天津市五區(qū)縣重點校2024-2025學年高一下學期4月期中聯(lián)考

數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設i為虛數(shù)單位，若Z|：l+百）=2i,則崗=（）

A.1B.72C.2D.272

2.在VA8C中，4力是角AB的對邊，a=2,b=遍,A=45,則角3的值為（）

A.60°B.150C.30°或150D.60?；?20

3.設品了￡〃向量〃=（.%1）力=（1,），）,。=（2,-4）,且aJ_c,b〃c,則1+）'=（）

A.0B.IC.2D.3

4.一個四邊形用斜二測畫法得到的直觀圖是一個底角為45。，腰和上底長均為1的等腰梯

形，則該四邊形原來的面積為（）

&+1

5.若球的表面積擴大到原來的9倍，那么該球的體積擴大到原來的（）倍

A.9B.27C.81D.729

6.已知甲船位于燈塔A的北偏東70方向，且與A相距3海里，乙船位于燈塔A的北偏西50

方向，若兩船相距M海里，則乙船與燈塔A之間的距離為（）

A.2GB.2C.73D.5

7.若某圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓面，其內(nèi)接正四棱柱的高為正，則此正

3

四棱柱的體積是（）

A,隨□r8>/3n

882727

8.四邊形A3c。是邊長為1的正方形，延長。。至E,使得CO=OE，若點尸為線段AE上

的動點，則尸的最小值為（）

37

A.-B.1C.-D.2

88

9.在VAAC中，分別是角A,5,C?的對邊，下列四個命題中正確的個數(shù)為（）

①若/xx）sC+eosB=8，則VA4C是等腰三角形；

②若位osA=AosB,則VABC是等腰三角形；

③若/+/—。2>0,則VA8C一定是銳角三角形：

④在VA4c中，A=p?=>/6,若VA4c有一個解，則〃的取值范圍是〃=2&或（）<〃<?.

A.IB.2C.3D.4

二、填空題

10.i是虛數(shù)單位，復數(shù)汽的虛部為.

11.己知四棱錐底面是邊長為1的正方形，頂點在底面的投影為底面的中心，若

該四棱錐的體積為則它的表面積為________.

6

12.已知悶="忖=1，,同=2,若〃十助與“+2》的夾角為銳角，則實數(shù)次的取值范圍

是.

13.如圖，在正方體ABCD-ABCR中，用是棱4/9上的點，且AM=；A8,尸是棱4%上

的點，且“>=：例.延長Q4"P,CM,三條直線交于G,平面MCRP將此正方體分為兩

部分，設兩部分體積分別為匕和匕化〈匕），則*的值為.

14.在VWAC中,48=2.4C=3且|3/IA8+2(1—/l)AC|的最小值為3,則NMC=

若點E、F分別為線段AB與線段AC上的動點，且線段跖交中線AO于G「AEF的面積為

V人面積的一半，則AG-EZ7的取值范圍是

三、解答題

15.若復數(shù)z=(〃/+6-6)+(m2—〃?-2)i(/HGR,i是虛數(shù)單位).

試卷第2頁，共4頁

(1)若Z是純虛數(shù)，求〃?的值；

(2)z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，求機的取值范圍.

16.已知VA3C的內(nèi)角A氏。所對的邊分別為砥權c,a=2百口=3,且滿足

b-asin^-sinC

=~,

csin/A+sinn

(I)求角A的值；

⑵求對24+胃的值.

—2—

17.如圖，在VA8C中，AO=gA8,點E為4c中點，點尸為8c上的三等分點，且靠近

點C,設CA=a,C8=〃.

(2)若NAC8=60,AC=2,且C￡>_L所,

①求8C的長；

②求C。在方向上的投影向量(結果用〃表示).

18.如圖，已知正三棱柱人8。一人出6的體積為4"，點E”分別為棱4C與八4的中點.

(1)若V48C邊長為2,求三棱柱48C-A同G的高;

(2)求三棱錐C-4￡尸的體積；

(3)若球。與三棱柱A8C-A4G的各棱均相切，求球。的表面積.

《天津市五區(qū)縣重點校2024-2025學年高一下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題》參考答案

題號123456789

答案ADAABBCBA

1.A

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算和復數(shù)模的計算公式即可求得.

2i2i(l—后)￡!.

［詳解］--I-；-7---尸”----尸、~—?

1+V31(l+V3i)(l-V3i)22

所以忖r圖+出=L

故選：A.

2.D

【分析】利用正弦定理計算，結合三角形內(nèi)角范圍即可得解.

【詳解】在VA3C中，a=2,b=?A=45,

2=巫8

由正弦定理得加ZinB，則sin8=二，

—2

2

因()<8<180。，則8的值為60。或120。.

故選：D.

3.A

【分析】根據(jù)aJ.C的垂直關系，可求出匯=2；根據(jù)力〃c的平行關系，可求出2,進

而求出工+y的值.

【詳解】因為￡_LC,所以2x—4=0

因為Z?//c，所以~4-2)，=0

fx=2

所以《,所以x+y=。

故選：A.

4.A

【分析】利用已知條件求出直觀圖的面積，再利用S原=2aS直即可求解.

【詳解】

答案第1頁，共13頁

D'C

如圖，根據(jù)題意知，A'=45。，A,iy=CD,=\,

所以等腰梯形的高力=AO'sin45。=—,下底的長為1+2A'￡=1+2x1xcos45°=1+6，

2

所以等腰梯形的面積為Sft-ly（l4-l+V2）x^-笥色

所以該四邊形原來的面積為S原=2拒5「（=2&xL^g=2+>/L

故選:A.

5.B

【分析】由球的表面積和體積公式可知，球的表面積之比為半徑比的平方，體積比為半徑比

的立方.

【詳解】設擴大前后球半徑分別為44，

4m.2I（rfr

由表面積之比為普=冬=二=9,得，=3,

4%26⑴「2

43X

一叫3（V

則體積之比為—=3=上=下=27.

料，G⑴

故選：B.

6.B

【分析】由圖結合余弦定理可得答案.

【詳解】設甲船位于點8處，乙船位于點C處，

則由題意可得，48=3,BC=M，ZC4B=500+70°=120°,

則由氽弦定理可得：BC'=AC'+AB'-2ACABcosziCAB

即19=AC2+9+3AC,即（4C+5）（AC—2）=0,得AC=2,

故乙船與燈塔A之間的距離為2海里.

故選：B.

答案第2頁，共13頁

NA

WE

7.C

【分析】求出圓錐的底面半徑與高，設棱柱的底面對角線長的一半為X，而為人根據(jù)比例

式得出x,力的關系，可求工的值，根據(jù)柱體的體積公式可得答案.

【詳解】設圓錐底面半徑為「，因為母線長為/=2,

則半圓弧長=兀/=2兀=底面周長:271r，

所以r=1,圓錐的面為20=亞二產(chǎn)=6

如圖，設O'3=x,則石4=&X，設<%>'=介，則尸0'=6一〃，

因為翳嘿

.xy/3-h.h

■.—=—,=—=1—尸>

1673

所以〃=>/3(1—x)=>

**?-V=,vh=2x±x3=述,

9327

故選：C.

【分析】以點A為坐標原點，AB.AD所在直線分別為x、V軸建立平面直角坐標系，設

點尸(X,T),其中-IWXWO,利用平面向量數(shù)量積的坐標運算以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)求

答案第3頁，共13頁

得戶的最小值.

【詳解】以點A為坐標原點，48、A。所在直線分別為工、>軸建立如下圖所示的平面直

角坐標系，

則A(0,0)、8(1,0)、設點尸(%,r),其中TWxWO,

所以，BF=(x-\-x)tCF=(x-l,-x-l),

所以，BFCF=(x-\)2-x(-x-1)=lx1

因為函數(shù)y=2卜-;j+g在區(qū)間卜I,。］上單調(diào)遞減，

當x=0時，BFCP取最小值1.

故選：B.

9.A

【分析】先給出射影定理慶osC+eos8=〃，再利用正弦定理結合兩角和的正弦公式證明,

最后結合Z>cosC+ccos8=b判斷①，舉反例判斷②，③,④即可.

【詳解】對于①，首先，我們給出射影定理AosC+ccoW=。，

若證bcosC+ccosB=a,則證sinBcosC+sinCcosB=sinA即可，

即證sin(8+C)=sinA即可，

而在VA8C中，sin(8+C)=sinA成立，即射影定理得證，

因為ZJCOSC+ccosB=b,bcosC+ccosB=a,所以a=Z?,

則VA8C是等腰三角形，故①正確，

對于②，當從二^,8=2,〃=6，匕=3時，

63

滿足acosA=AcsB,山勾股定理得c-2石，

答案第4頁，共13頁

但此時VABC不是等腰三角形，故②錯誤，

對于③，令a=3,〃=5,c=4,滿足L+〃-c?＞0,

由勾股定理逆定理得"+。2=從，此時8=5，

此時VAKC不是銳角三角形，故③錯誤，

對于④，當〃=卡時，因為A=：〃=C，所以VA3C是等邊三角形,

則A=B=C=?a=b=c=R,此時滿足VA8C有一個解，

即則。的取值范圍不可能是方=2&或0＜力＜"，故④錯誤，

綜上，下列四個命題中正確的個數(shù)為1個，故A正確.

故選：A

10.-

2

【分析】利用復數(shù)除法運算和虛部定義可直接求得結果.

【詳解】?辛=霜僵二號4+寺「?言的虛部％

1-1222

3

故答案為：

11.3

【分析】根據(jù)體積可求出四棱錐的高，可由此求出棱長，即可求出表面積.

【詳解】如圖，設底面中心為。,

則％.ABm=；xlxlxP°二可得尸°=當，

因為底面為正方形，貝1」從。=

則人244的邊4A邊上的高為

則該四棱錐的表面積為lx】+4xgxlxl=3.

故答案為：3.

答案第5頁，共13頁

p

AB

12.且義工2

【分析】由兩向量的夾角為銳角得兩向量的數(shù)量積大于0且兩向量不共線求解即可.

【詳解】因同=有帆=中一,=2,

由,一/，=(a——2〃?/?=3+1—2〃?/?=4,解得a/=0，

若〃+/〃與〃+%的夾角為銳角，

貝lJ(a+/l〃)(a+2〃)>(),且“+力力與”+2〃不共線，

由同2+24忖2+(2+2)〃.〃>0,即3+24>0,解得2>-|,

由a+/ib與〃+2)不共線，可得義工2,

a

故實數(shù)％的取值范圍為久>-5且/1。2.

故答案為：且丸工2.

13.兄

41

【分析】設正方體的棱長為3,求出正方體的體積、臺體。AM-〃QC體積，得到剩余部分

的體積，即可求出答案.

【詳解】連接A8,設正方體44co-A4GA的棱長為3,則正方體的體積

匕1d=3"=27,

由AP=；A4得尸M〃46,又〃D、C,所以

而0AD、P,CM的延長線交于G,所以P4M-ROC為三棱臺，

)=：］+醫(yī)+"、3=畀匕

VpAMfDC=§力(SPAM+\jS?S*.+SD{)iC

cr1341-M_13

匕=27-萬=萬，，所以％=

答案第6頁，共13頁

【分析】①令AP=3/UB+2（1-4）AC,4M=3A氏AN=24C,MN的中點為Q,則

AQ=\AP\=3,求得NMAQ=3,即可得NA4C②利用平面向量的共線定理結合基底表

I1mm3

示數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可.

【詳解】①令AP=34A8+2（1-4）4C,AM=3A8,AN=2AC,

則AP=4AM+(1—2)AN,

即AP-AN=A[AM-AN),

所以NP=/INM，即點。在直線MN上.

設MN的中點為Q,因為A〃=4V=6,所以AQ_LMN

因為AQ=|Q|=3,cosZMAQ=-^-=~,：.ZMAQ=-

IminAM23

所以ABAC=2ZMAQ=y

AG-/JAD

②設?AE=mAB,由向量共線的充要條件不妨設AG=.iAE+F4-x+)，=lb

AF=nAC

則AG=xAE+yAF=xmAB+ynAC,

又4G=〃AO=/(A8+AC)=348+/AC

則xm=yn=—即—+—=1,

2f2m2n

答案第7頁，共13頁

—xsin1200ME-AF..

乂的面積為VA3C面積的一半,得-f-------------------二5<=-

-xsin!20°22

2

所以合+〃-1,〃=瑪.

由①得z4fi-4C=2x3cosy=-3

/.AGEF=AB+AC)(〃AC—〃nAB-AC-mABAC-mAB+nAC

3-m217

2/H2+1--2+4W2+2

172H

------；----€，-

24"+236

所以AGE/仁之與.

36

15.(1)-3

⑵（-3,-1）

【分析】（1）由純虛數(shù)的定義建立方程，求解即可;

（2）由第二象限的點的特征建立不等式組，求解即可.

2

【詳解】⑴解：因為Z是純虛數(shù),所以，二二2：。,解得〃I，

所以〃?的值為-3；

（2）解：因為z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，

所以解得-3V-

nr-/K-2>0

所以，〃的取值范圍為（-3,-1）.

16.（1）A=1

⑵

16

【分析】（D先由正弦定理邊角轉(zhuǎn)化結合余弦定理計算求解;

答案第8頁，共13頁

（2）先應用二倍角公式結合兩角和差正弦公式計算求解.

【詳解】（1）因為生工_sinB-sinC

sin4+sin^

由正弦定理可得生工=二,

ca+b

整理得從+。2一/=火，

be1

由余弦定理可得cosA=W"=---=—,

2bc2bc2

且Ae（O,兀），所以A=g.

ba32G..._3

—.sinDo=一

（2）由正弦定理知sin8si114sinBG4,

T

又人<a,二B<A,cosB=—,

4

?i?aai3"3幣

sin28=zsinocoso=2x—x--=----?

448

cos28=2cos?B-l=-1=-^

?—c兀3>/7>/3i13V21-1

/.sin2B+—=sin2Bcos—+cos2^sin-=---x------x—=-------

\6J66828216

I-I-32-

17.（1）EF=-b一一a,CD=-a+-b

3255

（2）①8c=3；②？

【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得;

（2）①由可得CDEF=0,根據(jù)數(shù)最積的運算律計算可得；②根據(jù)。。在C8方

CDCBCB

向上的投影向量為下一向計算可得.

【詳解】（1）因為人。=：人8,點E為AC中點，點尸為BC上的三等分點，且靠近點C,

同〒以E尸=C/一CE=1CB—』CA=1匕一」a,

3232

CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-（CB-CA]=-CA+-CB=-a+-b.

55、75555

（2）①因為C￡>_LE/,所以CDE產(chǎn)=（，+%'.3j）二°，

所以箭一/2=o,由同=2,可得忖=3（負值已舍去），即8c=3；

答案第9頁，共13頁

(32、

-a+-bb

②。。在C8方向上的投影向量為CDCB=CDb〃=_^—b

\CB\\CB\\bf

&"+||引-x2x3xl+-x9

525-3一

-------------0-b=-b,

~9~5

18.(1)4。

⑵當

(3)爭

【分析】（1）根據(jù)三棱柱的體積公式求解;

（2）利用等體積法％T￡F=%TCE，進行求解;

（3）設正三棱柱ABC-A4G的底面邊長為a,高為。，上底面中心為。|,下底面中心為G,

連接QG,則球0的球心。在00的中點上，根據(jù)球。與三棱柱ABC-AAG的各棱均相切,

求得a=b=2&，可求解.

【詳解】（1）設VA3C的高為力，

SABC=gx6x2=6,

kVABL=坐=4?；

S,ABC6

（2）VJAEF=匕-ACE=§,S.ACE.人尸

=；,：SA8c,:朋=5匕仆詔I=5'4指=乎；

。乙乙1乙D

（3）設正三棱柱ABC-A￡G的底面邊長為〃，高為力，上底面中心為。］，下底面中心為G,

連接。。,則球。的球心。在。。的中點上,

G

答案第10頁，共13頁

球。切棱AA于尸，切棱BC于E,

由題意匕8CABC=4幾，①

A"(-A4cl4

ifOF=AG=---=—a,GE=ci口b

因ra為?兀36，乂n°rG=7,

2sin—2

3

所以。E=Ja丁+G爐

所以冬=持口解得a=〃②，

聯(lián)立①②可得所以球。的半徑為人生考,

32

所以球。的表面積為S=4兀R?=4n一71

3

19.⑴①。號②(1+6,3]

3-2加卜

Q)

"I-

【分析】（1）①利用正弦定理邊角互化可得尸+/-1="，再利用余弦定理即可;

22

②利用正弦定理得到。=忑sinAh=耳sin8,再利用兩角和差公式以及輔助角公式化簡周

長，最后利用]<4<三求出三角函數(shù)的值域即可;

o2

（2）先將條件化為a+b=c（cosA+cos3）,再利用正弦定理得

sinA+siriB=sinC（cosA+cosfi）,利用兩角和差公式化簡得到C=],再利用基本不等式求

出〃十。的范圍，利用直角三角形內(nèi)切圓半徑公式r=；g+〃-c）求出，?的范圍，即可求出