2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷四試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?復(fù)數(shù)z滿足z·i=1+i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.√2C.2D.4已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥b，則m=（）A.-2B.-1C.1D.2函數(shù)f(x)=ln(x2-4x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,1)D.(5,+∞)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.8πcm3B.12πcm3C.16πcm3D.24πcm3已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?+a?=14，S?=49，則a?=（）A.1B.2C.3D.4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y=（）A.-3B.-1C.1D.3已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則ω+φ=（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3若x，y滿足約束條件{x+y≥2，x-y≤0，y≤3}，則z=2x+y的最大值為（）A.3B.5C.7D.9已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過A作l的垂線，垂足為D，若|AF|=3，則|BD|=（）A.2B.3C.4D.5在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=3，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.16πB.20πC.24πD.28π已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+b，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(-∞,-3]B.(-∞,0]C.[0,+∞)D.[3,+∞)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）二項(xiàng)式(2x-1)?的展開式中x3的系數(shù)為________。已知tanα=2，則sin2α+cos2α=________。已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(diǎn)(2,√3)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足bcosA=(2c-a)cosB。（1）求角B的大??；（2）若b=3，△ABC的面積為3√3/2，求a+c的值。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉總計(jì)男401050女203050總計(jì)6040100（1）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“經(jīng)常鍛煉”與“性別”有關(guān)；（2）從這100名學(xué)生中，按性別分層抽樣抽取10名學(xué)生，再?gòu)倪@10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，求至少有1名女生的概率。參考公式：K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d。參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k?)|0.10|0.05|0.01|0.001---|---|---|---|---k?|2.706|3.841|6.635|10.828（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AC=BC=AA?=2，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)。（1）求證：AC?⊥平面B?CD；（2）求二面角B?-CD-B的余弦值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1(n∈N*)。（1）證明：數(shù)列{a?+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?；（3）設(shè)b?=n(a?+1)，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和T?。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：點(diǎn)O到直線l的距離為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x(a∈R)。（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x?，x?(x?<x?)，求證：f(x?)+f(x?)>2a-3。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.B3.D4.B5.A6.A7.C8.B9.C10.A11.D12.A二、填空題8014.115.x2/3-y2/6=116.[-1,3]三、解答題（1）由正弦定理得sinBcosA=(2sinC-sinA)cosB，即sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosB，sin(A+B)=2sinCcosB，因?yàn)锳+B=π-C，所以sinC=2sinCcosB，又sinC≠0，所以cosB=1/2，因?yàn)?<B<π，所以B=π/3。（5分）（2）由△ABC的面積S=1/2acsinB=3√3/2，得1/2ac·√3/2=3√3/2，解得ac=6，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得9=a2+c2-2×6×1/2，即a2+c2=15，所以(a+c)2=a2+c2+2ac=15+12=27，則a+c=3√3。（10分）（1）K2=100×(40×30-10×20)2/(50×50×60×40)=100×(1200-200)2/(50×50×60×40)=100×1000000/(600000)=16.667>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為“經(jīng)常鍛煉”與“性別”有關(guān)。（4分）（2）按性別分層抽樣抽取10名學(xué)生，其中男生5人，女生5人，從10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，基本事件總數(shù)n=C??3=120，至少有1名女生的對(duì)立事件是沒有女生，即3名都是男生，包含的基本事件數(shù)m=C?3=10，所以至少有1名女生的概率P=1-m/n=1-10/120=11/12。（12分）（1）以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC?所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C?(0,0,2)，B?(0,2,2)，D(1,1,0)，AC?=(-2,0,2)，CB?=(0,2,2)，CD=(1,1,0)，設(shè)平面B?CD的法向量n=(x,y,z)，則{n·CB?=0，n·CD=0}，即{2y+2z=0，x+y=0}，令x=1，則y=-1，z=1，所以n=(1,-1,1)，因?yàn)锳C?·n=-2×1+0×(-1)+2×1=0，所以AC?⊥n，又AC?不在平面B?CD內(nèi)，所以AC?⊥平面B?CD。（6分）（2）平面BCD的法向量m=(0,0,1)，由（1）知平面B?CD的法向量n=(1,-1,1)，則cos<m,n>=m·n/(|m||n|)=1/(1×√3)=√3/3，由圖可知二面角B?-CD-B為銳角，所以二面角B?-CD-B的余弦值為√3/3。（12分）（1）因?yàn)閍???=2a?+1，所以a???+1=2(a?+1)，又a?+1=2≠0，所以數(shù)列{a?+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。（3分）（2）由（1）得a?+1=2×2??1=2?，所以a?=2?-1，則S?=(21-1)+(22-1)+…+(2?-1)=(21+22+…+2?)-n=2(2?-1)/(2-1)-n=2??1-n-2。（6分）（3）b?=n(a?+1)=n·2?，T?=1×21+2×22+3×23+…+n×2?，2T?=1×22+2×23+…+(n-1)×2?+n×2??1，兩式相減得-T?=21+22+…+2?-n×2??1=2(2?-1)/(2-1)-n×2??1=2??1-2-n×2??1，所以T?=(n-1)2??1+2。（12分）（1）由題意得{e=c/a=√2/2，1/a2+(1/2)/b2=1，a2=b2+c2}，解得a2=2，b2=1，c2=1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1。（4分）（2）設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，聯(lián)立{y=kx+m，x2/2+y2=1}，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，則Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)>0，x?+x?=-4km/(1+2k2)，x?x?=(2m2-2)/(1+2k2)，因?yàn)镺A⊥OB，所以x?x?+y?y?=0，又y?y?=(kx?+m)(kx?+m)=k2x?x?+km(x?+x?)+m2，所以x?x?+k2x?x?+km(x?+x?)+m2=0，即(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0，代入得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)+km(-4km)/(1+2k2)+m2=0，化簡(jiǎn)得2m2-2-2k2m2+2k2+m2+2k2m2=0，即3m2=2k2+2，點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|/√(k2+1)=√(m2/(k2+1))=√(2/3)=√6/3，為定值。（12分）（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=xlnx-x2+x，f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2，令g(x)=lnx-2x+2，則g'(x)=1/x-2，當(dāng)x∈(0,1/2)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/2,+∞)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，g(1/2)=ln(1/2)-1+2=1-ln2>0，g(1)=0-2+2=0，g(e)=1-2e+2=3-2e<0，所以存在x?∈(1/2,1)，使得g(x?)=0，當(dāng)x∈(0,x?)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x?,+∞)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,x?)，單調(diào)遞減區(qū)間為(x?,+∞)。（4分）（2）f'(x)=lnx+1-2ax+2a-1=lnx-2ax+2a，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f'(x)≤0在(1,+∞)上恒成立，即lnx-2ax+2a≤0，2a(x-1)≥lnx，當(dāng)x=1時(shí)，0≥0，成立；當(dāng)x>1時(shí)，2a≥lnx/(x-1)，令h(x)=lnx/(x-1)(x>1)，則h'(x)=((1/x)(x-1)-lnx)/(x-1)2=(1-1/x-lnx)/(x-1)2，令t(x)=1-1/x-lnx，則t'(x)=1/x2-1/x=(1-x)/x2<0，所以t(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，t(x)<t(1)=0，則h'(x)<0，h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)x→1?時(shí)，h(x)=lnx/(x-1)→1，所以2a≥1，即a≥1/2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1/2,+∞)。（8分）（3）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x?，x?，所以f'(x)=lnx-2ax+2a=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x?，x?，即lnx?=2a(x?-1)，lnx?=2a(x?-1)，不妨設(shè)0<x?<1<x?，f(x?)+f(x?)=x?lnx?-ax?2+(2a-1)x?+x?lnx?-ax?2+(2a-1)x?，=x?·2a(x?-1)-ax?2+(2a-1)x?+x?·2a(x?-1)-ax?2+(2a-1)x?，=2ax?2-2ax?-ax?2+2ax?-x?+2ax?2-2ax?-ax?2+2ax?-x?，=ax?2-x?+ax?2-x?，=a(x?2+x?2)-(x?+x?)，要證f(x?)+f(x?)>2a-3，即證a(x?2+x?2)-(x?+x?)>2a-3，a(x?2+x?2-2)-(x?+x?)+3>0，a[(x?+x?)2-2x?x?-2]-(x?+x?)+3>0，設(shè)t=x?+x?，s=x?x?，由lnx?-lnx?=2a(x?-x?)，得a=(lnx?-lnx?)/(2(x?-x?))，令k=x