2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽面積方法試卷一、選擇題（每題5分，共30分）已知△ABC中，BC=6，BC邊上的高為4，若AD是中線，則△ABD的面積為（）A.6B.12C.24D.30菱形ABCD中，∠BAD=60°，邊長為4，則菱形兩條對角線的乘積是（）A.16B.16√3C.32D.32√3如圖1，平行四邊形ABCD的面積為48，E、F分別是AB、AD的中點，則△CEF的面積是（）A.12B.16C.18D.24兩個相似三角形的面積比為4:9，若其中較小三角形的周長為12，則較大三角形的周長是（）A.16B.18C.24D.27如圖2，△ABC中，點D在BC上，BD:DC=2:3，E是AD中點，則S△ABE:S△ABC=（）A.1:5B.1:4C.2:5D.2:7正方形ABCD中，E為BC邊上一點，BE=2EC，連接AE交BD于F，則S△AFD:S四邊形CEFD=（）A.3:5B.4:5C.9:11D.9:16二、填空題（每題5分，共30分）已知△ABC的三邊長分別為a、b、c，對應(yīng)邊上的高分別為4、5、3，則a:b:c=______。如圖3，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于O，若S△AOD=4，S△BOC=9，則梯形ABCD的面積是______。等邊三角形邊長為2，點P是三角形內(nèi)任意一點，則P到三邊距離之和為______。如圖4，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E為CD中點，BF=2FC，則△AEF的面積是______。兩個三角形有一個角互補，且夾這個角的兩邊乘積之比為3:4，則這兩個三角形面積比是______。如圖5，△ABC面積為1，D、E、F分別是BC、AC、AB的中點，順次連接D、E、F得到△DEF，再順次連接△DEF各邊中點得到新三角形，則這個新三角形的面積是______。三、解答題（共40分）（8分）用面積法證明：三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。（10分）如圖6，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，設(shè)BD=x，四邊形AEDF面積為S。（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x為何值時，S有最大值，最大值是多少？（10分）如圖7，正方形ABCD邊長為8，E是BC中點，F(xiàn)是CD上一點，CF=2，連接AE、AF、EF。（1）求△AEF的面積；（2）若P是AE上一動點，當(dāng)點P運動到什么位置時，△PBF的面積等于15？（12分）如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，點D、E分別在AC、BC上，AD=CE=2，連接BD、AE交于點F。（1）求△ABF的面積；（2）若點M在AB上，且△MEF的面積等于△ABC面積的1/6，求AM的長。四、拓展題（共20分）（10分）如圖9，四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于O，S△AOB=4，S△COD=9，求四邊形ABCD面積的最小值。（10分）如圖10，△ABC中，點P是BC邊上任意一點，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F，連接EF。（1）求證：S△AEF是S△BPF和S△CPE的比例中項；（2）若S△ABC=12，當(dāng)BP:PC為何值時，四邊形AFPE面積最大？最大值是多少？參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題A解析：S△ABC=6×4÷2=12，AD是中線，S△ABD=12÷2=6C解析：設(shè)對角線AC=2x，BD=2y，由菱形性質(zhì)得x2+y2=16，∠BAD=60°得60°角所在三角形面積關(guān)系：(1/2)×2x×2y×sin60°=4×(√3/4)×42，解得xy=8，AC×BD=4xy=32C解析：連接AC，S△ABC=24，E是AB中點得S△BCE=12；同理S△CDF=12；F是AD中點得S△AEF=6；S△CEF=48-12-12-6=18B解析：相似比為2:3，周長比=相似比，12÷2×3=18A解析：連接CE，設(shè)S△CDE=3k，則S△BDE=2k，E是AD中點得S△ABE=S△BDE=2k，S△ABC=2k+2k+3k=7k，S△ABE:S△ABC=2:7（原答案修正）C解析：設(shè)正方形邊長3a，S△ABD=(9a2)/2，BE=2a，AD∥BC得AF:FE=AD:BE=3:2，S△AFD=(3/5)S△ABD=(27a2)/10，S四邊形CEFD=9a2-S△ABE-S△AFD=9a2-3a2-(27a2)/10=(33a2)/10，比值為9:11二、填空題15:12:20解析：設(shè)面積為S，a=2S/4=S/2，b=2S/5，c=2S/3，a:b:c=1/2:1/5:1/3=15:12:2025解析：由相似三角形性質(zhì)得AO:OC=2:3，S△AOB=S△DOC=6，總面積=4+9+6+6=25√3解析：設(shè)距離分別為h1、h2、h3，面積關(guān)系得(2h1+2h2+2h3)/2=(√3/4)×22，h1+h2+h3=√310解析：S矩形=48，S△ADE=12，S△ECF=4，S△ABF=18，S△AEF=48-12-4-18=14（原答案修正）3:4解析：S1=(1/2)absinθ，S2=(1/2)cdsin(180°-θ)=(1/2)cdsinθ，S1:S2=ab:cd=3:41/16解析：每次連接中點得到的三角形面積是原三角形的1/4，經(jīng)過兩次后面積為1×(1/4)2=1/16三、解答題證明：連接DE，設(shè)△ABC中，D、E分別是AB、AC中點∵D是AB中點，∴S△ADC=S△BDC=S△ABC/2同理S△AEB=S△CEB=S△ABC/2∴S△ADC=S△AEB，都減去S△AED得S△CDE=S△BDE∵△CDE和△BDE共底邊DE，∴點B、C到DE距離相等∴DE∥BC（4分）延長DE到F使EF=DE，連接CF，易證△ADE≌△CFE∴CF=AD=BD，四邊形BCFD是平行四邊形∴DF=BC，DE=DF/2=BC/2（8分）解：（1）作AG⊥BC于G，AB=AC=5，BC=6得BG=3，AG=4BD=x，則DC=6-x，DE⊥AB，DF⊥AC由△BDE∽△BAG得DE=(4/5)x同理DF=(4/5)(6-x)（3分）S△BDE=(1/2)×x×(4/5)x=(2/5)x2S△CDF=(1/2)×(6-x)×(4/5)(6-x)=(2/5)(6-x)2S=S△ABC-S△BDE-S△CDF=12-(2/5)[x2+(6-x)2]=12-(2/5)(2x2-12x+36)=-(4/5)x2+(24/5)x+12/5（6分）（2）S=-(4/5)(x2-6x)+12/5=-(4/5)(x-3)2+12當(dāng)x=3時，S有最大值12（10分）解：（1）建立坐標(biāo)系，A(0,8)，B(8,8)，C(8,0)，D(0,0)E(8,4)，F(xiàn)(6,0)（2分）直線AE：y=-0.5x+8直線AF：y=(4/3)x+8直線EF：y=2x-12（4分）AE=√(82+42)=4√5，點F到AE距離d=|-0.5×6-0+8|/√(0.25+1)=5/√5=√5S△AEF=(4√5×√5)/2=10（5分）（2）設(shè)P(t,-0.5t+8)，B(8,8)，F(xiàn)(6,0)S△PBF=|(8×8+6×(-0.5t+8)+t×0)-(8×6+8×t+0×(-0.5t+8))|/2=|64-3t+48-48-8t|/2=|64-11t|/2=15解得t=(64±30)/11，t=8（舍去）或t=34/11∴P(34/11,8-17/11)=(34/11,71/11)，即AP:PE=34/11:(88/11-34/11)=34:54=17:27（10分）解：（1）建立坐標(biāo)系，C(0,0)，A(0,6)，B(6,0)D(0,4)，E(2,0)（2分）直線BD：y=-(2/3)x+4直線AE：y=-3x+6（4分）交點F(6/7,24/7)（6分）S△ABF=S△ABC-S△ADF-S△BEF-S四邊形DCEF=18-(1/2×2×6/7)-(1/2×4×12/7)-(2×4-1/2×2×4/7)=18-6/7-24/7-8+4/7=10-26/7=44/7（8分）（2）設(shè)M(m,6-m)，△MEF面積=18×1/6=3S△MEF=|(6/7×0+2×(6-m)+m×24/7)-(24/7×2+0×m+(6-m)×6/7)|/2=3解得m=3±√2，AM=√(m2+(m-6)2)=√(2m2-12m+36)=√(2(9±6√2+2)-36±12√2+36)=√(22±12√2-36±12√2+36)=√(22±24√2)（此處計算復(fù)雜，可簡化為AM=3√2±2）（12分）四、拓展題解：設(shè)S△AOD=m，S△BOC=n由蝴蝶定理得m/n=(S△AOD/S△COD)=(S△AOB/S△BOC)=4/9，設(shè)m=4k，n=9k（4分）S四邊形ABCD=4+9+4k+9k=13+13k≥13+13×2=39（當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號）（8分）最小值為39（10分）（1）證明：設(shè)BP:PC=m:n，PE∥AB得△CPE∽△CBA，S△CPE=(n/(m+n))2S同理S△BPF=(m/(m+n))2S（3分）S△AEF=S四邊形AFPE/2=[S-(m2+n2)/(m+n)2S]/2=mn/(m+n)2S（5分）(S△AEF)2=m2n2/(m+n)^4S2=S△BPF·S△CPE，得證（6分）（2）設(shè)BP:PC=x:1，S四邊形AFPE=S-S△BPF-S△CPE=12[1-x2/(x+1)2-1/(x+1)2]=12[(x+1