七年級(jí)數(shù)學(xué)函數(shù)專題習(xí)題解析函數(shù)，這個(gè)聽(tīng)起來(lái)略顯抽象的概念，其實(shí)是我們描述現(xiàn)實(shí)世界中各種變化關(guān)系的重要工具。從七年級(jí)開(kāi)始接觸函數(shù)，是為后續(xù)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。很多同學(xué)在初學(xué)函數(shù)時(shí)會(huì)感到些許困惑，比如如何理解變量之間的依賴關(guān)系，如何從圖像中讀取信息，或者如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出函數(shù)關(guān)系式。本文將結(jié)合典型習(xí)題，為大家系統(tǒng)梳理函數(shù)的核心知識(shí)點(diǎn)，并通過(guò)細(xì)致的解析，幫助同學(xué)們真正理解函數(shù)的本質(zhì)，掌握解題的思路與方法。一、函數(shù)的基本認(rèn)知：從“變化”中看“關(guān)系”在進(jìn)入習(xí)題之前，我們首先要明確函數(shù)的基本概念。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量，例如x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。關(guān)鍵點(diǎn)撥：*“兩個(gè)變量”：函數(shù)討論的是兩個(gè)量之間的關(guān)系，一個(gè)量的變化會(huì)引起另一個(gè)量的變化。*“唯一確定”：這是判斷是否為函數(shù)關(guān)系的核心。給定一個(gè)x值，只能有一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)。例如，我們不能說(shuō)“一個(gè)數(shù)x的平方根y”是函數(shù)關(guān)系，因?yàn)楫?dāng)x為正數(shù)時(shí)，y有兩個(gè)值（正負(fù)）。思考熱身：下列各選項(xiàng)中，哪些表示y是x的函數(shù)關(guān)系？1.正方形的面積y與邊長(zhǎng)x。2.人的身高y與年齡x。3.汽車行駛的路程y與時(shí)間x（速度恒定）。（解析：1和3是函數(shù)關(guān)系。對(duì)于1，給定一個(gè)邊長(zhǎng)x，面積y唯一確定；對(duì)于3，速度恒定情況下，給定時(shí)間x，路程y唯一確定。2不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，因?yàn)樵谝欢挲g后身高可能不再變化，且不同的人在相同年齡身高也可能不同，即一個(gè)x可能對(duì)應(yīng)多個(gè)y。）二、一次函數(shù)的核心解析：表達(dá)式與圖像七年級(jí)階段，我們主要學(xué)習(xí)的是一次函數(shù)。其一般形式為：y=kx+b（其中k、b是常數(shù)，且k≠0）當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)就變成了正比例函數(shù)：y=kx（k是常數(shù)，且k≠0），它是一次函數(shù)的特殊形式。（一）理解一次函數(shù)表達(dá)式中的常數(shù)k和b*k（斜率）：k決定了函數(shù)圖像（一條直線）的傾斜程度和增減性。*當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大，直線從左到右上升。*當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而增大，直線從左到右下降。*|k|的值越大，直線越陡峭；|k|的值越小，直線越平緩。*b（截距）：b是當(dāng)x=0時(shí)y的值，即函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。因此，直線y=kx+b與y軸交于點(diǎn)(0,b)。（二）一次函數(shù)的圖像一次函數(shù)的圖像是一條直線。因此，畫一次函數(shù)圖像時(shí)，我們只需找到兩個(gè)點(diǎn)，再過(guò)這兩點(diǎn)畫直線即可。通常選擇：1.與y軸的交點(diǎn)：(0,b)2.與x軸的交點(diǎn)：(-b/k,0)（即令y=0，解出x）當(dāng)然，也可以選擇其他易于計(jì)算的點(diǎn)，比如當(dāng)x=1時(shí)的點(diǎn)。例題1：畫出函數(shù)y=2x-1的圖像，并說(shuō)出它經(jīng)過(guò)哪些象限。解析：要畫出y=2x-1的圖像，我們先確定兩個(gè)點(diǎn)。*與y軸交點(diǎn)：令x=0，則y=2*0-1=-1，所以交點(diǎn)為(0,-1)。*與x軸交點(diǎn)：令y=0，則0=2x-1，解得x=1/2，所以交點(diǎn)為(1/2,0)。在坐標(biāo)系中描出點(diǎn)(0,-1)和(1/2,0)，然后用直線連接起來(lái)。判斷經(jīng)過(guò)的象限：k=2>0，說(shuō)明直線從左到右上升；b=-1<0，說(shuō)明直線與y軸交于負(fù)半軸。因此，直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限。解題心得：畫一次函數(shù)圖像，“兩點(diǎn)法”是最直接有效的。判斷象限則主要看k和b的符號(hào)組合。（三）根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)解析式這類問(wèn)題的核心是求出k和b的值。通常需要知道函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，或者其他兩個(gè)獨(dú)立的條件，然后列出關(guān)于k和b的方程組，解出k和b。例題2：已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(-1,-1)，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式。解析：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b(k≠0)。因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(-1,-1)，所以當(dāng)x=1時(shí)y=3；當(dāng)x=-1時(shí)y=-1。分別代入解析式可得：對(duì)于點(diǎn)A：3=k*1+b→k+b=3...(1)對(duì)于點(diǎn)B：-1=k*(-1)+b→-k+b=-1...(2)現(xiàn)在我們有了一個(gè)關(guān)于k和b的二元一次方程組。我們可以用加減消元法來(lái)解。(1)式+(2)式：(k+b)+(-k+b)=3+(-1)化簡(jiǎn)得：2b=2→b=1將b=1代入(1)式：k+1=3→k=2所以，這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=2x+1。解題心得：這是“待定系數(shù)法”的應(yīng)用。先設(shè)出含待定系數(shù)（k,b）的解析式，再根據(jù)條件列方程（組）求解。這是求函數(shù)解析式的常用方法。三、典型習(xí)題深度剖析題型一：從函數(shù)圖像中獲取信息函數(shù)圖像是函數(shù)關(guān)系的直觀體現(xiàn)，學(xué)會(huì)讀圖、識(shí)圖是一項(xiàng)重要技能。例題3：如圖是某汽車行駛的路程y（單位：千米）與行駛時(shí)間x（單位：小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系圖像。請(qǐng)根據(jù)圖像回答下列問(wèn)題：（*此處應(yīng)有圖像：一個(gè)折線圖，第一段從(0,0)到(1,60)，第二段從(1,60)到(2,60)，第三段從(2,60)到(3,120)*）1.汽車在出發(fā)后第1小時(shí)內(nèi)的行駛速度是多少？2.汽車在哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)處于靜止（或停留）狀態(tài)？3.汽車在整個(gè)行駛過(guò)程中的平均速度是多少？解析：1.第1小時(shí)內(nèi)的行駛速度：圖像的第一段是從(0,0)到(1,60)，表示在0到1小時(shí)內(nèi)，汽車行駛了60千米。速度=路程÷時(shí)間=(60-0)÷(1-0)=60千米/小時(shí)。2.靜止（停留）狀態(tài)：靜止?fàn)顟B(tài)意味著路程y不隨時(shí)間x的變化而變化，反映在圖像上是一條平行于x軸的線段。觀察圖像，第二段從(1,60)到(2,60)，y值始終為60，x從1變化到2。所以，汽車在出發(fā)后1小時(shí)到2小時(shí)（即第2個(gè)小時(shí)）處于靜止?fàn)顟B(tài)。3.整個(gè)行駛過(guò)程的平均速度：平均速度=總路程÷總時(shí)間?？偮烦炭唇K點(diǎn)的y值，是120千米。總時(shí)間看終點(diǎn)的x值，是3小時(shí)。所以平均速度=120÷3=40千米/小時(shí)。解題心得：圖像的“橫平豎直”都有意義。橫軸代表自變量，縱軸代表因變量。圖像的斜率（傾斜程度）往往代表變化率（如速度）。水平線段表示因變量不變。題型二：一次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)y取某一特定值時(shí)，就轉(zhuǎn)化為一元一次方程；當(dāng)y與某一特定值比較大小時(shí)，就轉(zhuǎn)化為一元一次不等式。例題4：已知一次函數(shù)y=-x+4。1.當(dāng)x為何值時(shí)，y=0？2.當(dāng)x為何值時(shí)，y>0？3.當(dāng)x為何值時(shí)，y<2？解析：1.求當(dāng)y=0時(shí)x的值：令y=0，即-x+4=0解方程：-x=-4→x=4。（這也即是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。）2.求當(dāng)y>0時(shí)x的取值范圍：令y>0，即-x+4>0解不等式：-x>-4→x<4。（注意不等式兩邊同時(shí)乘以或除以負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向要改變）所以，當(dāng)x<4時(shí)，y>0。3.求當(dāng)y<2時(shí)x的取值范圍：令y<2，即-x+4<2解不等式：-x<2-4→-x<-2→x>2。所以，當(dāng)x>2時(shí)，y<2。解題心得：函數(shù)、方程、不等式是緊密聯(lián)系的。函數(shù)值等于某個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)方程的解；函數(shù)值大于或小于某個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)不等式的解集。從圖像上看，y=0是與x軸交點(diǎn)，y>0是圖像在x軸上方的部分對(duì)應(yīng)的x值，y<0是圖像在x軸下方的部分對(duì)應(yīng)的x值。題型三：結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)應(yīng)用函數(shù)來(lái)源于生活，也應(yīng)用于生活。這類問(wèn)題需要我們從實(shí)際情境中抽象出變量之間的關(guān)系，建立函數(shù)模型。例題5：小明家與學(xué)校相距2千米。某天早上，小明以勻速步行去上學(xué)，走了5分鐘后，發(fā)現(xiàn)快要遲到了，于是加快速度勻速跑步前進(jìn)，最終準(zhǔn)時(shí)到校。已知小明步行的速度是每分鐘80米，跑步的速度是每分鐘150米。（1）試寫出小明離家的距離y（米）與出發(fā)時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）。（2）如果小明從家到學(xué)?？偣灿昧?8分鐘，那么他跑步用了多少分鐘？解析：（1）分析過(guò)程：小明的行程分為兩段：步行和跑步。*步行階段：速度80米/分鐘，走了5分鐘。步行的路程=80米/分鐘×5分鐘=400米。所以，在x的前5分鐘（0≤x≤5），y=80x。*跑步階段：步行5分鐘后開(kāi)始跑步。此時(shí)已經(jīng)離家400米，剩余路程為2000-400=1600米（注意單位換算，2千米=2000米）。跑步速度150米/分鐘。設(shè)跑步時(shí)間為t分鐘，則t=x-5(x>5)。跑步的路程=150t=150(x-5)。所以，跑步階段離家的總距離y=步行路程+跑步路程=400+150(x-5)?；?jiǎn)一下：y=400+150x-750=150x-350。綜上，函數(shù)關(guān)系式為分段函數(shù)：y=80x(當(dāng)0≤x≤5時(shí))y=150x-350(當(dāng)x>5時(shí))（題目說(shuō)不要求寫x取值范圍，但我們心里要清楚。）（2）求跑步時(shí)間：已知總用時(shí)x=18分鐘，顯然超過(guò)了5分鐘，所以使用跑步階段的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=150x-350。小明到校時(shí)，y=2000米（家到學(xué)校的距離）。所以：2000=150×18-350我們可以驗(yàn)證一下右邊：150×18=2700，2700-350=2350。咦？2350不等于2000。這說(shuō)明什么？（此處故意設(shè)置一個(gè)“陷阱”以引導(dǎo)思考，實(shí)際解題時(shí)應(yīng)直接列方程）哦，不對(duì)，正確的做法是：因?yàn)榭傆脮r(shí)是18分鐘，設(shè)跑步用了t分鐘，則步行用了(18-t)分鐘。但題目第一句話說(shuō)“走了5分鐘后...于是加快速度...”，所以這里的步行時(shí)間就是5分鐘，那么跑步時(shí)間t=18-5=13分鐘？但代入計(jì)算總路程是400+150×13=400+1950=2350米，超過(guò)了2000米。這說(shuō)明題目中的“5分鐘”是他計(jì)劃的步行時(shí)間，還是實(shí)際的步行時(shí)間？仔細(xì)審題：“走了5分鐘后，發(fā)現(xiàn)快要遲到了，于是加快速度...”，這5分鐘是實(shí)際步行時(shí)間。那么問(wèn)題出在哪里？哦，題目第（2）問(wèn)是“如果小明從家到學(xué)?？偣灿昧?8分鐘”，這意味著步行5分鐘，跑步用了（18-5）分鐘，但這樣總路程會(huì)超過(guò)2000米，說(shuō)明在這種情況下，他可能跑步并沒(méi)有跑完全程1600米，或者題目中的“5分鐘”是一個(gè)干擾信息？不，題目描述是連貫的。正確解法：設(shè)跑步用了t分鐘，則總用時(shí)x=5+t=18分鐘，所以t=18-5=13分鐘。但根據(jù)這個(gè)時(shí)間計(jì)算的路程是400+150×13=2350米>2000米。這說(shuō)明我們對(duì)第（1）問(wèn)的理解可能過(guò)于機(jī)械，或者第（2）問(wèn)是一個(gè)獨(dú)立的假設(shè)，即小明可能沒(méi)有先步行5分鐘，而是直接根據(jù)情況步行和跑步，總共用了18分鐘？重新審視題目第（2）問(wèn)：“如果小明從家到學(xué)?？偣灿昧?8分鐘，那么他跑步用了多少分鐘？”這里應(yīng)該理解為，在“某天早上”的那個(gè)情境下，即他確實(shí)先走了5分鐘，然后跑步，總共用了18分鐘。那么他跑步的路程就是2000-400=1600米。設(shè)跑步用了t分鐘，則：150t=1600→t=1600/150=32/3≈10.67分鐘。那么總用時(shí)就是5+32/3=47/3≈15.67分鐘，這與“總共用了18分鐘”矛盾。啊，我明白了，題目第（1）問(wèn)是基于“某天早上”他“走了5分鐘后...跑步前進(jìn)，最終準(zhǔn)時(shí)到校”這個(gè)完整情境，而第（2）問(wèn)是一個(gè)“如果”的假設(shè)情境，即假設(shè)他還是采用“先走一段，再跑一段”的方式，但總用時(shí)是18分鐘，求跑步時(shí)間。此時(shí)，步行時(shí)間不一定是5分鐘了。這樣就合理了。那我們重新解第（2）問(wèn)：設(shè)跑步用了t分鐘，則步行用了(18-t)分鐘。步行路程=80(18-t)米，跑步路程=150t米。總路程：80