高中數(shù)學(xué)函數(shù)專(zhuān)題系統(tǒng)學(xué)案引言：函數(shù)——描述變化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想方法。從本質(zhì)上講，函數(shù)描述了兩個(gè)變量之間的依賴(lài)關(guān)系，是我們理解世界、解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)大工具。無(wú)論是物理運(yùn)動(dòng)的規(guī)律、經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的變化，還是自然現(xiàn)象的周期性，都離不開(kāi)函數(shù)的刻畫(huà)。本學(xué)案旨在幫助同學(xué)們系統(tǒng)梳理函數(shù)知識(shí)，深化理解，掌握方法，提升運(yùn)用函數(shù)思想解決問(wèn)題的能力。我們將從函數(shù)的概念出發(fā)，逐步探討其性質(zhì)、圖象，進(jìn)而學(xué)習(xí)幾類(lèi)重要的基本初等函數(shù)，并最終落腳于函數(shù)的綜合應(yīng)用。第一章函數(shù)的概念與表示1.1函數(shù)的概念在初中階段，我們對(duì)函數(shù)已有初步認(rèn)識(shí)，即“在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)”。進(jìn)入高中，我們需要從集合與對(duì)應(yīng)（映射）的角度對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行更精確的界定。定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。理解要點(diǎn)：*核心要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域。其中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)的兩個(gè)基本要素。*對(duì)應(yīng)關(guān)系的唯一性：對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x，必須有“唯一”的y與之對(duì)應(yīng)。這是判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)的關(guān)鍵。*符號(hào)意義：f(x)是一個(gè)整體符號(hào)，表示“x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值”，f是對(duì)應(yīng)關(guān)系的抽象符號(hào)。思考與辨析：如何判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)？（提示：需同時(shí)考察定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否完全一致，值域由前兩者決定。）1.2函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，是函數(shù)的“靈魂”，研究函數(shù)必須首先考慮定義域。確定定義域的主要依據(jù)：1.分式函數(shù)：分母不為零。2.偶次根式函數(shù)：被開(kāi)方數(shù)非負(fù)。3.對(duì)數(shù)函數(shù)：真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1。4.實(shí)際問(wèn)題：需考慮自變量的實(shí)際意義。5.復(fù)合函數(shù)：若函數(shù)由幾個(gè)基本函數(shù)復(fù)合而成，其定義域需滿足每個(gè)基本函數(shù)對(duì)自變量的要求。方法與步驟：求解函數(shù)定義域，通常轉(zhuǎn)化為解不等式（組）。在求解過(guò)程中，要注意端點(diǎn)值的取舍。例題：求函數(shù)f(x)=√(x+2)/(x-1)的定義域。（分析：偶次根式要求x+2≥0，分式要求x-1≠0，聯(lián)立求解。）1.3函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法是溝通函數(shù)概念與圖象性質(zhì)的橋梁，常用的有解析法、列表法和圖象法。1.解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。優(yōu)點(diǎn)是精確、簡(jiǎn)潔，便于進(jìn)行理論分析和運(yùn)算。*分段函數(shù)：在定義域的不同子集上，對(duì)應(yīng)關(guān)系用不同表達(dá)式表示的函數(shù)。分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而非多個(gè)函數(shù)。處理分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，需“分段考慮，整體把握”。2.列表法：通過(guò)列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。優(yōu)點(diǎn)是直觀、具體，適用于自變量取值較少或有特定對(duì)應(yīng)值的情況。3.圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀，能清晰地反映函數(shù)的變化趨勢(shì)和某些性質(zhì)。函數(shù)解析式的求法：根據(jù)已知條件求函數(shù)的解析式，是常見(jiàn)的題型。常用方法有待定系數(shù)法、換元法（湊配法）、方程組法等。具體選用哪種方法，需根據(jù)題目所給條件靈活判斷。例題：已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))=4x+3，求f(x)的解析式。（提示：待定系數(shù)法）第二章函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)內(nèi)在規(guī)律的體現(xiàn)，掌握函數(shù)性質(zhì)是運(yùn)用函數(shù)解決問(wèn)題的關(guān)鍵。我們主要研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值（值域）。2.1函數(shù)的單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?，x?：*當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；*當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)>f(x?)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。理解要點(diǎn)：*單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的局部性質(zhì)，談單調(diào)性必須指明區(qū)間。*定義中的x?，x?具有任意性，不能用特殊值代替。*增函數(shù)圖象從左到右是上升的，減函數(shù)圖象從左到右是下降的。判斷與證明：1.圖象法：直觀判斷。2.定義法：證明步驟：取值（在區(qū)間內(nèi)任取x?<x?）→作差（f(x?)-f(x?)）→變形（因式分解、配方等）→定號(hào)（判斷差的正負(fù)）→下結(jié)論。3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：“同增異減”（需掌握復(fù)合函數(shù)概念及分解方法）。4.導(dǎo)數(shù)法：（高二學(xué)習(xí)，是判斷單調(diào)性的有力工具）。例題：證明函數(shù)f(x)=x+1/x在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù)。2.2函數(shù)的奇偶性定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意x∈D，都有-x∈D，且：*f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)；*f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。理解要點(diǎn)：*奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域上的整體性質(zhì)。*定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件。*奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。*若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義，則f(0)=0。判斷方法：1.首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不對(duì)稱(chēng)，則非奇非偶。2.若對(duì)稱(chēng)，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系。性質(zhì)應(yīng)用：*利用奇偶性可簡(jiǎn)化函數(shù)性質(zhì)的研究（如只研究一半定義域）。*利用奇偶性可求函數(shù)值、解析式等。例題：判斷函數(shù)f(x)=x3-2x的奇偶性，并說(shuō)明理由。2.3函數(shù)的最值與值域函數(shù)的最值：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：*對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≤M（或f(x)≥M）；*存在x?∈I，使得f(x?)=M。那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)y=f(x)的最大值（或最小值）。函數(shù)的值域：函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}（A為定義域）。關(guān)系：函數(shù)的最值是函數(shù)值域中的特殊元素，即最大（?。┑暮瘮?shù)值。求值域（最值）的常用方法：*觀察法：對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)，通過(guò)觀察直接寫(xiě)出。*配方法：適用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù)。*換元法：通過(guò)變量代換，將復(fù)雜函數(shù)化為簡(jiǎn)單函數(shù)（如無(wú)理函數(shù)、某些三角函數(shù)）。*單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值或值域。*判別式法：適用于某些分式函數(shù)（注意條件限制）。*反函數(shù)法：利用原函數(shù)與反函數(shù)定義域和值域的關(guān)系。*基本不等式法：適用于滿足“一正、二定、三相等”條件的函數(shù)。*導(dǎo)數(shù)法：（高二學(xué)習(xí)，普適性強(qiáng)）。例題：求函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。第三章基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)是構(gòu)成復(fù)雜函數(shù)的“基石”，包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。我們將重點(diǎn)學(xué)習(xí)前三者。3.1冪函數(shù)定義：一般地，形如y=x?(a為常數(shù))的函數(shù)，叫做冪函數(shù)。理解要點(diǎn)：*底數(shù)是自變量x，指數(shù)a是常數(shù)。*系數(shù)為1，后面沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)或其他項(xiàng)。常見(jiàn)冪函數(shù)及其圖象與性質(zhì)：重點(diǎn)掌握a=1(y=x)、a=2(y=x2)、a=3(y=x3)、a=-1(y=1/x)、a=1/2(y=√x)的圖象和性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、定點(diǎn)等）。*觀察圖象，總結(jié)冪函數(shù)圖象的分布規(guī)律和變化趨勢(shì)與指數(shù)a的關(guān)系。性質(zhì)歸納：*所有冪函數(shù)都過(guò)點(diǎn)(1,1)。*當(dāng)a>0時(shí)，冪函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，冪函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。*冪函數(shù)的奇偶性與指數(shù)a的取值有關(guān)。3.2指數(shù)函數(shù)定義：一般地，形如y=a?(a>0,且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。理解要點(diǎn)：*底數(shù)a的取值范圍是a>0且a≠1，這是由指數(shù)冪的定義和運(yùn)算性質(zhì)決定的。*指數(shù)函數(shù)的解析式嚴(yán)格形式化：系數(shù)為1，指數(shù)僅為自變量x。圖象與性質(zhì)：底數(shù)范圍a>10<a<1:-------:----:--------圖象（在R上單調(diào)遞增，過(guò)點(diǎn)(0,1)，x軸上方，向左無(wú)限接近x軸）（在R上單調(diào)遞減，過(guò)點(diǎn)(0,1)，x軸上方，向右無(wú)限接近x軸）定義域RR值域(0,+∞)(0,+∞)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)定點(diǎn)(0,1)(0,1)函數(shù)值變化當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用：常用來(lái)描述增長(zhǎng)（a>1，指數(shù)增長(zhǎng)）或衰減（0<a<1，指數(shù)衰減）過(guò)程，如細(xì)胞分裂、放射性物質(zhì)衰變等。3.3對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)的概念：如果a?=N(a>0,且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log?N。其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。特別地，以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記作lgN；以無(wú)理數(shù)e(e≈2.____...)為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記作lnN。對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（a>0,a≠1,M>0,N>0）：*log?(MN)=log?M+log?N*log?(M/N)=log?M-log?N*log?M?=nlog?M(n∈R)*對(duì)數(shù)恒等式：a^(log?N)=N*換底公式：log_bN=log_aN/log_ab(a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：一般地，我們把函數(shù)y=log?x(a>0,且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+∞)。對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)：底數(shù)范圍a>10<a<1:-------:----:--------圖象（在(0,+∞)上單調(diào)遞增，過(guò)點(diǎn)(1,0)，y軸右側(cè)，向上無(wú)限延伸，向下無(wú)限接近y軸）（在(0,+∞)上單調(diào)遞減，過(guò)點(diǎn)(1,0)，y軸右側(cè)，向上無(wú)限接近y軸，向下無(wú)限延伸）定義域(0,+∞)(0,+∞)值域RR單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)定點(diǎn)(1,0)(1,0)函數(shù)值變化當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系：y=a?(a>0,a≠1)與y=log?x(a>0,a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)。例題：比較下列各組數(shù)的大?。?1)2^0.3與2^0.5；(2)log?3與log?5；(3)log?.?3與log?.?2。第四章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用廣泛，我們主要學(xué)習(xí)利用函數(shù)知識(shí)解決方程、不等式問(wèn)題，以及簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。4.1函數(shù)與方程函數(shù)的零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。函數(shù)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。二分法：對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。（掌握二分法的基本步驟和原理）4.2函數(shù)模型及其應(yīng)用常見(jiàn)函數(shù)模型：*一次函數(shù)模型：f(x)=kx+b(k≠0)*二次函數(shù)模型：f(x)=ax2+bx+c(