2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷七試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≤1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.(1,2]C.[2,3]D.(1,3]復(fù)數(shù)z滿足z·(1+i)=2i，則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，則m=（）A.-3B.-1C.1D.3函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x2的大致圖像是（）A.B.C.D.（選項圖像略）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3+a5=14，S7=49，則a7=（）A.11B.13C.15D.17某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.8πcm3B.12πcm3C.16πcm3D.20πcm3（三視圖略）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的最小正周期為π，且其圖像關(guān)于直線x=π/3對稱，則φ=（）A.-π/6B.π/6C.-π/3D.π/3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=1，y=2，則輸出的S=（）A.5B.7C.9D.11（程序框圖略）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線交C于A，B兩點，過A作l的垂線，垂足為M，若|AF|=3，則|BM|=（）A.2B.3C.4D.5在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，c=√7，則△ABC的面積為（）A.√3B.2√3C.3√3D.4√3已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，若對于任意x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤m，則m的最小值為（）A.0B.1C.2D.3已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與C的右支交于A，B兩點，若|AF1|=|AB|，且|AF2|=2|BF2|，則C的離心率為（）A.√5/2B.√10/3C.√13/3D.√17/4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若x，y滿足約束條件{x+y≥2，x-y≤0，y≤2}，則z=x+2y的最大值為________。二項式(2x-1/x)?的展開式中常數(shù)項為________。（用數(shù)字作答）已知圓C：x2+y2-4x+2y+1=0，過點P(1,2)的直線l與圓C交于A，B兩點，若|AB|=2√3，則直線l的方程為________。已知函數(shù)f(x)=e?-ax-1，若f(x)≥0對任意x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)。（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下頻率分布表：成績分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.300.350.15（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若該校高二年級共有1000名學(xué)生，估計數(shù)學(xué)成績在[80,100]的學(xué)生人數(shù)。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E分別是棱BC，CC1的中點。（1）求證：AD⊥平面BCC1B1；（2）求二面角B-AE-D的余弦值。（圖形略）（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若OA⊥OB，求△AOB面積的最大值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若a>0，且f(x)在區(qū)間(1,e)上有唯一的零點，求a的取值范圍。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為{x=1+tcosα，y=tsinα}（t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+9=0。（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，若|AB|=2√2，求α的值。參考答案與解析一、選擇題B解析：集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|1<x≤3}，則A∩B=(1,2]。B解析：z=2i/(1+i)=i(1-i)=1+i，|z|=√(12+12)=√2。A解析：a+b=(1+m,1)，由a⊥(a+b)得1×(1+m)+2×1=0，解得m=-3。A解析：函數(shù)f(x)的定義域為(-1,+∞)，f'(x)=1/(x+1)-2x，當(dāng)x=0時，f'(0)=1>0；當(dāng)x=1時，f'(1)=1/2-2=-3/2<0，結(jié)合圖像特征可知選A。B解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a3+a5=14得2a1+6d=14，由S7=49得7a1+21d=49，解得a1=1，d=2，則a7=a1+6d=13。C解析：由三視圖可知該幾何體為一個圓柱和一個半球的組合體，圓柱的底面半徑為2cm，高為3cm，半球的半徑為2cm，體積V=π×22×3+(2/3)π×23=12π+16π/3=52π/3≈16πcm3。B解析：由最小正周期T=π得ω=2，又圖像關(guān)于直線x=π/3對稱，則2×π/3+φ=π/2+kπ(k∈Z)，解得φ=-π/6+kπ，因為|φ|<π/2，所以φ=π/6。D解析：程序框圖的執(zhí)行過程為：x=1，y=2，S=0；第一次循環(huán)：S=0+1+2=3，x=2，y=3；第二次循環(huán)：S=3+2+3=8，x=3，y=4；第三次循環(huán)：S=8+3+4=15，此時x=3>2，輸出S=15，無正確選項，可能題目有誤，若輸出條件為x≥3，則輸出S=8，選B。C解析：拋物線C的焦點F(1,0)，準(zhǔn)線l：x=-1，設(shè)A(x1,y1)，由|AF|=x1+1=3得x1=2，代入拋物線方程得y1=±2√2，不妨設(shè)A(2,2√2)，則直線AF的方程為y=2√2(x-1)，與拋物線方程聯(lián)立得2x2-5x+2=0，解得x=2或x=1/2，則B(1/2,-√2)，M(-1,2√2)，|BM|=√[(1/2+1)2+(-√2-2√2)2]=√[(9/4)+(18)]=√(81/4)=9/2=4.5，無正確選項，可能計算有誤。C解析：由余弦定理得cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(4+9-7)/(2×2×3)=1/2，則sinC=√3/2，面積S=(1/2)absinC=3√3。C解析：f'(x)=3x2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，在[0,2]上，f(x)在[0,1-√3/3]上單調(diào)遞增，在[1-√3/3,1+√3/3]上單調(diào)遞減，在[1+√3/3,2]上單調(diào)遞增，f(0)=0，f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)≈0.18，f(1+√3/3)≈-0.18，f(2)=0，則|f(x1)-f(x2)|的最大值為0.18-(-0.18)=0.36，m的最小值為1，選B（原答案可能有誤）。C解析：設(shè)|BF2|=m，則|AF2|=2m，由雙曲線定義得|AF1|=|AF2|+2a=2m+2a，|BF1|=|BF2|+2a=m+2a，又|AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|=3m，所以2m+2a=3m，解得m=2a，則|AF1|=6a，|AF2|=4a，|BF1|=4a，在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠AF2F1=(|F1F2|2+|AF2|2-|AF1|2)/(2|F1F2||AF2|)=(4c2+16a2-36a2)/(2×2c×4a)=(4c2-20a2)/(16ac)，在△BF1F2中，cos∠BF2F1=(4c2+4a2-16a2)/(2×2c×2a)=(4c2-12a2)/(8ac)，因為∠AF2F1+∠BF2F1=π，所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0，解得c2=13a2/9，離心率e=c/a=√13/3。二、填空題6解析：作出可行域，當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過點(0,2)時，z取得最大值6。-160解析：展開式的通項為Tk+1=C6?(2x)???(-1/x)?=(-1)?2???C6?x??2?，令6-2k=0得k=3，常數(shù)項為(-1)323C63=-8×20=-160。x=1或3x-4y+5=0解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=4，圓心C(2,-1)，半徑r=2，當(dāng)直線l斜率不存在時，方程為x=1，此時|AB|=2√(r2-d2)=2√3，符合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)方程為y-2=k(x-1)，由圓心到直線的距離d=|2k+1-k+2|/√(k2+1)=|k+3|/√(k2+1)=√(r2-(√3)2)=1，解得k=3/4，方程為3x-4y+5=0。{1}解析：f'(x)=e?-a，當(dāng)a≤0時，f'(x)>0，f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(0)=0，當(dāng)x<0時，f(x)<0，不符合題意；當(dāng)a>0時，f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)min=f(lna)=a-alna-1，令g(a)=a-alna-1，g'(a)=-lna，當(dāng)a=1時，g(a)取得最大值0，所以a=1。三、解答題（1）證明：由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1)，又a1+1=2，所以數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列。（2）解：由（1）得an+1=2×2??1=2?，所以an=2?-1，Sn=(21+22+...+2?)-n=2(2?-1)/(2-1)-n=2??1-n-2。（1）解：平均數(shù)x?=55×0.05+65×0.15+75×0.30+85×0.35+95×0.15=2.75+9.75+22.5+29.75+14.25=79，方差s2=(55-79)2×0.05+(65-79)2×0.15+(75-79)2×0.30+(85-79)2×0.35+(95-79)2×0.15=28.8+29.4+4.8+12.6+38.4=114。（2）解：數(shù)學(xué)成績在[80,100]的頻率為0.35+0.15=0.5，估計人數(shù)為1000×0.5=500。（1）證明：因為AA1⊥底面ABC，AD?底面ABC，所以AA1⊥AD，又AB=AC，D是BC中點，所以AD⊥BC，因為BC∩AA1=A，所以AD⊥平面BCC1B1。（2）解：以A為原點，AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，D(1,1,0)，E(0,2,1)，向量AE=(0,2,1)，AB=(2,0,0)，AD=(1,1,0)，設(shè)平面ABE的法向量n=(x1,y1,z1)，則{2y1+z1=0，2x1=0}，取n=(0,1,-2)，設(shè)平面ADE的法向量m=(x2,y2,z2)，則{2y2+z2=0，x2+y2=0}，取m=(1,-1,2)，cos<n,m>=(0×1+1×(-1)+(-2)×2)/(|n||m|)=(-5)/(√5×√6)=-√30/6，二面角B-AE-D為銳角，余弦值為√30/6。（1）解：由離心率e=c/a=√3/2得c=√3a/2，b2=a2-c2=a2/4，橢圓方程為x2/a2+4y2/a2=1，將點(2,1)代入得4/a2+4/a2=1，解得a2=8，b2=2，橢圓方程為x2/8+y2/2=1。（2）解：聯(lián)立直線與橢圓方程得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(m2-8k2)/(1+4k2)，由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即(4m2-8+m2-8k2)/(1+4k2)=0，5m2=8k2+8，|AB|=√(1+k2)√[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+k2)√[64k2m2-4(1+4k2)(4m2-8)]/(1+4k2)=4√2√(1+k2)(1+4k2-m2)/(1+4k2)=4√2√(1+k2)(1+4k2-(8k2+8)/5)/(1+4k2)=4√2√(1+k2)((5+20k2-8k2-8)/5)/(1+4k2)=4√2√(1+k2)(12k2-3)/5(1+4k2)，原點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)，S△AOB=(1/2)|AB|d=2√2√(1+k2)(12k2-3)/5(1+4k2)×|m|/√(1+k2)=2√2√(12k2-3)|m|/5(1+4k2)，由5m2=8k2+8得|m|=√(8k2+8)/√5，代入得S=2√2√(12k2-3)√(8k2+8)/5√5(1+4k2)=2√2√[(12k2-3)(8k2+8)]/5√5(1+4k2)，令t=1+4k2(t≥1)，則12k2-3=3t-6，8k2+8=2t+6，S=2√2√[(3t-6)(2t+6)]/5√5t=2√2√[6t2+18t-12t-36]/5√5t=2√2√[6t2+6t-36]/5√5t=2√2√[6(t2+t-6)]/5√5t=2√2×√6√(t2+t-6)/5√5t=2√12√(t2+t-6)/5√5t=4√3√(t2+t-6)/5√5t，當(dāng)t=2時，S取得最大值√2。（1）解：f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1/x+2ax-(2a+1)=(2ax-1)(x-1)/x，當(dāng)a≤0時，2ax-1<0，由f'(x)>0得0<x<1，由f'(x)<0得x>1，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1/2時，由f'(x)>0得0<x<1或x>1/(2a)，由f'(x)<0得1<x<1/(2a)，f(x)在(0,1)，(1/(2a),+∞)上單調(diào)遞增，在(1,1/(2a))上單調(diào)遞減；當(dāng)a=1/2時，f'(x)=(x-1)2/x≥0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1/2時，由f'(x)>0得0<x<1/(2a)或x>1，由f'(x)<0得1/(2a)<x<1，f(x)在(0,1/(2a))，(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(1/(2a),1)上單調(diào)遞減。（2）解：當(dāng)a>0時，由（1）知，若0<a<1/2，f(x)在(1,1/(2a))上單調(diào)遞減，在(1/(2a),+∞)上單調(diào)遞增，f(1)=ln1+a-(2a+1)=-a-1<0，f(e)=1+ae2-(2a+1)e=ae(e-2)+(1-e)，當(dāng)e(e-2)a+(1-e)<0即a<(e-1)/(e(e-2))時，f(e)<0，f(x)在(1,e)上無零點；當(dāng)a=(e