高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市龍崗區(qū)2024-2025學年高二上學期期末質量監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設直線的傾斜角為，由直線的方向向量可知直線的斜率，所以.故選：D.2.已知向量，，且，那么（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】由向量，，且，得，則，則.故選：C.3.若雙曲線的焦距為4，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】雙曲線焦距為4，可得m+1＝4，所以m＝3，由題設，雙曲線的焦點在x軸上，故漸近線方程為：所以雙曲線的漸近線方程為：yx．故選：A．4.數(shù)列滿足，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因為數(shù)列滿足，所以.故選：C.5.直線與圓的公共點個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.不確定【答案】C【解析】因為直線可化為，所以直線過定點，而，所以該定點在圓的內(nèi)部，故直線與圓有2個公共點.故選：C.6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，因為在區(qū)間上單調遞減，所以，即，則在上恒成立，因為在上單調遞減，所以，故.故選：A.7.已知向量與平面垂直,且經(jīng)過點，則點到的距離為()A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，又與平面垂直，則是平面的一個法向量，所以到的距離為.故選：B.8.設為等比數(shù)列，則“對于任意”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】充分性：設等比數(shù)列的公比為，若，情形一：當時，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞增數(shù)列；情形二：當，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞增數(shù)列；必要性：反之，若為遞增數(shù)列，則，所以“對于任意的”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前項和為，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，由等差數(shù)列是遞增數(shù)列，則該等差數(shù)列的公差，由，則，，由，則，故A正確；對于B，由A可知，則，故B正確；對于C，由，則，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在x=0處的切線方程為B.C.函數(shù)只存在一個極小值，無極大值D.有唯一零點【答案】ABD【解析】，對于A，因為，，所以在處的切線方程為：，故A正確；對于B，，因為，所以，故B正確；對于C，令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減，上單調遞增，，所以，即，所以函數(shù)在R上單調遞增，所以函數(shù)無極值，故C錯誤；對于D，因為函數(shù)在R上單調遞增，且，，所以函數(shù)有唯一零點，故D正確．故選：ABD．11.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l與C交于M，N兩點，P為的中點，則下列說法正確的是（）A.的最小值為4 B.的最大值為4C.當時， D.當時，【答案】AD【解析】由拋物線可得焦點，準線為，對于A，當直線l的斜率不存在時，方程為，代入拋物線可得所以此時；當直線l的斜率存在時，假設直線的方程為，設將直線方程代入拋物線可得，則，所以，綜上所述，的最小值為4，故A正確；對于B，當直線l的斜率存在時，，故B錯誤；對于C，因為P為的中點，，所以，所以，則，所以，將代入可得，解得或，當時，易得不滿足題意；當時，，所以，故C錯誤；對于D，由易得斜率存在，由P為的中點可得即，所以，解得，所以，故D正確；故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為________．【答案】【解析】由題設，則，又，所以點處的切線方程為，即.13.已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：的右焦點，若C上存在一點P，使得為等邊三角形，則橢圓C的離心率為______.【答案】【解析】取橢圓的左焦點，連結，由為等邊三角形，則，可知為直角三角形，且，設，則，，可得，則，所以橢圓的離心率是.14.已知直四棱柱，底面是邊長為1的菱形，且，點為的中點，點是棱上的動點.則直線與直線所成角的正切值的最小值為___________.【答案】【解析】連接，因為底面是邊長為1的菱形，且，所以，故為等邊三角形，取的中點，連接，則⊥，，則⊥，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，設，，故，設直線與直線所成角為，則，令，則，當，即，時，取得最大值，最大值為，此時，為最小值，由于在上單調遞增，故此時為最小值，又在上單調遞增，故所成角的正切值的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓與圓.（1）若圓與圓相內(nèi)切，求的值；（2）在（1）的條件下，直線被圓截得的弦長為，求實數(shù)的值.解：（1），，，，，，，，圓與圓相內(nèi)切，，，.（2）由（1）得，圓的方程為，，，故圓心到直線的距離，.16.在正三棱柱中，，E為的中點．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角余弦值．（1）證明：連接，與交于點F，連接，則F為的中點．因為E為的中點，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點D，連接，則，．又平面，所以底面，底面，所以，則可以E為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，，，，，所以，，，．設平面的法向量為，則，取，即．設平面的法向量為，則，取，即，則，即平面與平面夾角的余弦值為．17.已知數(shù)列的前項和為，且（）．（1）求的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．解：（1）令，得因為（），所以（，），兩式相減得（，），即．所以（，），所以，即，所以（，），又，符合上式，所以（）．（2）由（1），所以．18.已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上，且垂直于軸．（1）求橢圓的方程；（2）直線斜率存在，交橢圓于兩點，三點不共線，且直線和直線關于對稱．（?。┳C明：直線過定點；（ⅱ）求面積的最大值．（1）解：點在橢圓上，且垂直于軸，則有F1,0設橢圓的焦距為，則，點代入橢圓方程，有，解得，則，所以橢圓的方程為.（2）（ⅰ）解：設直線l的方程為，由，消去y，整理得，因為l交橢圓C于兩點，所以，設Ax1,因為直線和直線關于對稱，所以k所以所以解得.所以直線l的方程為，所以直線l過定點.（ⅱ）證明：設直線l的方程為，由，消去，整理得，因為l交橢圓C于兩點，所以，解得，，所以，所以令則，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為.19.已知函數(shù)為的導函數(shù)，記，其中為常數(shù).（1）討論的單調性；（2）若函數(shù)有兩個極值點，①求的取值范圍；②求證：.（1）解：定義域為.，，，當時，恒成立，在上單調遞增，當時，令，則，解得，令，則，解得，單調遞增，在單調遞減.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減.（2）①解：由（1）知，時，最多一個根，不符合題意，故，函數(shù)有兩個極值點，在0,+∞有兩個不同零點的必要條件是，解得，當，在單調遞增，在單調遞減，，由零點存在性定理得：在，各有1個零點，的取值范圍是.②證明：函數(shù)有兩個極值點，①②①②得：，要證，即證，即證，即證，令，則，令，則，在上單調遞增，，在上成立，，得證.廣東省深圳市龍崗區(qū)2024-2025學年高二上學期期末質量監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設直線的傾斜角為，由直線的方向向量可知直線的斜率，所以.故選：D.2.已知向量，，且，那么（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】由向量，，且，得，則，則.故選：C.3.若雙曲線的焦距為4，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】雙曲線焦距為4，可得m+1＝4，所以m＝3，由題設，雙曲線的焦點在x軸上，故漸近線方程為：所以雙曲線的漸近線方程為：yx．故選：A．4.數(shù)列滿足，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因為數(shù)列滿足，所以.故選：C.5.直線與圓的公共點個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.不確定【答案】C【解析】因為直線可化為，所以直線過定點，而，所以該定點在圓的內(nèi)部，故直線與圓有2個公共點.故選：C.6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，因為在區(qū)間上單調遞減，所以，即，則在上恒成立，因為在上單調遞減，所以，故.故選：A.7.已知向量與平面垂直,且經(jīng)過點，則點到的距離為()A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，又與平面垂直，則是平面的一個法向量，所以到的距離為.故選：B.8.設為等比數(shù)列，則“對于任意”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】充分性：設等比數(shù)列的公比為，若，情形一：當時，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞增數(shù)列；情形二：當，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞增數(shù)列；必要性：反之，若為遞增數(shù)列，則，所以“對于任意的”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前項和為，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，由等差數(shù)列是遞增數(shù)列，則該等差數(shù)列的公差，由，則，，由，則，故A正確；對于B，由A可知，則，故B正確；對于C，由，則，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在x=0處的切線方程為B.C.函數(shù)只存在一個極小值，無極大值D.有唯一零點【答案】ABD【解析】，對于A，因為，，所以在處的切線方程為：，故A正確；對于B，，因為，所以，故B正確；對于C，令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減，上單調遞增，，所以，即，所以函數(shù)在R上單調遞增，所以函數(shù)無極值，故C錯誤；對于D，因為函數(shù)在R上單調遞增，且，，所以函數(shù)有唯一零點，故D正確．故選：ABD．11.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l與C交于M，N兩點，P為的中點，則下列說法正確的是（）A.的最小值為4 B.的最大值為4C.當時， D.當時，【答案】AD【解析】由拋物線可得焦點，準線為，對于A，當直線l的斜率不存在時，方程為，代入拋物線可得所以此時；當直線l的斜率存在時，假設直線的方程為，設將直線方程代入拋物線可得，則，所以，綜上所述，的最小值為4，故A正確；對于B，當直線l的斜率存在時，，故B錯誤；對于C，因為P為的中點，，所以，所以，則，所以，將代入可得，解得或，當時，易得不滿足題意；當時，，所以，故C錯誤；對于D，由易得斜率存在，由P為的中點可得即，所以，解得，所以，故D正確；故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為________．【答案】【解析】由題設，則，又，所以點處的切線方程為，即.13.已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：的右焦點，若C上存在一點P，使得為等邊三角形，則橢圓C的離心率為______.【答案】【解析】取橢圓的左焦點，連結，由為等邊三角形，則，可知為直角三角形，且，設，則，，可得，則，所以橢圓的離心率是.14.已知直四棱柱，底面是邊長為1的菱形，且，點為的中點，點是棱上的動點.則直線與直線所成角的正切值的最小值為___________.【答案】【解析】連接，因為底面是邊長為1的菱形，且，所以，故為等邊三角形，取的中點，連接，則⊥，，則⊥，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，設，，故，設直線與直線所成角為，則，令，則，當，即，時，取得最大值，最大值為，此時，為最小值，由于在上單調遞增，故此時為最小值，又在上單調遞增，故所成角的正切值的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓與圓.（1）若圓與圓相內(nèi)切，求的值；（2）在（1）的條件下，直線被圓截得的弦長為，求實數(shù)的值.解：（1），，，，，，，，圓與圓相內(nèi)切，，，.（2）由（1）得，圓的方程為，，，故圓心到直線的距離，.16.在正三棱柱中，，E為的中點．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角余弦值．（1）證明：連接，與交于點F，連接，則F為的中點．因為E為的中點，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點D，連接，則，．又平面，所以底面，底面，所以，則可以E為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，，，，，所以，，，．設平面的法向量為，則，取，即．設平面的法向量為，則，取，即，則，即平面與平面夾角的余弦值為．17.已知數(shù)列的前項和為，且（）．（1）求的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．解：（1）令，得因為（），所以（，），兩式相減得（，），即．所以（，）