專題06三角形的認識和全等三角形綜合（50題）

000?考點01：二角形的認識

（2025?福建?中考真題）

1.某數(shù)學(xué)興趣小組為探究平行線的有關(guān)性質(zhì)，用一副三角尺按如圖所示的方式

擺放，其中點4,E,3廠在同一條直線上,

上B4C=上90°,上方=45°,上。所=60°.當(dāng)力。］［8。時，DADE的大小為（）

A.5°B.15°C.25°D.35°

（2024?福建?中考真題）

2.在同一平面內(nèi)，將直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（CDtDE）按如用方

式擺放，若IICZ）,則上1的大小為（）

A.30°B,45°C.60°D.75°

（2024?福建?中考真題）

3.小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計了一個“蝴喋”的平面圖案.如圖，其中

△049與“MC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線/對稱，點E,廠分別是底邊

AB,CQ的中點，OEA.OF.下列推斷錯誤的是］）

試卷第1頁，共18頁

B.上BOC二

C.OE=OFD.±J^OC+±AOD=180°

（2023?福建?中考真題）

4.若某三角形的三邊長分別為3,4,m，則加的值可以是（）

A.1B.5C.7D.9

（2022?福建?中考真題）

5.如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形4BC,其中±ABC=27\

8c=44cm,則高4。約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin27°?0.45,cos27°?0.89,

tan27°?0.51）

A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm

（2025?福建?中考真題）

6.某房梁如圖所示，立柱4。八8。，E,產(chǎn)分別是斜梁力8,4C的中點.若

AB=AC=8m,則DE的長為m.

7.如圖，是的角平分線.若上A=9（），,樹）=0,則點。至必C的距

離是.

試卷第2頁，共18頁

（2025?福建?中考真題）

8.如圖，ZX/IB。是等邊三角形，。是的中點，CE_LBC,垂足為C,E尸是由

CQ沿CE方向平移得到的.已知功過點4,BE交CD于點、G.

（1）求。。＜芯的大小；

⑵求證：aCEG是等邊三角形.

考點02：全等三角形

（2023?福建?中考真題）

9.閱讀以下作圖步驟：

①在O力和（加上分別截取使OC=OD;

②分別以c。為圓心，以大于夕。的長為半徑作弧，兩弧在

OAOB內(nèi)交于點M;

③作射線。叫連接CKDV/,如圖所示.

根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（）

試卷第3頁，共18頁

A

（2024?福建?中考真題）

13.如圖，在菱形力88中，點E、/分別在8C、CQ邊上,

（2024?福建?中考真題）

14.如圖，已知直線3S.

___________________/2

⑴在小所在的平面內(nèi)求作直線/‘使得且/與響的距

離恰好等于/與4間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保

留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若4與4間的距離為2,點力㈤。分別在34

上，且△”c為等腰直角三角形，求△相€：的面積.

（2023?福建?中考真題）

15.如圖，OA=OC,OB=OD,7AOD=7COB.求證：AB=CD.

試卷第5頁，共18頁

AC

Q

BD

（2022?福建?中考真題）

16.如圖，點C,F在BE上,BF=EC,AB=DE,上B二上E.

求證：_t1=±￡>.

（2021?福建?中考真題）

17.如圖，在心36c中，kACB=90°.線段所是由線段相平移得

到的，點/在邊叱上，然。是以文為斜邊的等腰直角三角形，

且點。恰好在我的延長線上.

（1）求證：上4DE=±DFC；

（2）求證：CD=BF,

（2021?福建?中考真題）

18.如圖，在△力8。中，。是邊3C上的點，DE±AQDF±AB9

垂足分別為E,F,^DE=DF,CE=BF.求證：上8=上。.

試卷第6頁，共18頁

一、單選題

（2025?福建南平?二模）

19.如圖,在△力8。中，±BAC=90\AB=AC=59點。為”邊上一點，且

力。二2,點七在3。邊上（點E不與點8、。重合），將旬2法沿折疊，使得點

3的對應(yīng)點網(wǎng)落在8C邊上，則線段相＜t的長為（）

（2025?福建龍巖?一模）

20.若三角形的三邊長分別為3,5,〃?，則〃，的值可以是（）

A.1B.2C.6D.9

（2025?福建廈門?二模）

21.如圖，已知△48C是等邊三角形，AB=2,是8c邊上的高，E是4c的

中點，尸是力。上一動點.則PE+PC的最小值是（）

A.1B.0C.二D.J5

（2025?福建龍巖?二模）

22.如圖，已知上MON=90。，點/是射線。必上的一個定點，點8是射線ON上

試卷第7頁，共18頁

的一個動點，且滿足08>0/.點C在線段O1的延長線上，且4C=O8.點。在

線段。月上，且3。=04,連接川9,CD,則上。8/+上。CO二（）

A.60°B,55°C.50°D.45°

（2025?福建漳州?二模）

23.在Rt△川?。中，上%90。,上8=30。，用尺規(guī)在口邊上求作點。，使得

AD^BD.下列作法錯誤的是（）

（2025?福建?二模）

24.如圖，AB//CD,上2=2上D,若上1=40。，則上2的度數(shù)為（）

二、填空題

（2025?寧夏銀川?二模）

25.如圖，在Rt△48c中，kACB=90°,上4=60。，JC=3,將。繞點。按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)得到△川8CC,此時點加恰好在力B邊上，則點網(wǎng)與點3之間的距

離

試卷第8頁，共18頁

26.如圖，在RIA48C中，上C=90。，48的垂直平分線。E交BC于點。，垂足為

點、E,連接4）,若力。平分DC48,BC=6,則4D的長為.

（2025?福建廈門?二模）

27.如圖是某高速公路在轉(zhuǎn)向處設(shè)計的一段圓曲線（即圓?。瑱C動車轉(zhuǎn)彎時從

曲線起點力行駛至終點8,過點4B的兩條切線相交于點C,機動車在從點力

到點8行駛過程中轉(zhuǎn)角為a.若這段圓弧的半徑04二門m,a=60。，則圖中危險

區(qū)（陰影部分）的面積為一.

（2025?福建莆田,三模）

2X.在RtZ\/44C中，上428=90",JC=6,BC=8,。是4?上一個動點，將△&?￡）

沿C。折疊得到鉆8,當(dāng)。石平行△48。的一邊時，點E到4c邊的距離為

.（2025?福建泉州?二模）

29.如圖，一束平行于主光軸MN的光線經(jīng)凹透鏡折射后，其折射光線所在

的直線所與一束經(jīng)過光心O的光線力。相交于點P,尸為凹透鏡的焦點.若

±1=130°,上2=30。，則±3的度數(shù)為

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30.小東同學(xué)使用激光筆進行折射實驗.當(dāng)光線從空氣進入水中時，它的傳播方

向會發(fā)生改變.已知實驗裝置中液面與玻璃杯底面平行，其截面圖如圖所示.若

（2025?福建泉州?三模）

31.如圖，△/13C中，上。=90。，4D平分DB4C交BC于點D,

，AC=1cm?則長為cm.

（2025?福建廈門?三模）

32.如圖是學(xué)校屋頂人字形（等腰三角形）鋼架結(jié)構(gòu)，己知力3=%。，上4=36。,

則DBAC的度數(shù)是.

（2025?福建廈門?二模）

33.《九章算術(shù)》“方田章”中記載了關(guān)于圖形面積的經(jīng)驗公式，其與實際的較小

試卷第10頁，共18頁

誤差令人由衷感嘆我國古代勞動人民的智慧.其中的弧田術(shù)：“以弦乘矢，矢又

自乘，并之，二而一.”即：弓形面積=（弦長X矢長+矢長X矢長）+2.如圖，一

塊弓形田的弦力8長為12m,矢6長為243m，用弧田術(shù)計算其面積，與實際的

誤差為______T取古圓周率3）

（2025?福建廈門?二模）

34.如圖，已知△48C,點。在8C延長線上，上.4=60。,上130。，則上8二一

三、解答題

（2025?福建福州?三模）

35.如圖，在中，上4C8=90,0為中點.

（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：

在邊45上找一點E,使得上?！?。=上。力。；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若tan上/"求線段CE的長.（如需畫草圖，請

使用備用圖）

（2025?福建福州?三模）

36.綜合與實踐

對于均質(zhì)等厚薄板（平面組合圖形）的重心位置可通過分割法計算，即將組合圖

形分解為若干個簡單規(guī)則圖形（如矩形、三角形、圓形等），分別求出各簡單圖

形的重心坐標和面積，再利用加權(quán)平均公式計算組合圖形的重心.以下是具體公

試卷第11頁，共18頁

式和步驟，根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

在使用分割法前，需先掌握以下基本圖形的重心位置

圖形重心說明

素矩形幾何中心對角線的交點

材

1三條中線交點頂點坐標為（用,M），

三角形

{3t3）（X2,%）,（孫為）

面幾何中心圓心

建立平面直角坐標系確定重心位置公式的步驟：

1.建立坐標系：根據(jù)圖形特點建立平面直角坐標系，使圖形的各部分在同

一坐標系中便于描述，比如讓對稱軸與坐標軸重合等.

2.分割圖形：將平面組合圖形分割成幾個簡單平面圖形，確定每個簡單圖

素

形的面積”，

材

3.確定簡單圖形重心坐標：求出每個簡單圖形重心在已建立坐標系中的坐

2

標（孫必）?

4.代入公式計算：把4,（孫力）代入重心坐標公式，計算出組合圖形重心

坐標GM，其中；=中±,-./川

負面積法（挖空圖形）：若組合圖形包含挖空部分（如矩形中挖去圓形），

素

可將挖空部分視為“負面積’‘，重心公式調(diào)整為（.『6）,其中

材

3——X整仆空博-“、＜S也與_）‘畢體S空隹二歹護中S徨空

x-.y-''.

S整體-S挖空$整體-S挖空

任

務(wù)求陰影部分圖形的重心坐標.

試卷第12頁，共18頁

求陰影部分圖形的重心坐標.

任

務(wù)

求陰影部分圖形的重心坐標（結(jié)果保留"）.

任

三

（2025?福建三明?三模）

37.如圖，在△ABC中，AB=AC,AB>BC.點。在△N8C外，點￡在力C上

,±VBC=90°,4BDE^^BCE,

瞽用圖

（1）求作△以必；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

試卷第13頁，共18頁

Q）若DE交4B于點F,連接。，分別交口，BE于點、G,H,過點。作。例_LAB,

垂足為M，交6E于點N.請在備用圖中畫出相應(yīng)圖形，并證明C。平分上4CM.

（2025?福建三明?三模）

38.如圖，在△力8C中，點。在48上，E是力。中點，CF//AB,延長線交

3于點廠.求證：DE=EF.

（2025?福建廈門?二模）

39.如圖，在中，上C=9（）°.

（1）在AC邊上確定一點O,以。為圓心，0c為半徑作e。，使得e。與力3邊相

切于點。（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）已知4C=3,8c=4,在所作的圖形中，求e。的半徑.

（2025?福建福州?三模）

40.如圖，△48。是等邊三角形，。是BC上的點，點上在△/灰?外，且CE

,CE=BD.求證：△ABD9AACE.

（2025?福建廈門?二模）

41.如圖,在RtZX/BC中，上C=90°,47=8,8。=6,

試卷第14頁，共18頁

A

⑴尺規(guī)作圖：將繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到&DBE，使得點C的對應(yīng)

點￡恰好落在線段的上；（不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，連接力。，上”。的平分線”交彳。于點尸，連接所.求EF

的長.

（2025?福建福州?三模）

42.如圖，.bl=±D=90°,^E=DF.EC=FB,求證：上E二上尸.

（2025?福建三明?二模）

AB>AC,

⑴尺規(guī)作圖：作￡）力的平分線交8C于點。，在44上截取力七RC,連接?！?（不

寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，求證：上C＞上8.

（2025?福建龍巖?二模）

44.如圖，點3,E,C,尸在同一條直線上，BE=CF,4C=DF,ACIIDF,求

45.如圖，已知點8,C,DE在一條直線上，上4BD二上FCE,4B=FC,BC=DE.求

證；ADIIFE.

試卷第15頁，共18頁

A

46.2025年，泉州市緊跟“數(shù)字中國”戰(zhàn)略步伐，全面推進“數(shù)字泉州”建設(shè)工程,

重點扶持科技園區(qū)的5G通信基礎(chǔ)設(shè)施升級與優(yōu)化，旨在打造東南沿海數(shù)字經(jīng)濟

新高地.在“信號升格”專項行動中，某校數(shù)學(xué)社團受邀參與該項目，通過數(shù)學(xué)建

模與工程實踐結(jié)合的方式，探索數(shù)學(xué)在新型基建中的實際應(yīng)用價值.

任務(wù)一：信號塔支架的角度設(shè)計是確保信號穩(wěn)定傳輸?shù)年P(guān)鍵環(huán)節(jié)，為了提供精確

數(shù)據(jù)支撐，助力5G信號塔高效運作，同學(xué)們仿照學(xué)習(xí)特殊角三角函數(shù)值時求

加卻?=:的方法，構(gòu)造含有22.5。角的直角三角形48C,如圖1.請結(jié)合尺規(guī)作圖，

求tan22.5。的值.(作圖保留作圖痕跡，不要求寫作法)

圖I

任務(wù)二：依據(jù)泉州市2025年通信建設(shè)“降本增效、綠色集約”的政策要求，需對

園區(qū)線路布局進行優(yōu)化以實現(xiàn)資源最大化利用.如圖2,在等腰直角三角形月6c

區(qū)域中，43=10()米，AN、CM為通信線路.為減少材料損耗、降低施工成本，

若4米，求當(dāng)。取何值時，通信線路4'+CM的長度有最小值.

試卷第16頁，共18頁

w

H

（2025?福建福州?二模）

47.如圖，在△43C和△OC8中，力伐C'。相交于點0,1ACB=1JDBC=90°,

±ABC=±J)CB.求證：OA=OD.

（2025?福建莆田?二模）

48.等邊三角形48c中，點。，E,尸分別在胡，,AC的延長線上，且

EF,求證：DE=EF.

（2025?福建泉州?二模）

49.如圖，在△4?。和中，ALBAD=1.CAE,二上Q,AC=AE.求證:

AB=AD.

試卷第17頁，共18頁

50.如圖，點A,B,。在同一直線上，ADRBE,7ABD=7BEC,AD=BC.證

明：BD=EC.

51.如圖，在等腰三角形48。中，74a=90。，點。為"邊上的點.

(1)尺規(guī)作圖：在△力AC的外側(cè)作△C8E,使得壞寫作法，保留

作圖痕跡)

⑵在(1)所作的圖形中，當(dāng)力。=2DB時,求tan7c￡8的值.

試卷第18頁，共18頁

1.B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

上D4E=上8。=45。，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，進行求解即可.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：上思90°,上8=45°,

:上4cB=45°,

:ADWBC,

:±DJ￡=±^C/?=45°,

:上DEF=上DAE+1ADE=60°,

:±JD￡=15°;

故選：B.

2.A

【分析】本題考杳了平行線的性質(zhì)，由/出IICO,可得上=60。，即可求解.

【詳解】\ABIICD,

:上CDB=60°,

:CDJ_DE,則上以陀=90°,

:±1=180°-±CZ)B-±CD￡，=30°,

故選：A.

3.B

【分析】本題考查了對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等：

A.由對稱的性質(zhì)得上JOB=上DOC,由等腰三角形的性質(zhì)得上呢沱二:上〃M,

UX)i\u)0C,即可判斷；

B.DBOC不一定等于DAOB,即可判斷；

C.由對稱的性質(zhì)得AO/IN也△OQC,由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；

D.過O作GW±OH,可得上GOO=上BOH,由對稱性質(zhì)得DBOH=DCOH同理可證

上4。必二上次即可判斷；

掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.QOE_LOF,

:上BOE+上BOF=90°,

答案第1頁，共35頁

由對稱得上/I08=±DOC,

Q點E,尸分別是底邊CO的中點，△。48與△OOC都是等腰三角形,

；.，BOE=\ZAOB.，00卜=；2DOC,

:上BOF+上力。產(chǎn)=90°,

：OB±OD,結(jié)論正確，故不符合題意；

B.B4OC不一定等于0406,結(jié)論錯誤，故符合題意；

C.由對稱得△CM8空△ODC,

:點E,產(chǎn)分別是底邊力8,C。的中點，

：OE=OF,結(jié)論正確，故不符合題意；

過。作GM_LO〃，

：±GOD+±f)OH=90°,

Q40H+上Z)OH=90。，

:上GO。=上BOH,由對稱得DBOH=DCOH,

:上GO。=±_C0H,

同理可證上HOM=上BOH,

:DAOD+DBOC=上4OD+上JQW+上DOG=180°,結(jié)論正確，故不符合題意；

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解即可.

【詳解】解：由題意，得4-3<m<4+3,即1<加<7,

故〃?的值可選5,

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

5.B

答案第2頁，共35頁

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及8C=44cm,可得僅=、用22un,根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)及上J8C=27°,可得上JC4=±/也。=27°,在北切。。中，由力。二tan27°x。。，求

得力。的長度.

【詳解】解：：等腰三角形43C,AB=AC,AD為BC邊上的高,

:?DC二BC.

:9C=44cm,

???”=g8C=22cm.

:等腰三角形48C,AB=AC,上4BC=27。,

:±/1C5=±JZ?C=27°.

:力。為8C邊上的高，上4cB=27。,

:在RS<DC中,

AD=tan27°xCD,

:tan27°?0.51,DC=22cm,

0.51x22=11.22cm.

故選：B.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握正切的定義是解

題的關(guān)鍵.

6.4

【分析】本題主要考杳了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一

半，是解題的關(guān)鍵.根據(jù)力。人8。，得出為直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得

出DEr-4m.

【詳解】解：：力。文,

:△48。為直角三角形，

:E是斜梁48的中點，

DE=!AB=4m.

故答案為：4.

7.百

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，即可求得.

答案第3頁，共35頁

【詳解】如圖，過。作則。至以。的距離為OE

：DE=BD=、/3

:點D至倒C的距離為。.

故答案為H.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，點到直線的距離等知識，理解點到直線的距離的定義，

熟知角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.(1)60°

(2)見解析

【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平移的基本性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性

質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查空間觀念、幾何直觀與推理

能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵.

(1)等邊三角形的性質(zhì)推出上DCB=30°,垂直，得到上BCE=90°,角的和差關(guān)系求出

7。工的大小即可；

(2)平移得到CQIIM,進而得到上口C=上004=30°、角的和差關(guān)系推出上上

進而得至ME=CE,上120°,根據(jù)力4=C8,推出BE垂直平分/1C,進而得到

上(，僅'=:±/仿。=60。，推出上GEC二上GCE二上￡GC,進而得到ACEG是等邊三角形即可.

【詳解】(1)解：是等邊三角形，

：.±ACB=60°.

QD是AB的中點，

ZDCB=ZDC4=-￡ACB=30。.

2

QC￡±5C,

:上BCE=90°,

:上DCE=J1BCE-上DCB=60".

答案第4頁，共35頁

(2)由平移可知：CDIIEF,

：±EAC=±DCA=30°,

又Q±￡CN=_tBCE-±AC3=30°,

:上E4c=1.ECA,

-,AE=CE,±JEC=120°,

又Q4“=cn,

:BE垂直平分力C,

ZG￡C--ZJ￡C-60°,

2

由(1)知,±.GCE=60°,

:上EGC=60°,

:上GEC=±GCE=上EGC,

:ACEG是等邊三角形.

9.A

【分析】由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM、再結(jié)合=可得

△COM空AQQW(SSS),由全等三角形的性質(zhì)可得上1二上2即可解答.

【詳解】解：由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM,

:DM=DM,

:△COM3DOM(SSS).

:±1=±2.

：A選項符合題意；

不能確定OC=CM,則上1=上3不一定成立，故B選項不符合題意；

不能確定。。=OM,故C選項不符合題意，

ODIICM不一定成立，則￡)2=￡)3不一定成立，故D選項不符合題意.

故選A.

【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，理解尺

規(guī)作圖過程是解答本題的關(guān)鍵.

1().1

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出

答案第5頁，共35頁

S^ABCD=^AC.BD=4，hOAB=±_OCD，然后證明△,4OEgZ\CO"（ASA）即可求解.

【詳解】解：?.?菱形48CQ,OA=2,6>￡>=1,

,AC=4,BD=2,OA=0C,AB//CD,

I

:S裝形488=干C.BD=4,上O4B=±OCD.

?：±AOE=HOF,

:AJOF^ACOF（ASA）,

:SAW+S&COF~；S芟形業(yè)z>=1?

故答案為：1.

11.10

［分析］由平行四邊形的性質(zhì)可得。CHAB,DC=AB即上。匹。=上OEB、上ODF=上￡8。,

再結(jié)合0。=。8可得△O0E^^8OE(AAS)可得Z)P=EB,最進一步說明尸C二4七二10即

可解答.

【詳解】解：?；4BCD中,

\DCIIAB,DC=AB,

:上OFD=上。必,上ODE=1J-BO,

vOD=OB,

:△。。金△BOE(AAS),

:DF=EB,

:DC-DF=AB-BE=/!￡=10.

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，證明三角

形全等是解答本題的關(guān)鍵.

12.見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、補角的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、幾何

直觀等.先證明上/出。二匕IOC,AAS證明△/水/△/OC,即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：Q上CBE=KDF,±/iBC+上CBE=180°,±ADC+±CDF=180°,

答案第6頁，共35頁

:_LABC=AyiDC.

在△49C和△力。。中,

Z8C=4DC

(ZACB=ZACD,

AC^AC

'.^ABC^^ADC,

：AB=AD.

13.見解析

【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明上胡E二上D4E,再

證明△歷化且/\。加"從而可得結(jié)論.

【詳解】證明：在菱形力比。中，

:上B/1F=±DAE,

：上B4E+±EAF=上E4F+±J)AF,

:上BAE=上。/產(chǎn)，

[N8=/D

在"AE和A/Mf中卜8:0.

:ABAE父4DAF,

:BE=DF.

14.⑴見解析；

(2)A/I5C的面積為1或1.

【分析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理以及分類討

論思想：

(I)先作出與4的垂線，再作出夾在間垂線段的垂直平分線即可;

(2)分上84C=90°,48=AC；_h45C=90°,8/=BC；上/1CB=90°,。=C8三種情況，結(jié)

合三角形面枳公式求解即可

答案第7頁，共35頁

【詳解】(1)解?：如圖,

直線/就是所求作的直線.

(2)①當(dāng)上R4C=90°,/B=XC時,

Q/II/,IU,直線乙與/2間的距離為2,且/與人間的距離等于，與A間的距離，根據(jù)圖形的

對稱性可知：BC=2,

AAB=ACw五。

②當(dāng)-8。=90°,歷1=8C時,

分別過點4。作直線人的垂線，垂足為A7,N,

：±AMB=±MNC=90°.

Q/II/,II4,直線人與4間的距離為2,且/與人間的距離等于/與，2間的距離,

:CN=2,AM=1.

q±MAB+1ABM=90°,±ABC+±ABM=90°,

：±MAB=上NBC，:/\AMB%ABNC,

:BM=CN=2.

在Rf/BM中，由勾股定理得=AM1+BM1,

：AB=、/5.

:$3-1ABBC^5,

322

答案第8頁，共35頁

MBNh

C

綜上所述，2BC的面積為1或\

15.見解析

【分析】根據(jù)己知條件得出上二上CO。，進而證明根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)即可得證.

【詳解】證明：Q上4。。=上C08,

:上月0。-上BOD=上COB-上BOD,

即上478二上CW.

在△〃力和△COQ中，

IOA=0C,

\±AOB=上COD,

'llOB=OD,

：》OB小COD

：AB=CD.

【點睛】本小題考查等式的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查幾何直觀、

推理能力等，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

16.證明見解析

【分析】利用8/二CE得出8C=￡7L再利用SAS證明根據(jù)全等三角形的

對應(yīng)角相等，即可得出上J二上Q.

【詳解】證明：：4"二CE,

:BC=EF,

答案第9頁，共35頁

又?:AB=DE,上B=上￡,

:“8C絲△。斯（SAS）

:=_tz）.

【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解答本題

的關(guān)健.

17.（1）見解析：（2）見解析

【分析】（1）通過兩角和等于90°,然后通過等量代換即可證明；

（2）通過平移的性質(zhì)，證明三角形全等，得到對應(yīng)邊相等，通過等量代換即可證明.

【詳解】證明：（1）在等腰直角三角形/中，上EO/=90°,

:±^DF+±^DF=90°.

???1ACB=90°,

:±f）/7C+±ADF=±/lCB=90°,

:±ADE=±DFC.

（2）連接4E.

由平移的性質(zhì)得力￡7/8￡/1E=BF.

:±EAD=±ACB=90°,

:±DCF=180°-_b4C8=90°,

:上FAD=上D「F.

???△￡￡）尸是等腰直角三角形，

:DE=DF.

由（1）得上/1。石=上。尺：，

:4AED3CDF,

:AE=CD,:CD=BF.

【點睛】本小題考杳平移的性質(zhì)、直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性

答案第10頁，共35頁

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助線、熟練掌握平移的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì).

18.見解析

【分析】由QEJL/1C。"！.力〃得出上力EC=上。尸B=由S4S證明AOECg△。尸8,得

出對應(yīng)角相等即可.

【詳解】證明：?.?OEJ■4C,。尸_|_月8,

:上QEC=上68=90。.

/)￡=/?.

在△OEC和Aira中，一DEC」)卜B.

CE=BF,

:△DEC冬DFB,

:±Z?=±C.

【點睛】本小題考查垂線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、

空間觀念與幾何直觀.

19.D

【分析】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握翻折的性質(zhì)及勾股定理.

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出上4=45°,根據(jù)翻折的性質(zhì)和線段的和差得出。冽=3,最

后利用勾股定理即可求解，

【詳解】解：±J3AC=90°,AB=AC,

:△ABC為等腰直角三角形，

:上3=45°,

由翻折的性質(zhì)可得上。冽8=±5=45°,

900,08=DB,,

Q//=5,40=2,

\DB=DB，=AB-AD=5-2=3,

在Rl△4中，由勾股定理得，

ABgI。*f)B=?79=H,

故選：D.

20.C

【分析】本題考查了二角形的二邊關(guān)系，根據(jù)二角形的二邊關(guān)系求解即可，熟練掌握二角形

答案第11頁，共35頁

的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可得：5-3<川<5+3,

:2<w<8>

:加的值可以是6,

故選：C.

21.C

【分析】本題考查的是最值線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.連

接施，則朋的長度即為PE與尸c和的最小值，再利用等邊三角形的性質(zhì)可得BE_L/C,

然后根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，連接與力。交于點P,

:△44C是等邊三角形，“。是4c邊上的高

,:AP_LBC,BD=CD,即力。垂直平分

BC,:PB;PC,

：PE+PC=PB+PE>BE,

:此時PE+PC最小，即5E就是PE+PC的最小值，

QM8C是等邊三角形，

:上BCE=60°,

QB4=BC=4C=2,七是4C的中點，

：RF.A_4C.(b--I

:上BEC=90°,

BE=>1HC：-CE：=6

故選：C.

22.D

【分析】本題主要考查了全等三角形的綜合問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判

答案第12頁，共35頁

定和性質(zhì)，過點8作斯J_ON,過點C作C￡l_。"，交于點E在C/上截取CK,使CK=Q4,

連接8K,AK,得出四邊形O8FC是矩形.由矩形的性質(zhì)進一步證明△〃方會

由全等三角形的性質(zhì)進一步推出△力8K是等腰直角三角形.由等腰直角三角形的性質(zhì)得出

上J8K=45。，再證明&COD3BFKG網(wǎng)由全等三角形的性質(zhì)得出上。CO=±FBK,進

而可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點8作8/_LON,過點。作C/J_O歷，交于點、F,在b上截取

CK,使CK=O4,連接8K,AK,

:上OBF=±.OCF=±MON=90°.

:四邊形O8FC是矩形.

:OC=BF,OB=CF,上尸=90°.

???AC=OB,

:MO5^^CJ（SAS）.

:hOBA=上。K,AB=AK.

???上。力8+上。歷1=90°,

:上048+上。K=90°.

:NBAK=90°.

:△49K是等腰直角三角形.

:_LABK=45°.

???OB=CF,

:OD+BD=CK+KF.

?:BD=OA=CK,

:OD=KF.

?：OC=BF,上。0c=±/-'=90°,

答案第13頁，共35頁

:△COOgA8/7K（SAS）.

:上OCQ二±F8K.

:上OBA+上FBK=上OBF-上4BK=45°,

:DOBA+DOCD=45°.

故選：D.

23.D

【分析】本題考查角平分線，垂直平分線的尺規(guī)作圖，作一個角等于已知角，掌握作圖方法

是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)角平分線，垂直平分線的性質(zhì)，及角相等，逐項分析，即可解答.

【詳解】解：：上歷1C=9O。,上夕=30°,

"ACB=90°-ZZ?=60°.

A.:。。是EUC4的平分線，

???ZJCD=/BCD=；ZACB?3U*.

:.AD^^CD,±^CD=±^=30°,

.%JD=-CD=-/?/>.

22

故A正確.

B.由垂直平分線可得

CD=BD,

：±JiCD=±5=30°,EP±ACD=±4cB-±BCD=30°,

同理可知二:卅）.

故B正確.

C.有作圖可知上灰T）=上夕=40°,

同理可證卅）.

故C正確.

D.無法證明二［BD.

故答案選D.

24.D

答案第14頁，共35頁

【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，先證明上。=上1=40。，再證

明/C=NO=40。，從而可得答案.

【詳解】解：-AB//CD,上1=40°,

：_tc=±l=40°,

v±2=2上。,D2=DC+DD,

：ZC=ZZ)=40°,

上=2x40°=80°.

故選：D.

25.3jj

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)

及勾股定理，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵；連接8例：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△C8M是等邊

三角形，則=在RtZ\48C,利用含30度角直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求得

BC,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接BBC;

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得884=60°.

:△C8M是等邊三角形，

:BC=BB&;

在Rt4/BC,±/1=60°,AC=3,

:±ABC=90°-±A=30°,

:AB=2AC=6,

由勾股定理得AC=j人爐一”7=3萬,

：BB6=33.

故答案為:373.

答案第15頁，共35頁

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和

定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到D4=08,則由等邊

對等角和角平分線的定義可得NBAD=NB,再由三角形內(nèi)角和定理可推出

±CAD=30°,則可得到BD=AD=2CD,再由線段的和差關(guān)系求解即可.

【詳解】解：?.F8的垂直平分線OE交5c于點。，垂足為點

:DA=DB,

:上D4B=上B,

???AD平分DCAB,

:ZCAD=NBAD=4B,

v±C=90°,

1JiAD+-90。，

:_LCAD=30°,

:BD-AD-2CD,

-BC=CD+BD=6,

:；BD+BD=6.

:BD=4,

故答案為：4.

27.V5-1

【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，得上CMC=上08c=90。，得上CMC+上。180°,得

±ytOB+±ACB=180°,得±AOB=a=60°,由切線長性質(zhì)，得

1AOC=±f!OC=^±AOB=30°,得可得乂C=1,由得

S=S-S=百-衛(wèi)

明影四邊形O/C3陽形。（8'2?

【詳解】解.：連接OC,

-OA.OB為eO的切線，

:AC_LOA,BCA.OB,

:±.OAC=±OBC=90°t

:上。4C+上O8C=180°,

:上408+上=180°,

答案第16頁，共35頁

v±jcs+±a=18()。,

：ALAOB=a=60°,

:ZOC=ZBOC=：〃05=勸.

???/(7?；”,

???O/p+AG=OG,OA=75.

:AC=I,

由軸對稱知，△OAC咨M)BC,

?cCc,I八40則必4<

"Sg=?ac-5*3.=?*吊?！?水彳一二73-3

故答案為：J5-：.

【點睛】本題考查了圓的切線.熟練掌握圓的切線性質(zhì).切線長性質(zhì)，四邊形性質(zhì)，含30

度的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式，扇形面積公式，是解題的關(guān)鍵.

28.，或三

【分析】本題考查了折登的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，由勾股定理可得45=10,解

直角三角形得出sin上8=qcos±5=1,再分兩種情況：當(dāng)OE〃力。時，延長ED交8C于

F；當(dāng)OEII4c時，令DE交4c于G；分別求解即可，熟練掌握以上知識點并靈活運用是

解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：??在RUA/16C中，±/lCB=90°,AC-6,5C-8,

：?ARZAC21肝=10,

由■生，

/A4ABS

如圖：當(dāng)。E〃a。時，延長EO交8C于產(chǎn),

答案第17頁，共35頁

E

A

/

由折疊的性質(zhì)可得：CE=BC=8,上E=上方，

???DE//AQ

\!ACF+_b￡FC=180°,

:±JCF=±^R;=90°,

432”

:EF=CE.cos±'8-.-.,即此時點后到8C邊的也離為：；

如圖，當(dāng)OEH8C時，令DE交AC于G,

A

由折疊的性質(zhì)可得：CE=BC=8,上￡=上8,

vDE//AQ

;±￡GC=±ACB=90°,

:CG=CE.sin±A?^=y.即此時點上到8c邊的距離為［；

綜上所示，即此時點￡至U8C邊的距離為1或2：；

,p74

故答案為：或I1

29.80°##80度

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形的外

角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由鄰補角的性質(zhì)求出上/IB尸二50°,由平行線的性質(zhì)推出，由三角形的外角性質(zhì)得到答案.

【詳解】解：???上I=130°,

:±ABF=180°-上1=50°,

???ABIIMO,

:_LPFO=AL4BF=50°,

答案第18頁，共35頁

???上/6/=上2=30°,

:±3=上PFO+上POF=80°

故答案為:80°.

30.20°

【分析】本題考查了角的和差，直角三角形兩個銳角互會，解題關(guān)鍵利用直角三角形兩個銳

角互余求出相應(yīng)角度.

根據(jù)上仍。二±2+90°+（90°-上1）求解.

【詳解】解：,??與始=±2+90°+（90°-上1）,ZI=7O°,±ABO=130°,

:130°=±2+90°+（90°-70°）,解得：上2=20°.

故答案為：20°.

31.2加

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，過點。作

Dll_LAB于〃，設(shè)OC=Qcm，則BD=34cm,CB-44cm，可得BH=2^2acm,

44二（l+2「a）cm,利用勾股定理列方程即可，熟練利用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過點D作DH_1_AB于H,設(shè)。。=〃cm,則8。=3acm,CB=4dcm,

Q4D平分￡）B4C交BC于點。,DH^_AB,±C=90°,

.CD=Dll-a

根據(jù)勾股定理可得8H-4DB:-DH'=26x01

Q上。。=±/"。,上C=1AHD=90°,JD=AD,

:△4CQ/A4〃Q（AAS）,

,.AC=AH=1cm,

\AB-

根據(jù)勾股定理可得力O+BG=,即I?+（4a）2=（1+/%）

解得“二立，負值舍去），

答案第19頁，共35頁

：BC=4a=2j12cm,

故答案為：2Ji.

32.1080##108度

【分析】根據(jù)48=/1C,上8=36°得到上C=上8二36。，利用三角形內(nèi)角和定理解答即可.

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟凍掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)力8=4C,±5二36。得到上。二上方二36°,

古攵上B4C=180°-±C=±^=108°,

故答案為：108°.

33.1.2

【分析】本題主要考查扇形面積公式，勾股定理的應(yīng)用和解直角三角形，根據(jù)已知求得弧田

術(shù)弓形面積，再結(jié)合題意得至以,。力=OC-CO二廠2/和。4二〃，利用勾

股定理求得廣，根據(jù)sin上4。。=…求得上408=2上48,利用扇形面積和三角形面積公

式即可求得實際面積，作差即可.

【詳解】解：根據(jù)已知弧田術(shù)得，

弓形面積=(弦長X矢長+矢長X矢長)+2

=(2;x12+2-;x2(2

=+6=26.4;

如圖，

???弦48長為12m,矢CO長為2.。m,

:"D=DB=JB=6.OD?OC-CD?r-2V3?04-r,

2222

則。P=4。+O。，即r=6+(r-2,后>,解得r-4.，

vsmZ>4OD=—=-^=—.

AO4432

答案第20頁，共35頁

:上408=2_b4OZ)=120°：

1202I

那么，弓形面積

sSIIx

，盤中可

=48-12-73=27.6,

則與實際的誤差為27.6?26.4=1.2,

故答案為：1.2.

34.70

【分析】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形的一個外角的度數(shù)等于與它不相鄰的兩

個內(nèi)角的度數(shù)和，進行求解即可.

【詳解】解：：點。在8c延長線上,

:上/。。是△力AC的一個外角.

:上優(yōu)。=上/1+上方,

:±^=60°,±^C7)=130°,

:上"70°;

故答案為：70

35.⑴見解析

【分析】（1）尺規(guī)作邊力。的垂直平分線，得出力。中點點。，以點。為圓心，X。為直徑

作圓O,圓。交邊48于點￡,連接則上?？冢旧稀?仁.

2根據(jù)上。￡。=上。4C,得出tan上。"C=tan上“〃-；-'設(shè)力C=2t,4C=3x,則

3AC

BC=4x,根據(jù)力8=5和勾股定理求出x=1,得Z）C=2MC=3,過。作根據(jù)等

面積法得出C”,勾股定理求出力