專題1.8基本不等式重難點題型精練

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（2022春?遵義期末）負(fù)實數(shù)x,滿足x+y=?2,則的最小值為（）

A.0B.-1C.-V2D.-V3

【解題思路】先得到x+2>0,再利用配湊法和基本不等式求最值即可.

【解答過程】解：???負(fù)實數(shù)羽y滿足產(chǎn)），=-2,

???），=-x-2<0,Ax>-2,?'?戈+2>0,

-

x——y=x+x+2=x+2+x+2-222A/T2=0,

當(dāng)且僅當(dāng)x+2=擊，即x=-I時取等號，

人I乙

-/=x+2+白-220，

???X-"的最小值為0，

故選：A.

2.（5分）（2022春?丹東期末）若%>1,則函數(shù)y=%+空芋的最小值為（）

人JI

A.4B.5C.7D.9

【解題思路】利用配湊法，再結(jié)合基本不等式求最值即可.

【解答過程】解：??">1，

?n奶,2x+2,2x—2+4

，函數(shù)y=%+亞丁=%+j

44l

=x+-■—r+2=x-1+―~~^+322\^+3=7,

%-1X—1

當(dāng)且僅當(dāng)*-1=工，即工一3時取等號，

X—1

??.y=%+學(xué)畢的最小值為7,

/X—1

故選：C.

3.（5分）（2022春?運(yùn)城期末）已知x,y€R,且（x+2）（廣1）=4,則下列一定正確的為（）

A.』+/+44+2），23B.2x+3），+盯23

C.ex+l+ev^2eD.A><2-273

22

【解題思路】舉反例x=-6,y=-2可判斷選項B、C、。，化簡『+9+4.1+2),=(x+2)+(_y+l)-5,

從而判斷選項A.

【解答過程】解：當(dāng)x=-6,y=-2時，

(x+2)(y+1)=4成立，

但2x+3y+xy=-6<3?

(^1+(^=€5+e2<2e,

.ry=12>2-2V3,

故選項從C、。錯誤；

.r+y2+4x+2y=(x+2)2+(，41)2-5

22(x+2)(>H-1)-5=3,

當(dāng)且僅當(dāng)％+2=yH時，等號成立，

故選項A正確；

故選：A.

、_______________12

4.(5分)(2022春?長治期末)已知正數(shù)a,b滿足Va2-2。+2+1=。+2)+，4爐+1,則一+二的最

ab

小值為()

A.7B.8C.9D.1()

【解題思路】利用題中的條件構(gòu)造函數(shù)/a)=x+QTT,即可解出“與人的關(guān)系，利用1的變形，即

可解出.

【解答過程】解：由，F(xiàn)-2a+2+1=a+2b+V4b2+1?

.??7(1-a)2+1+1-a=26+J(2b)2+1,

及2+1+x

令函數(shù)/(%)=Vx2+1+x,f(x)=Xj--------->0,

即

則函數(shù)/(二)單調(diào)遞增，

A1-a=2b,得a+2力=1,

■-；+：=(a+如1f4+竿+5%2培理+5=9,

當(dāng)且僅當(dāng)。=匕=￡時取等號.

故選：C.

5.(5分)(2021春?陜西校級期末)把長為12c〃?的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩

個正三角形面積之和的最小值為（）

A.y/3cnrB.2V3c//rC.?>\[2cnrD.4cm2

【解題思路】把長為12c〃?的細(xì)鐵絲截成兩段，設(shè)其中一段為x,則另一段為12-x.則這兩個正三角形

面積之和二空（金2+*（竽）2,再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【解答過程】解：把長為12c〃!的細(xì)鐵絲截成兩段，設(shè)其中一段為x,則另一段為12-X.

則這兩個正三角形面枳之和=苧（靜+苧心?）2

2

二梟八（|2-X）也殺空苧立二28.當(dāng)且僅當(dāng)x=6時取等號.

.??這兩個正三角形面積之和的最小值為

故選：B.

6.（5分）（2021秋?懷仁市期末）若兩個正實數(shù)-），滿足：+￡=2,且不等式x+若〈仇2一7n有解，

則實數(shù)m的取值范圍是（）

A.（-1,2）B.（-8,-2）U（1,+8）

C.（-2,1）D.（-8,-1）u（2+oo）

【解題思路】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，求出的最小值，然后求出實數(shù)機(jī)的取值范圍.

14x

【解答過程】解：???兩個正實數(shù)X,y滿足一+方=2,

'xy2

.-.x+^=1（x+^1）（~+^）=1（2+與+龍）22（2+2）=2,

4x24xxy22y/4%，

4%2y214x

當(dāng)且僅當(dāng)一V=三且一+萬=2,即x=l,y=2時取等號，

*.*不等式％+為<m2—m有解，nr-m>2,

■人

解不等式可得〃>2或加<-1.

故選：￡>.

7.（5分）（2021秋?新興縣校級月考）已知加>0,->0,當(dāng)"y=2時，不等式巴+工工2恒成立，則機(jī)

xy

的取值范圍是（）

A.V2<m<2B.621C.0V〃iWlD.lVmW2

【解題思路】根據(jù)題意可得2G+y）=1,且>0,）>0,從而%+-=-Cv+y）（-+-）=白〃?+1+果+

2x,y2x

p>|（機(jī)+1+2厚令另（〃汁1+2疝），進(jìn)一步利用基本不等式并結(jié)合不等式:+卜2恒成立即

AI16...16

A.y=x+7Bo.y=|smx|+2麗

Cy4+,D.y=/-2x+9

【解題思路】運(yùn)用基本不等式或二次函數(shù)的性質(zhì)逐項分析即可.

【解答過程】解：對于4,當(dāng)上<0時，顯然不滿足題意.

對于8,因為0<|sinx|Wl,），=回國+改焉N2S%=8,當(dāng)且僅當(dāng)|siiu|=4時，等號成立；

因為等號取不到，所以其最小值不為8,8不符合題意.

對于C,產(chǎn)裂矍22俄=8,當(dāng)且僅當(dāng)/=16,即x=±4時，等號成立，所以其最小值為8,C符

合題意.

對于O,-lv+9=（x-1）2+8^8,當(dāng)x=l時，取得最小值，。符合題意.

故選：CD.

10.（5分）已知〃、〃均為正實數(shù)，則下列不等式不一定成立的是（）

11

A.Q+b+-7==>3B.(a+b)弓+》N4

a2+b22ab/—

C.-1=->a4-bD?存之夜

vab

【解題思路】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論，不等式的性質(zhì)分別檢驗各選項即可判斷.

【解答過程】解：因為。、〃均為正實數(shù),

a+b+-i=>2yfab+-=>2>/29當(dāng)且僅當(dāng)。=〃且2v時取等號，A錯誤;

\ianyJabRab

(*1+4=2+>肄2+2甥=4,

當(dāng)且僅當(dāng)2=￡時取等號，4正確；

ab

4

令迎=x,=y,則，二-(a+b)=彳^^_(/+y2)_%4+y4r3yry3_(y)(43y3)_

7abxyxyxy

2當(dāng)入=)，時取等號，

…叮xy")

…a2+b2

所以-1=~>(a+b),。正確；

yjab

當(dāng)a=i,b=:時,，屬而焉〈而。錯誤.

故選：AD.

11.（5分）（2022春?沈陽期末）已知x>0,y>0且3x+2y=IO,則下列結(jié)論正確的是（）

A.0<>'<5B.后+J藥的最大值為2通

C.?+32的最小值為D.沖的最大值為真

【解題思路】由不等式的性質(zhì)可得3x=10?2)，>0,從而判斷選項A；

由不等式可得(岳+匹)Y?(3x+2)，)，從而化簡判斷選項B；

由3x+2)，=10化簡尸與注從而化簡』+『二竽/75/25,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值即可判斷

選項C；

由基本不等式得2回可工31+2)，，從而化簡判斷選項D即可.

【解答過程】解：??3>(),y>0,3A2y=10,

.*.3x=10-2y>0,

故0VyV5,

故選項A正確；

,?(寂+回)2<2(3x+2y),

即(V3x+/2y)2<20,

:?岳+歷W2底

當(dāng)且僅當(dāng)3x=2y,即x=1尸細(xì)，等號成立，

故居+歷的最大值為2V5,

故選項8正確：

V3.r+2>'=10,

10-3x

..y=-2-

10-3%2

故/+,,2=』+(-----------)

2

=果v2-15x+25，

由二次函數(shù)的性質(zhì)知,

2n1330

當(dāng)戶瑞時取得最小值一X(―)2-15X得+25=罌,

，J413JL。JL。

故選項C正確;

Vx>0,>(>0?3x+2y=10,

；?2)3x?2y<3x+2y,

即2。尤?2y410,

即J3x?2y45,

故邛三昌

55

當(dāng)且僅當(dāng)3x=2y,即x=3-2-

25

故孫，的最大值為二，

故選項。錯誤；

故選：ABC.

12.（5分）（2022春?保定期末）已知正實數(shù)x,y滿足3x+y+xy-13=0,且2p-4W2y-xy恒成立，

則/的取值可能是（）

33

A.-5B.-1C.1D.-

22

【解題思路】先根據(jù)題意及基本不等式可得X+.B4,進(jìn)而得到2廠母2-I,由此問題可轉(zhuǎn)化為247

-3W0,解出即可得到答案.

【解答過程】解：???3工+)+寸-13=0,

???(A+1)y=-3x+13,

乂x>0,則x+l>l#0,

-3x4-1316

.*.y==-3+

x+1x+1

???%十丫=%+巖一3=%十1十號一422VT6-4=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時等號成立,

：.2y-xy^=3(x+y)732-1,

又2e-f-4W2y-町恒成立,

.,.2^-/-3<0,解得一1<t<1.

故選：BCD.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

21

13.（5分）（2022春?讓胡路區(qū)校級期末）已知x＞。，）＞0,--F-=1,則x+），的最小值為3+2分

【解題思路】由題意得x+y=Cr+y）（-+-）=?+J+3,從而利用基本不等式求最小值.

''xyxy

21

【解答過程】解：?.”＞（）,y＞0,-+-=1,

xy

21

?'?x+）'=（x+y）（-+—）

工y

=?+/3貝？?尹3

=2V2+3,

2vx

當(dāng)且僅當(dāng)一=一,即X=2+VL）=瘋+1時，等號成立，

xy

故x+y的最小值為2或+3,

故答案為：2a+3.

14.（5分）（2020秋?盤龍區(qū)期末）為了調(diào)杳盤龍江的水流量情況，需要在江邊平整出一塊斜邊長為13〃?

的直角三角形空地建水文觀測站，該空地的最大面積是冬川.

【解題思路】設(shè)直角三角形的兩個直角邊長分別為小b,利用勾股定理以及基本不等式即可求出ab的

最大值，進(jìn)而可以求解.

【解答過程】解：設(shè)直角三角形的兩個直角邊長分別為。，b.

則由已知可得?2+//2=132=169,

所以16922岫，解得等，當(dāng)且僅當(dāng)時，岫取得最大值為等，

1

又空地的面積為5=劣必，

所以空地的面積的最大值為:x--=,

224

169

故答案為：—.

4

15.（5分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）已知函數(shù)/'（%）=。2/-%+&。＞0）的值域是［0,+8）,則

Q4+4匕2

2的最小值為45/2.

a2-2b----------

【解題思路】利用二次函數(shù)的最值，解出。與〃的關(guān)系式，再利用基本不等式，即可解出.

【解答過程】解：???函數(shù)/a）=Q2/—x+*（Q＞或）的值域是1o.+8）,

??.4%=2,

a4+4b2(a2-2b')2+4a2b)Q

??.mr=一0三一-2〃+f

??Z>&且分=2,

a2-2b>0,

???J-2"名”（a?-2%）x占二4五,

當(dāng)且僅當(dāng)。2-2匕=滔彗時取等號.

故答案為：4a

16.（5分）（2021秋?錦州期末）已知實數(shù)x>0,y>0,且x+2y+?+：=6,如果存在實數(shù)m使得〃?

xy

Wx+2v恒成立，則m的最大值為2.

91

【解題思路】依題意求mW（A+2y）min>由6=x+2），+l+,，后兩項通分化為關(guān)于x+2y的關(guān)系式，應(yīng)用

基本不等式求得2Wx+2yW4,問題化為存在實數(shù)〃?，使得機(jī)《工+2），恒成立問題，即可得出機(jī)的最大值.

71

【解答過程】解：由Q0,））（）時，%+2y+9+^=6,

xy

所以6=x+2y+]+/=x+2y+與f>（x+2y）+[?=：x+2y）+不需，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號,

所以（x+2j）2-6（A+2>）+8以0,

解得2Wx+2yW4；

乂存在實數(shù)〃i,對于任意x,y，使得〃Wx+2），恒成立,

所以/〃的最大值為2.

故答案為：2.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）（2022春?保定月考）己知。+10〃=1（〃>0,b>0）.

（1）求曲的最大值；

（2）求工+：的最小值.

【解題思路】（1）直接運(yùn)用基本不等式求解；

（2）原式要變湊出常數(shù)，原式乘以數(shù)1即可.

【解答過程】解：（1）因為4>0,b>0,所以Q+10b=1>2x410ab,

所以ab<東，

當(dāng)且僅當(dāng)。=10〃，即a=±,力=蕓時，等號成立，

所以"的最大值為三：

(2)因為a+10A=l(a>0,b>0),

“，111110bai-

所以一+-=（Q+Wb）（-+-）=11+—+->11+2V10,

ababab

當(dāng)且僅當(dāng)。二J正從即。二續(xù)二，b=咒丁時,等號成立，

所以工+:的最小值為11+2V10.

ab

Q

18.（12分）（2022春?達(dá)州期末）（I）已知亡>3,求無+3的最小值；

%一，

（2）已知x>0,y>0,且3x+2v-l=0，證明：—+—>4.

3x2y

【解題思路】（1）x+2可化為x-2+g+2,再由基本不等式求其最值.

（2）由條件可得:+；=（；+:）（3x+2y）,結(jié)合基本不等式完成證明.

3x2y3x2y

【解答過程】解：（1）由題干可知x>3,故原式變形：x+-^=x-2+-^+2>6+2=8.

X-ZX—L

當(dāng)且僅當(dāng)丫―2=島，解得大病.r=5時，取到等號.

所以％+與最小值8.

（2）由題干知x>0,y>0,3x+2y-1=0,變形得到3x+2y=l.

eg4*1111112y3x

則原式變形：一+—=（一+—）x1=（一+—）（3%+2y）=1+—+—+1>2+

3x2y3x2y3x2y3x2y

\2y3x

2—--=4.

2y

當(dāng)且僅當(dāng)y=蘭時，即y=］，x=4時取等號，所以二十乙工4成立.

3x2y463x2y

19.（12分）（2021秋?昌邑區(qū)校級月考）（1）用籬笆圍成一個面積為64〃?2的矩形菜園，問這個矩形的

長、寬各為多少時，所用籬笆最短？最短的籬笆長多少？

（2）用長為100/〃的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大

面積是多少？

【解題思路】設(shè)矩形菜園的長為人7〃，寬為*〃，x>0,y>0,由基本不等式計算可得（I）（2）的所求.

【解答過程】解：（1）設(shè)矩形菜園的長為皿，寬為巾，工>0,戶（），

則xy=64t籬笆的長為2（/+）,）in.

由---->y/xyr可得x+y22遙5=16,

所以2（x+y）232,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時成立，

此時％=），=8,此時2（xiy）=32〃?，

所以這個矩形的長、寬都為8切時，所用籬笆最短，最短的籬笆長32機(jī)；

（2）設(shè)矩形的長和寬分別為xm,ym,x>0?y>0,

所以2（x+y）=100,

即x+y=50,

因為x>0,y>0,

所以矩形的面積S=x）W（半）2=625,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=25時取“=”，

所以當(dāng)長和寬都為25〃?時，面積最大為625M2.

20.（12分）（2020秋?安慶期末）已知正實數(shù)x,y滿足4x+4y=l.

（1）求xy的最大值；

（2）若不等式,+工za?+5Q恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

xy

【解題思路】（1）由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解孫的最大值；

41

（2）先利用乘1法求出一+一的最小值，然后結(jié)合二次不等式的求法即可求解〃的范圍.

xy

【解答過程】⑴解：4,v+4y=1,所以=x+y>2y/xy,解得xy<）

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=取等號，

?'?xy的最人值為

64

f414116y4x（16y4x

（2）解：一+-=（一+-）（4x+4y）=20+—+—>20+2—?一=36,

xyxyxyyx

當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=^取等號，

.\a2+5?<36,解得-9W〃W4.

即。的取值范圍是[-9,4].

21.（12分）（2021秋?亭湖區(qū)校級期中）已知正實數(shù)x,y滿足等式戶7=2.

21

（1）若不等式-+—N/J+4用恒成立，求實數(shù)〃?的取值范圍；

x2y

44

（2）求方+右的最小值.

x2*

21Q

【解題思路】（1）由已知利用基本不等式求出一+一的最小值，代入-多〃2+4〃?求出團(tuán)的范圍即可;

x2y4

441681

（2）由題意可將=+f化簡為女3-一，令一=/（彥1）,代入的/的二次函數(shù)求最值即可.

x2yzxzyzxyxy

【解答過程】解：（1）V-+；=；（?+2_）（］+）,）=i（1+—+『）>i（1+2俘錢）=

x2y2x2y