6.3用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）6.3用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)設(shè)計(jì)思路本節(jié)課以“用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系”為主題，通過實(shí)際問題引入，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納，從而掌握用關(guān)系式表示變量之間關(guān)系的規(guī)律。結(jié)合北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)的教材內(nèi)容，設(shè)計(jì)了一系列貼近生活實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)，旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力，通過建立數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生能夠理解并應(yīng)用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系；提升邏輯推理能力，通過分析問題，引導(dǎo)學(xué)生逐步推導(dǎo)出變量關(guān)系的表達(dá)式；增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

-理解并掌握關(guān)系式的定義和表示方法。

-能夠根據(jù)實(shí)際問題建立合適的數(shù)學(xué)模型，并用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系。

-舉例：通過分析“正方形的面積與其邊長關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生理解面積公式\(A=a^2\)是一個(gè)關(guān)系式，其中\(zhòng)(A\)和\(a\)是變量。

2.教學(xué)難點(diǎn)

-確定合適的變量和建立正確的數(shù)學(xué)模型。

-推導(dǎo)關(guān)系式時(shí)，正確處理變量之間的關(guān)系。

-舉例：在解決“一輛汽車行駛的速度與時(shí)間、距離的關(guān)系”時(shí)，難點(diǎn)在于如何選擇速度\(v\)、時(shí)間\(t\)和距離\(s\)作為變量，并推導(dǎo)出\(s=vt\)的關(guān)系式。學(xué)生可能難以理解如何從實(shí)際問題中抽象出變量，以及如何通過邏輯推理得出關(guān)系式。教學(xué)資源-硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備（投影儀、電腦）、實(shí)物教具（如正方體、長方體模型）、計(jì)時(shí)器。

-課程平臺(tái)：北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)電子教材、在線教學(xué)平臺(tái)。

-信息化資源：數(shù)學(xué)關(guān)系式相關(guān)的教學(xué)視頻、互動(dòng)軟件、在線習(xí)題庫。

-教學(xué)手段：PPT課件、課堂提問、小組討論、實(shí)際問題分析。教學(xué)過程1.導(dǎo)入新課

-（教師）同學(xué)們，今天我們要學(xué)習(xí)的是“用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系”。在之前的課程中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何用方程、不等式來解決問題，今天我們將進(jìn)一步探索如何用關(guān)系式來表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

-（學(xué)生）好的，老師。

2.實(shí)際問題引入

-（教師）請(qǐng)大家看這個(gè)實(shí)際問題：一個(gè)長方形的面積是24平方厘米，如果長增加2厘米，面積將變?yōu)槎嗌伲?/p>

-（學(xué)生）如果長方形的面積是24平方厘米，那么長和寬的乘積是24。

-（教師）很好，那么如果長增加2厘米，我們?nèi)绾伪硎拘碌拿娣e呢？

3.建立數(shù)學(xué)模型

-（教師）首先，我們要確定變量。在這個(gè)問題中，我們可以把長設(shè)為\(l\)，寬設(shè)為\(w\)。根據(jù)長方形的面積公式\(A=lw\)，我們可以寫出\(24=lw\)。

-（學(xué)生）明白了，老師。那么如果長增加2厘米，新的長就是\(l+2\)，面積公式變?yōu)閈(A=(l+2)w\)。

4.推導(dǎo)關(guān)系式

-（教師）現(xiàn)在，我們來推導(dǎo)新的面積公式。由于原來的面積是24平方厘米，我們可以將\(w\)表示為\(w=\frac{24}{l}\)。將\(w\)代入新的面積公式，得到\(A=(l+2)\times\frac{24}{l}\)。

-（學(xué)生）我明白了，老師。這個(gè)關(guān)系式可以用來計(jì)算長增加2厘米后的新面積。

5.小組討論與應(yīng)用

-（教師）現(xiàn)在，請(qǐng)大家分成小組，嘗試用類似的方法解決以下問題：一個(gè)正方形的邊長是6厘米，如果邊長增加3厘米，它的面積會(huì)增加多少？

-（學(xué)生）（小組討論中）

6.學(xué)生展示與點(diǎn)評(píng)

-（教師）哪個(gè)小組愿意來展示他們的解題過程？

-（學(xué)生1）我們小組認(rèn)為，正方形的面積是邊長的平方，所以原來的面積是\(6^2=36\)平方厘米。新的邊長是\(6+3=9\)厘米，新的面積是\(9^2=81\)平方厘米。面積增加了\(81-36=45\)平方厘米。

-（教師）非常好，同學(xué)們。你們正確地應(yīng)用了關(guān)系式來解決問題。

7.練習(xí)與應(yīng)用

-（教師）現(xiàn)在，請(qǐng)大家完成課本上的練習(xí)題，嘗試用關(guān)系式表示不同的變量關(guān)系，并解決實(shí)際問題。

-（學(xué)生）開始獨(dú)立完成練習(xí)題。

8.課堂小結(jié)

-（教師）今天我們學(xué)習(xí)了如何用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系，并通過實(shí)際問題進(jìn)行了應(yīng)用。希望大家能夠掌握這一方法，并在今后的學(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用。

-（學(xué)生）明白了，老師。

9.布置作業(yè)

-（教師）請(qǐng)同學(xué)們課后完成以下作業(yè)：閱讀課本相關(guān)內(nèi)容，并完成練習(xí)冊(cè)中的所有題目。

-（學(xué)生）好的，老師。

10.課堂反思

-（教師）今天的課就上到這里，請(qǐng)大家思考一下，如何將今天學(xué)到的關(guān)系式應(yīng)用在日常生活中？

-（學(xué)生）我會(huì)嘗試用關(guān)系式來分析家里的水電費(fèi)，看看如何更有效地節(jié)約資源。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-（1）變量與函數(shù)的概念：介紹變量在數(shù)學(xué)中的基本概念，以及函數(shù)的定義和性質(zhì)，幫助學(xué)生更好地理解關(guān)系式的含義和應(yīng)用。

-（2）一次函數(shù)和二次函數(shù)：探討一次函數(shù)\(y=kx+b\)和二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖像和性質(zhì)，以及它們?nèi)绾伪硎咀兞恐g的關(guān)系。

-（3）比例關(guān)系和反比例關(guān)系：講解比例關(guān)系和反比例關(guān)系的定義，以及如何用關(guān)系式表示這兩種類型的變量關(guān)系。

2.拓展建議：

-（1）閱讀材料：《數(shù)學(xué)家的故事》中的相關(guān)章節(jié)，了解數(shù)學(xué)家如何通過觀察和實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系。

-（2）實(shí)踐活動(dòng)：組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，例如，通過改變長方形的長和寬，觀察面積的變化，從而加深對(duì)關(guān)系式的理解。

-（3）項(xiàng)目學(xué)習(xí)：鼓勵(lì)學(xué)生選擇一個(gè)感興趣的領(lǐng)域，如物理學(xué)、生物學(xué)或經(jīng)濟(jì)學(xué)，通過收集數(shù)據(jù)和分析，建立變量之間的關(guān)系模型。

-（4）在線資源：推薦使用教育平臺(tái)上的互動(dòng)數(shù)學(xué)工具，如幾何畫板、代數(shù)計(jì)算器等，幫助學(xué)生可視化地探索變量關(guān)系。

-（5）小組合作：引導(dǎo)學(xué)生分組進(jìn)行項(xiàng)目研究，每個(gè)小組選擇一個(gè)不同的主題，如人口增長、溫度變化等，研究變量之間的關(guān)系，并制作報(bào)告。

-（6）家庭作業(yè)拓展：布置一些開放性的問題，如“如何用關(guān)系式來預(yù)測未來的天氣變化？”或“如何用關(guān)系式來設(shè)計(jì)一個(gè)有效的節(jié)能方案？”

-（7）課外閱讀：《數(shù)學(xué)之美》等書籍，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和好奇心。

-（8）數(shù)學(xué)競賽：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，如數(shù)學(xué)奧林匹克、數(shù)學(xué)建模競賽等，通過競賽提高解決實(shí)際問題的能力。

-（9）教師指導(dǎo)：教師可以提供個(gè)性化的指導(dǎo)，幫助學(xué)生解決在拓展學(xué)習(xí)過程中遇到的問題，確保學(xué)習(xí)效果。教學(xué)評(píng)價(jià)1.課堂評(píng)價(jià)：

-（1）提問與反饋：在課堂教學(xué)中，通過提問學(xué)生，了解他們對(duì)關(guān)系式概念的理解程度。例如，提出“如何用關(guān)系式表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系？”等問題，觀察學(xué)生的回答，及時(shí)給予反饋和指導(dǎo)。

-（2）觀察學(xué)生參與度：通過觀察學(xué)生在課堂討論和小組活動(dòng)中的參與情況，評(píng)估他們對(duì)知識(shí)的興趣和掌握程度。

-（3）課堂練習(xí)：設(shè)計(jì)一些簡單的課堂練習(xí)題，讓學(xué)生現(xiàn)場完成，以檢驗(yàn)他們對(duì)關(guān)系式應(yīng)用的掌握情況。

-（4）小組合作評(píng)價(jià)：在小組討論和項(xiàng)目中，觀察學(xué)生的合作能力和解決問題的能力，給予相應(yīng)的評(píng)價(jià)和指導(dǎo)。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)：

-（1）作業(yè)批改：對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改，確保作業(yè)的準(zhǔn)確性和完整性。

-（2）錯(cuò)誤分析：分析學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤，找出普遍性問題，并在課堂上進(jìn)行講解和糾正。

-（3）個(gè)性化反饋：針對(duì)每個(gè)學(xué)生的作業(yè)，提供個(gè)性化的反饋，指出他們的優(yōu)點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方。

-（4）定期測試：定期進(jìn)行小測驗(yàn)或單元測試，評(píng)估學(xué)生對(duì)關(guān)系式概念和應(yīng)用的掌握程度。

-（5）成績記錄：記錄學(xué)生的課堂表現(xiàn)和作業(yè)成績，作為學(xué)生學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)的一部分。

3.形成性評(píng)價(jià)：

-（1）課堂互動(dòng)：通過課堂提問、小組討論等方式，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度和理解程度。

-（2）學(xué)生自評(píng)：鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，反思自己的學(xué)習(xí)過程和成果。

-（3）同伴評(píng)價(jià)：組織學(xué)生進(jìn)行同伴評(píng)價(jià)，相互學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步。

4.總結(jié)性評(píng)價(jià)：

-（1）期末考試：通過期末考試，全面評(píng)估學(xué)生對(duì)關(guān)系式概念和應(yīng)用的理解和掌握程度。

-（2）項(xiàng)目展示：要求學(xué)生在期末時(shí)展示他們的項(xiàng)目成果，評(píng)估他們的綜合應(yīng)用能力。

-（3）家長反饋：與家長溝通，了解學(xué)生在家的學(xué)習(xí)情況，共同關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)步。

5.教學(xué)評(píng)價(jià)反饋：

-（1）教學(xué)反思：教師根據(jù)教學(xué)評(píng)價(jià)結(jié)果，反思自己的教學(xué)方法和策略，不斷調(diào)整教學(xué)計(jì)劃。

-（2）學(xué)生反饋：收集學(xué)生對(duì)教學(xué)活動(dòng)的反饋，了解他們的需求和期望，改進(jìn)教學(xué)方法。

-（3）持續(xù)改進(jìn)：根據(jù)教學(xué)評(píng)價(jià)結(jié)果，持續(xù)改進(jìn)教學(xué)內(nèi)容和方法，提高教學(xué)效果。教學(xué)反思與總結(jié)這節(jié)課，咱們一起來回顧一下“用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系”。我覺得整體來說，咱們課堂氛圍不錯(cuò)，同學(xué)們都挺積極的。下面，我想和大家分享一下我的教學(xué)反思和總結(jié)。

首先，我覺得我在教學(xué)方法上做得還不錯(cuò)。我用了實(shí)際問題引入，這個(gè)方法挺有效的。同學(xué)們對(duì)長方形面積和正方形邊長增加后的面積變化特別感興趣，這樣能讓他們更好地理解關(guān)系式的意義。不過，我發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，還是有些困難。他們可能不太習(xí)慣從實(shí)際問題中抽象出變量，這一點(diǎn)需要我在今后的教學(xué)中多加注意，通過更多的實(shí)例和練習(xí)來加強(qiáng)他們的抽象思維能力。

在策略上，我采取了小組討論的方式，鼓勵(lì)同學(xué)們互相交流、合作解決問題。這看起來效果不錯(cuò)，因?yàn)楹芏嗤瑢W(xué)在討論中能夠提出新穎的想法，共同進(jìn)步。但是，我也注意到，部分同學(xué)在討論中不太發(fā)言，可能是因?yàn)樗麄儗?duì)自己的數(shù)學(xué)能力不夠自信。所以，我打算在接下來的教學(xué)中，多創(chuàng)造一些讓每個(gè)學(xué)生都能參與的機(jī)會(huì)，特別是那些不太愛發(fā)言的同學(xué)。

管理方面，我盡量保持了課堂秩序，但也有些時(shí)候，同學(xué)們的討論有點(diǎn)過于熱烈，導(dǎo)致我需要不時(shí)地提醒大家注意課堂紀(jì)律。這讓我意識(shí)到，在保持課堂活躍的同時(shí)，也要注意教學(xué)的節(jié)奏和秩序。

至于教學(xué)效果，我覺得總體上是不錯(cuò)的。大部分同學(xué)都能用關(guān)系式來表示變量之間的關(guān)系，并且在解決實(shí)際問題的時(shí)候，也能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。但是，我也發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)對(duì)關(guān)系式的應(yīng)用還比較生疏，比如在處理非線性關(guān)系時(shí)，他們可能會(huì)感到困惑。

針對(duì)這些問題，我想提出以下幾點(diǎn)改進(jìn)措施和建議：

-設(shè)計(jì)更多貼近生活的實(shí)際問題，讓學(xué)生在實(shí)際情境中感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

-加強(qiáng)對(duì)抽象思維的訓(xùn)練，通過實(shí)例和練習(xí)幫助學(xué)生更好地理解變量之間的關(guān)系。

-適當(dāng)增加課堂練習(xí)，讓學(xué)生在練習(xí)中鞏固知識(shí)，提高解題能力。

-在小組討論中，鼓勵(lì)每個(gè)學(xué)生參與，特別是那些不太發(fā)言的同學(xué)，可以通過提問、小組匯報(bào)等方式，讓他們參與到課堂討論中來。

-定期進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，提供個(gè)性化的指導(dǎo)。重點(diǎn)題型整理1.題型一：求特定變量值

-題目：一個(gè)長方形的長是\(l\)厘米，寬是\(w\)厘米，已知長方形的面積是36平方厘米，求長方形的長和寬各是多少厘米？

-答案：設(shè)長方形的長為\(l\)，寬為\(w\)，根據(jù)長方形面積公式\(A=lw\)，得到\(l\timesw=36\)。因?yàn)閈(l\)和\(w\)都是正數(shù)，所以可能的解有：\(l=6\)厘米，\(w=6\)厘米；\(l=9\)厘米，\(w=4\)厘米。

2.題型二：變量關(guān)系式建立

-題目：一輛汽車以每小時(shí)60公里的速度行駛，行駛\(t\)小時(shí)后，行駛的距離是多少公里？

-答案：設(shè)行駛的距離為\(s\)，速度為\(v\)，行駛的時(shí)間為\(t\)，根據(jù)公式\(s=vt\)，得到\(s=60t\)。

3.題型三：關(guān)系式應(yīng)用

-題目：一個(gè)正方形的對(duì)角線長度是10厘米，求正方形的邊長是多少厘米？

-答案：設(shè)正方形的邊長為\(a\)，根據(jù)勾股定理\(a^2+a^2=10^2\)，得到\(2a^2=100\)，解得\(a=5\)厘米。

4.題型四：變量關(guān)系式變形

-題目：已知關(guān)系式\(y=3x-2\)，求\(x\)和\(y\)的值，當(dāng)\(y=7\)時(shí)？

-答案：將\(y=7\)代入關(guān)系式\(y=3