高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.從甲、乙、丙、丁四位家長中選三人對某小學(xué)附近的三個路口維護交通，每個路口安排一人，則不同的安排方法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】從甲、乙、丙、丁四位家長中選三人對某小學(xué)附近的三個路口維護交通，每個路口安排一人，第一個路口有種選擇，第二個路口有種選擇，最后一個路口有種選擇，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的安排方法種數(shù)為種.故選：B.2.已知點，直線的傾斜角為，若，則的值為（）A.3 B.－1 C.3或－1 D.3或1【答案】C【解析】由得，或．當時，，解得；當時，，解得．綜上，的值為3或．故選：C.3.已知隨機變量服從正態(tài)分布，則（）A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84【答案】C【解析】由題意得，由正態(tài)曲線的對稱性知，所以．故選：C.4.已知空間中三個點，則直線與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，記直線與的夾角為，則．故選：D.5.已知事件相互獨立，與分別為的對立事件，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，因為事件相互獨立，所以，所以．故選：D.6.如圖，在四面體中，設(shè)，為重心，為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖，連接，連接并延長交于點，則為中點，且，∴.∵為的中點，∴，∴．故選：A.7.過拋物線的焦點的直線交于兩點，其中點在第一象限，且，則（）A. B.6 C. D.8【答案】A【解析】易知的斜率存在，設(shè)，則，得，因為點在上，所以，又點在第一象限，故，所以，又，所以，所以直線的方程為，即．聯(lián)立，得，則，由拋物線定義，得．故選：A.8.盒中裝有3個黃球和1個紅球，現(xiàn)從盒中每次隨機取出1個球且不放回，直至取出紅球．設(shè)在此過程中，取到黃球的個數(shù)為，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】由題意得，的所有可能取值為，，，所以的期望為，所以．故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在（是常數(shù)）的展開式中，各項的二項式系數(shù)中只有第4項最大，且的系數(shù)為160，則（）A. B.C.展開式中的常數(shù)項為240 D.各項系數(shù)的和為【答案】AC【解析】對于A，因為展開式中二項式系數(shù)只有第4項最大，所以展開式共有7項，則，故A正確；對于B，展開式的通項，令，得，因為的系數(shù)為160，所以，解得，故B錯誤；對于C，令，得，所以常數(shù)項為，故C正確；對于D，在中，令，得的展開式中各項系數(shù)的和為，故D錯誤．故選：AC.10.已知是異于點的動點，且滿足（表示斜率），動點的軌跡加上點構(gòu)成曲線，則下列說法正確的是（）A.當時，曲線的離心率為B.當時，曲線有漸近線，且漸近線方程為C.當時，直線被曲線所截得的弦長為D.當時，設(shè)點，過原點的直線與曲線交于兩點，則面積的最大值為【答案】ABD【解析】設(shè)Px,y，則．對于A和B，由得曲線方程為：，故曲線為雙曲線，其中，∴雙曲線離心率為，漸近線方程為，即，故A，B正確.對于C，由得曲線方程為：，故曲線表示圓，其中圓心為，半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線被曲線所截得的弦長為，故C錯誤.對于D，由得曲線方程為：，故曲線表示橢圓，上、下頂點坐標分別為.∵（是原點），，，當直線與軸重合時取最大值2，∴面積的最大值為，故D正確．故選：ABD.11.在棱長為2的正方體中，分別為棱的中點，為棱上任意一點，則（）A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.過三點作正方體的截面，所得截面的面積為D.點到平面的距離為【答案】BCD【解析】如圖，以所在的直線分別為軸、軸，軸建立空間直角坐標系，則．對于A，設(shè)，則，因為，所以與不一定垂直，故A錯誤.對于B，.設(shè)面的一個法向量為，則，令，則，故，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故B正確.對于C，由得，故，連接，可得過三點的截面為四邊形，其中，故四邊形為等腰梯形，因為等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，故C正確.對于D，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，所以點到平面的距離，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，則________．【答案】2【解析】由題意得，且，解得，∵，∴或，解得（舍去）或．13.已知雙曲線的左，右焦點分別為，點在上，，且的面積為，則的離心率為________．【答案】【解析】如圖，在中，因為，所以由余弦定理得，可化為．因為的面積為，所以，得①，又由雙曲線的定義知②，把①②代入（）式，化簡整理可得，所以離心率．14.某人在次射擊中擊中目標的次數(shù)為，且，已知，則當取最大值時，________．【答案】7【解析】依題意，得解得，故，所以．當最大時，即即整理得解得，而，因此．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知圓過點，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若直線過點且與圓相切，求的方程．解：（1）因為點，所以線段的中點為，所以的中垂線方程為．聯(lián)立得，故圓的圓心為點，又圓的半徑，所以所求圓的方程為．（2）由題意及（1）知，圓的圓心為，半徑為，直線過點．①若的斜率不存在，則的方程為，此時，圓心到的距離為3，符合題意；②若的斜率存在，設(shè)的方程為，即，因為與圓相切，所以，解得，此時，的方程為．綜上，的方程為或．16.某工廠有甲，乙兩個車間加工同一種零件，已知加工該零件需要兩道工序，每道工序的加工結(jié)果相互獨立，且只有每道加工工序都合格，該產(chǎn)品才能出廠進行銷售．已知甲車間每道加工工序合格的概率均為0.9；乙車間第一，二道加工工序合格的概率分別為．（1）對6個來自甲車間，4個來自乙車間的零件進行質(zhì)檢，若從這10個零件中隨機抽取1個，求該零件可以出廠銷售的概率．（2）甲車間加工的每個零件，銷售后可以盈利100元，若不能銷售則虧損30元，乙車間加工的每個零件，銷售后可以盈利100元，若不能銷售則虧損20元．由于市場對這種零件需求旺盛，該工廠計劃擴建其中一個車間以增加產(chǎn)量，若以每個零件獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，請判斷該工廠應(yīng)擴建哪個車間．解：（1）用事件表示“抽取的零件來自甲車間”，用事件表示“抽取的零件來自乙車間”，用事件表示“抽取的零件可以出廠銷售”，則，．．（2）甲車間加工的每個零件可以出廠銷售的概率為0.81，甲車間加工的每個零件獲利的期望為（元），乙車間加工的每個零件可以出廠銷售的概率為0.76，乙車間加工的每個零件獲利的期望為（元），因為，所以應(yīng)擴建甲車間．17.某學(xué)校組織數(shù)學(xué)競賽活動，準備了兩組題目分別放在A，B兩個箱子中．A箱中有4道代數(shù)題和2道幾何題，B箱中有3道代數(shù)題和3道幾何題．參賽選手先在兩個箱子中任選一個箱子，然后從選中的箱子中依次抽取2道題（不放回）作答．（1）若甲同學(xué)選擇A箱，求甲第一次抽到代數(shù)題且第二次抽到幾何題的概率；（2）若乙同學(xué)選擇A箱，答題結(jié)束后工作人員失誤將乙抽取的題目放回了B箱，接著丙同學(xué)選擇從B箱抽取題目，求丙抽取的2道題中至少有一道代數(shù)題的概率．解：（1）設(shè)事件表示“甲第一次從A箱中抽到代數(shù)題”，事件表示“甲第二次從A箱中抽到幾何題”，則．在發(fā)生的條件下，A箱中還剩下3道代數(shù)題和2道幾何題，所以．故．（2）設(shè)事件為“丙從B箱中抽取的2道題中至少有一道代數(shù)題”，事件為“乙從A箱中取出2道代數(shù)題”，事件為“乙從A箱中取出1道代數(shù)題和1道幾何題”，事件為“乙從A箱中取出2道幾何題”，則．當發(fā)生時，B箱中有5道代數(shù)題和3道幾何題，；當發(fā)生時，B箱中有4道代數(shù)題和4道幾何題，；當發(fā)生時，B箱中有3道代數(shù)題和5道幾何題，．由全概率公式可得．18.如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，且，為的中點．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值；（3）若點分別是直線上的動點，求的最小值．（1）證明：如圖，取的中點，連接．因為為的中點，為的中點，所以．因為底面，所以平面，又平面，所以．因為底面是矩形，且，所以，又，所以，所以，所以，所以．又，平面，所以平面．又平面，所以．（2）解：如圖，以為原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則．由題意知平面的一個法向量為．易知，設(shè)平面的法向量為，則即取，所以，所以二面角的正弦值為．（3）解：因為點分別是直線上的動點，設(shè)，則，所以．設(shè)，則，所以，則，所以當時，．19.已知平面內(nèi)的動點到點的距離和到定直線的距離的比為，動點的軌跡為曲線．（1）求的方程．（2）過點的直線與交于不同的兩點，點與點關(guān)于軸對稱．（i）證明：直線過軸上一定點；（ii）記（i）中的直線所過的定點為，若在直線上的射影分別為（為不同的兩點），記的面積分別為，求的取值范圍．（1）解：依題意得，化簡整理得，所以的方程為．（2）（i）證明：當?shù)男甭什粸?時，設(shè)的方程為，則．由得，由，得，則．直線的方程為，令，得，即直線過定點．當?shù)男甭蕿?時，直線的方程為，也過點．綜上，直線過定點．（ii）解：方法一：由題意知的斜率存在且不為，如圖．由（i）知直線的方程為，，，，由（i）知且，可知的符號相同，根據(jù)對稱性，只需考慮的情形．因為又，所以，所以，所以，所以，故的取值范圍為．方法二：，由（i）知，所以．下同方法一．河南省南陽市六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.從甲、乙、丙、丁四位家長中選三人對某小學(xué)附近的三個路口維護交通，每個路口安排一人，則不同的安排方法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】從甲、乙、丙、丁四位家長中選三人對某小學(xué)附近的三個路口維護交通，每個路口安排一人，第一個路口有種選擇，第二個路口有種選擇，最后一個路口有種選擇，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的安排方法種數(shù)為種.故選：B.2.已知點，直線的傾斜角為，若，則的值為（）A.3 B.－1 C.3或－1 D.3或1【答案】C【解析】由得，或．當時，，解得；當時，，解得．綜上，的值為3或．故選：C.3.已知隨機變量服從正態(tài)分布，則（）A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84【答案】C【解析】由題意得，由正態(tài)曲線的對稱性知，所以．故選：C.4.已知空間中三個點，則直線與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，記直線與的夾角為，則．故選：D.5.已知事件相互獨立，與分別為的對立事件，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，因為事件相互獨立，所以，所以．故選：D.6.如圖，在四面體中，設(shè)，為重心，為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖，連接，連接并延長交于點，則為中點，且，∴.∵為的中點，∴，∴．故選：A.7.過拋物線的焦點的直線交于兩點，其中點在第一象限，且，則（）A. B.6 C. D.8【答案】A【解析】易知的斜率存在，設(shè)，則，得，因為點在上，所以，又點在第一象限，故，所以，又，所以，所以直線的方程為，即．聯(lián)立，得，則，由拋物線定義，得．故選：A.8.盒中裝有3個黃球和1個紅球，現(xiàn)從盒中每次隨機取出1個球且不放回，直至取出紅球．設(shè)在此過程中，取到黃球的個數(shù)為，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】由題意得，的所有可能取值為，，，所以的期望為，所以．故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在（是常數(shù)）的展開式中，各項的二項式系數(shù)中只有第4項最大，且的系數(shù)為160，則（）A. B.C.展開式中的常數(shù)項為240 D.各項系數(shù)的和為【答案】AC【解析】對于A，因為展開式中二項式系數(shù)只有第4項最大，所以展開式共有7項，則，故A正確；對于B，展開式的通項，令，得，因為的系數(shù)為160，所以，解得，故B錯誤；對于C，令，得，所以常數(shù)項為，故C正確；對于D，在中，令，得的展開式中各項系數(shù)的和為，故D錯誤．故選：AC.10.已知是異于點的動點，且滿足（表示斜率），動點的軌跡加上點構(gòu)成曲線，則下列說法正確的是（）A.當時，曲線的離心率為B.當時，曲線有漸近線，且漸近線方程為C.當時，直線被曲線所截得的弦長為D.當時，設(shè)點，過原點的直線與曲線交于兩點，則面積的最大值為【答案】ABD【解析】設(shè)Px,y，則．對于A和B，由得曲線方程為：，故曲線為雙曲線，其中，∴雙曲線離心率為，漸近線方程為，即，故A，B正確.對于C，由得曲線方程為：，故曲線表示圓，其中圓心為，半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線被曲線所截得的弦長為，故C錯誤.對于D，由得曲線方程為：，故曲線表示橢圓，上、下頂點坐標分別為.∵（是原點），，，當直線與軸重合時取最大值2，∴面積的最大值為，故D正確．故選：ABD.11.在棱長為2的正方體中，分別為棱的中點，為棱上任意一點，則（）A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.過三點作正方體的截面，所得截面的面積為D.點到平面的距離為【答案】BCD【解析】如圖，以所在的直線分別為軸、軸，軸建立空間直角坐標系，則．對于A，設(shè)，則，因為，所以與不一定垂直，故A錯誤.對于B，.設(shè)面的一個法向量為，則，令，則，故，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故B正確.對于C，由得，故，連接，可得過三點的截面為四邊形，其中，故四邊形為等腰梯形，因為等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，故C正確.對于D，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，所以點到平面的距離，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，則________．【答案】2【解析】由題意得，且，解得，∵，∴或，解得（舍去）或．13.已知雙曲線的左，右焦點分別為，點在上，，且的面積為，則的離心率為________．【答案】【解析】如圖，在中，因為，所以由余弦定理得，可化為．因為的面積為，所以，得①，又由雙曲線的定義知②，把①②代入（）式，化簡整理可得，所以離心率．14.某人在次射擊中擊中目標的次數(shù)為，且，已知，則當取最大值時，________．【答案】7【解析】依題意，得解得，故，所以．當最大時，即即整理得解得，而，因此．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知圓過點，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若直線過點且與圓相切，求的方程．解：（1）因為點，所以線段的中點為，所以的中垂線方程為．聯(lián)立得，故圓的圓心為點，又圓的半徑，所以所求圓的方程為．（2）由題意及（1）知，圓的圓心為，半徑為，直線過點．①若的斜率不存在，則的方程為，此時，圓心到的距離為3，符合題意；②若的斜率存在，設(shè)的方程為，即，因為與圓相切，所以，解得，此時，的方程為．綜上，的方程為或．16.某工廠有甲，乙兩個車間加工同一種零件，已知加工該零件需要兩道工序，每道工序的加工結(jié)果相互獨立，且只有每道加工工序都合格，該產(chǎn)品才能出廠進行銷售．已知甲車間每道加工工序合格的概率均為0.9；乙車間第一，二道加工工序合格的概率分別為．（1）對6個來自甲車間，4個來自乙車間的零件進行質(zhì)檢，若從這10個零件中隨機抽取1個，求該零件可以出廠銷售的概率．（2）甲車間加工的每個零件，銷售后可以盈利100元，若不能銷售則虧損30元，乙車間加工的每個零件，銷售后可以盈利100元，若不能銷售則虧損20元．由于市場對這種零件需求旺盛，該工廠計劃擴建其中一個車間以增加產(chǎn)量，若以每個零件獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，請判斷該工廠應(yīng)擴建哪個車間．解：（1）用事件表示“抽取的零件來自甲車間”，用事件表示“抽取的零件來自乙車間”，用事件表示“抽取的零件可以出廠銷售”，則，．．（2）甲車間加工的每個零件可以出廠銷售的概率為0.81，甲車間加工的每個零件獲利的期望為（元），乙車間加工的每個零件可以出廠銷售的概率為0.76，乙車間加工的每個零件獲利的期望為（元），因為，所以應(yīng)擴建甲車間．17.某學(xué)校組織數(shù)學(xué)競賽活動，準備了兩組題目分別放在A，B兩個箱子中．A箱中有4道代數(shù)題和2道幾何題，B箱中有3道代數(shù)題和3道幾何題．參賽選手先在兩個箱子中任選一個箱子，然后從選中的箱子中依次抽取2道題（不放回）作答．（1）若甲同學(xué)選擇A箱，求甲第一次抽到代數(shù)題且第二次抽到幾何題的概率；（2）若乙同學(xué)選擇A箱，答題結(jié)束后工作人員失誤將乙抽取的題目放回了B箱，接著丙同學(xué)選擇從B箱抽取題目，求丙抽取的2道題中至少有一道代數(shù)題的概率．解：（1）設(shè)事件表示“甲第一次從A箱中抽到代數(shù)題”，事件表示“甲第二次從A箱中抽到幾何題”，則．在發(fā)生的條件下，A箱中還剩下3道代數(shù)題和2道幾何題，所以．故．（2）設(shè)事件為