2025學年上學期期中三校聯(lián)考高二數(shù)學本試卷共4頁，共19小題，滿分150分，考試用時120分鐘.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為純虛數(shù)，則在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)復數(shù)的特征求，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義求解.【詳解】復數(shù)為純虛數(shù)，則，則，所以，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)點為，位于第二象限.故選：B2.在2h內(nèi)將某種藥物注射進患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．下面能反映血液中藥物含量Q隨時間t變化的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)血液藥物含量變化，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性變化可判斷.【詳解】在2h內(nèi)，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為線段，且為增函數(shù)，排除A，D，停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，排除C．能反映血液中藥物含量Q隨時間t變化的圖象是B．故選：B．3.設(shè)全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得到集合、，陰影部分表示的集合為，再按交集、補集運算即可.【詳解】由，得，所以，由，得，所以，陰影部分表示的集合為.故選：C．【點睛】本題考查集合間的基本運算，涉及到交集、補集以及解不等式，是一道容易題.4.設(shè)且則A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】[方法一]：.故選：C.[方法二]：又.故選：C.[方法三]：由已知得，，去分母得，，所以，又因為，，所以，即，故選：C.考點：同角間的三角函數(shù)關(guān)系，兩角和與差的正弦公式．5.在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量線性運算法則進行運算即可.【詳解】因為在平行六面體中，，所以.故選：A.6.已知點關(guān)于直線的對稱點為，經(jīng)過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用對稱點的性質(zhì)求出點坐標，再結(jié)合圖象求解即可.【詳解】設(shè)，因為點關(guān)于直線的對稱點為，所以，的中點一定在上，且設(shè)中點為，由中點坐標公式得，將其代入中，得到，而可化為，則其斜率為，可得到，解得，，故得，我們把的斜率記為，的斜率記為，由斜率公式得，，如圖，我們得到直線斜率的取值范圍為，故B正確.故選：B7.在平面直角坐標系中，已知點，.若直線上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，可得到關(guān)于點的軌跡方程，由已知可得直線與圓由公共點，列出不等式可求出的范圍.【詳解】設(shè)，因為，，，所以，整理得，所以點P的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓因為，直線上存在點，使得，所以直線與圓相交或相切.所以，，解得.故選：D8.已知，都是定義在上的函數(shù)，對任意x，y滿足，且，則下列說法正確的是（）A. B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C. D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷AC，取可判斷B，對于D，通過觀察選項可以推斷很可能是周期函數(shù)，結(jié)合的特殊性及一些已經(jīng)證明的結(jié)論，想到令和時可構(gòu)建出兩個式子，兩式相加即可得出，進一步得出是周期函數(shù)，從而可求的值.【詳解】解：對于A，令，代入已知等式得，得，故A錯誤；對于B，取，滿足及，因為，所以的圖象不關(guān)于點對稱，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，故B錯誤；對于C，令，，代入已知等式得，

可得，結(jié)合得，，再令，代入已知等式得，

將，代入上式，得，所以函數(shù)為奇函數(shù).令，，代入已知等式，得，因為，所以，

又因為，所以，

因為，所以，故C錯誤；

對于D，分別令和，代入已知等式，得以下兩個等式：，，

兩式相加易得，所以有，

即：，

有：，

即：，所以為周期函數(shù)，且周期為3，

因為，所以，所以，，

所以，

所以，故D正確.

故選：D.【點睛】思路點睛：對于含有的抽象函數(shù)的一般解題思路是：觀察函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可利用的點，以及利用證明了的條件或者選項；抽象函數(shù)一般通過賦值法來確定、判斷某些關(guān)系，特別是有雙變量，需要雙賦值，可以得到一個或多個關(guān)系式，進而得到所需的關(guān)系，此過程中的難點是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設(shè)條件以及選項來決定.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對任意實數(shù)下列命題中正確的是（）A.“”是“”的充要條件B.“是無理數(shù)”是“都是無理數(shù)”的既不充分也不必要條件C.“”是“”的充分不必要條件D.“”是“”的必要不充分條件【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】A選項，滿足，但，，，不充分，時，，而，因此不必要，應(yīng)為既不充分也不必要條件，A錯；B選項，時，是無理數(shù)，說明不充分，，都是無理數(shù)，但是有理數(shù)，因此不必要，B正確；C選項，時，但，不充分，得，但，不必要，應(yīng)為既不充分也不必要條件，C錯；D選項，時，若，則，不充分，當時，，因此有，必要性滿足，即為必要不充分條件，D正確，故選：BD．10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則（）A.B.在區(qū)間有兩個零點C.直線是曲線的對稱軸D.在區(qū)間單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性、單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點的定義逐一判斷即可.【詳解】對于A,代入點，得,,,,故A正確;對于B,由，，所以或，所以該函數(shù)在區(qū)間有兩個零點，故B正確；對于C,代入，，故C錯誤;對于D,處于正弦函數(shù)的遞增區(qū)間內(nèi)，故D正確．故選：ABD11.兩個正方形框架的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直，動點分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，記．（）A.B.三棱錐的外接球的表面積為C.當?shù)拈L最小時，平面與平面夾角的余弦值為D.當?shù)拈L最小時，直線到平面的距離【答案】ACD【解析】【分析】如圖，把圖形補成正方體，并以原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點坐標，設(shè)，，求出平面的法向量，由與這個法向量垂直得證線面平行，平面與平面的法向量的夾角的余弦值得面面夾角的余弦值，由向量法由點面距離得線面距從而判斷ACD，由三棱錐的外接球即為正方體的外接球，求得球表面積判斷B．【詳解】選項A，如圖，把圖形補成正方體，并以原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，在平面上，直線方程為，可設(shè)，在平面上直線方程為，因為，因此得，由得，則，而平面的一個法向量是，，所以，又平面，所以平面，A正確；選項B，三棱錐的外接球即為正方體的外接球，而正方體的對角線即為其外接球的直徑，所以外接球直徑為，，外接球表面積為，B錯；選項C，，當且僅當時，取得最小值，此時分別是的中點，,，，，，設(shè)平面的一個法向量，則，取得，設(shè)平面的一個法向量是，則，取得，，所以平面與平面夾角的余弦值為，C正確；選項D，，即，平面，平面，所以平面，，因此直線到平面的距離等于，D正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：立體幾何主要考查直觀想象的科學素養(yǎng)，對學生的空間想象能力要求較高，在圖形中有較多垂直關(guān)系的情況下，可以建立空間直角坐標系，利用空間向量法研究空間位置關(guān)系，求空間的距離和角等，把空間想象轉(zhuǎn)化為數(shù)學計算，減少難度．三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.2023年6月4日神舟十五號載人飛行任務(wù)取得圓滿成功，費俊龍、鄧清明、張陸這三位航天員在空間站上工作了186天，此次神舟十五號載人飛船返回，是我國空間站轉(zhuǎn)入應(yīng)用與發(fā)展階段后的首次返回任務(wù)，掀開了中國航天空間站的歷史新篇章.．為科普航天知識，某校組織學生參與航天知識競答活動，某班8位同學成績?nèi)缦拢?，6，8，9，8，7，10，，若去掉，該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不變，則整數(shù)的值可以是______（寫出一個滿足條件的值即可）．【答案】7（8，9，10均可）【解析】【分析】按照百分位數(shù)的定義計算即可．【詳解】7位同學成績?nèi)缦拢?，7，7，8，8，9，10，其第25百分位數(shù)為第三個數(shù)據(jù)，為7，要使第25百分位數(shù)保持不變，不小于7就可以．故答案為：7（8，9，10均可）．13.圓內(nèi)有一點，為過點的弦.當弦被點平分時，則直線的方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件分析得到，由此可求，直線的點斜式方程可列出，則直線的方程可求.【詳解】圓的圓心為，當弦被點平分時，此時，所以，所以直線的方程為，即為，故答案為：.14.已知函數(shù)的值域是，若，則m的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】先判斷出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，然后作出與在上的圖象，求出在上的值域，再結(jié)合圖象可求得結(jié)果.【詳解】當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，為，作出與在上的圖象如圖所示：當，時，，此時，此時，因為的值域為，則時，必有解，即，解得，由圖知,故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)的綜合問題，考查分段函數(shù)，考查由函數(shù)的值域確定參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在一個盒子中有個白球，個紅球，甲、乙兩人輪流從盒子中隨機地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取個，取后不放回，直到個白球都被取出來后就停止取球．（1）求個白球都被甲取出的概率；（2）求將球全部取出才停止取球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別討論個白球都被甲取出的三種情況，根據(jù)概率乘法公式可求得結(jié)果；（2）首先確定最后一次取出的一定是白球，由此可得四種情況，根據(jù)概率乘法公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】若個白球都被甲取出記為事件，則事件有三種情況：①第一次甲取出白球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出白球，結(jié)束取球，其概率為；②第一次甲取出白球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出紅球，第四次乙取出紅球，第五次甲取白球，其概率為；③第一次甲取出紅球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出白球，第四次乙取出紅球，第五次甲取白球，其概率為；，即個白球都被甲取出的概率為.【小問2詳解】若將球全部取出才停止取球記為事件，則最后一次即第次取出的一定是白球．事件有四種情況：①第次和第次取出的是白球，另外次取出的是紅球，其概率為；②第次和第次取出的是白球，另外次取出的是紅球，其概率為；③第次和第次取出的是白球，另外次取出的是紅球，其概率為；④第次和第次取出的是白球，另外次取出的是紅球，其概率為；，即將球全部取出才停止取球的概率為.16.已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC＋asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若AD為BC邊上的中線，cosB＝，AD＝，求△ABC的面積．【答案】（1）A＝60°；（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理，把邊化為角，結(jié)合輔助角公式可求；(2)利用三角形內(nèi)角關(guān)系求出，結(jié)合正弦定理求出關(guān)系，利用余弦定理可求.【詳解】(1)acosC＋asinC－b－c＝0，由正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC＝sinB＋sinC，即sinAcosC＋sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC，又sinC≠0，所以化簡得sinA－cosA＝1，所以sin(A－30°)＝.在△ABC中，0°＜A＜180°，所以A－30°＝30°，得A＝60°.(2)在△ABC中，因為cosB＝，所以sinB＝.所以sinC＝sin(A＋B)＝×＋×＝.由正弦定理得，.設(shè)a＝7x，c＝5x(x＞0)，則在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB，即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，解得x＝1，所以a＝7，c＝5，故S△ABC＝acsinB＝10.【點睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，合理選擇公式是求解的關(guān)鍵.17.已知的三個頂點分別為，，，直線經(jīng)過點.（1）求外接圓的標準方程；（2）若直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程；（3）若是圓上的兩個動點，當最大時，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.（3）【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的一般式方程，代入三點坐標解方程組可得一般式方程，再配方得標準方程；（2）由弦長求法求得圓心到直線的距離，按直線斜率存在與不存在分類討論求直線方程，斜率存在時，設(shè)直線方程，由點到直線距離公式求參數(shù)值．（3）由在圓M外，當與圓相切時（E，F(xiàn)不重合），取的最大值,求出以為直徑的圓方程，與圓方程相減可得切點弦所在直線方程．【小問1詳解】設(shè)圓的方程為，，則，解得，則圓的方程為，即圓的標準方程為；【小問2詳解】由（1）得圓心，半徑，又，可知圓心到直線距離，當直線斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線距離為，成立；當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離，解得，則直線方程為，即；綜上，直線方程為或.【小問3詳解】由在圓M外，當與圓相切時（E，F(xiàn)不重合），取的最大值,此時的中點為，,所以以為直徑的圓的方程為,即①,又圓M的方程為②,①②：,所以直線的方程為.18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，【解析】【詳解】試題分析：（1）由面面垂直性質(zhì)定理知AB⊥平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知，再由線面垂直判定定理可知平面；（2）取的中點，連結(jié)，，以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值；（3）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點共線，設(shè)，根據(jù)平面，即，求的值，即可求出的值.試題解析：（1）因為平面平面，，所以平面，所以，又因為，所以平面；（2）取的中點，連結(jié)，，因為，所以.又因為平面，平面平面，所以平面.因平面，所以.因為，所以.如圖建立空間直角坐標系，由題意得，.設(shè)平面