指數(shù)和對數(shù)的運算重點考點專題練

2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.已知2'=3'=5（i,y,zH0）,且-+-=-,則（）

xyz

A.log23B.log;5C.log,5D.log56

2.已知若3、=4''且2x=ay,則a=（）

A.210g32B.log..2C.2log,3D.4log,2

3.已知a=log35,b=log23,則lg3=（）

a+b

4.DeepSeek是一款人工智能助手，其用戶滿意度評分S（。隨時間/（單位：月）的變化滿足對數(shù)型

函數(shù)模型：S（r）=?ln（r+l）+50,其中〃是常數(shù).若DeepSeek在經(jīng)過3個月后評分增長到70,則滿

意度評分S⑴為（）

A.60B.61C.62D.63

5.已知21g2=m,i（r=3,則]0廿的值為（）

A6484n2&

9333

6.三個數(shù)。=4%h=3叫c=1og“0.5的大小順序是（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.b>a>c

7.已知正實數(shù)"Ac,且若+3修=1+2”，則：）

A.b>c,2b>a+cB.b<c,2b<a-￥c

C.b>c,2t^<a+cD.b<c,2b>a-\-c

8.已知實數(shù)4〃滿足32A“+[=1,貝l」4—〃的最小值為（）

J

A.log32B.210g32C.log23D.210g23

二、多選題

9.若實數(shù)為,超滿足e*=2-21nx2=1-2々，則（）

A.0<x.<-B.x（2-Xj）=l

122

C.&<再D.9一

10.(多選)若2a+log24=，'+21og4/7,則()

A.a>ThB.a<2b

C.a>bD.a>b'

三、填空題

11.已知3。825=1,則5'+257=.

12.已知a>b>1.若logab+k)g>a=B,ab=ba,則a=_,b=_.

13.已知4“=3，iog925=/?,則2"〃=.

14.已知a〉,，b>~,(e為自然常數(shù))且〃+y=2e3,則(ea)‘川的最大值為

ee

15.已知正實數(shù)滿足log/+log/?a='|,/=肘,則4+6=.

四、解答題

16.計算：

23

(2)log23log34+(lg5)+Ig5-lg20+|lgl6-2^.

乙

,og?2

(2)(順3+log83)(log52+log92)+log.浮+7.

18.(1)計算彳-U——--r的值；

W(o.i『(『.時

(2)1g(v--y)+1g(A-+2y)=1g2+Ig.v+1gy,求二的值.

y

22

19.(1)(log37+log73)--(log73).

log?J

,ogi3-,

(2)log幣9+1lg25+lg2-log49xlog38+2+lnx/e.

參考答案

題號12345678910

答案DDAABDABABDBC

1.D

【分析】根據(jù)指對互化，結(jié)合換底公式即可求解.

【詳解】設(shè)2*=3'=5'=左('＞。)，則彳=】。822，9=1。83%,2=1。85%,

由L+，=9得7_1T+7_1T=心842+log&3=log*6=alogA5,

xyzIog2klog3左

因此6=5"，故a=log$6.

故選：D.

2.D

【分析】由^二十左右同取對數(shù)可得1地—加明將2x=a＞，代入計算即可得.

【詳解】由3*=4'＞0,故卜3'加4〉，即Jdn3=yln4,又2x=〃y,

故絲In3=y】n4,即〃=2吧=21og,4=4k)g；2.

2In3

故選：D.

3.A

【分析?】〃=log23,得：=1。82,再根據(jù)換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)即可得解.

b

【詳解】由〃=log?3,得g=log、2.

b

「1I1b

貝I」log310log35+log32〃ab+L

b

故選：A.

4.A

【分析】根據(jù)已知條件代入計算求解.

【詳解】由題可得70=〃ln(3+I)+50,a=里，則S(l)=aln(l+l)+50=60,

In2

故選：A.

5.B

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化以及指數(shù)幕的運算性質(zhì)計算即可.

【詳解】由21g2="可得q=2,又因為1。"=3,

知可得e“二L,可得9(2-司)=1,即可判斷B：由玉二'一及o<X|vg,可得!v^vl,即可判

Xy422

斷C；由B選項可得工2-百=々+'-2,進(jìn)而得0<Z+—-2<1,即可判斷D.

x2x22

【詳解】設(shè)函數(shù)/(x)=e'+x-2,顯然為增函數(shù)，

f(O)=-?O,f(3)=￡-?)(),由己知/(內(nèi))=0,故0<苦<(,故A正確；

In—|I

由?1n?［，=1-2占，有e&+ln——2=0,故％=皿一，

X

x22

則爐=,，故以2-內(nèi))=1,故B正確;

a2

由°<In"!■<<，得!<；<七<1,故工2>%,故C錯誤；

x222\Je

由/(2_%］)=］得耳=2---,則/_玉=%2+，一2,

由于?<%<1，得°<W+^■-2<；,故D正確.

2-七2

故選：ABD.

10.BC

【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到2"+log2〃<2"+log2a<2"+log2(23；再借助于

函數(shù)的單調(diào)性即可求解結(jié)論.

(詳解］由指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)可得2。+log,a=4、21og,b=2、log2b

令/⑺=2'+log2%,

則/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因為6〉0,

所以2"+log2〃v2"+lQg2〃v2"+lQg2(2/>),

所以2"+1嗎人<2"+log2a<2汕+噫(孫

即/㈤v/(a)</(?),所以

故選：BC.

u.2

4

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算公式，解對數(shù)方程，依據(jù)對數(shù)的性質(zhì)求答案.

【詳解】由題意得，^^=叫"，故5、+25一*=5啕2+25“*=5*+25“端=2.

Iogz54

9

故答案為：4.

4

12.42

【詳解】試題分析：設(shè)log/X則因為f+；=|n/=2na=〃。

因止匕a"=b"=b2,>=bh=2b=b?=b=2、a=4.

指數(shù)運算，對數(shù)運算.

在解方程1。&"log"=方時，要注意】og〃a>1,若沒注意到1嗚,。>1，方程log”"log/=：的根

有兩個，由于增根導(dǎo)致錯誤

13.6

【分析】根據(jù)指對數(shù)互化及對數(shù)運算的性質(zhì)得出外以再根據(jù)換底公式及對數(shù)運算即可求解.

【詳解】由已知得“=log43,^=log35,

"=log4310g35=1g3,.g5=log45=^log,5=log^,

lg4lg32_

...2,疝=21叫石=石.

故答案為：75.

14.e,6

［分析］ln(e6/f=(A+l)(lna+1)，令。=Ina>—1,由已知可得e，+e'=2e?,進(jìn)而可得尸+冽=2e4,

利用基本不等式可求得S+l)(c+l)W16,進(jìn)而計算可求得非飛〃”的最大值.

【詳解】\n(ea)hl=(/?+l)ln(e<z)=(/?+l)(ln?+l),令c=lna>-l,則“=/',

A4

因為a+e"=2e?即e'+e"=2/,所以ec+i+e&+i_2e>2.Q-2~之?.?而叫網(wǎng))?

所以S+l)(c+l)K16,當(dāng)且僅當(dāng)"l=c+l,即〃=e3,。=3時，等號成立，

所以ln(4川冷)=(H1)(C+1)?16,

所以『,四<e16,即(ea用的最大值是心.

故答案為:e'6.

3

15.-/0.75

4

【分析】令，=log"則由log)+log/=T可得/+；=■!，從而可求出f的值，再結(jié)合/=必求出3

即可得解.

【詳解】令i=log“。，則log”，，

由log/+logM=],得/+■!■=；,

一12

所以2產(chǎn)一5/+2=0，解得/=；或，=2,

所以1080/?=；或唾"?=2,

所以j=6或/=匕，

當(dāng).，-時'則。=6，

由/=廿，得92)"=必=小所以為=〃,

1

a=-

2a=h4

由，”從，又心。，解得

b=-

2

3

所以入“

當(dāng)/=%時，由〃"=//,得/=1J)=alb?所以。=2/九

1

a=—

由。a=田2b又解得2

b=-

4

3

所以。+5，

4

3

綜上所述，a+b==.

4

3

故答案為：—.

4

16.(1)100

(2)1

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)塞的運算法則直接化簡求解即可;

(2)根據(jù)對數(shù)運算法則直接化簡求解即可.

5Q37

=-+100+—-3+—=3+97=100.

31648

2k>gj3

(2)Iog23-log34+(lg5)+lg5-lg20+ilgl6-2=j^1~+Ig5(ig5+lg20)+21g2-3

=2+lg51gl00+21g2-3=2+2(lg5+Ig2)-3=2+2-3=l.

17.(1)-

9

（2）3

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)幕的運算求解；

（2）根據(jù)對數(shù)的定義及運算求解.

2n<.-1--「01。，rz-i-

【詳解】⑴由題意可得：（"pj竺］+o.ooUxZ=⑶1⑶+閨12

UJ［9J25|_l2；J［UJJ］（5川25

XA1_ZXA

25=93+2525=9

（2）由題意可得:

(1嗎3+logx3)(log32+Iog92)+log3與+7*2=信噫3+；］嗎311嗚2+；嘀2）+嚏31+2

5,c3,_1_51__

=-log23x-iog32--+2=---4-2=3.

18.(1)-；(2)-=2.

5V

【分析】（I）利用指數(shù)圖的運算性質(zhì)化簡可得結(jié)果;

（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡可得（工-），）（1+2），）=2.。，由題意