2.3確定圓的條件同步練習(xí)

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

1.下列說法正確的是（）

A.三點(diǎn)確定一個(gè)圓B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等D.垂直平分弦的直線必定經(jīng)過圓心

2.如圖，△A8C是。。的內(nèi)接三角形，連接08,0C,若十乙80C=87°,貝IJ

48。。為（）

A.29°B.60°C.63°D.58°

3.0。是△48。的夕卜接圓，在弧BC上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)例平分弧8C.對應(yīng)圖中的三種做

法，下列說法正確的是（)

A.三種做法均正確

C.只有做法二和做法三正確D.只有做法二正確

4.對于題目：“已知：點(diǎn)。為A/IBC的外心，ABOC=120°,

亮的解答：畫出A/IBC以及它的外接圓O。，連接。8,OC,

2乙1=120。，得/4=60。，下列判斷正確的是（）

A.小亮的求解不正確,LA=60。或120。

B.小亮的求解正確

C.小亮的求解不正確,乙4應(yīng)該等于65。

D.小亮的求解不正確,乙4的度數(shù)不固定

5.如圖，。為等腰三角形/8C的外心，AB=AC,連接。氏記NC=a,乙CBO=0,則a、夕滿足的關(guān)系式

為（）

A.2/?-a=90°B.2/?-a=180°C.1/?+a=90°D.2a-p=90°

6.平面上有不在同一直線上的4個(gè)點(diǎn)，過其中3個(gè)點(diǎn)作圓，可以作出幾個(gè)圓，那么汗的值不可能為（）

A.1B.2C.3D.4

7.如圖，4、。在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，每個(gè)小正方形的邊長為1,在此網(wǎng)格中找兩個(gè)格點(diǎn)（即小正方形

的頂點(diǎn)）8、C,使。為△ABC的外心，則8c的長度是（）

TO：'T'

f-***T*T*T*T-T*T*1

A.3/2B.2/5C.4D.717

8.如圖，。。是的外接圓，ZC=30°,已知。0的半徑。工的長為2門，則48的C

長卻）/7VA

A./3B.6C.2/3D.3/9\

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。\J/

9.如圖，O0是△ABC的外接圓.若心力=28。，則乙BCO=___度C/------、

10.如圖，。是△/1BC的外心，則乙1+/2+43=.BV------

BC

11.若直角三角形的兩直角邊長是6和8,則它的外接圓的直徑是.

12.下列說法：①三點(diǎn)確定?個(gè)阿；②三角形有且只有?個(gè)外接圓；③三角形的外心到三角形三邊的距離

相等；④圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形.其中正確的是.（填序號）

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4B,C的坐標(biāo)分別為(1,3),(5,3),則△力BC的外接圓圓心

若41二130。，則42的度數(shù)為

15.如圖，己知內(nèi)接于半徑為1的O。，/-BAC=60%則△/18C的面積的最

大值為一

16.如圖，在矩形4BCD中，4B=8,AD=12,E為

8c的中點(diǎn)，△力BE的外接圓與DE交于點(diǎn)"，則弦"的

長度為

三、解答題：本題共6小題，共52分。

17.(本小題8分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,7),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0).

(1)若團(tuán)ABC的外接圓的圓心為M,則圓心M的坐標(biāo)為_________,OM的半徑為

(2)求團(tuán)力8c的外接圓與工軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

21.(本小題10分)

已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖.

(1)利用格點(diǎn)畫出△4BC的外接圓OP，并寫出圓心P的坐標(biāo)為

(2)畫出△A8C繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。后的△4$傳：

⑶畫出△48。關(guān)于。點(diǎn)的中心對稱圖形△力282G.

22.(本小題10分)

如圖，△力8。內(nèi)接于。0,48是0。的直徑，點(diǎn)D,E在直徑48上，^DCE=45°,AE=AC.

(1)求證：BD=BC；

(2)CD的延長線交。。于F點(diǎn)，若DF=3,8C=7,求。0的半徑.

答案和解析

1.【答案】D

【解析1解：A不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，所以4選項(xiàng)不符合題意；

8.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，所以8選項(xiàng)不符合題意：

C.在網(wǎng)圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所以C選項(xiàng)不符合題意：

。.垂直平分弦的直線必定經(jīng)過圓心，所以。選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

根據(jù)確定圓的條件對力選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理對8選項(xiàng)和D選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)

系對C選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、垂徑定

理和圓心角、弧、弦的關(guān)系.

2.【答案】D

【解析】解：由圓周角定理得：乙BOC=2（BAC,

v/.BAC+乙BOC=87°,

ALBAC+2/.BAC=87°,

:.Z.BAC=29°,

:.乙BOC=2乙BAC=58°,

故選：D.

根據(jù)圓周角定理得到NBOC=2^BAC,再根據(jù)題意計(jì)算即嘰

本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理的是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】A

【解析】解：做法一、由作圖可知;4M平分乙8力。，

:.4BAM=/-CAM,

BM=CM,

故做法一正確.

做法二、由作圖可知0M平分乙8。。，

,:OB=0C,

???0M1CB,

???0M經(jīng)過圓心。，

BM=CM,

故做法二正確.

做法三、由作圖可知。M垂直平分線段BC,0M經(jīng)過圓心0,

BM=CM,

故做法三正確.

故選：A.

根據(jù)垂徑定理，圓周角定理一一判斷即可.

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，三角形的外接圓與外心，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈

活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

4.【答案】4

【解析】解：如圖1,乙4二號乙30c=120。=

-

如圖2,匕。="80C=卜120。=60。，/

???匹邊形48。。為O。的內(nèi)接四邊形,

Z71=180。一40=120°,D

圖2

綜上所述：△4=60?；?20。，

故選：A.

分AABC是銳角三角形、鈍角三角形兩種情況，根據(jù)圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可.

本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】D

【解析】=力。，4力。8=。，.??乙力。8=乙人8。=1，二乙&48=180°—2。.連接。。、。4,???。為等腰

三角形/1BC的夕卜心，OB=OA=OC,Z.CBO=Z.BCO=/?,Z.ABO=Z.ACO=a-/?,ALCAO=

/-ACO=/-ABO=Z.BAO=a-p,Z.CAB=2(a-0)=180°-2a,A2a-p=90°.故選D.

6.【答案】B

【解析】分三種情況討論：①當(dāng)4、8、C、。四個(gè)點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，另外一個(gè)點(diǎn)不在這條直

線上時(shí)，可以確定3個(gè)圓，如圖①所示；

③

②當(dāng)/、B、C、。四個(gè)點(diǎn)中任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，而且它們共圓時(shí)，只能確定1個(gè)圓，如圖②

所示:

③當(dāng)小B、C、C四個(gè)點(diǎn)中任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，并且四個(gè)點(diǎn)不共圓時(shí)，則任意三點(diǎn)都能確定

1個(gè)圓，一共可以確定4個(gè)圓，如圖③所示.

綜上所述，這四個(gè)點(diǎn)可以確定圓的個(gè)數(shù)為3或1或4.故選8.

7.【答案】A

【解析】???點(diǎn)。為△ABC的外心，.?.OA=OB=0C,點(diǎn)B和點(diǎn)C的位置如圖所示，BC=V32+32=

8.【答案】C

【解析】解：如圖，連接。以

由圓周角定理得：^AOB=2ZC=2X30°=60°,

v0A=0B,

0B為等邊三角形,

AB=0A=2/3?

故選：C.

連接。8,根據(jù)圓周角定理得到4/108=60。，再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)解答.

本題考杳的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】62

【解析】解：如圖，連接。8,X

vLA=28°,I\

:.乙BOC=2〃=56°,

???OB=0C,

:.乙BCO=(180°-56°)x1=62%

故答案為：62.

連接。氏根據(jù)圓周角定理求出4BOC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出乙BCO.

本題考查的是圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】90°

【解析】如圖，

vOA=OBfAz3=z4,同理，zl=z5?z2=z6?vz3+z.4+zl4-z5+z2+z6=180°,/.zl+

Z2+Z3=90°.

II.【答案】10

【解析】略

12.【答案】②

【解析】略

13.【答案】(3,1)

【脩析】略

14.【答案】40°

/40度

【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)平

行線的性質(zhì)可得乙FGH=Z1=130%然后利用三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：如圖：

E

A

由題意得：AD//BC,

zFGH=zl=130°,

???乙FGH是團(tuán)￡FG的一，個(gè)外角，

:.乙FGH=42+Z.E,

???乙E=90°,

Z2=130°-90°=40°,

故答案為：40。.

15.【答案】苧

【解析】解：如圖，作直線。H1BC,交BC于H,交介于A,A

由題意可知，當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)H位置時(shí)，△48C的面積的最大，/7

?."AC=60。，OH1BC,I//

乙BOH=60°,

在At△08"中，OH=OB-cos乙BOH=1x1=i,BH=OB?sin4BOH=1x

=,

2---2

則BC=2BH=73,AH=1+六I，

「1f33\T5

=XX=

：?S&A，BC2^^2

故答案為：孚.

4

作直線OHIBC,交BC于H,交而于4,根據(jù)圓周角定理求出zBOH,根據(jù)余弦的定義求出0”,根據(jù)正

弦的定義求出8H,根據(jù)垂徑定理求出BC,再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.

本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】苓

【解析】解：如圖，連接力入

在矩形48。。中，Z.ADC=90°,ZC=ZF=90°,

???△的外接圓與DE交于點(diǎn)心

，AFE+4B=180°,

...Z.AFE=Z.AFD=90°,

vAB=CD=8,BC=AD=12,E為力。的中點(diǎn),

???DE=DC2+CE2=<82+62=10，

8S皿C=器-￡

'：AD//BC.

:.乙ADF=乙DEC,

DP3

:，CDSZ-ADF=—AD=5

DF3

’12=5,

:，DF=普，

EF=10-^=^.

故答案為：y.

連接力F,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可得乙4FE=〃FD=90。，因?yàn)镃OSNDEC=COSN/W尸=￡在Rt△

4DF中，利用銳角三角函數(shù)即可得出。尸的長，則可得出答案.

本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義.解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì).

17.【答案】解：(1)如圖，點(diǎn)M即為所求，M(5,5)；

半徑r=V224-52=V29.

⑵△48c的外接圓與工軸的另一個(gè)交點(diǎn)E坐標(biāo)是(7,0).

【解析】本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的外接圓與外心等知識，解題的關(guān)鍵是連接三角形的外心是各

邊垂直平分線的交點(diǎn).

(1)線段BC,/1B的垂直平分線的交點(diǎn)M,即為△48。的外接圓的圓心，進(jìn)而即可得到答案；

(2)根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論.

18.【答案】見解答；

5

2,

(2)???ZC=90°,

??.AB"4BC的外接圓的直徑，

的夕卜接圓的半徑=1.

故答案為:|.

(1)作48和BC的垂直平分線，它們相交于點(diǎn)。，然后以。點(diǎn)為圓心，0A為半徑作圓即可；

(2)根據(jù)圓周角定理得到AB為直角△ABC的直徑，從而得到△4BC的外接圓的半徑.

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)

把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了三角形的外接圓和圓周角定理.

19.【答案】2,0；

點(diǎn)。在。M內(nèi).

【解析】解：(1)如圖1,點(diǎn)M就是要找的圓心；

圓心M的坐標(biāo)為(2,0).

故答案為：2,0；

(2)圓的半徑/1M=(22+42=2\七.

線段MO=J(4-2)2+(-2-0)2=/8=2/2<2—H所以點(diǎn)。在OM內(nèi).

(1)由網(wǎng)格容易得出AB的垂直平分線利8C的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為點(diǎn)M,根據(jù)圖形即可得出點(diǎn)M的

坐標(biāo)；

(2)用兩點(diǎn)間距離公式求出圓的半徑和線段0M的長，當(dāng)DM小丁?圓的半徑時(shí)點(diǎn)。在圓內(nèi).

本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及垂徑定理，利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)得到圓心M的坐標(biāo)是解題

的關(guān)鍵.

20.【答案】BC的長是2.

【解析】解：???。。14c于點(diǎn)AC=4AT2,DE=4,

:.AD=CD=^AC=2/2,乙ADO=90°,

vCD2+AD2=OA2,且0A=0E=4-。。,

???加+(2/1)2=(4-0。)2,

解得。0=1,

???0是4B的中點(diǎn)，。是AC的中點(diǎn)，

BC=2OD=2,

8C的長是2.

由0D1AC于點(diǎn)。，根據(jù)垂徑定理得=由勾股定理得。標(biāo)+（2，2）2=[4-。。）2,

求得0。=1,則8c=20D=2.

此題重點(diǎn)考查垂徑定理、勾股定理、三角形的中位線定理等知識，正確地求出A0的長進(jìn)而求H。。的長是

解題的關(guān)鍵.

21.【答案】畫圖見解答：（1,2）.

見解答.

見解答.

【解析】解：（1）如圖，分別作線段4B,8c的垂直平分線，相交于點(diǎn)P,以點(diǎn)P為圓心，P4的長為半徑畫

懼I,

則O尸即為所求.

由圖可得，圓心P的坐標(biāo)為（1,2）.

故答案為：（1,2）.

（2）如圖，A&BiC即為所求.

（3）如圖,△從2&&即為所求.

⑴分別作線段8C的垂直平分線，相交于點(diǎn)P,以點(diǎn)P為圓心，P4的長為半徑畫圓，則OP即為所

求，即可得圓心P的坐標(biāo).

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可.

(3)根據(jù)中心對稱的性質(zhì)作圖即可.

本題考