2025年下學(xué)期高中函數(shù)的概念與性質(zhì)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.函數(shù)概念的核心要素已知集合(A={x|0\leqx\leq4})，(B={y|-1\leqy\leq2})，則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中能構(gòu)成從(A)到(B)的函數(shù)的是（）A.(f(x)=\frac{1}{2}x-1)B.(f(x)=\sqrt{x-2})C.(f(x)=\sinx)D.(f(x)=\frac{x}{x+1})解析：函數(shù)的定義要求對(duì)于集合(A)中的任意一個(gè)元素(x)，在集合(B)中都有唯一確定的元素(y)與之對(duì)應(yīng)。選項(xiàng)A：當(dāng)(x=4)時(shí)，(f(4)=\frac{1}{2}\times4-1=1)，其值域?yàn)?[-1,1])，包含于(B)，符合函數(shù)定義；選項(xiàng)B：定義域?yàn)?x\geq2)，與集合(A)的定義域([0,4])不符；選項(xiàng)C：(\sinx)的值域?yàn)?[-1,1])，但當(dāng)(x\in[0,4])時(shí)，(\sin4\approx-0.7568)，(\sin\frac{\pi}{2}=1)，值域?yàn)?[-0.7568,1])，雖包含于(B)，但題目未明確是否允許部分對(duì)應(yīng)，而選項(xiàng)A更直接滿足定義域和值域要求；選項(xiàng)D：當(dāng)(x=0)時(shí)，(f(0)=0)，當(dāng)(x=4)時(shí)，(f(4)=\frac{4}{5}=0.8)，值域?yàn)?[0,0.8])，但函數(shù)表達(dá)式在(x=-1)處無(wú)意義，而(A)中不含(x=-1)，需進(jìn)一步驗(yàn)證是否所有(x\inA)均有定義。由于(A)中(x\geq0)，分母(x+1\geq1)，故定義域成立，但值域([0,0.8])包含于(B)，此時(shí)需對(duì)比選項(xiàng)A和D。選項(xiàng)A的對(duì)應(yīng)關(guān)系更直接覆蓋(A)的全部定義域且值域符合，因此正確答案為A。2.函數(shù)的定義域求解函數(shù)(f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4}}{\log_2(x-1)})的定義域是（）A.([2,+\infty))B.((1,2)\cup(2,+\infty))C.((2,+\infty))D.([2,3)\cup(3,+\infty))解析：定義域需滿足三個(gè)條件：偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)：(x^2-4\geq0\Rightarrowx\leq-2)或(x\geq2)；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0：(x-1>0\Rightarrowx>1)；分母不為0：(\log_2(x-1)\neq0\Rightarrowx-1\neq1\Rightarrowx\neq2)。綜合上述條件，(x\geq2)且(x\neq2)，即(x>2)，正確答案為C。3.函數(shù)的單調(diào)性與最值已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([a,b])上單調(diào)遞減，且最大值為2，則(b-a)的最小值為（）A.1B.2C.3D.4解析：求導(dǎo)得(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f'(x)<0)，解得(0<x<2)，即函數(shù)在((0,2))上單調(diào)遞減；令(f(x)=2)，解方程(x^3-3x^2+2=2\Rightarrowx^3-3x^2=0\Rightarrowx^2(x-3)=0\Rightarrowx=0)或(x=3)；函數(shù)在(x=0)處取得極大值(f(0)=2)，在(x=3)處(f(3)=27-27+2=2)，在(x=2)處取得極小值(f(2)=8-12+2=-2)；要使區(qū)間([a,b])上單調(diào)遞減且最大值為2，則(a=0)，(b=2)，此時(shí)(b-a=2)，正確答案為B。4.函數(shù)的奇偶性判定下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.(f(x)=x|x|)B.(f(x)=\lnx)C.(f(x)=\sinx)D.(f(x)=2^x-2^{-x})解析：選項(xiàng)A：(f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x))，為奇函數(shù)。當(dāng)(x\geq0)時(shí)，(f(x)=x^2)，單調(diào)遞增；當(dāng)(x<0)時(shí)，(f(x)=-x^2)，單調(diào)遞增，且在(x=0)處連續(xù)，故整體為增函數(shù)，符合題意；選項(xiàng)B：定義域?yàn)?(0,+\infty))，非關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，非奇非偶函數(shù)；選項(xiàng)C：(\sinx)是奇函數(shù)，但在(\mathbb{R})上不單調(diào)（如在([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}])上單調(diào)遞減）；選項(xiàng)D：(f(-x)=2^{-x}-2^x=-f(x))，為奇函數(shù)。求導(dǎo)得(f'(x)=2^x\ln2+2^{-x}\ln2>0)，故在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增，此時(shí)需對(duì)比A和D。進(jìn)一步分析：選項(xiàng)A和D均滿足奇偶性和單調(diào)性，但題目為單選題，需驗(yàn)證是否存在更優(yōu)解。選項(xiàng)A的表達(dá)式更簡(jiǎn)潔，且在高中階段更常作為“奇函數(shù)+增函數(shù)”的典型案例，而選項(xiàng)D屬于指數(shù)型函數(shù)，雖滿足條件，但需根據(jù)題目選項(xiàng)設(shè)置判斷。若題目允許多選，A和D均正確，但根據(jù)選項(xiàng)設(shè)置，正確答案為A（注：實(shí)際考試中需注意選項(xiàng)唯一性，此處假設(shè)A為更優(yōu)解）。5.函數(shù)的周期性與對(duì)稱性已知函數(shù)(f(x))滿足(f(x+2)=-f(x))，且(f(1-x)=f(1+x))，則下列說(shuō)法正確的是（）A.(f(x))是周期為2的周期函數(shù)B.(f(x))的圖像關(guān)于直線(x=1)對(duì)稱C.(f(2025)=f(0))D.(f(x))是奇函數(shù)解析：由(f(x+2)=-f(x))，得(f(x+4)=-f(x+2)=f(x))，故周期(T=4)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由(f(1-x)=f(1+x))，可知函數(shù)圖像關(guān)于直線(x=1)對(duì)稱，選項(xiàng)B正確；(f(2025)=f(4\times506+1)=f(1))，而(f(1)=f(1-0)=f(1+0)=f(1))，無(wú)法直接得出(f(1)=f(0))，需結(jié)合其他條件。由(f(x+2)=-f(x))，令(x=-1)，得(f(1)=-f(-1))，又由對(duì)稱性(f(1-(-1))=f(1+(-1))\Rightarrowf(2)=f(0))，而(f(2)=-f(0))，故(f(0)=-f(0)\Rightarrowf(0)=0)，則(f(2)=0)，但(f(1))與(f(0))無(wú)直接關(guān)系，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若(f(x))是奇函數(shù)，則(f(-x)=-f(x))，但由對(duì)稱性和周期性無(wú)法直接推導(dǎo)，例如(f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}x))滿足(f(x+2)=\cos(\frac{\pi}{2}(x+2))=\cos(\frac{\pi}{2}x+\pi)=-\cos(\frac{\pi}{2}x)=-f(x))，且關(guān)于(x=1)對(duì)稱，但(\cos(\frac{\pi}{2}x))是偶函數(shù)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。正確答案為B。6.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-2x-3))的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.((-\infty,-1))B.((-\infty,1))C.((1,+\infty))D.((3,+\infty))解析：首先求定義域：(x^2-2x-3>0\Rightarrow(x-3)(x+1)>0\Rightarrowx<-1)或(x>3)；令(t=x^2-2x-3)，則(f(t)=\log_{\frac{1}{2}}t)，外層函數(shù)為減函數(shù)；根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則，需內(nèi)層函數(shù)(t=x^2-2x-3)單調(diào)遞減，其對(duì)稱軸為(x=1)，在((-\infty,1))上單調(diào)遞減，結(jié)合定義域(x<-1)，故單調(diào)遞增區(qū)間為((-\infty,-1))，正確答案為A。7.函數(shù)的值域求解函數(shù)(f(x)=\frac{x^2+3x+4}{x+1})（(x>-1)）的值域是（）A.([2\sqrt{2}+1,+\infty))B.([3,+\infty))C.([5,+\infty))D.([2\sqrt{3}+1,+\infty))解析：令(t=x+1)，則(x=t-1)（(t>0)），代入函數(shù)得：[f(t)=\frac{(t-1)^2+3(t-1)+4}{t}=\frac{t^2-2t+1+3t-3+4}{t}=\frac{t^2+t+2}{t}=t+\frac{2}{t}+1]由基本不等式(t+\frac{2}{t}\geq2\sqrt{t\times\frac{2}{t}}=2\sqrt{2})，當(dāng)且僅當(dāng)(t=\frac{2}{t}\Rightarrowt=\sqrt{2})（(t>0)）時(shí)取等號(hào)；故(f(t)\geq2\sqrt{2}+1)，正確答案為A。8.函數(shù)圖像的識(shí)別函數(shù)(f(x)=\frac{x^2-1}{x})的圖像大致是（）（選項(xiàng)圖像略，此處用文字描述特征）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在((0,+\infty))上單調(diào)遞增B.關(guān)于y軸對(duì)稱，在((-\infty,0))上單調(diào)遞減C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在((0,+\infty))上先減后增D.關(guān)于y軸對(duì)稱，在((-\infty,0))上先增后減解析：函數(shù)(f(x)=x-\frac{1}{x})，定義域?yàn)?x\neq0)，且(f(-x)=-x+\frac{1}{x}=-f(x))，為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)B和D；求導(dǎo)得(f'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0)，故函數(shù)在((-\infty,0))和((0,+\infty))上均單調(diào)遞增，正確答案為A。9.分段函數(shù)的求值已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_3x,&x>0\end{cases})，則(f(f(\frac{1}{9}))=)（）A.(\frac{1}{4})B.(\frac{1}{2})C.2D.4解析：先求內(nèi)層函數(shù)(f(\frac{1}{9}))，由于(\frac{1}{9}>0)，代入(\log_3x)得(\log_3\frac{1}{9}=\log_33^{-2}=-2)；再求(f(-2))，由于(-2\leq0)，代入(2^x)得(2^{-2}=\frac{1}{4})，正確答案為A。10.函數(shù)零點(diǎn)的判定函數(shù)(f(x)=e^x-x-2)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A.((-1,0))B.((0,1))C.((1,2))D.((2,3))解析：計(jì)算函數(shù)值：(f(-1)=e^{-1}-(-1)-2=\frac{1}{e}-1\approx0.3679-1=-0.6321<0)；(f(0)=e^0-0-2=1-2=-1<0)；(f(1)=e^1-1-2=e-3\approx2.718-3=-0.282<0)；(f(2)=e^2-2-2=e^2-4\approx7.389-4=3.389>0)；由零點(diǎn)存在定理，(f(1)\cdotf(2)<0)，故零點(diǎn)在區(qū)間((1,2))內(nèi)，正確答案為C。11.抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用定義在(\mathbb{R})上的函數(shù)(f(x))滿足(f(x+y)=f(x)+f(y))，且當(dāng)(x>0)時(shí)，(f(x)>0)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.(f(0)=0)B.(f(x))是奇函數(shù)C.(f(x))在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增D.(f(x))的圖像與(x)軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)解析：選項(xiàng)A：令(x=y=0)，則(f(0)=f(0)+f(0)\Rightarrowf(0)=0)，正確；選項(xiàng)B：令(y=-x)，則(f(0)=f(x)+f(-x)\Rightarrowf(-x)=-f(x))，為奇函數(shù)，正確；選項(xiàng)C：任取(x_1<x_2)，則(x_2-x_1>0)，(f(x_2-x_1)>0)，(f(x_2)=f(x_1+(x_2-x_1))=f(x_1)+f(x_2-x_1)>f(x_1))，故單調(diào)遞增，正確；選項(xiàng)D：由于(f(x))是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且(f(0)=0)，故圖像與(x)軸只有一個(gè)交點(diǎn)((0,0))，正確。題目要求選擇錯(cuò)誤選項(xiàng)，無(wú)符合條件的選項(xiàng)，可能題目存在疏漏，若必須選擇，可認(rèn)為D正確，無(wú)錯(cuò)誤選項(xiàng)（注：實(shí)際考試中需以原題為準(zhǔn)）。12.函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用已知函數(shù)(f(x))是定義在(\mathbb{R})上的偶函數(shù)，且在([0,+\infty))上單調(diào)遞減，若(f(2)=0)，則不等式(f(\log_2x)>0)的解集是（）A.((\frac{1}{4},4))B.((0,\frac{1}{4})\cup(4,+\infty))C.((\frac{1}{4},1)\cup(1,4))D.((0,\frac{1}{4})\cup(1,4))解析：由于(f(x))是偶函數(shù)，且在([0,+\infty))上單調(diào)遞減，(f(2)=0)，則(f(-2)=0)；不等式(f(\log_2x)>0)等價(jià)于(|\log_2x|<2)（因?yàn)?f(x)>0)的解集為((-2,2))，偶函數(shù)性質(zhì)）；解(-2<\log_2x<2)，得(2^{-2}<x<2^2\Rightarrow\frac{1}{4}<x<4)；但需注意函數(shù)定義域，(\log_2x)中(x>0)，故解集為((\frac{1}{4},4))，正確答案為A。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)解析式的求解已知(f(x+1)=x^2-3x+2)，則(f(x)=)__________。解析：令(t=x+1)，則(x=t-1)，代入得(f(t)=(t-1)^2-3(t-1)+2=t^2-2t+1-3t+3+2=t^2-5t+6)，故(f(x)=x^2-5x+6)。答案：(x^2-5x+6)14.函數(shù)的值域與最值函數(shù)(f(x)=x+\sqrt{1-x})的值域是__________。解析：令(t=\sqrt{1-x})（(t\geq0)），則(x=1-t^2)，函數(shù)化為(f(t)=1-t^2+t=-t^2+t+1)，對(duì)稱軸為(t=\frac{1}{2})，開(kāi)口向下，最大值為(f(\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1=\frac{5}{4})，無(wú)最小值，故值域?yàn)?(-\infty,\frac{5}{4}])。答案：((-\infty,\frac{5}{4}])15.函數(shù)的奇偶性與參數(shù)求解若函數(shù)(f(x)=(m-1)x^2+mx+3)是偶函數(shù)，則(m=)__________。解析：偶函數(shù)滿足(f(-x)=f(x))，即((m-1)x^2-mx+3=(m-1)x^2+mx+3)，化簡(jiǎn)得(-mx=mx\Rightarrow2mx=0)對(duì)任意(x)成立，故(m=0)。答案：016.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題函數(shù)(f(x)=|x|-\cosx)在(\mathbb{R})上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是__________。解析：當(dāng)(x\geq0)時(shí)，(f(x)=x-\cosx)，求導(dǎo)得(f'(x)=1+\sinx\geq0)，單調(diào)遞增，且(f(0)=-1)，(f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}>0)，故在((0,\frac{\pi}{2}))上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)(x<0)時(shí)，(f(x)=-x-\cosx)，求導(dǎo)得(f'(x)=-1+\sinx\leq0)，單調(diào)遞減，且(f(-\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}>0)，(f(0)=-1<0)，故在((-\frac{\pi}{2},0))上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)(x=0)時(shí)，(f(0)=-1\neq0)，綜上共有2個(gè)零點(diǎn)。答案：2三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知函數(shù)(f(x)=\frac{ax+b}{x^2+1})是定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)，且(f(1)=\frac{1}{2})。（1）求函數(shù)(f(x))的解析式；（2）判斷函數(shù)(f(x))在((0,1))上的單調(diào)性，并用定義證明。解析：（1）由于(f(x))是奇函數(shù)，(f(0)=0\Rightarrow\frac{1}=0\Rightarrowb=0)。又(f(1)=\frac{a}{1+1}=\frac{1}{2}\Rightarrowa=1)，故(f(x)=\frac{x}{x^2+1})。（2）函數(shù)在((0,1))上單調(diào)遞增。證明如下：任取(x_1,x_2\in(0,1))，且(x_1<x_2)，則[f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1}{x_1^2+1}-\frac{x_2}{x_2^2+1}=\frac{x_1(x_2^2+1)-x_2(x_1^2+1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}=\frac{(x_1-x_2)(1-x_1x_2)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}]由于(x_1<x_2\Rightarrowx_1-x_2<0)，(x_1,x_2\in(0,1)\Rightarrowx_1x_2<1\Rightarrow1-x_1x_2>0)，分母恒正，故(f(x_1)-f(x_2)<0\Rightarrowf(x_1)<f(x_2))，因此函數(shù)在((0,1))上單調(diào)遞增。18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\log_a(x+1))（(a>0)且(a\neq1)）的圖像過(guò)點(diǎn)((1,1))。（1）求(a)的值及函數(shù)(f(x))的定義域；（2）若(g(x)=f(x)+f(-x))，求(g(x))的最大值及此時(shí)(x)的值。解析：（1）由(f(1)=1\Rightarrow\log_a(1+1)=1\Rightarrowa=2)，定義域?yàn)?x+1>0\Rightarrowx>-1)。（2）(g(x)=\log_2(x+1)+\log_2(-x+1)=\log_2[(x+1)(1-x)]=\log_2(1-x^2))，定義域?yàn)?-1<x<1)。令(t=1-x^2)，則(t\in(0,1])，(g(x)=\log_2t)在(t\in(0,1])上單調(diào)遞增，故當(dāng)(t=1\Rightarrowx=0)時(shí)，(g(x))取得最大值(\log_21=0)。19.（本小題滿分12分）已知二次函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）滿足(f(0)=2)，(f(x+1)-f(x)=2x-1)。（1）求函數(shù)(f(x))的解析式；（2）求函數(shù)(f(x))在區(qū)間([-1,2])上的最大值和最小值。解析：（1）由(f(0)=c=2)。又(f(x+1)-f(x)=a(x+1)^2+b(x+1)+c-(ax^2+bx+c)=2ax+a+b=2x-1)，對(duì)比系數(shù)得(2a=2\Rightarrowa=1)，(a+b=-1\Rightarrowb=-2)，故(f(x)=x^2-2x+2)。（2）函數(shù)對(duì)稱軸為(x=1)，開(kāi)口向上。在區(qū)間([-1,2])上，最小值為(f(1)=1-2+2=1)，最大值為(\max{f(-1),f(2)})。計(jì)算得(f(-1)=1+2+2=5)，(f(2)=4-4+2=2)，故最大值為5，最小值為1。20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1})。（1）判斷函數(shù)(f(x))的奇偶性，并證明；（2）求函數(shù)(f(x))的值域；（3）解不等式(f(x)>\frac{1}{3})。解析：（1）奇函數(shù)。證明：(f(-x)=\frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=\frac{1-2^x}{1+2^x}=-f(x))，定義域?yàn)?\mathbb{R})，故為奇函數(shù)。（2）令(y=\frac{2^x-1}{2^x+1})，則(y(2^x+1)=2^x-1\Rightarrow2^x(y-1)=-y-1\Rightarrow2^x=\frac{1+y}{1-y})。由于(2^x>0)，故(\frac{1+y}{1-y}>0\Rightarrow-1<y<1)，值域?yàn)?(-1,1))。（3）由(\frac{2^x-1}{2^x+1}>\frac{1}{3}\Rightarrow3(2^x-1)>2^x+1\Rightarrow3\times2^x-3>2^x+1\Rightarrow2\times2^x>4\Rightarrow2^x>2\Rightarrowx>1)，解集為((1,+\infty))。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x|x-a|+2x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=2)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(\mathbb{R})上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解析：（1）當(dāng)(a=2)時(shí)，(f(x)=x|x-2|+2x=\begin{cases}x^2,&x\geq2\-x^2+4x,&x<2\end{cases})。當(dāng)(x\geq2)時(shí)，(f(x)=x^2)，單調(diào)遞增；當(dāng)(x<2)時(shí)，(f(x)=-x^2+4x)，對(duì)稱軸為(x=2)，開(kāi)口向下，在((-\infty,2))上單調(diào)遞增；綜上，函數(shù)在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為((-\infty,+\infty))。（2）(f(x)=\begin{cases}x^2-(a-2)x,&x\geqa\-x^2+(a+2)x,&x<a\end{cases})。要使函數(shù)在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增，需滿足：當(dāng)(x\geqa)時(shí)，對(duì)稱軸(x=\frac{a-2}{2}\leqa\Rightarrowa-2\leq2a\Rightarrowa\geq-2)；當(dāng)(x<a)時(shí)，對(duì)稱軸(x=\frac{a+2}{2}\geqa\Rightarrowa+2\geq2a\Rightarrowa\leq2)