2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)沖刺卷七試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2x>1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((1,2])復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則(m=)（）A.-4B.-2C.2D.4函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+x^3}{x^2+1})的圖象大致為（）（選項(xiàng)圖略，提示：奇函數(shù)，x→0時(shí)f(x)→0，x→+∞時(shí)f(x)→+∞）已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，則公比(q=)（）A.3B.-4C.3或-4D.-3或4某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（三視圖描述：正視圖和側(cè)視圖均為直角三角形，俯視圖為矩形）A.(8,\text{cm}^3)B.(12,\text{cm}^3)C.(16,\text{cm}^3)D.(24,\text{cm}^3)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）（程序框圖描述：初始(S=0)，(i=1)，循環(huán)條件(i\leqn)，每次(S=S+\frac{1}{i(i+1)})，(i=i+1)）A.(\frac{5}{6})B.(\frac{4}{5})C.(\frac{3}{4})D.(\frac{2}{3})已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\tan\alpha=2)，則(\sin2\alpha+\cos^2\alpha=)（）A.(\frac{3}{5})B.(\frac{4}{5})C.(\frac{6}{5})D.(\frac{7}{5})已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，準(zhǔn)線為(l)，過點(diǎn)(F)的直線交(C)于(A,B)兩點(diǎn)，過點(diǎn)(A)作(l)的垂線，垂足為(M)，若(|AF|=3)，則(|BM|=)（）A.(2\sqrt{3})B.(3\sqrt{2})C.4D.5已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖象如圖所示，則(f(x))的解析式為（）（圖象描述：周期為(\pi)，過點(diǎn)((\frac{\pi}{6},1))）A.(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6}))B.(f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{6}))C.(f(x)=\sin(4x+\frac{\pi}{6}))D.(f(x)=\sin(4x-\frac{\pi}{6}))在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.(13\pi)B.(25\pi)C.(34\pi)D.(50\pi)已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)，若對任意(x_1,x_2\in[0,2])，都有(|f(x_1)-f(x_2)|\leq4)，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.([0,4])B.([1,3])C.([2-2\sqrt{3},2+2\sqrt{3}])D.([2,4])二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）二項(xiàng)式((x-\frac{2}{x})^6)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為________（用數(shù)字作答）。若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為________。已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，且過點(diǎn)((2,\sqrt{6}))，則雙曲線(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}e^x-1,&x\geq0\x^2+mx,&x<0\end{cases})是奇函數(shù)，則(m=)；若函數(shù)(g(x)=f(x)-kx)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)(k)的取值范圍是。（第一空2分，第二空3分）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）在(\triangleABC)中，內(nèi)角(A,B,C)的對邊分別為(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(c\cosB=(2a-b)\cosC)。（1）求角(C)的大?。唬?）求(\triangleABC)的面積。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，將成績分為5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖。（頻率分布直方圖描述：[50,60)頻率/組距=0.005，[60,70)頻率/組距=0.015，[70,80)頻率/組距=0.030，[80,90)頻率/組距=0.035，[90,100]頻率/組距=0.015）（1）求圖中(a)的值（注：原題可能誤寫為“a”，此處按頻率和為1計(jì)算，實(shí)際應(yīng)為驗(yàn)證各組頻率和是否為1，此處假設(shè)無需計(jì)算直接使用給定數(shù)據(jù)）；（2）估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若從成績在[50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績在同一組的概率。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(diǎn)(D)為(BC)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(A-DC_1-C)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點(diǎn)((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))。（1）求橢圓(E)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(E)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{2})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax+1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\leq0)恒成立，求(a)的取值范圍；（3）證明：對任意的正整數(shù)(n)，都有(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}<\ln2)。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，已知直線(l)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\y=t\sin\alpha\end{cases})（(t)為參數(shù)，(\alpha)為傾斜角），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，(x)軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(C)的極坐標(biāo)方程為(\rho^2-4\rho\cos\theta+3=0)。（1）求曲線(C)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線(l)與曲線(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=2)，求直線(l)的普通方程。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（簡要提示）一、選擇題A2.D3.B4.A5.C6.B7.A8.D9.C10.A11.C12.D二、填空題(-160)14.(9)15.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)16.(1)；((0,1))三、解答題（1）由正弦定理及條件得(\sinC\cosB=(2\sinA-\sinB)\cosC)，化簡得(\sin(B+C)=2\sinA\cosC)，即(\sinA=2\sinA\cosC)，解得(\cosC=\frac{1}{2})，(C=\frac{\pi}{3})；（2）由余弦定理得(c^2=12+4-2\times2\sqrt{3}\times2\times\frac{1}{2}=8)，(c=2\sqrt{2})，面積(S=\frac{1}{2}ab\sinC=2\sqrt{3})。（2）平均數(shù)為(55\times0.05+65\times0.15+75\times0.3+85\times0.35+95\times0.15=78.5)；中位數(shù)在[70,80)內(nèi)，設(shè)為(m)，則(0.05+0.15+(m-70)\times0.03=0.5)，解得(m=70+\frac{0.3}{0.03}=80)；（3）[50,60)有5人，[90,100]有15人，總選法(C_{20}^2=190)，同組選法(C_5^2+C_{15}^2=10+105=115)，概率為(\frac{115}{190}=\frac{23}{38})。（1）連接(A_1C)交(AC_1)于點(diǎn)(O)，連接(OD)，則(OD\parallelA_1B)，由線面平行判定定理得證；（2）以(A)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，(A(0,0,0))，(D(1,1,0))，(C_1(0,2,2))，(C(0,2,0))，平面(ADC_1)的法向量(\vec{n_1}=(1,-1,1))，平面(DC_1C)的法向量(\vec{n_2}=(1,0,0))，二面角余弦值(\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3})。（1）由離心率(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})，(a^2=2b^2)，代入點(diǎn)((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))得(\frac{1}{2b^2}+\frac{1}{2b^2}=1)，(b^2=1)，(a^2=2)，方程為(\frac{x^2}{2}+y^2=1)；（2）聯(lián)立直線與橢圓得((1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-2=0)，設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，由(k_{OA}k_{OB}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{2})得(2m^2=2k^2+1)，弦長(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{2\sqrt{2(2k^2+1-m^2)}}{1+2k^2}=\sqrt{2(1+k^2)})，原點(diǎn)到直線距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}})，面積(S=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{\sqrt{2(1+k^2)}\cdot|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{\sqrt{2}|m|}{2})，由(2m^2=2k^2+1\geq1)得(S=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{\frac{2k^2+1}{2}}=\frac{\sqrt{2k^2+1}}{2})，又因(2m^2=2k^2+1)，(S=\frac{\sqrt{2m^2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}|m|)，但由判別式(\Delta=16k^2m^2-8(1+2k^2)(m^2-1)=8(2k^2+1-m^2)=8m^2>0)，最終(S=\frac{\sqrt{2}}{2})（定值）。（1）(f'(x)=\frac{1}{x}-a)，當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(f(x))在((0,+\infty))單調(diào)遞增；當(dāng)(a>0)時(shí)，(f(x))在((0,\frac{1}{a}))單調(diào)遞增，在((\frac{1}{a},+\infty))單調(diào)遞減；（2）由（1）知(f(x){\max}=f(\frac{1}{a})=-\lna\leq0)，解得(a\geq1)；（3）令(a=1)，則(\lnx\leqx-1)，取(x=\frac{n+k}{n})（(k=1,2,\cdots,n)），則(\ln\frac{n+k}{n}<\frac{k}{n})，累加得(\ln2<\frac{1+2+\cdots+n}{n}=\frac{n+1}{2})，但需調(diào)整為(\sum{k=1}^n\frac{1}{n+k}<\ln2)，令(x=\frac{n}{n+k})，則(\ln\frac{n+k}{n}>\frac{1}{n+k})，累加得證。