專題1長方體和正方體

（考點(diǎn)梳理+通關(guān)練習(xí)）

皿'【考點(diǎn)梳理】

一、長方體和正方體的表面積。

1、表面積的含義。

物體的表面積：圍成物體表面的圖形的總面積。

長方體（正方體）6個面的總面積，叫作它的表面積。

2、長方體表面積的計(jì)算方法。

長方體的表面積二長x寬x2+長x高x2+寬x高x2二（長x寬+長x高+寬x高）x2o如果

用S表示長方體的表面積，a表示長，b表示寬，h表示高，那么長方體的表面

積的計(jì)算公式可以用字母表示為s=2ab+2ah+2bh荻s=2（ab+ah+bh）。

有2個面是正方形的長方體，如果正方形的邊長用a表示，那么長方體的長寬高

可以用a,a,h表示，這個長方體的表面積可以表示為2a2+4ah。

3、正方體表面積的計(jì)算方法。

正方體的表面積二棱長x棱長x6,如果用s表示正方體的表面積，用a表示正方

體的棱長，那么正方體表面積的計(jì)算公式用字母表示為s=6a2

二、長方體和正方體的體積。

1、長方體體積計(jì)算公式。

長方體的體積二長x寬x高。長方體體積公式用字母表示為V二abh,a,b,h分別表

示長方體的長、寬、高，V表示長方體的體積。

2、正方體的體積公式。

正方體的體積二棱長X棱長X棱長，用字母公式表示為V=a3。長方體（正方體）的

體積二底面積X高，用字母表示為V=sh（s表示底面積，h表示高）。

長方體和正方體提及的統(tǒng)一公示，不僅在長方體和正方體中可以運(yùn)用，還在相應(yīng)

的規(guī)則立體圖形中也適用。

3、運(yùn)用體積公式解決實(shí)際問題。

已知長方體（正方體）物體的長、寬、高（棱長）時，可直接利用公式計(jì)算物體

的體積。

二、體積單位及其換算。

1、體積和容積。

物體所占空間的大小叫作物體的體積。

能盛裝其他的物體的物體都可以稱為容器。容器所能容納物體的體積叫作容器的

容枳。

不同物體所占空間的大小不一樣，體積也不一樣大；相同物體所占空間的大小一

樣，體積也一樣大。

2、體積單位。

計(jì)量物體的體積需要統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，這個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)就是體積單位。常用的體積單

位有立方厘米(cm3)、立方分米(dm3)、立方米(m3)。

3、容積單位。

計(jì)量容積，一般就用體積單位。計(jì)量液體的體積，通常用升或毫升做單位。1升

=1立方分米，1毫升二1立方厘米。

4、體積和容積的區(qū)別與聯(lián)系。

物體容積的計(jì)算方法與體積的計(jì)算方法相同，知道長、寬、高或棱長，即可求出

物體的容積。

5、相鄰體積單位間的進(jìn)率。

每相鄰兩個體積單位間的進(jìn)率是1000。1立方米二1000立方分米1立方分米

=1000立方厘米

由“1立方分米口升”及學(xué)過的“1立方米二1000立方分米”，可以得出“1立方

米二1000升”；由“1立方厘米二1毫升”及學(xué)過的“1立方分米二1000立方厘米”，

可以得出“1立方分米二1000毫升”。

6、高級體積單位和低級體積單位之間的換算。

單位換算的一般規(guī)律：高級單位換算成低級單位要乘它們之間的進(jìn)率，低級單位

換算成高級單位要除以它們之間的進(jìn)率。

7、體積單位換算的簡便方法。

相鄰的兩個體積單位間的進(jìn)率是1000,高級單位化成低級單位時，只要把小數(shù)

點(diǎn)想向右移動3位(相鄰)或6位(不相鄰，1立方米二立方厘米，有6個0,要

向右移動6位）即可。

鐳

卬【通關(guān)練習(xí)】

一、計(jì)算題

1.計(jì)算下圖長方體的表面積和體積。

2.計(jì)算正方體的體積。

3.如圖，求圖形的體積。（單位：厘米）

4.棱長總和是76厘米，求長方體的高和體積。

（1）58厘米米⑵產(chǎn)

分米

8厘米

9.計(jì)算下圖的表面積和體積。（單住cm）

8

10.求長方體的表面積。

/7

W_________^dm

6dm

11.計(jì)算下圖的體積。（單位:厘米）

fl

5

12.計(jì)算出下面困形的表面積和體積。

10cm

6cm

13.求出下面組合圖形的表面積和體積（單位：cm）。

14.計(jì)算下圖的表面積。（單位：厘米）

15.計(jì)算下面各圖形的體積。

⑵

6dm

16.計(jì)算下面幾何體的表面積和體積。

17.計(jì)算下面圖形的表面枳和體積。（單位：cm）

4=?14

(2)

18.鐵塊的體積是多少cm'?

19.計(jì)算下而長方體的體積。

20.計(jì)算下面圖形的表面積和體積。

5dm

21.計(jì)算下面正方體表面枳。

22.計(jì)算下面圖形的表面枳和體積（單位:

23.分別計(jì)算下面兩個圖杉的表面積和體積。（單位：cm）

4

24.計(jì)算下面圖形的表面枳和體積。(單位：dm)

25.計(jì)算下面圖形的表面枳和體積。(單位：cm)

參考答案

1.290cm2;300cm3

【分析】把長方體的長、寬、高的數(shù)據(jù)代入長方體的表面積公式：S=(aXb+aXh+bX

h)X2,和長方體的體積公式：V=aXbXh中，計(jì)算出長方體的表面積和體積。

【詳解】(12X5+12X5+5X5)X2

=(604-604-25)X2

=145X2

=290(cm2)

12X5X5

=60X5

=300(cm3)

即長方體的表面積是290cm2,體積是300cm3。

2.125cm3

【分析】根據(jù)：正方體的體積=棱長X棱長X棱長，代人數(shù)據(jù)計(jì)算即可。

【詳解】5X5X5

=25X5

=125(cm3)

3.512立方厘米

【分析】正方體的體積=棱長X棱長X棱長，把圖中數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，據(jù)此解答。

【詳解】8X8X8

=64X8

=512(立方厘米)

所以，正方體的體積是512立方厘米。

4.3厘米；117立方厘米

【分析】已知長方體的長為13厘米，寬為3厘米，棱長總和是76厘米，根據(jù)長方體的棱

長總和=(長+寬+高)X4,代入數(shù)據(jù)求出長方體的高：再根據(jù)長方體的體積公式：V=

abh,代入數(shù)據(jù)即可得解。

【詳解】76+4-13-3

=19-13-3

=3(厘米)

13X3X3=117(立方厘米)

即長方體的高是3厘米，體積是117立方厘米。

5.(1)1250平方厘米；1500立方厘米；

(2)416平方厘米：448立方厘米

【分析】(1)用橫截面的周長除以4,求出長方體的寬和高，統(tǒng)一單位后，把長方體的

長、寬、高的數(shù)據(jù)代入長方體的表面積公式：S=(aXb+aXh+bXh)X2,和長方體的

體積公式：V=aXbXh中，計(jì)算出長方體的表面積和體積。

(2)大正方體挖去一個正長方體，凹下去圖形有4個面的面積，原來塊失的是2個面的面

積，所以組合圖形的表面積相比之前大正方體的表面積增加了2個面的面積，根據(jù)正方體

的表面積公式求出大正方體的表面積，再加上2個邊長為4厘米的正方形的面積即可。組

合體的體積用大正方體的體積減去小正方體的體積即可，

【詳解】⑴204-4=5:厘米）

6分米=60厘米

表面積：60X5X2+60X5X2+5X5X2

=600+600+50

=1250（平方厘米）

體積：5X5X60=1500（立方厘米）

（2）表面積：

8X8X6+4X4X2

=384+32

=416（平方厘米）

體積：

8X8X8-4X4X4

=512-64

=448（立方厘米）

6.56平方分米

【分析】長方體有6個面，有三組相對的面完全相同：長方體6個面的面積就是長方體表

面積；前面或后面的面積=長x高，左面或右面的面積=寬乂高，上面或下面的面積=長

X寬。據(jù)此解答。

【詳解】8X44-6X4

=32+24

=56（平方分米）

即長方體下面、左面的面積和是56平方分米。

7.左圖：72dm2;36dm3

右圖：96dm2；64dm3

【分析】把長方體的長、寬、高的數(shù)據(jù)代入長方體的表面積公式：S=（aXb+aXh+bX

h）X2,和長方體的體積公式：V=aXbXh中，計(jì)算出長方體的表面積和體積。

把正方體的棱長的數(shù)據(jù)代入正方體的表面積公式：S=6Xa2,和正方體的體積公式：V=a?

中，計(jì)算出正方體的表面積和體積。

【詳解】圖1:表面積：（6X3十6X2十3X2）X2

=(18+12+6)X2

=36X2

=72(dm2)

體積:6X3X2=36(dm3)

圖2：表面積：4X4X6=96(dm2)

體積:4X4X4=64(dm3)

8.(1)384平方厘米；512立方厘米；

(2)188平方分米；120立方分米

【分析】(1)根據(jù)“正方體表面積=棱長X棱長X6、王方體體積=棱長X棱長X棱

長”，分別計(jì)算即可。

(2)根據(jù)“長方體表面積=(長X寬+長X高+寬義高)X2、長方體體積=長乂寬X

高”，分別計(jì)笄即可。

【詳解】(1)表面積：

8X8X6

=64X6

=384(平方厘米)

體積：

8X8X8

=64X8

=512(立方厘米)

所以，這個正方體的表面積是384平方厘米；它的體積是512立方厘米。

(2)表面積：

(12X2+12X5+2X5)X2

=(24+60+10)X2

=94X2

=188(平方分米)

體積：

12X2X5

=24X5

=120(立方分未)

所以，這個長方體的表面積是188平方分米，它的體積的120立方分米。

9.392cm2：504cm3

【分析】觀察圖形可知，該立體圖形的表面積等于大正方體的表面積加上小正方體兩個面

的面積，根據(jù)正方體的表面積公式：S=6a2,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可：該立體圖形的體積等于

大正方體的體積減去小正方體的體積，根據(jù)正方體的體枳公式：V=a\據(jù)此計(jì)算即可，

【詳解】8X8X64-2X2X2

=64X6+4X2

=384+8

=392(cm2)

8X8X8-2X2X2

=64X8-4X2

=512-8

=504(cm3)

10.148平方分米

【分析】長方體的表面積=(長義寬+長X高+寬X高)X2,把長6分米、寬5分米、高

4分米代入長方體表面積計(jì)算公式計(jì)算即可。

【詳解】(6X5+6X4+5X4)X2

=(30+24+20)X2

=74X2

=148(平方分米)

11.109立方厘米

【分析】觀察題意可知，立體圖形的體積=一個棱長為5厘米的正方體體積一一個長是4

厘米、寬是2厘米、高是2厘米的長方體的體積，根據(jù)長方體的體積=長乂寬X高，正方

體的體積=棱長X棱長K棱長，代入數(shù)據(jù)解答。

【詳解】5X5X5-4X2X2

=125-16

=109(立方厘米)

立體圖形的體積是109立方厘米。

12.長方體的表面積是220平方厘米；長方體的體積是200立方厘米：正方體的表面積是

216平方厘米；正方體的體積是216立方厘米

【分析】根據(jù)長方體的表面積=（長義寬+長X高+寬X高）X2,用（5X4+5X10+4X

10）X2即可求出長方體的表面積；根據(jù)長方體的體積=長乂寬X高，用5X4X10即可求

出長方體的體積：根據(jù)正方體的表面積=棱長X枝長X6,用6X6X6即可求出正方體的表

面積：根據(jù)正方體的體積=棱長X棱長X棱長，用6X6X6即可求出正方體的體積。

【詳解】（5X4+5X10+4X10）X2

=（20+50+40）X2

=110X2

=220（平方厘米）

長方體的表面積是220平方厘米；

5X4X10=200（立方厘米）

長方體的體積是200立方厘米；

6X6X6=216（平方厘米）

正方體的表面積是216平方厘米；

6X6X6=216（立方厘米）

正方體的體積是216立方厘米。

13.表面積428cm々體積365cm'

【分析】觀察圖形可知，正方體與長方體有重合的部分，把正方體的上面向下平移，補(bǔ)給

長方體的上面；這樣長方體的表面積是6個面的面積之和，而正方體只需計(jì)算4個面（前

后面和左右面）的面積；

組合圖膨的表面積=長方體的表面積+正方體4個面的面積，根據(jù)長方體的表面積=（長

X寬+長X高+寬X高）X2,正方體4個面的面積=棱長X棱長X4,代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即

可求出這個組合圖形的表面積。

組合圖形的體積=長方體的體積+正方體的體積，根據(jù)長方體的體積=長X寬X高，正方

體的體積=棱長X棱長X枝長，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求出這個組合圖形的體積。

【詳解】表面積：

（12X10+12X2+10X2）X2+5X5X4

=（120+24+20）X2+5X5X4

=164X2+25X4

=328+100

=428(cm2)

體積：

12X10X2+5X5X5

=240+125

=365(cm3)

組合圖形的表面積是428cm?,組合圖形的體積是365cm30

14.150平方厘米

【分析】在長方體上面放一個小正方體，則表面積比長方體多了4個正方形面，根據(jù)長方

體的表面積=(長X寬+長X高+寬X高)X2,正方形的面積=邊長X邊長，用(8X3+

8X3+3X3)X2+3X3X4即可求出這個立體圖形的表面積。

【詳解】(8X3+8X3+3X3)X2+3X3X4

=(24+24+9)X2+3X3X4

=57X24-3X3X4

=114+36

=150(平方厘米)

立體圖形的表面積是150平方厘米。

15.(1)24dm3

(2)56cm3

【分析】(1)根據(jù)長方體6勺體積公式：V=abh,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)該立體圖形的體積等于大正方體的體積減去小正方體的體積，根據(jù)正方體的體積公

式：V=a3,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可。

【詳解】(1)6X2.5X1,6

=15X1.6

=24(dm3)

(2)4X4X4—2X2X2

=16X4-4X2

=64—8

=56(cm3)

16.左圖：600平方厘米；900立方厘米

右圖：1220平方厘米；2445立方厘米

【分析】長方體表面積=(長X寬+長X島十寬X高)X2,長方體體積=長乂寬X高：

組合體的表面枳=完整的大長方體表面積+小長方體前后左右4個面的面積，組合體的體

積=大長方體體積+小長方體體積，據(jù)此列式計(jì)算。

17.(1)表面積：136cm',體積：96cm3

(2)表面積：150cm2,體積：125cm3

【分析】(1)(長X寬+長X高+寬X高)乂2=長方沐表面積，長X寬乂高=長方體體

積；

(2)正方體表面積=棱長X棱長X6,正方體體積=棱長X棱長X極長。

【詳解】(1)表面積：

(8X3+8X4+3X4)X2

=(244-32+12)X2

=68X2

=136(cm7)

體積：

8X3X4

=24X4

=96(cm3)

(2)表面積：

5X5X6

=25X6

=150(cm2)

體積：

5X5X5

=25X5

=125(cm3)

18.120cm3

【分析】水面上升的體積就是鐵塊的體積，長方體容器的長X寬X上升的水的高度=鐵塊

體積，據(jù)此列式計(jì)算。

【詳解】10X8X(9.5-8)

=80X1.5

=120(cm3)

19.105立方分米

【分析】根據(jù)長方體體積公式：長方體的體積=長、寬X高，代入數(shù)據(jù)解答。

【詳解】7X3X5=105(立方分米)

長方體的體積是105立方分米。

20.表面積：210dm2,體枳：200dm3；表面積：1350cm?,體積：3375cm，

【分析】(1)根據(jù)長方體的表面積公式：S=(ab+ah+bh)X2,長方體的體積公式：V

=abh,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)正方體的表面積公式：S=6a2,正方體的體積公式：V=a3,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可。

【詳解】(1)0.5m=5dm

表面積：(8X5+8X5+5X5)X2

=(40+40+25)X2

=105X2

=210(dm2)

體積：8X5X5

=40X5

=200(dm3)

(2)表面積：15X15X6

=225X6

=1350(cm2)

體積：15X15X15

=225X15

=3375(cm3)

21.384平方厘米

【分析】根據(jù)正方體的表面積=棱長X棱長X6,用8X8X6即可求出正方體的表面積。據(jù)

此解答。

【詳解】8X8X6=384(平方厘米)

正方體的表面積是384平方厘米。

22.184平方分米，160立方分米；294平方分米，343立方分米

【分析】根據(jù)長方體的表面積=(長X寬+長X高+寬X高)X2,長方體的體積=長、寬

X高，正方體的表面積=梭長X校長X6,正方體的體積=校長X棱長X棱長；代入數(shù)據(jù)計(jì)

算求解。

【詳解】(1)(8X4+8X5+4X5)X2

=(32+40+20)X2

=92X2

=184(平方分米)

8X4X5

=32X5

=160(立方分米)

長方體的表面積是184平方分米，體積是160立方分米。

(2)7X7X6

=49X6

=294(平方分米)

7X7X7

=49X7

=343(立方分米)

長方體的表面積是294平方分米，體積是343立方分米。

23.表面積為526cm2,體積為669cm,；表面積為230cnf,體積為165cm?

【分析】看圖1可知，一個長方體和正方休疊加之后，減少了兩個正方形的表面積，組合

圖形的表面積等于長方體的表面積加上正方體四個面的表面積，利用表面積公式分別代入

計(jì)算即可；疊加后體積不變，組合圖形的體積等于長方沐的體積加上正方體的體積，利用

體積公式計(jì)算即可。

看圖2可知，一個長方體和正方體疊相鄰放齊之后，減少了兩個長方體側(cè)面的表而積，組

合圖形的表面積等于正方體的表面積加上長方體上、下、前、后四個面的表面積，表面積

公式分別代入計(jì)笄即可：組合圖形的體積等于長方體的沐枳加上正方體的體積，利用體積

公式計(jì)算即可。

【詳解】圖1:

長方體表面積：11X5X4+11X11X2

=55X4+121X2

=220+242

=462(cnr)

正方體四個面的表面積：4X4X4

=16X4

=64(cm2)

圖1的表面積：462+64=526(cm2)

長方體體積：11X11X5

=121X5

=605(cm3)

正方體體積：4X4X4

=16X4

=64(cm')

圖1的體積：605+64=669(cm3)

圖2：

正方體的表面積：5X5X6

=25X6

=150(cnr)

長方體四個面的表面積：10X2X4

=20X4

=80(cm2)

圖2的表面積：150+80=230(cm2)

正方體的體積：5X5X5

=25X5

=125(cm3)

長方體的體積：10X2X2

=20X2

=40(cm3)

圖2的