16/16第一章豐富的圖形世界2展開與折疊（1）一、學(xué)情與教材分析1.學(xué)情分析“展開與折疊”是《豐富的圖形世界》中繼“生活中的立體圖形”之后的一個學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了生活中的立體圖形的有關(guān)知識，對立體圖形已有一定的認識，學(xué)生在小學(xué)學(xué)過簡單立體圖形及其側(cè)面展開圖。本節(jié)主要研究正方體的展開圖，研究過程中充滿著大量的操作實踐活動，同時，七年級學(xué)生具有好奇心、求知欲較強的特點，學(xué)生間相互評價、相互提問的積極性高，因此，參與有關(guān)展開與折疊的實踐探究活動的熱情應(yīng)該是比較高的。2.教材分析本節(jié)是從正方體紙盒的展開體入手，使學(xué)生進一步認識立體圖形與平面圖形的關(guān)系：不僅要讓學(xué)生了解正方體的十一種平面展開圖，更重要的是讓學(xué)生通過觀察、思考找出正方體十一種展開圖的特征。通過自己動手操作，經(jīng)歷和體驗圖形的變化過程，進一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念，為后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。本節(jié)分為兩個課時，第一課時通過正方體的展開圖，了解正方體展開圖的基本特征。同時讓學(xué)生經(jīng)歷展開與折疊、模型制作等活動，發(fā)展空間觀念，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。二、教學(xué)目標：1、知識與技能目標：通過充分的實踐，使學(xué)生能將一個正方體的表面沿某些棱剪開，展開成一個平面圖形；2、過程與方法目標：通過展開與折疊的實踐操作，在經(jīng)歷和體驗圖形的轉(zhuǎn)換過程中，初步建立空間概念，發(fā)展幾何直覺，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。3、情感與態(tài)度目標：體驗數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。讓學(xué)生在充分經(jīng)歷實踐、探索、交流，獲得成功的體驗，培養(yǎng)科學(xué)探索精神。三、教學(xué)重難點：重點：將一個正方體的表面沿某些棱展開，展成平面圖形；難點：鼓勵學(xué)生盡可能多地將一個正方體展成平面圖形，并用語言描述其過程。四、教法建議學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，先動手后思考，然后逐步過渡到先想象再動手，讓學(xué)生之間相互交流、合作、探究。五、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1、預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1：收集或者自制正方體的盒子（多個），并觀察描述其特征.任務(wù)2：把一個正方體沿某些棱剪開，展成一個平面圖形.你能得到哪些平面圖形？你能得到P8圖1-6的圖形嗎？若能，你是怎么剪的？任務(wù)3：先想一想，如何折疊才能得到正方體，再將你得到的展開圖折疊成正方體.復(fù)制P8圖1-7的圖形，你能將它們折疊圍成一個正方體嗎？（C類）2、預(yù)習(xí)自測一、選擇題1．下列各圖中，可以是一個正方體的平面展開圖的是（）A． B． C． D．答案：C解析：A、屬于“田”字型，不是正方體的展開圖，故選項錯誤；B、屬于“7”字型，不是正方體的展開圖，故選項錯誤；C、屬于“1+4+1”字型，是正方體的展開圖，故選項正確；D、屬于“凹”字型，不是正方體的展開圖，故選項錯誤．故選：C．思路點撥：正方體的展開圖有“1+4+1”型，“2+3+1”型、“3+3”型三種類型，其中“1”可以左右移動．注意“一”、“7”、“田”、“凹”字型的都不是正方體的展開圖．2．圖中不是正方體的展開圖的是（）A． B． C． D．答案：B解析：由四棱柱四個側(cè)面和上下兩個底面的特征可知，A，C，D選項可以拼成一個正方體，而B選項中出現(xiàn)了“田”字格，故不是正方體的展開圖．故選B．思路點撥：解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形．3．下面的四個圖形中，每個圖形均由六個相同的小正方形組成，折疊后能圍成正方體的是（）A． B． C． D．答案：C解析：A、折疊后有個側(cè)面重疊，而且上邊沒有面，不能折成正方體；B、折疊后缺少上底面，故不能折疊成一個正方體；C、可以折疊成一個正方體；D、折疊后有兩個面重合，缺少一下面，所以也不能折疊成一個正方體．故選C．思路點撥：注意正方體的展開圖中每個面都有對面．（二）課堂設(shè)計1、情境引入內(nèi)容：在生活中，我們經(jīng)常見到正方體形狀的盒子.將紙盒完全展開后形狀是怎樣的？設(shè)計意圖：通過學(xué)生熟悉的紙盒入手，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。效果：激發(fā)了學(xué)生的求知欲和好奇心，激起了學(xué)生探究活動的興趣。2、探究發(fā)現(xiàn)活動1：將一個正方體的表面沿某些棱剪開,能展成一個平面圖形嗎？你能得到哪些平面圖形？與同伴進行交流.（1）教師布置活動任務(wù)：請同學(xué)們將準備好的小正方體紙盒沿某條棱任意剪開，看看能得到哪些平面圖形?注意強調(diào)在剪開正方體棱的過程中，正方體的6個面中每個面至少有一條棱與其它面相連。（2）學(xué)生分組進行裁剪，教師巡視。并把學(xué)生剪好的平面圖形貼在黑板上(重復(fù)的不再貼)，可以得出11種不同的展開圖：（3）教師用電腦演示剪開的方法，設(shè)問：能否將得到的平面圖形分類？你是按什么規(guī)律來分類的？學(xué)生討論得出分為4類：第一類，分三排，有三種情形：中間為四個，兩側(cè)各一個，共六種；中間為三個正方形,上為兩正方形,下為一正方形，此時下一正方形可以在任何位置，共三種；中間為兩個正方形,上為兩正方形,下為兩正方形，此時只有一種情況；第二類，分兩排，此時只有一種情況。從而引導(dǎo)學(xué)生得出一個重要結(jié)論:任何正方形組合不能是田字形。（4）教師再次設(shè)問：既然都是正方體，為什么剪出的平面圖形會不一樣呢?學(xué)生觀察手中圖形，小組討論得出同一立體圖形，按不同方式展開得到的平面展開圖是不一樣的。當然，也有的表面上看似不同，但通過轉(zhuǎn)動、翻轉(zhuǎn)可得相同。（5）一個正方體要將其展開成一個平面圖形，必須沿幾條棱剪開？學(xué)生討論，由于正方體有12條棱，6個面，將其表面展成一個平面圖形，面與面之間相連的棱有5條（即未剪開的棱），因此需要剪開7條棱。設(shè)計意圖：使學(xué)生在動手操作的基礎(chǔ)上，動腦思考，仔細觀察這十一種展開圖的特點，能夠快記憶正方體的展開圖。效果：同學(xué)們積極參與活動，氣氛熱烈，通過小組討論，得到正方體展開圖的特征?；顒?：（1）把一個正方體的表面沿某些棱剪開，展成一個平面圖形，你能得到下面的平面圖形嗎？（2）下面哪一個圖形經(jīng)過折疊可以得到正方體？設(shè)計意圖：在學(xué)生掌握正方體十一中展開圖的基礎(chǔ)上，應(yīng)用正方體展開圖特點，能夠快速識別正方體的展開圖。效果：學(xué)生在掌握正方體展開圖的基礎(chǔ)上能夠快速辨別正方體的展開圖。3、知識運用（1）下列圖形可以折成一個正方體形的盒子．折好以后，與1相鄰的數(shù)是什么？相對的數(shù)是什么？先想一想，再具體折一折，看看你的想法是否正確。32321645（2）如果將正方體的表面分別標上數(shù)字1，2，3，4，5，6，使它的任意兩個相對面的數(shù)字之和為7，將它沿某些棱剪開，能展開成下列的平面圖形嗎？2514251436563142(1)(2)213213456(3)設(shè)計意圖：使學(xué)生進一步通過想象正方體特點，找出相鄰兩個面的特點。發(fā)展學(xué)生空間想象力。效果：空間想象力不太好的同學(xué)反應(yīng)較慢。4、隨堂檢測一、選擇題1．下列四個圖形中是正方體的平面展開圖的是（）A． B． C． D．答案：B解析：A、不是正方體的平面展開圖；B、是正方體的平面展開圖；C、不是正方體的平面展開圖；D、不是正方體的平面展開圖．故選：B．思路點撥：熟練掌握正方體的表面展開圖是解題的關(guān)鍵．2．下面平面圖形經(jīng)過折疊不能圍成正方體的是（）A． B． C． D．答案：B解析：根據(jù)正方體展開圖的類型，1﹣4﹣1型，2﹣3﹣1型，2﹣2﹣2型，3﹣3型，進而得出不屬于其中的類型的情況不能折成正方體，故選：B．思路點撥：本題考查了正方體展開圖，熟記展開圖常見的11種形式與不能圍成正方體的常見形式“一線不過四，田凹應(yīng)棄之”是解題的關(guān)鍵．3．一個正方體的每個面上都有一個漢字，其平面展開圖如圖所示，那么在該正方體中與“價”字相對的字是（）A．記 B．心 C．間 D．觀答案：A解析：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，“價”與“記”是相對面，“值”與“間”是相對面，“觀”與“心”是相對面，故選A．思路點撥：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答即可求得答案．4．如圖，有一個正方體紙巾盒，它的平面展開圖是（）A． B． C． D．答案：B解析：觀察圖形可知，一個正方體紙巾盒，它的平面展開圖是．故選：B．思路點撥：由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題．二、填空題5．要把一個正方體的表面展開成平面圖形，至少需要剪開條棱．答案：7解析：∵正方體有6個表面，12條棱，要展成一個平面圖形必須5條棱連接，∴要剪12﹣5=7條棱，故答案為：7．思路點撥：根據(jù)正方體的棱的條數(shù)以及展開后平面之間應(yīng)有棱連著，即可得出答案．6．下圖中是正方體的展開圖的共有個答案：2解析：由四棱柱四個側(cè)面和上下兩個底面的特征可知，從左數(shù)第2個和第5個圖形可以拼成一個正方體，而第1個圖形是田字格，第3個圖形是凹字格，第4個圖形有兩個面重復(fù)，故不是正方體的展開圖．故答案為：2．思路點撥：由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題．7．若如圖的平面展開圖折疊成正方體后，相對面上兩個數(shù)都互為相反數(shù)，則a+b=．答案：-4解析：這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“a”與面“1”相對，面“b”與面“3”相對，“2”與面“﹣2”相對．因為相對面上兩個數(shù)都互為相反數(shù)，所以a=﹣1，b=﹣3，故a+b=﹣4．思路點撥：利用正方體及其表面展開圖的特點解題．5、課堂小結(jié)請談?wù)勥@節(jié)課的收獲.（1）正方體的11種展開圖及折疊．（2）根據(jù)規(guī)律找出正方體的相對面與相鄰面．布置作業(yè)：習(xí)題1.3第1、2、4題6、分層作業(yè)基礎(chǔ)型：一、選擇題1．如圖所示圖形中，不是正方體的展開圖的是（）A． B． C． D．答案：C解析：A、B、D都是正方體的展開圖，故選項錯誤；C、帶“田”字格，由正方體的展開圖的特征可知，不是正方體的展開圖．故選：C．思路點撥：根據(jù)平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題．注意帶“田”字的不是正方體的平面展開圖．2．下列各圖經(jīng)過折疊不能圍成一個正方體的是（）A． B． C． D．答案：D解析：A、是正方體的展開圖，不符合題意；B、是正方體的展開圖，不符合題意；C、是正方體的展開圖，不符合題意；D、不是正方體的展開圖，缺少一個底面，符合題意．故選：D．思路點撥：由平面圖形的折疊及正方體的表面展開圖的特點解題．只要有“田”“凹”“一線超過四個正方形”字格的展開圖都不是正方體的表面展開圖．3．如圖是正方體的一個平面展開圖，原正方體上兩個“我”字所在面的位置關(guān)系是（）A．相對 B．相鄰 C．相隔 D．重合答案：B解析：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，“我”與“國”是相對面，“我”與“祖”是相對面，“愛”與“的”是相對面．故原正方體上兩個“我”字所在面的位置關(guān)系是相鄰．故選B．思路點撥：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．4．如圖是一個正方體紙盒的展開圖，其中的六個正方形內(nèi)分別標有數(shù)字“0”、“1”、“2”、“5”和漢字“數(shù)”、“學(xué)”，將其圍成一個正方體后，則與“5”相對的是（）A．0 B．2 C．數(shù) D．學(xué)答案：A解析：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，“數(shù)”相對的字是“1”；“學(xué)”相對的字是“2”；“5”相對的字是“0”．故選：A．思路點撥：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．二、填空題5．如圖是正方體的展開圖，則原正方體相對兩個面上的數(shù)字之和的最小值是．答案：6解析：易得2和6是相對的兩個面；3和4是相對兩個面；1和5是相對的2個面，∵2+6=8，3+4=7，1+5=6，所以原正方體相對兩個面上的數(shù)字和最小的是6．故答案為：6．思路點撥：根據(jù)相對的面相隔一個面得到相對的2個數(shù)，相加后比較即可．三、解答題6．若要使得圖中平面展開圖折疊成正方體后，相對面上的兩個數(shù)之和為5，求x+y+z的值．答案：見解析.解析：這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“z”與面“3”相對，面“y”與面“﹣2”相對，“x”與面“10”相對．則z+3=5，y+（﹣2）=5，x+10=5，解得z=2，y=7，x=﹣5．故x+y+z=4．思路點撥：注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．能力型：一、選擇題1．如圖，把左邊的圖形折起來得到正方體，則下列正方體一定正確的是（）A． B． C． D．答案：C解析：如帶圓圈圖案的面在前，那么帶直線圖案的面一定與它相鄰，所以A，B錯誤；D中，帶圓圈圖案的面應(yīng)和帶直線圖案的面平行，所以D也錯誤．故選：C．思路點撥：本題考查了展開圖折疊成幾何體．解決此類問題，要充分考慮帶有各種符號的面的特點及位置．2．小紅制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，（如圖所示），則這們禮品盒的平面展開圖是（）A． B． C． D．答案：B解析：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，觀察各選項，A、C、D都有同一個圖案是相鄰面，只有B選項的圖案符合．故選B．思路點撥：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．3．一枚正方體骰子，它的各面分別有1﹣6六個數(shù)字，請你根據(jù)圖中A、B、C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，推出“？”處的數(shù)字是（）A．1 B．2 C．3 D．6答案：D解析：∵與1相鄰的數(shù)字是2、3、4、5，∴1的對面是6，由A可知5在上面、4在前面時，右面是1，所以，左面是6，把A向右翻即可得到C，∴“？”處的數(shù)字是6．故選D．思路點撥：本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，觀察出圖形A與C的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．如圖的正方體盒子的外表面上畫有3條粗黑線，將這個正方體盒子的表面展開（外表面朝上），展開圖可能是（）A． B． C． D．答案：D解析：根據(jù)正方體的表面展開圖，兩條黑線在一列，故A錯誤，且兩條相鄰成直角，故B錯誤，正視圖的斜線方向相反，故C錯誤，只有D選項符合條件，故選D思路點撥：本題主要考查了幾何體的展開圖，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．二、填空題5．如圖，共有12個大小相同的小正方形，其中陰影部分的5個小正方形是一個正方體的表面展開圖的一部分，先從其余的小正方形中任取一個涂上陰影，則能構(gòu)成這個正方體的表面展開圖的共有種情況．答案：4解析：∵共有12個大小相同的小正方形，其中陰影部分的5個小正方形是一個正方體的表面展開圖的一部分，∴剩下7個小正方形．在其余的7個小正方形中任取一個涂上陰影，能構(gòu)成這個正方體的表面展開圖的小正方形只有第一行的四個小正方形，∴能構(gòu)成這個正方體的表面展開圖的共有4種情況．故答案為：4．思路點撥：由正方體表面展開圖的形狀可知，此正方體還缺一個上蓋，故應(yīng)在圖中四塊相連的空白正方形中選一塊解答即可．三、解答題6．將圖中剪去一個正方形，使剩余的部分恰好能折