2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與神經(jīng)渲染數(shù)學(xué)算法試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，集合B={y|y=sinθ，θ∈[0,π/2]}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[0,1]C.[1,2)D.(0,1]函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.(-∞,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(1,2,-3)B.(-1,2,3)C.(1,-2,3)D.(-1,-2,-3)已知向量a=(1,2,3)，b=(2,3,4)，則向量a與b的數(shù)量積是（）A.20B.26C.24D.22曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是（）A.y=2x-1B.y=2x+1C.y=-2x-1D.y=-2x+1已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，若P(X<1)=0.2，P(X>5)=0.3，則μ=（）A.2B.3C.4D.5在NeRF算法中，用于將3D空間位置映射到高維特征空間的技術(shù)是（）A.傅里葉特征編碼B.卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)C.循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)D.自注意力機(jī)制神經(jīng)輻射場(chǎng)(NeRF)表示3D場(chǎng)景時(shí)，每個(gè)空間點(diǎn)包含的信息是（）A.顏色和密度B.位置和方向C.材質(zhì)和光照D.深度和法向量已知某神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有3個(gè)輸入神經(jīng)元、2個(gè)隱藏層（每層4個(gè)神經(jīng)元）和1個(gè)輸出神經(jīng)元，該網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)數(shù)量是（）A.36B.41C.46D.51在神經(jīng)渲染中，體渲染積分公式的離散化計(jì)算通常采用（）A.黎曼和B.蒙特卡洛采樣C.傅里葉變換D.拉普拉斯變換已知某神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)為ReLU(x)=max(0,x)，若輸入值為-1.5，則輸出值是（）A.-1.5B.0C.1D.1.5在StyleGAN中，用于控制生成圖像風(fēng)格的技術(shù)是（）A.自適應(yīng)實(shí)例歸一化B.批量歸一化C.層歸一化D.組歸一化二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）函數(shù)f(x)=sinx+cosx的最大值是________。已知矩陣A=，則A的特征值是________。在NeRF算法中，為了渲染一張圖像，需要對(duì)每條相機(jī)射線進(jìn)行________次采樣。神經(jīng)渲染中，用于生成高分辨率圖像的生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，求：（1）函數(shù)f(x)的極值；（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面α的方程為2x-y+3z=6，直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2,3)且平行于向量v=(1,1,1)。（1）求直線l與平面α的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)P到平面α的距離。（12分）已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=，求：（1）常數(shù)c的值；（2）X的數(shù)學(xué)期望E(X)；（3）X的方差D(X)。（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=e^x-ax2-bx-1，其中a,b∈R。（1）若a=b=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若a=1，b=2，求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值。（12分）在神經(jīng)渲染中，考慮一個(gè)簡(jiǎn)化的體渲染模型：沿某條射線采樣5個(gè)點(diǎn)，其密度值依次為[0.1,0.3,0.5,0.3,0.1]，顏色值依次為[0.2,0.4,0.6,0.4,0.2]，采樣點(diǎn)間距均為0.5。（1）計(jì)算每個(gè)采樣點(diǎn)的累積透射率；（2）計(jì)算該射線對(duì)應(yīng)的像素顏色值。（12分）考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)渲染模型，輸入為2D坐標(biāo)(x,y)，輸出為該點(diǎn)的RGB顏色值(r,g,b)。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為：輸入層→隱藏層（含3個(gè)神經(jīng)元，激活函數(shù)為ReLU）→輸出層（含3個(gè)神經(jīng)元，激活函數(shù)為sigmoid）。已知網(wǎng)絡(luò)參數(shù)如下：輸入層到隱藏層的權(quán)重矩陣W1=，偏置b1=[0.1,0.2,0.3]隱藏層到輸出層的權(quán)重矩陣W2=，偏置b2=[0.1,0.1,0.1]（1）計(jì)算輸入坐標(biāo)(0.5,0.5)對(duì)應(yīng)的隱藏層輸出；（2）計(jì)算該輸入對(duì)應(yīng)的最終RGB顏色值。四、應(yīng)用題（本大題共2小題，共20分）（10分）在虛擬場(chǎng)景重建中，需要從多視角圖像中估計(jì)相機(jī)參數(shù)。已知某相機(jī)內(nèi)參矩陣K=，若在圖像上檢測(cè)到一點(diǎn)像素坐標(biāo)為(320,240)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的3D空間點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(1,1,2)。（1）驗(yàn)證該像素坐標(biāo)是否與3D點(diǎn)坐標(biāo)一致；（2）若該相機(jī)繞z軸旋轉(zhuǎn)90°，計(jì)算旋轉(zhuǎn)后的相機(jī)外參矩陣。（10分）某游戲公司計(jì)劃使用神經(jīng)渲染技術(shù)優(yōu)化游戲場(chǎng)景加載。已知傳統(tǒng)渲染方法加載一個(gè)場(chǎng)景需要10秒，且場(chǎng)景復(fù)雜度與加載時(shí)間呈線性關(guān)系。神經(jīng)渲染方法需要5秒初始加載，之后每增加1000個(gè)三角形僅增加0.5秒加載時(shí)間。（1）建立兩種渲染方法的加載時(shí)間與場(chǎng)景三角形數(shù)量的函數(shù)關(guān)系；（2）計(jì)算當(dāng)場(chǎng)景包含多少三角形時(shí)，神經(jīng)渲染方法比傳統(tǒng)渲染方法快30%以上。五、證明題（本大題共1小題，共10分）（10分）在NeRF算法中，空間點(diǎn)的位置編碼采用函數(shù)γ(p)=(sin(2^0πp),cos(2^0πp),...,sin(2^(L-1)πp),cos(2^(L-1)πp))，其中p為原始坐標(biāo)，L為編碼維度。證明該編碼函數(shù)是Lipschitz連續(xù)的，并求其Lipschitz常數(shù)。六、開(kāi)放題（本大題共1小題，共10分）（10分）結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)渲染算法，用于將2D灰度圖像轉(zhuǎn)換為RGB彩色圖像。要求：（1）說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和各層功能；（2）推導(dǎo)損失函數(shù)表達(dá)式；（3）分析算法的計(jì)算復(fù)雜度。本試卷涵蓋了高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，包括函數(shù)、幾何、代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)模塊，并將其與神經(jīng)渲染領(lǐng)域的數(shù)學(xué)算法相結(jié)合。試卷注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力和知識(shí)遷移能力，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于新興的人工智能領(lǐng)域。在題型設(shè)計(jì)上，既有傳統(tǒng)的選擇題、填空題和解答題，也有結(jié)合神經(jīng)渲染應(yīng)用的應(yīng)用題和開(kāi)放題，全面考查學(xué)生的知識(shí)掌握程度和創(chuàng)新思維能力。試題難度分布合理，既有基礎(chǔ)題，也有綜合性較強(qiáng)