2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：與決策案例分析題庫解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______試題一某快速連鎖餐廳希望了解其顧客的就餐時(shí)間和消費(fèi)金額之間的關(guān)系，以便優(yōu)化服務(wù)流程和定價(jià)策略。隨機(jī)抽取了100組顧客數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)就餐時(shí)間（分鐘）和消費(fèi)金額（元）大致呈線性關(guān)系。請(qǐng)基于此情境，回答以下問題：1.簡(jiǎn)述在分析就餐時(shí)間與消費(fèi)金額關(guān)系時(shí)，選擇線性相關(guān)系數(shù)還是皮爾遜相關(guān)系數(shù)更合適，并說明理由。2.如果要建立一個(gè)模型來預(yù)測(cè)消費(fèi)金額，請(qǐng)寫出簡(jiǎn)單線性回歸模型的基本形式，并解釋模型中各變量的含義。3.在建立回歸模型后，如何判斷該模型的整體擬合效果是否良好？請(qǐng)至少提出兩種方法，并簡(jiǎn)述其原理。4.假設(shè)模型檢驗(yàn)結(jié)果顯示，回歸系數(shù)顯著，且模型擬合效果良好。請(qǐng)解釋該回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義，并說明餐廳如何基于此信息調(diào)整其經(jīng)營(yíng)策略。試題二一家制造企業(yè)生產(chǎn)某種關(guān)鍵部件，為了監(jiān)控產(chǎn)品質(zhì)量，抽取了200個(gè)部件進(jìn)行檢測(cè)。檢測(cè)指標(biāo)為部件的強(qiáng)度（單位：MPa）。根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)，該部件強(qiáng)度服從正態(tài)分布?，F(xiàn)管理層關(guān)心當(dāng)前生產(chǎn)批次的產(chǎn)品質(zhì)量是否發(fā)生了顯著變化。請(qǐng)回答以下問題：1.若要檢驗(yàn)當(dāng)前批次部件的平均強(qiáng)度是否顯著高于歷史平均水平1000MPa，請(qǐng)寫出原假設(shè)和備擇假設(shè)。2.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，選擇顯著性水平α=0.05，請(qǐng)解釋什么是第一類錯(cuò)誤，并說明其發(fā)生的概率是多少。3.假設(shè)抽樣結(jié)果顯示樣本均值為1010MPa，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為50MPa。請(qǐng)計(jì)算該檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量（檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量）的值。4.根據(jù)計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)量值，判斷是否有足夠證據(jù)支持“當(dāng)前批次部件的平均強(qiáng)度顯著高于1000MPa”的結(jié)論？請(qǐng)說明你的判斷依據(jù)。試題三某零售公司通過兩種不同的廣告策略（策略A和策略B）推廣其新產(chǎn)品，希望評(píng)估哪種策略帶來的顧客轉(zhuǎn)化率更高。公司隨機(jī)選擇了1000名潛在顧客，其中500人接收策略A的廣告，500人接收策略B的廣告。最終，策略A組有80人轉(zhuǎn)化，策略B組有90人轉(zhuǎn)化。請(qǐng)回答以下問題：1.為了比較兩種廣告策略的轉(zhuǎn)化效果，最適合使用哪種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法？請(qǐng)說明選擇該方法的原因。2.請(qǐng)寫出該檢驗(yàn)方法的原假設(shè)和備擇假設(shè)。3.假設(shè)計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為Z，其值為1.8。請(qǐng)解釋Z值的意義，并說明如何根據(jù)Z值判斷兩種策略的轉(zhuǎn)化率是否存在顯著差異？（提示：考慮顯著性水平α）4.除了檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化率是否存在差異，公司還希望了解策略B的轉(zhuǎn)化率是否確實(shí)高于策略A。請(qǐng)解釋在這種情況下，單尾檢驗(yàn)和雙尾檢驗(yàn)有何不同，并選擇一種檢驗(yàn)方法進(jìn)行闡述。試題四某城市交通管理部門希望預(yù)測(cè)未來一周內(nèi)工作日的交通擁堵指數(shù)。收集了過去一年中每天的工作日交通擁堵指數(shù)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)該數(shù)據(jù)呈現(xiàn)一定的上升趨勢(shì)，且每周內(nèi)存在明顯的周內(nèi)波動(dòng)。請(qǐng)回答以下問題：1.在構(gòu)建預(yù)測(cè)模型時(shí)，應(yīng)如何處理數(shù)據(jù)中存在的“趨勢(shì)”成分？2.考慮到數(shù)據(jù)中可能存在的周內(nèi)季節(jié)性，除了趨勢(shì)成分，模型中還應(yīng)該考慮哪種成分？請(qǐng)簡(jiǎn)述其含義。3.簡(jiǎn)述使用移動(dòng)平均法進(jìn)行預(yù)測(cè)的基本思想，并說明其適用于哪種類型的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。4.如果使用指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測(cè)，請(qǐng)解釋平滑系數(shù)α在模型中的作用，并說明如何選擇合適的α值。試題五一家銀行希望評(píng)估影響其信用卡客戶違約風(fēng)險(xiǎn)的因素。收集了1000名信用卡客戶的樣本數(shù)據(jù)，其中包括客戶的年齡、收入水平、信用歷史評(píng)分（分?jǐn)?shù)越高表示信用越好）、月消費(fèi)額和是否違約（是/否）等信息。請(qǐng)回答以下問題：1.請(qǐng)列舉至少三個(gè)可能影響客戶違約風(fēng)險(xiǎn)的潛在因素，并說明其可能的作用機(jī)制（例如，年齡可能越年輕風(fēng)險(xiǎn)越高，因?yàn)檫€款能力相對(duì)較弱）。2.如果要建立一個(gè)模型來預(yù)測(cè)客戶是否會(huì)違約，請(qǐng)說明為什么簡(jiǎn)單線性回歸模型可能不適用，并推薦一種更合適的模型類型，簡(jiǎn)述其基本原理。3.在建立的模型中，如何評(píng)估某個(gè)特定因素（如信用歷史評(píng)分）對(duì)客戶違約風(fēng)險(xiǎn)的獨(dú)立影響？請(qǐng)解釋相關(guān)概念（如邊際效應(yīng)）。4.假設(shè)模型結(jié)果顯示，信用歷史評(píng)分每增加10分，客戶違約的概率會(huì)降低15%。請(qǐng)解釋這一發(fā)現(xiàn)對(duì)銀行制定信用卡政策的啟示。---試卷答案試題一1.選擇皮爾遜相關(guān)系數(shù)更合適。理由：皮爾遜相關(guān)系數(shù)用于衡量?jī)蓚€(gè)連續(xù)變量之間的線性相關(guān)程度，而題目明確指出就餐時(shí)間與消費(fèi)金額大致呈線性關(guān)系。2.簡(jiǎn)單線性回歸模型的基本形式為：Y=β?+β?X+ε。其中，Y代表消費(fèi)金額（元），X代表就餐時(shí)間（分鐘），β?是回歸截距，表示當(dāng)就餐時(shí)間為0時(shí)預(yù)測(cè)的消費(fèi)金額（實(shí)踐中可能無意義），β?是回歸系數(shù)，表示就餐時(shí)間每增加1分鐘，消費(fèi)金額平均變化量，ε代表隨機(jī)誤差項(xiàng)。3.判斷模型整體擬合效果的方法：*R2（決定系數(shù)）：衡量模型解釋的因變量變異性的比例。R2值越接近1，說明模型擬合效果越好。*F檢驗(yàn)：檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼w顯著性，即所有自變量聯(lián)合起來對(duì)因變量的影響是否顯著大于沒有自變量的情況。F統(tǒng)計(jì)量值越大，P值越小，說明模型越顯著。4.回歸系數(shù)β?的經(jīng)濟(jì)含義是：就餐時(shí)間每增加1分鐘，顧客的消費(fèi)金額平均增加β?元?；诖诵畔ⅲ蛷d可以：對(duì)于預(yù)計(jì)就餐時(shí)間較長(zhǎng)的顧客或時(shí)段，考慮提供更高價(jià)值的服務(wù)或產(chǎn)品；對(duì)于較短的就餐時(shí)間，可以通過促銷活動(dòng)鼓勵(lì)延長(zhǎng)就餐時(shí)間或增加消費(fèi)金額。試題二1.原假設(shè)H?:μ=1000MPa；備擇假設(shè)H?:μ>1000MPa。其中，μ代表當(dāng)前批次部件的平均強(qiáng)度。2.第一類錯(cuò)誤是指假設(shè)檢驗(yàn)中拒絕了實(shí)際上為真的原假設(shè)。在本題中，即判斷當(dāng)前批次部件平均強(qiáng)度顯著高于1000MPa，但實(shí)際上其平均值并不高于1000MPa。其發(fā)生的概率等于顯著性水平α。3.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（通常為Z值，因?yàn)榧僭O(shè)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知或樣本量足夠大）的計(jì)算公式為：Z=(樣本均值-假設(shè)均值)/(總體標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt(樣本量))。代入數(shù)據(jù)：Z=(1010-1000)/(50/sqrt(200))=10/(50/14.14)=10/3.54≈2.83。4.判斷依據(jù)：將計(jì)算得到的Z值（2.83）與顯著性水平α=0.05對(duì)應(yīng)的臨界值（單尾檢驗(yàn)，查Z表得約1.645）進(jìn)行比較。由于2.83>1.645，或者其對(duì)應(yīng)的P值小于0.05。因此，有足夠證據(jù)支持“當(dāng)前批次部件的平均強(qiáng)度顯著高于1000MPa”的結(jié)論。試題三1.最適合使用卡方檢驗(yàn)（Chi-squaretestforindependence）或稱二項(xiàng)分布比例的Z檢驗(yàn)。選擇原因：這兩種方法用于檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)性，本題中廣告策略（分類）與顧客轉(zhuǎn)化（分類）是兩個(gè)變量，需檢驗(yàn)兩者是否有關(guān)聯(lián)。2.卡方檢驗(yàn)的原假設(shè)H?：兩種廣告策略的轉(zhuǎn)化率沒有差異（即兩種策略的轉(zhuǎn)化率相同）；備擇假設(shè)H?：兩種廣告策略的轉(zhuǎn)化率存在差異。3.Z值的意義：在二項(xiàng)分布比例的Z檢驗(yàn)中，Z值衡量的是觀察到的轉(zhuǎn)化率差異（如(90/500-80/500)=0.18）相對(duì)于假設(shè)無差異時(shí)的理論抽樣波動(dòng)（標(biāo)準(zhǔn)誤）的倍數(shù)。計(jì)算得到的Z值為1.8，表示觀察到的差異是標(biāo)準(zhǔn)誤的1.8倍。判斷依據(jù)：與顯著性水平α（如0.05）對(duì)應(yīng)的臨界值（雙尾檢驗(yàn)為±1.96）比較。由于1.8<1.96，或者其對(duì)應(yīng)的P值大于0.05。因此，尚無足夠證據(jù)判斷兩種策略的轉(zhuǎn)化率是否存在顯著差異。4.單尾檢驗(yàn)和雙尾檢驗(yàn)的不同：雙尾檢驗(yàn)關(guān)注的是觀察到的差異是否與假設(shè)值有顯著不同（無論方向），而單尾檢驗(yàn)關(guān)注的是觀察到的差異是否顯著大于或小于假設(shè)值（有預(yù)設(shè)方向）。選擇單尾檢驗(yàn)（如H?:p_B>p_A）是基于銀行明確希望了解策略B是否“更高”，減少I類錯(cuò)誤的潛在成本。若計(jì)算得到的Z值為1.8（同上），對(duì)于單尾檢驗(yàn)，α=0.05的臨界值為1.645。由于1.8>1.645，或者其對(duì)應(yīng)的單尾P值小于0.05。因此，有足夠證據(jù)支持“策略B的轉(zhuǎn)化率確實(shí)高于策略A”的結(jié)論。試題四1.處理趨勢(shì)成分的方法：可以使用線性趨勢(shì)線（如簡(jiǎn)單線性回歸）擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)，得到趨勢(shì)方程，然后將預(yù)測(cè)期的趨勢(shì)值作為預(yù)測(cè)值的基礎(chǔ)，或者直接使用能夠捕捉趨勢(shì)的模型（如指數(shù)模型、多項(xiàng)式模型或包含趨勢(shì)項(xiàng)的時(shí)間序列模型）。2.應(yīng)考慮的成分是“季節(jié)性”或“周期性”成分。含義：指數(shù)據(jù)在固定時(shí)間間隔（如每周、每月）內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的模式或波動(dòng)。3.移動(dòng)平均法的基本思想：用過去一段時(shí)間內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的平均值來平滑短期波動(dòng)，從而揭示數(shù)據(jù)的長(zhǎng)期趨勢(shì)。適用于數(shù)據(jù)呈現(xiàn)水平趨勢(shì)或具有明顯周期性波動(dòng)的情況。它是一種非參數(shù)方法，不涉及模型參數(shù)估計(jì)。4.平滑系數(shù)α的作用：α決定了模型對(duì)近期觀測(cè)值的敏感程度。α越大，模型越關(guān)注近期變化，對(duì)近期信息的反應(yīng)越快；α越小，模型越平滑，對(duì)近期變化的反應(yīng)越慢。選擇合適的α值通常需要平衡對(duì)趨勢(shì)變化的響應(yīng)速度和數(shù)據(jù)的平滑程度，可以通過試錯(cuò)法或自動(dòng)搜索方法（如均方誤差最小化）確定。試題五1.潛在因素及其作用機(jī)制：*年齡：年齡可能影響還款能力（年輕可能較低）和風(fēng)險(xiǎn)偏好（年輕可能更高）。年齡越大，經(jīng)驗(yàn)越豐富，違約風(fēng)險(xiǎn)可能越低。*收入水平：收入越高，還款能力越強(qiáng)，違約風(fēng)險(xiǎn)越低。*信用歷史評(píng)分：評(píng)分直接反映過去的信用表現(xiàn)，評(píng)分越高，履約意愿和能力越強(qiáng)，違約風(fēng)險(xiǎn)越低。2.簡(jiǎn)單線性回歸模型不適用，因?yàn)檫`約風(fēng)險(xiǎn)（是否違約）是二分類的離散變量，而簡(jiǎn)單線性回歸適用于預(yù)測(cè)連續(xù)變量。推薦模型類型：Logistic回歸（LogisticRegression）。原理：Logistic回歸是一種廣義線性模型，通過Sigmoid函數(shù)將線性組合的預(yù)測(cè)變量值映射到(0,1)區(qū)間內(nèi)，輸出代表事件發(fā)生概率（如違約概率），并能夠處理分類因變量。3.在Logistic回歸模型中，評(píng)估某個(gè)特定因素（如信用歷史評(píng)分）對(duì)客戶違約風(fēng)險(xiǎn)的獨(dú)立影響，主要通過其對(duì)應(yīng)的回歸系數(shù)（B值）及其顯著性來判斷。系數(shù)B表示自變量每增加一個(gè)單位，對(duì)數(shù)幾率（log-oddsofdefaulting）的變化量。通過exponentiatingthecoefficient(e^B)，可以得到優(yōu)勢(shì)比（OddsRatio），解釋為自變量每增加一個(gè)單位，事件發(fā)生的優(yōu)勢(shì)（發(fā)生違約的優(yōu)勢(shì)/不發(fā)生違約的優(yōu)勢(shì)）變?yōu)樵瓉淼膃^