2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)陳恕行試卷一、單項選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x-1)+ln(3-x)的定義域是（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)已知向量a=(2,3)，b=(m,4)，若a⊥(a-b)，則m=（）A.1B.2C.3D.4下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=lnxD.f(x)=e?-e??已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?=5，S?=35，則a?=（）A.13B.14C.15D.16函數(shù)f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期和最大值分別是（）A.π，2B.2π，2C.π，1D.2π，1已知直線l?：ax+2y+1=0與直線l?：x+(a-1)y-1=0平行，則a=（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2若雙曲線x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的離心率為√3，則其漸近線方程為（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12πcm3B.18πcm3C.24πcm3D.36πcm3已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點是（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3在(x-2)?的展開式中，x3的系數(shù)是（）A.-80B.80C.-40D.40甲、乙兩人獨立地解決同一問題，甲解決這個問題的概率是1/3，乙解決這個問題的概率是1/4，那么兩人都未能解決這個問題的概率是（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）若tanα=2，則sin2α=______。已知函數(shù)f(x)=log?(x2+2x+a)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是______。已知圓C：x2+y2-4x+6y-3=0，則圓C的圓心坐標(biāo)是______，半徑是______。已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)=______。三、解答題（共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=2，cosB=3/5。（1）若b=4，求sinA的值；（2）若△ABC的面積S=4，求b，c的值。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，側(cè)棱AA?⊥底面ABC，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，點D是BC的中點。（1）求證：AD⊥平面BCC?B?；（2）求直線A?B與平面ADC?所成角的正弦值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1（n∈N*）。（1）求證：數(shù)列{a?+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a?}的前n項和S?。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若kOA·kOB=-1/4，求證：△AOB的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x（a∈R）。（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，求實數(shù)a的取值范圍。（本小題滿分12分）為了了解某學(xué)校高二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從該年級隨機抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績（單位：分），并將數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）若從成績在[80,90)和[90,100]的學(xué)生中隨機抽取2人，求這2人成績都在[90,100]的概率。四、附加題（共2小題，每小題10分，共20分，不計入總分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求不等式f(x)≥5的解集；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為{x=2cosθ,y=sinθ}（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為{x=1+tcosα,y=tsinα}（t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角）。（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的普通方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，且|AB|=4√2/5，求傾斜角α的值。參考答案及評分標(biāo)準一、單項選擇題B2.A3.C4.A5.C6.A7.A8.A9.B10.A11.A12.A二、填空題4/514.(-∞,1]15.(2,-3)，416.0三、解答題（1）因為cosB=3/5，0<B<π，所以sinB=4/5。由正弦定理得a/sinA=b/sinB，即2/sinA=4/(4/5)，解得sinA=2/5。（5分）（2）因為S=1/2acsinB=4，所以1/2×2×c×4/5=4，解得c=5。由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=4+25-2×2×5×3/5=17，所以b=√17。（5分）（1）因為AA?⊥底面ABC，AD?底面ABC，所以AA?⊥AD。因為AB=AC，D是BC的中點，所以AD⊥BC。又因為BC∩AA?=A，所以AD⊥平面BCC?B?。（6分）（2）以A為原點，AB，AC，AA?所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A?(0,0,2)，B(2,0,0)，D(1,1,0)，C?(0,2,2)。向量A?B=(2,0,-2)，向量AD=(1,1,0)，向量AC?=(0,2,2)。設(shè)平面ADC?的法向量為n=(x,y,z)，則{n·AD=0,n·AC?=0}，即{x+y=0,2y+2z=0}。令x=1，則y=-1，z=1，所以n=(1,-1,1)。設(shè)直線A?B與平面ADC?所成角為θ，則sinθ=|cos<A?B,n>|=|A?B·n|/(|A?B||n|)=|2×1+0×(-1)+(-2)×1|/(√(4+0+4)×√(1+1+1))=0，所以θ=0°。（6分）（1）因為a???=2a?+1，所以a???+1=2(a?+1)。又因為a?+1=2≠0，所以數(shù)列{a?+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列。（6分）（2）由（1）知a?+1=2×2??1=2?，所以a?=2?-1。所以S?=(21-1)+(22-1)+...+(2?-1)=(21+22+...+2?)-n=2(2?-1)/(2-1)-n=2??1-n-2。（6分）（1）因為離心率e=c/a=√3/2，所以c=√3/2a，b2=a2-c2=a2-3/4a2=1/4a2。又因為橢圓過點(2,1)，所以4/a2+1/b2=1，即4/a2+4/a2=1，解得a2=8，b2=2。所以橢圓C的方程為x2/8+y2/2=1。（6分）（2）設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，聯(lián)立{y=kx+m,x2/8+y2/2=1}，得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0。所以x?+x?=-8km/(1+4k2)，x?x?=(4m2-8)/(1+4k2)。因為kOA·kOB=y?y?/(x?x?)=(kx?+m)(kx?+m)/(x?x?)=(k2x?x?+km(x?+x?)+m2)/(x?x?)=-1/4，所以4(k2x?x?+km(x?+x?)+m2)=-x?x?，即(4k2+1)x?x?+4km(x?+x?)+4m2=0。代入x?+x?和x?x?，得(4k2+1)(4m2-8)/(1+4k2)+4km(-8km)/(1+4k2)+4m2=0，化簡得4m2-8-32k2m2/(1+4k2)+4m2=0，解得m2=2(1+4k2)/5。所以|AB|=√(1+k2)|x?-x?|=√(1+k2)√[(x?+x?)2-4x?x?]=√(1+k2)√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-8)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[32(1+4k2-m2)/(1+4k2)2]=√(1+k2)√[32(1+4k2-2(1+4k2)/5)/(1+4k2)2]=√(1+k2)√[96(1+4k2)/5(1+4k2)2]=√(1+k2)√[96/(5(1+4k2))]=4√6√(1+k2)/√[5(1+4k2)]。又因為原點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√[2(1+4k2)/5]/√(1+k2)。所以S△AOB=1/2|AB|d=1/2×4√6√(1+k2)/√[5(1+4k2)]×√[2(1+4k2)/5]/√(1+k2)=1/2×4√6×√2/5=4√3/5，為定值。（6分）（1）當(dāng)a=1時，f(x)=xlnx-x2+x，f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2。令f'(x)=0，得lnx=2x-2。通過圖像可知，方程有兩個解x?=1，x?≈0.16。當(dāng)0<x<0.16或x>1時，f'(x)<0；當(dāng)0.16<x<1時，f'(x)>0。所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,0.16)，(1,+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0.16,1)。（6分）（2）f'(x)=lnx+1-2ax+2a-1=lnx-2a(x-1)。因為函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，所以f'(1)=0，且當(dāng)x∈(1-δ,1)時，f'(x)>0；當(dāng)x∈(1,1+δ)時，f'(x)<0（δ>0）。f''(x)=1/x-2a。若a≤0，則f''(x)=1/x-2a>0，所以f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。當(dāng)x<1時，f'(x)<f'(1)=0；當(dāng)x>1時，f'(x)>f'(1)=0，此時x=1是函數(shù)f(x)的極小值點，不符合題意。若0<a<1/2，則當(dāng)x∈(0,1/(2a))時，f''(x)>0；當(dāng)x∈(1/(2a),+∞)時，f''(x)<0。因為1/(2a)>1，所以f'(x)在(0,1/(2a))上單調(diào)遞增，在(1/(2a),+∞)上單調(diào)遞減。當(dāng)x∈(1-δ,1)時，f'(x)<f'(1)=0；當(dāng)x∈(1,1+δ)時，f'(x)<f'(1)=0，不符合題意。若a=1/2，則f''(x)=1/x-1，當(dāng)x∈(0,1)時，f''(x)>0；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f''(x)<0。f'(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f'(x)≤f'(1)=0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，x=1不是極值點，不符合題意。若a>1/2，則1/(2a)<1，f'(x)在(0,1/(2a))上單調(diào)遞增，在(1/(2a),+∞)上單調(diào)遞減。當(dāng)x∈(1-δ,1)時，f'(x)>f'(1)=0；當(dāng)x∈(1,1+δ)時，f'(x)<f'(1)=0，符合題意。綜上，實數(shù)a的取值范圍是(1/2,+∞)。（6分）（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，得(0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.015)×10=1，解得a=0.01。（3分）（2）平均數(shù)=45×0.05+55×0.15+65×0.1+75×0.3+85×0.25+95×0.15=74.5。設(shè)中位數(shù)為x，因為0.05+0.15+0.1=0.3<0.5，0.3+0.3=0.6>0.5，所以中位數(shù)在[70,80)內(nèi)。由0.3+0.03(x-70)=0.5，解得x=70+20/3≈76.67。（4分）（3）成績在[80,90)的學(xué)生有0.25×100=25人，成績在[90,100]的學(xué)生有0.15×100=15人。從這40名學(xué)生中隨機抽取2人，基本事件總數(shù)n=C(40,2)=780。這2人成績都在[90,100]的基本事件數(shù)m=C(15,2)=105。所以所求概率P=m/n=105/780=7/52。（5分）四、附加題（1）當(dāng)x<-2時，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1≥5，解得x≤-3；當(dāng)-2≤x≤1時，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3≥5，無解；當(dāng)x>1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1≥5，解得x≥2。綜上，不等式f(x)≥5的解集為(-∞,-3]∪[2,+∞)。（5分）（2）因為f(x)=|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3，所以f(x)的最小值為3。要使f(x)≥a2-2a對任意x∈R恒成立，只需a2-2a≤3，即a2-2a-3≤0，解得-1≤a≤3。（5分）（1）曲線C的普通方程為x2/4+y2=1。直線l的普通方程為y=tanα(x-1)（α≠π/2）或x=1（α=π/2）。（5分）（2）當(dāng)α=π/2時，直線l的方程為x=1，代入曲線C的方程得1/4+y2=1，解得y=±√3/2，所以|AB|=√3，不符合題意。當(dāng)α≠