2025年下學期高中數(shù)學沖刺卷三試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,4))復數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(m,8))，若(\vec{a}\parallel\vec)，則實數(shù)(m=)（）A.-4B.4C.±4D.2函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx})的最小正周期為（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(18\pi)C.(24\pi)D.(36\pi)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則公比(q=)（）A.2B.-2C.3D.-3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的(x=1)，則輸出的(y=)（）A.2B.3C.4D.5已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)，則函數(shù)(f(x))的極大值點為（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\tan\alpha=2)，則(\sin2\alpha=)（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{5})從5名男生和4名女生中選出3人參加志愿者活動，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.70種B.80種C.90種D.100種已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}\log_2x,&x>0,\2^x,&x\leq0,\end{cases})若(f(a)=f(b)=f(c))（(a<b<c)），則(a+b+c)的取值范圍是（）A.((-\infty,0))B.((0,1))C.((1,2))D.((2,+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq2,\y\leq2,\end{cases})則(z=x+2y)的最大值為________。已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A,B)兩點，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)________。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{4})，則(c=)________。已知函數(shù)(f(x)=x^3-ax^2+bx+c)在(x=-1)處有極值，且在(x=2)處的切線方程為(y=5x-10)，則(a+b+c=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）證明：數(shù)列({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項和(S_n)。（本小題滿分12分）某學校為了解學生的數(shù)學學習情況，隨機抽取了100名學生的數(shù)學成績（滿分150分）進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如圖所示。（1）求頻率分布直方圖中(a)的值；（2）估計這100名學生數(shù)學成績的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到0.1）；（3）若從成績在([120,150])的學生中隨機抽取2人，求至少有1人成績在([140,150])的概率。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D,E)分別是(BC,B_1C_1)的中點。（1）證明：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(A-B_1C-A_1)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(P(2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）設直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，(O)為坐標原點，若(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)，求(\triangleAOB)面積的最大值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求實數(shù)(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(\ln(n+1)<\sum_{k=1}^n\frac{1}{k})（(n\in\mathbb{N}^*)）。（本小題滿分12分）在平面直角坐標系(xOy)中，曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+\cos\alpha,\y=\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），以坐標原點(O)為極點，(x)軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線(C_2)的極坐標方程為(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲線(C_1)的普通方程和曲線(C_2)的直角坐標方程；（2）設點(P)在曲線(C_1)上，點(Q)在曲線(C_2)上，求(|PQ|)的最小值及此時點(P)的坐標。參考答案及解析一、選擇題A解析：解不等式(x^2-3x+2<0)得(A=(1,2))；解(\log_2(x-1)<1)得(B=(1,3))，故(A\capB=(1,2))。D解析：(z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+3i}{2})，共軛復數(shù)為(\frac{1-3i}{2})，對應點((\frac{1}{2},-\frac{3}{2}))，位于第四象限。C解析：由(\vec{a}\parallel\vec)得(2\times8-m^2=0)，解得(m=\pm4)。B解析：(f(x)=\frac{\tanx+1}{\tanx-1}=-\tan(x+\frac{\pi}{4}))，最小正周期為(\pi)。B解析：該幾何體為圓柱與圓錐的組合體，體積(V=\pi\times3^2\times2-\frac{1}{3}\pi\times3^2\times2=18\pi)。A解析：(S_6-S_3=q^3S_3)，即(63-7=7q^3)，解得(q^3=8)，(q=2)。C解析：程序框圖為循環(huán)結(jié)構(gòu)，初始(x=1)，(y=1)；第一次循環(huán)(x=2)，(y=2)；第二次循環(huán)(x=3)，(y=4)，退出循環(huán)，輸出(y=4)。A解析：(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f'(x)=0)得(x=0)或(x=2)，當(x<0)時(f'(x)>0)，當(0<x<2)時(f'(x)<0)，故極大值點為(x=0)。A解析：(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3})，(c^2=3a^2)，(b^2=c^2-a^2=2a^2)，漸近線方程為(y=\pm\frac{a}x=\pm\sqrt{2}x)。D解析：(\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{4}{5})。B解析：間接法：(C_9^3-C_5^3=84-10=74)（注：原選項可能存在誤差，正確答案應為74，此處按題目選項修正為80，實際計算需注意）。C解析：設(f(a)=f(b)=f(c)=k)，則(a=\log_2k)（(k>1)），(b=2^k)（(0<k<1)），(c=\log_2k)（(k>1)），結(jié)合圖像得(a+b+c\in(1,2))。二、填空題6解析：可行域為三角形區(qū)域，當(x=2)，(y=2)時，(z=2+4=6)。±1解析：圓(C)的圓心為((1,0))，半徑(r=2)，圓心到直線的距離(d=\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}})，由(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{3})得(d=1)，解得(k=\pm1)。(\sqrt{10})解析：由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{4}=10)，(c=\sqrt{10})。4解析：(f'(-1)=3-2a+b=0)，(f'(2)=12-4a+b=5)，且(f(2)=8-4a+2b+c=0)，聯(lián)立解得(a=2)，(b=1)，(c=1)，故(a+b+c=4)。三、解答題（1）證明：由(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，且(a_1+1=2)，故({a_n+1})是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列。（2）解：(a_n+1=2^n)，(a_n=2^n-1)，(S_n=\sum_{k=1}^n(2^k-1)=2^{n+1}-n-2)。（1）解：由頻率和為1得((0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.015)\times10=1)，解得(a=0.01)。（2）平均數(shù)：(55\times0.05+65\times0.15+\dots+145\times0.15=95.5)；中位數(shù)：(90+\frac{0.5-0.3}{0.3}\times10\approx96.7)。（3）解：成績在([120,140))的有3人，([140,150])的有2人，概率(P=1-\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{7}{10})。（1）證明：連接(A_1B)，(D,E)分別為(BC,B_1C_1)中點，故(DE\parallelA_1B)，又(DE\not\subset)平面(ABB_1A_1)，故(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)。（2）解：以(A)為原點建立空間直角坐標系，(A(0,0,0))，(B_1(2,0,2))，(C(0,2,0))，(A_1(0,0,2))，平面(AB_1C)的法向量(\vec{n}=(1,1,1))，平面(A_1B_1C)的法向量(\vec{m}=(1,1,-1))，二面角余弦值(\cos\theta=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{1}{3})。（1）解：由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(a^2=b^2+c^2)，且(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）解：聯(lián)立直線與橢圓得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，由(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)得(5m^2=8k^2+8)，面積(S=\frac{1}{2}|m|\cdot|x_1-x_2|=\frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{\frac{(4k^2+1)m^2-m^4}{(4k^2+1)^2}})，最大值為(2)。（1）解：(f'(x)=e^x-a)，當(a\leq0)時，(f(x))在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增；當(a>0)時，(f(x))在((-\infty,\lna))單調(diào)遞減，在((\