13.1三角形的概念同步講義20252026學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

-?■聞S點(diǎn)_________________________________________________

一、三角形的定義

?定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形

-構(gòu)成要素：

。邊：組成三角形的三條線段（如圖中的a、b、c）

。頂點(diǎn)：相鄰兩邊的公共端點(diǎn)（如圖中的點(diǎn)A、B、C）

。內(nèi)角：相鄰兩邊所組成的角（如圖中的NA、NB、ZC）

A

三角形基本要素示意圖

二、三角形的表示方法

?符號(hào)表示：用“△”表示三角形，記作△ABC,讀作"三角形ABC”

-邊的表示：

。頂點(diǎn)A對(duì)邊記作a,頂點(diǎn)B對(duì)邊記作b,頂點(diǎn)C對(duì)邊記作c

u也可表示為邊AB、邊BC、邊AC

三、三角形的分類

（一）按邊分類

1.不等邊三角形：三邊都不相等的三角形

2.等腰三角形：

。腰：相等的兩邊（AB=AC）

。底邊：第三邊（BC）

。頂角：兩腰的夾角（NA）

。底角：腰與底邊的夾角（NB=/C）

3.等邊三角形：三邊都相等的三角形（特殊的等腰三角形）

（二）按角分類

1.銳角三角形：三個(gè)角都是銳隹

2.直角三角形：有一個(gè)角是宜隹

3.鈍角三角形：有一個(gè)角是鈍隹

四、易錯(cuò)點(diǎn)提示

1.三角形的穩(wěn)定性在生活中的應(yīng)用：如自行車車架、屋頂桁架

2.計(jì)數(shù)三角形時(shí)要按順序不重不漏，先數(shù)單個(gè)再數(shù)組合

Q專聯(lián)當(dāng)

一、選擇題

I.觀察下列圖形，是三角形的是（）

A.100°B.40°

C.100°或40°D.80°

3.如圖，CB=CA,/B=65°,AD〃BC，則/C力。的度數(shù)為（）

I)/

R

A.70B.65°C.50°D.110

4.如圖，三角形有一部分被遮擋，我們可以判定此三角形的類型為（)

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.不能確定

5.如圖，在△ABC中，AB=AC,4=100°,則的度數(shù)為（)

B.50°C.60°D.80°

6.如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,48兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)匕點(diǎn)。也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且△A8C

是等腰三角形，那么點(diǎn)。的個(gè)數(shù)為（）.

B.2C.3D.4

△是等邊三角形，若B點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,0）,則4點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(2,1)B.(1,2)C.(V3,l)D.(i,V5)

8.如圖，在等腰△ABC中,AB=AC,ZB=25°,AD是AABC的中線，則NBAD的度數(shù)是（）

AB

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求々的度數(shù)；

(2)若CD=2,求OF的長(zhǎng).

17.如圖是由36個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的網(wǎng)格圖，請(qǐng)按照要求畫圖:

(1)在圖1中畫出1個(gè)以AB為底的等腰△ABC,要求頂點(diǎn)C是格點(diǎn).

(2)在圖2中畫出1個(gè)以AB為直角邊的直角△ABC,要求頂點(diǎn)C是格點(diǎn).

18.如圖，在AABC中，AB=AC,點(diǎn)、D為BC邊的中點(diǎn)，DE1.AB

(1)求證：ZCAD=ZBDE；

(2)作DF〃AB,交AC于點(diǎn)F,若AB=6,求DF的長(zhǎng).

19.如圖，點(diǎn)I)、E在4A8C的8c邊上，AD=AE,AB=AC,求證：BD=CE.

20.如圖，在AABC中，AB=AC,D是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AD.BE平分NABC交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF

〃BC交AB于點(diǎn)F.

(1)若NC=38°,求/BAD的度數(shù);

(2)求證：FB=FE.

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】,??由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形，???A,B,

D錯(cuò)誤，只有C符合，

故答案為：C

【分析】根據(jù)三角形的定義即可求出答案.

2.【答案】B

【蟀析】【解答】解：當(dāng)100°為底角時(shí)，等腰三角形兩底角和200°,超過(guò)180°,不符舍去；

當(dāng)100°為頂角時(shí)，底角為(180°100°)4-2=40°；

故答案為：B.

【分析】對(duì)已知角按底角、頂角分類討論，分別計(jì)算求解即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：???CB=CA,NB=65°,

???/B=NCAB=65°,

/.ZC=180°65°65°=50°,

V/\D//BC,

/.ZCAD=ZC=50°.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理得出NC的度數(shù)，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)解答即可.

4.【答案】A

【蟀析】【解答】解：依題意，三角形露出的部分為鈍角，.??我們可以判定此三角形的類型為鈍角三角形

故選：A.

【分析】三角形按角可分為鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形，當(dāng)有一個(gè)角為鈍角時(shí)是鈍角三角形，

當(dāng)有一個(gè)角為直角時(shí)是直角三角形，當(dāng)三個(gè)角都為銳角時(shí)是銳角三角形。

5.【答案】A

【解析】【解答】解：=4C,4=100°,

???/B=NC=皿一'"=40°.

2

故答案為：A.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案。

6.【答案】C

【解析】【解答】解：如圖所示：

B

當(dāng)AB為腰時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有2個(gè)；當(dāng)AB為底時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有1個(gè)。

綜上所述：點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為3個(gè)，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)先作圖，再求解即可。

7.【答案】D

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作ADLOB,如圖所示：

點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,V3）.

故答案為：D

［分析］過(guò)點(diǎn)A作ADXOB,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合題意得到OD=1,AD=g,從而即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：???AB=AC,AD是AABC的中線，

AADIBC,

AZADB=90°,

AZBAD=180°ZBZADB=65°.

故答案為:B.

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得/ADB-90。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得/BAD.

9.【答案】1

【解析】【解答】解：三角形ABC為等邊三角形，

:.BC=AD=2,

???,40是8C上的高，

???BD寸。=1.

故答案為：1.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)叮知80=38=2,根據(jù)AD是BC上的高，根據(jù)等邊三角形“三線合一”

的性質(zhì)進(jìn)而得出80=.=1即可.

10.【答案】40

【解析］【解答】解：AM=AN,CN=CP

:./ANM=/AMN,NCNP=ZCPN

11

???4NW=-(1800-4),4NP=-(180°-/C)

???/4+NC+NABC=180°,ZABC=100°

:.4+=180°-ZAB(J=80°

111

A^ANM4-ZCNP=-(130°-^C)+-(1800-4)=180。--(^4+ZC}=140"

乙乙乙

VNANM+NMNP+NCNP=180°

:.NMNP=180°-(NANM+/CNP)=40°

故答案為：40

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得4NM=4MN,NCNP=NCPN,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得

/ANM="180°-ZA),NCNP=*180°-/C),夕+4=180°-NABC=80°則

ZANM+ZCNP=\(1800-/C)十1(1000-E)=100°一稱(4十"C)=140°,

根據(jù)平角的定義可得/MNP=180°一(/ANM+/CNP)=40°。

11.【答案】7

【解析】【解答】當(dāng)3為底時(shí)，其它兩邊都為7,3、7、7可以構(gòu)成三角形，

當(dāng)3為腰時(shí)，其它兩邊為3和7,

,.,3+3=6V7,

所以不能構(gòu)成三角形，故舍去，

故答案為：7.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)兩邊相等，分類兩種情況，3為腰或者7為腰的時(shí)候，在根據(jù)三角形任意

兩邊之和大于第三邊來(lái)判斷是否都能構(gòu)成三角形.

12.【答案】4

【解析】【解答】解：???以BC為公共邊的三角形有ZXBCD,ABCE,ABCF,AABC,

???以BC為公共邊的三角形的個(gè)數(shù)是4個(gè).

故答案為：4.

【分析】根據(jù)三角形的定義即可求出答案.

13.【答案】20

【解析】【解答】vAB=AC,BD=CD

???AD1BC,ZBAD=ZCAD=20。(三線合一)

vDE±AC

???ZCAD=/EDC(同角的余角相等)

/EDC=20°

故填：20°

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一定理，底邊中線也是底邊上的高也是頂角的平分線，得到一組等角；根

據(jù)司角的余角相等，又得到等角，等量代換可求得NEDC。

14.【答案】解：VAB=AC,AZC=ZB,VZA+ZB+ZC=180°,NA=50°/.ZC=ZB=65°VCD±ABAZ

A+ZACD=90°AZACD=40°AZBCD=25°

【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和及等腰三角形的兩底角相等得出NC=NB=65°根據(jù)垂直的定義及直

角三角形的兩銳角互余算出NACD=40°,根據(jù)角的和差得出答案。

15.【答案】(1)解：???Q+2b=3,

???2b=3—Q,

???a.b是正數(shù)，

???/)>0,Q>0,

2b>0,

3-a>。且2b>a,即3—a>0且3-a>a,

解得0Va<1.5.

故a的取值范圍是0<QV1.5；

(2)解：：Q+2b=3,c=3a+2b,

???c-3=(3a+26)—(a+2b)=2a,

c=2a+3?

???a是正數(shù)，

二Q>0,

???0<Q<1.5,

0V2QV3,3V2Q+3V6,

即3VcV6.

故c的取值范圍是3VcV6.

【解析】【分析】(1)將a+2b=3轉(zhuǎn)化為2b=3a,再由a,b是某一等腰三角形的底邊長(zhǎng)與腰長(zhǎng)，可知b>0,

a>0,可得到關(guān)于a的不等式組，然后求出不等式組的解集.

(2)利用已知條件可得到c=3+2a,由0VaVL5,利用不等式的性質(zhì)可得到3V2a+3V6,即可得到c的

取值范圍.

16.【答案】(1)解：:△ABC是等邊三角形，

???NB=60。,

VDEZ/AB,

.,.ZEDC=ZB=60°,

VEFlDE,

ZDEF=90°,

???/F=90°ZEDC=30°

（2）解：VZACB=60°,/EDC=60°,

???△EDC是等邊三角形.

AED=DC=2,

VZDEF=90<,,ZF=30",

ADF=2DE=4.

【解析】【分析】（l）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NEDC=/B=6（T,再利用三角形的內(nèi)角和求出/卜、的度數(shù);

（2）根據(jù)ZACB=600,NEDC=60°,得到△EDC是等邊三角形，再利用30°直角三角形的性質(zhì)得到

DF=2DE=4.

17.【答案】⑴解：

(2)解:

G

、

X

\X

Q

\YB

A

【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形；

⑵畫一個(gè)等腰直角三角形ABC即可.

18.【答案】（1）證明：???AB=AC,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),

???/BAD=NCAD,ZADB=ZADC=90°.

VDE±AB,

AZBAD+ZB=ZBDE+ZB=90c.

.\ZBAD=ZBDE.

AZCAD=ZBDE.

(2)解：VDF/7AB,

.,.ZADF=ZBAD.

VZBAD=ZCAD,

???ZADF=ZCAD.

，AF=DF.

VZADC=90°,

AZADF+ZCDF=ZDAC+ZC=90".

???ZCDF=ZC.

/.CF=DF.

???DF=；AC=：AB=3

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【解析】【分析】（1）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得NBAD=/CAD,ZADB=ZADC=90°,再利用

同角的余角相等可得NBAD=NB【）E,利用等量代換即得結(jié)論；

（2）利用平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性