戶進行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：分類情況完全正確部分正確不正確戶數(shù)354520小組任務(wù)：數(shù)據(jù)組：計算“完全正確”的頻率及95%置信區(qū)間；分析組：用卡方檢驗判斷“年齡與分類正確性是否獨立”（需分工計算期望頻數(shù)與卡方值）；建議組：根據(jù)結(jié)果提出兩條針對性改進措施。4.數(shù)列創(chuàng)新題在等差數(shù)列${a_n}$中，$a_1=1$，$a_3+a_5=14$，小組合作探究：基礎(chǔ)組：求通項公式$a_n$及前n項和$S_n$；拓展組：若$b_n=2^{a_n}$，證明${b_n}$為等比數(shù)列并求其前n項積；開放組：設(shè)計一個以${a_n}$為背景的實際問題（如存款利息計算）并求解。二、填空題（共4題，每題5分，小組分工完成計算）5.三角函數(shù)綜合小組需利用單位圓推導(dǎo)$\sin(\alpha+\beta)$的展開式，并計算$\sin75^\circ$的值。要求：成員1：繪制單位圓及角$\alpha$、$\beta$的終邊；成員2：用向量數(shù)量積證明公式；成員3：代入$\alpha=45^\circ$，$\beta=30^\circ$計算結(jié)果。6.解析幾何已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$。小組任務(wù)：方程組：聯(lián)立離心率公式與點坐標(biāo)求$a$、$b$；幾何組：確定焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；驗證組：用弦長公式計算過右焦點的直線$y=x-c$被橢圓截得的弦長。7.不等式應(yīng)用某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，A每件利潤30元，B每件利潤50元。生產(chǎn)A需2小時/件，B需3小時/件，每周總工時不超過120小時。小組合作：建模組：設(shè)每周生產(chǎn)A、B分別為$x$、$y$件，列出利潤函數(shù)及約束條件；圖解組：用線性規(guī)劃方法求最大利潤；優(yōu)化組：若B產(chǎn)品利潤提高到60元，重新計算并分析“利潤變化對最優(yōu)解的影響”。8.復(fù)數(shù)與邏輯給定復(fù)數(shù)$z_1=2+i$，$z_2=1-3i$，小組任務(wù)：運算組：計算$z_1\cdotz_2$及$\frac{z_1}{z_2}$；邏輯組：判斷命題“若$|z_1|=|z_2|$，則$z_1=\pmz_2$”的真假，并用反例說明；幾何組：在復(fù)平面內(nèi)標(biāo)出$z_1$、$z_2$及$z_1+z_2$，解釋向量加法的幾何意義。三、解答題（共6題，每題15分，小組協(xié)作完成綜合應(yīng)用）9.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題（小組角色扮演）某公司研發(fā)一種新產(chǎn)品，生產(chǎn)成本$C(x)=2x^2+5x+100$（萬元），銷售收入$R(x)=-x^2+20x$（萬元），其中$x$為產(chǎn)量（千件）。CEO角色：提出“利潤最大化”目標(biāo)，要求計算最優(yōu)產(chǎn)量；財務(wù)總監(jiān)：計算邊際成本$C'(x)$與邊際收益$R'(x)$，解釋“邊際相等時利潤最大”的原理；市場分析師：若政府補貼10萬元，重新計算最優(yōu)產(chǎn)量，并分析補貼政策對企業(yè)決策的影響。10.立體幾何探究（模型操作）小組需用以下器材完成任務(wù)：正方體模型（棱長10cm）、可轉(zhuǎn)動量角器、直尺。操作組：在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，找出直線$AC$與$B_1D_1$所成角的度數(shù)；證明組：用三垂線定理證明$AC\perp$平面$BDD_1B_1$；拓展組：若在棱$CC_1$上取中點$M$，求三棱錐$M-ABD$的體積（需分工測量相關(guān)數(shù)據(jù)）。11.數(shù)列與數(shù)學(xué)文化《九章算術(shù)》中有“衰分術(shù)”問題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？”（注：爵次從高到低分配比例為5:4:3:2:1）文化組：解釋“衰分術(shù)”的數(shù)學(xué)原理，類比現(xiàn)代等比數(shù)列知識；計算組：按比例分配5鹿，求“不更”分得的數(shù)量；創(chuàng)新組：改編問題為“按等差數(shù)列分配”，使公士分得0.5鹿，求公差及各爵次分配量。12.概率與游戲設(shè)計小組合作設(shè)計一款“數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)盤游戲”：規(guī)則組：設(shè)計兩個轉(zhuǎn)盤（如圖1），轉(zhuǎn)盤A有數(shù)字1,2,3（區(qū)域面積相等），轉(zhuǎn)盤B有數(shù)字4,5（區(qū)域面積比2:1）。玩家同時轉(zhuǎn)動兩轉(zhuǎn)盤，將數(shù)字相乘得積分；計算組：求積分大于10的概率及數(shù)學(xué)期望；優(yōu)化組：調(diào)整轉(zhuǎn)盤B的數(shù)字或面積比，使游戲更具趣味性（需說明調(diào)整依據(jù)）。13.解析幾何綜合（項目式學(xué)習(xí)）某小組計劃研究“拋物線焦點弦的性質(zhì)”，給定拋物線$y^2=4x$：實驗組：過焦點$F(1,0)$作直線交拋物線于A、B兩點，測量$|AF|+|BF|$與AB中點橫坐標(biāo)的關(guān)系；理論組：用代數(shù)法證明“$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=1$”；應(yīng)用組：若直線AB斜率為2，求弦長$|AB|$及$\triangleAOB$的面積（O為坐標(biāo)原點）。14.函數(shù)與實際問題（數(shù)據(jù)建模）某城市2025年1-6月的平均氣溫（℃）數(shù)據(jù)如下：10,15,20,28,32,35。建模組：用二次函數(shù)$f(t)=at^2+bt+c$擬合氣溫變化（t=1對應(yīng)1月），求參數(shù)a,b,c；預(yù)測組：用模型預(yù)測7月氣溫，并計算擬合誤差（與實際值38℃比較）；評估組：分析模型局限性，提出改進方案（如改用指數(shù)函數(shù)或分段函數(shù)）。四、小組協(xié)作附加題（20分）15.跨學(xué)科綜合探究結(jié)合物理中的“勻加速直線運動”與數(shù)學(xué)中的“微積分”，小組需完成：任務(wù)1：測量小車在斜面上運動的位移-時間數(shù)據(jù)（至少5組），用Excel繪制散點圖；任務(wù)2：用最小二乘法擬合$s(t)=v_0t+\frac{1}{2}at^2$，求初速度$v_0$與加速度$a$；任務(wù)3：用導(dǎo)數(shù)求$t=2s$時的瞬時速度，并通過實驗驗證（需視頻記錄操作過程）。要求：每組提交一份包含分工表、解題過程、討論記錄的報告（Word或PDF格式）