全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)數(shù)題試題及答案1.復(fù)數(shù)\(z=3+4i\)的共軛復(fù)數(shù)是（）A.\(3-4i\)B.\(-3+4i\)C.\(-3-4i\)D.\(4+3i\)答案：A2.已知\(i\)為虛數(shù)單位，則\(i^2=\)（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(i\)D.\(-i\)答案：B3.復(fù)數(shù)\(z=2-i\)，則\(\vertz\vert=\)（）A.\(1\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(\sqrt{5}\)D.\(3\)答案：C4.若復(fù)數(shù)\(z\)滿(mǎn)足\(z(1+i)=2\)，則\(z=\)（）A.\(1-i\)B.\(1+i\)C.\(-1+i\)D.\(-1-i\)答案：A5.復(fù)數(shù)\(z=\frac{1+i}{1-i}\)化簡(jiǎn)后為（）A.\(i\)B.\(-i\)C.\(1\)D.\(-1\)答案：A6.已知復(fù)數(shù)\(z=3+2i\)，則\(z\)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案：A7.復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）為純虛數(shù)的充要條件是（）A.\(a=0\)B.\(b=0\)C.\(a=0\)且\(b\neq0\)D.\(a\neq0\)且\(b=0\)答案：C8.計(jì)算\((1+i)^2=\)（）A.\(2i\)B.\(-2i\)C.\(2\)D.\(-2\)答案：A9.復(fù)數(shù)\(z=\frac{2}{1-i}\)的實(shí)部是（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(2\)D.\(-2\)答案：A10.已知復(fù)數(shù)\(z1=1+i\)，\(z2=1-i\)，則\(z1z2=\)（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(2i\)D.\(-2i\)答案：A11.復(fù)數(shù)\(z=\frac{3-i}{1+i}\)的虛部是（）A.\(-2\)B.\(-2i\)C.\(2\)D.\(2i\)答案：A12.若復(fù)數(shù)\(z\)滿(mǎn)足\(\vertz-1\vert=1\)，則\(z\)的軌跡方程是（）A.\(x^2+y^2=1\)B.\((x-1)^2+y^2=1\)C.\(x^2+(y-1)^2=1\)D.\((x-1)^2+(y-1)^2=1\)答案：B13.復(fù)數(shù)\(z=\frac{4+3i}{1+2i}\)化簡(jiǎn)后為（）A.\(2-i\)B.\(2+i\)C.\(-2+i\)D.\(-2-i\)答案：B14.已知復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)滿(mǎn)足\(z^2=3+4i\)，則\(a+b=\)（）A.\(3\)B.\(-3\)C.\(5\)D.\(-5\)答案：C15.復(fù)數(shù)\(z=\frac{1}{i-1}\)的模為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(2\)答案：B16.若復(fù)數(shù)\(z\)滿(mǎn)足\(z+\overline{z}=2\)，\(z-\overline{z}=2i\)，則\(z=\)（）A.\(1+i\)B.\(1-i\)C.\(-1+i\)D.\(-1-i\)答案：A17.復(fù)數(shù)\(z=\frac{2i}{1-i}\)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）A.\(1\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(2\)答案：B18.已知復(fù)數(shù)\(z=1+\sqrt{3}i\)，則\(z^3=\)（）A.\(-8\)B.\(8\)C.\(-8i\)D.\(8i\)答案：A19.復(fù)數(shù)\(z=\frac{1+2i}{i}\)的共軛復(fù)數(shù)是（）A.\(2-i\)B.\(-2-i\)C.\(2+i\)D.\(-2+i\)答案：A20.若復(fù)數(shù)\(z\)滿(mǎn)足\(\vertz\vert^2-2\vertz\vert-3=0\)，則\(\vertz\vert=\)（）A.\(1\)B.\(3\)C.\(-1\)（舍去）D.\(-3\)（舍去）答案：B1.以下屬于復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則的有（）A.加法：\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)B.減法：\((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)C.乘法：\((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)D.除法：\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\)答案：ABCD2.復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)為實(shí)數(shù)的條件是（）A.\(a=0\)B.\(b=0\)C.\(a\inR\)D.\(b\inR\)答案：B3.下列復(fù)數(shù)中，模為\(\sqrt{5}\)的有（）A.\(1+2i\)B.\(2+i\)C.\(-1-2i\)D.\(-2-i\)答案：ABCD4.關(guān)于復(fù)數(shù)\(z=\frac{1}{i}\)，說(shuō)法正確的是（）A.\(z=-i\)B.\(z\)的實(shí)部為\(0\)C.\(z\)的虛部為\(-1\)D.\(z\)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在\(y\)軸負(fù)半軸答案：ABCD5.已知復(fù)數(shù)\(z1=3+i\)，\(z2=1-2i\)，則（）A.\(z1+z2=4-i\)B.\(z1-z2=2+3i\)C.\(z1z2=5-5i\)D.\(\frac{z1}{z2}=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i\)答案：ABCD6.復(fù)數(shù)\(z\)滿(mǎn)足\(z^2=-1\)，則\(z=\)（）A.\(i\)B.\(-i\)C.\(1\)D.\(-1\)答案：AB7.若復(fù)數(shù)\(z\)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則\(z\)可能是（）A.\(-1+2i\)B.\(-2-i\)C.\(1-2i\)D.\(2+i\)答案：A8.復(fù)數(shù)\(z=\frac{2+i}{1-i}\)化簡(jiǎn)后為（）A.\(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)B.\(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i\)C.\(1+\frac{3}{2}i\)D.\(1-\frac{3}{2}i\)答案：A9.已知復(fù)數(shù)\(z=1+i\)，則\(z^2+2z=\)（）A.\(2+4i\)B.\(2-4i\)C.\(4+2i\)D.\(4-2i\)答案：A10.復(fù)數(shù)\(z\)滿(mǎn)足\(\vertz-3\vert=2\)，則\(z\)表示的圖形是（）A.以\((3,0)\)為圓心的圓B.以\((-3,0)\)為圓心的圓C.半徑為\(2\)D.半徑為\(3\)答案：AC1.復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)。（）答案：√2.兩個(gè)復(fù)數(shù)相加，和一定是復(fù)數(shù)。（）答案：√3.復(fù)數(shù)\(z=0\)時(shí)，它沒(méi)有實(shí)部和虛部。（）答案：×4.復(fù)數(shù)的模一定是非負(fù)實(shí)數(shù)。（）答案：√5.共軛復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)。（）答案：√6.復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)與它的共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=a-bi\)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱(chēng)。（）答案：√7.復(fù)數(shù)的乘法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律和分配律。（）答案：√8.若\(z1,z2\)為復(fù)數(shù)，且\(z1z2=0\)，則\(z1=0\)或\(z2=0\)。（）答案：√9.復(fù)數(shù)\(z=\frac{1}{i}\)化簡(jiǎn)后為\(i\)。（）答案：×10.復(fù)數(shù)\(z\)的平方一定是實(shí)數(shù)。（）答案：×1.復(fù)數(shù)\(z=2-3i\)的實(shí)部為（）答案：22.復(fù)數(shù)\(z=\frac{1+i}{2}\)的虛部為（）答案：\(\frac{1}{2}\)3.已知復(fù)數(shù)\(z\)滿(mǎn)足\(z+2i=1\)，則\(z=\)（）答案：\(1-2i\)4.復(fù)數(shù)\(z=3i\)的模為（）答案：35.復(fù)數(shù)\(z=\frac{1-i}{1+i}\)化簡(jiǎn)后為（）答案：\(-i\)6.若復(fù)數(shù)\(z\)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為\((-1,2)\)，則\(z=\)（）答案：\(-1+2i\)7.復(fù)數(shù)\(z=1+i\)的共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=\)（）答案：\(1-i\)8.計(jì)算\(i^3=\)（）答案：\(-i\)9.復(fù)數(shù)\(z=\frac{2}{1+i}\)化簡(jiǎn)后實(shí)部為（）答案：110.已知復(fù)數(shù)\(z\)滿(mǎn)足\(\vertz\vert=5\)，且實(shí)部為\(3\)，則\(z=\)（）答案：\(3+4i\)或\(3-4i\)1.簡(jiǎn)述復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）在復(fù)平面內(nèi)的表示方法。答案：復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)在復(fù)平面內(nèi)可以用一個(gè)點(diǎn)\((a,b)\)來(lái)表示。其中\(zhòng)(a\)為實(shí)部，對(duì)應(yīng)\(x\)軸坐標(biāo)；\(b\)為虛部，對(duì)應(yīng)\(y\)軸坐標(biāo)。2.說(shuō)明復(fù)數(shù)模的幾何意義。答案：復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)的模\(\vertz\vert=\sqrt{a^2+b^2}\)。其幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)\(z\)的點(diǎn)\((a,b)\)到原點(diǎn)\((0,0)\)的距離。3.簡(jiǎn)述共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)。答案：設(shè)\(z=a+bi\)，其共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=a-bi\)。性質(zhì)有：\(z+\overline{z}=2a\)（為實(shí)數(shù)）；\(z-\overline{z}=2bi\)；\(z\cdot\overline{z}=a^2+b^2=\vertz\vert^2\)。4.如何進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算？答案：對(duì)于復(fù)數(shù)\(z1=a+bi\)，\(z2=c+di\)（\(c+di\neq0\)）。復(fù)數(shù)除法運(yùn)算\(\frac{z1}{z2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\)。先將分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)\(c-di\)，然后展開(kāi)化簡(jiǎn)得到結(jié)果。1.論述復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中的地位和作用。答案：復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中具有重要地位和作用。它是實(shí)數(shù)的擴(kuò)充，解決了很多實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)法解決的問(wèn)題，如方程\(x^2+1=0\)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，但在復(fù)