江西省景德鎮(zhèn)一中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知孫〃是兩條不同的直線，外尸是兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是()

A.若〃〃/a.〃ua,則〃B.若機(jī)_L_La,則〃//a

C.若，，〃[a,則〃_LaD.若a工,則，〃//〃

2.若過點(diǎn)(0,4)且與圓(工-2尸+)，2=2相切的兩條直線的夾角為凡則tan6=()

4331

A.-B.—C.—D.—

3543

3.已知過拋物線./=2/*(〃>0)焦點(diǎn)廣的直線與該拋物線交于A〃兩點(diǎn)，若恒曰+4忸尸|=9,則P的最大

值為()

A.2B.3C.4D.6

4.4知雙曲線=1的左焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)48在「的右支上,且I網(wǎng)=6,則|E4|十|叫的最小值為()

A.4B.6C.10D.14

5.如圖，在棱長均為2的直三棱柱ABC-AgG中，。是4科的中點(diǎn)，過3、C、。三點(diǎn)的平面將該三棱

柱裁成兩部分，則頂點(diǎn)4所在部分的體積為()

C.6

D與

6.已知點(diǎn)斗鳥是雙曲線C￡_￡=|(。>0,〃〉())的左、右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線。

a'b~

的右支上，且滿足由國=2|。外|尸周23|尸馬，則雙曲線C的離心率的取值范圍為

7.設(shè)橢圓C:《+二=】的左右焦點(diǎn)分別為耳，匕點(diǎn)?在橢圓上，34叩=言〃心的平分線與x軸交

435

于點(diǎn)A,則|B4|=（）

A.x/3B.2百C.D.邁

44

8.如圖，正方形AACO和正方形ABM的邊長均為2,且它們所在的平面互相垂直，點(diǎn)N在線段8廠上運(yùn)動(dòng),

點(diǎn)M在正方形A8CO內(nèi)運(yùn)動(dòng)，MN=2,且始終保持MN1A8,則DW的最小值為（)

A.V2-IB.2>/2-2C.立D.正

22

二、多選題

9.下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若直線t：x+2y+l=0與/2：2x+ay-2=0平行，則/1與I?的距離為半

B.過點(diǎn)（T,l）且和直線2x_y+7=0平行的直線方程是2x_y_6=0

C.“〃=T”是“直線>+1=0與直線》一紡」2=0互相垂直”的必要不充分條件

D.直線xsina+），+2=0的傾斜角。的取值范圍是0,￡U手■,小

L4」［4）

10.已知拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線/與C交于AK兩點(diǎn)，。是C的準(zhǔn)線與I軸的交點(diǎn),

則下列說法正確的是（）

A.若忸目二川人耳，則直線/的斜率為土g

B.|AF|+4|BF|>18

C.0<ZAOB<90（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

|AF|.i

D.當(dāng)其取最小值時(shí)，|A斤=4

11.如圖，在正方體中，點(diǎn)尸在線段BQ上運(yùn)動(dòng)，有下列判斷，其中正確的是（）

A.異面直線4尸與AA所成角的取值范圍是（05

B.三棱錐APC的體積不變

C.平面平面AC"

D.若AB=1,則cr+。A的最小值為J2+正

12.如圖是數(shù)學(xué)家Ge〃〃/力標(biāo)。如加〃〃用來證明一個(gè)平面截圓錐側(cè)面得到的微口曲線是橢圓的模型（稱為

“Dandclin雙球”）.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，截面分別與

球。一球。?切于點(diǎn)E,F（E,尸是截口橢圓C的焦點(diǎn)）.設(shè)圖中球。一球。?的半徑分別為3和1,球心距

依囚=4夜，則（）

A.橢圓C的中心在直線002上

B.\EF\=4

C.直線QQ與橢圓C所在平面所成的角為三

D.橢圓C的離心率為班

三、填空題

13.已知拋物線C：），2=4x焦點(diǎn)為死過點(diǎn)尸的直線/交C于A、8兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)M,若F為AM

19.已知雙曲線C：奈?=的離心率為加，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過C的右焦點(diǎn)的直線/交C的

右支于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)/J_x軸時(shí)，|PQ|=2及.

⑴求。的方程；

⑵過。作直線x=l的垂線，垂足為M

(i)證明：直線QN過定點(diǎn)；

(ii)求△OQN面積的最小值.

20.如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABC。中，底面488是矩形，PA_L平面ABC。，E,F,G分別是AB,PD,

尸。的中點(diǎn).

EB

(1)若AZ)=P4,求證：4尸_1_平面夕。。；

(2)若二面角尸-EC-。的正切值為夜，且=AB=2g，求EG與平面尸。石所成角的正弦值.

21.已知圓4:(X+1)2+>2=16和點(diǎn)3(1,0),點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，線段尸3的垂直平分線與線段Q4相交于

點(diǎn)。，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.

(1)求曲線。的方程；

(2)點(diǎn)。在直線x=4上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)。的動(dòng)直線/與曲線。相交于點(diǎn)M，N.

(i)若線段MN上一點(diǎn)E,滿足鬻=^，求證：當(dāng)。的坐標(biāo)為(41)時(shí)，點(diǎn)￡在定直線上；

(")過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為G,設(shè)直線GMGO的斜率分別為4,七,當(dāng)直線/過點(diǎn)(1,0)時(shí)，是否存

在實(shí)數(shù)義，使得4=%&?若存在.求出義的值；若不存在，請說明理由.

題號12345678910

答案CCACBCDBADABD

題號1112

答案BCDBD

1.c

根據(jù)線而平行和線而垂直,而而垂育的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】A選項(xiàng)，若，〃//a,〃ua,則〃?〃〃或異面，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B選項(xiàng),若m則〃或nua,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得〃，環(huán)故C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，若a_L民〃?_La,則〃或〃?u/7,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C

2.C

求得點(diǎn)(0.4)到圓心距離，進(jìn)而由嗚二方，即可求解.

【詳解】i(A-2)2+/=2,則圓心C(2,0),半徑

所以(0,4)點(diǎn)與圓心的距離d=7(0-2)2+(4-0)2=2后，

所以3]8=2=巫，

2d10

則cos6=1—2§而且=l-2x—=—,sin.

21055

3

所以tan0=-.

4

故選:C.

3.A

由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，分直線斜率存在與不存在，建立方程，利用基本不等式，可得答案.

【詳解】由拋物線)尸=2所(〃>0),則焦點(diǎn)/(多0),設(shè)A(XQJ,8(.,%)，

易知|AF|+4|陰"+勺4卜2+￡]"+4&+|〃=9

當(dāng)直線48的斜率不存在時(shí)，直線方程為工=多則內(nèi)=々=多

即|A尸|+4|叫=勺4乂耳|〃=9,解得〃='

當(dāng)直線A8的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為了=&[-3),

代入/=2px,整理可得k2x2-p(k2+2卜+字=0,

：!

△=+2『一4〃2?'^-=4〃+4爐〃2>0,x}x2=?,

則|AF|+4忸F|22匹E+|〃，當(dāng)且僅當(dāng)$=2當(dāng)時(shí)，等號成立，

即922〃+],解得〃M2.

綜上所述〃的最大值為2.

故選：A.

4.C

根據(jù)雙曲線的定義，將IE4I與|EB|進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合三角形三之關(guān)系求出|E4|十|FK|的最小值.

【詳解】對于雙曲線V-f=1,根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程￡-￡=1(。>0*>0),可得〃2=],/『=3.則

3a~b-

a=\.

設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為外，由雙曲線的定義可知，點(diǎn)A在雙曲線的右支上，則I必|-|8A|=2a=2,即

\FA\=\F2A\+2,

同理，點(diǎn)"在雙曲線的右支上，則IEBI-I8砌=2〃=2,|ip|FBH^I+2.

所以|E4|+|FB|=(|5A|+2)+(|F2B\+2)=\F2A\+\F2B\+4.

根據(jù)三角形三邊關(guān)系，吊A|十|乙回引A同，當(dāng)且僅當(dāng)A,B,尸2三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立.

XMB|=6,則怩川+|鳥同+4引陰+4=6+4=10,即照+|冏210.

所以IE4I+IFBI的最小值為10.

設(shè)平面8c。交AG于點(diǎn)E，連接OE、CE,推導(dǎo)出點(diǎn)E為4G的中點(diǎn)，用三棱柱ABC-ASG的體積減去

三棱臺(tái)AOE-A8C的體積即可得解.

【詳解】設(shè)平面BCD交AG于點(diǎn)八連接。石、CE,

在三棱柱A8C-ABC中，平面4BC〃平面AUG，平面ACOR平面A9C=BC,

平面BSfl平面AB?=DE,所以，DE!IBC,

乂因?yàn)?8//CG且Bg=CC],故四邊形8qCC為平行四邊形，所以，BCg,

所以，DEg,

因?yàn)椤锳4的中點(diǎn)，所以，E為4G的中點(diǎn)，且。E=ggG=l,

因?yàn)橹比庵鵄BC-A8c的每條棱長都為2,

則VABCM=W?明=乎x2?x2=26，

易知△AQE是邊長為1的等邊三角形，則S&,、”=￥X12=￥，

匕粒臺(tái)W-八紇=§6ADE+ABC+DE'tABC),

4惇+岳牛=吟

因此，頂點(diǎn)Bi所在部分的體積為匕…「匕…2=26-華=然?

故選：B.

6.C

【詳解】由|耳用=2|。斗，可得|OP|=c,

即有APEK為直角三角形，且?耳

可得|77"2+儼工|2=|6居|2,

山雙曲線定義可得忸用-儼勾-2〃，

又|歷|之3|尸國，可得|"區(qū)〃，

即有（歸聞+24+|P用『=牝2,

化為（|尸周+4=2°2_.2,

即有2c2—,可得cv孚a,

由e=￡可得i<e《巫,

〃2

故選C.

7.D

根據(jù)給定條件，由橢圓定義，結(jié)合余弦定理求出IPEIJPgl,判斷的形狀，再利用三角形內(nèi)角平分

線的性質(zhì)求解.

【詳解】橢圓C：《+t=l的焦點(diǎn)6（-1，O），K（LO）,IWI+IP巴1=4,不妨令點(diǎn)”在第一象限，

43

222COS

在鳥中，4=|FXF2|=|PF.|+\PF21-2\PF^\PF2IZ^PF；=|6-y|Pf；|||,

IS53

則|尸用.|桃|=才，解得|歷|二］,|"|=于/田明『十小F,則"1時(shí)，

由24平分/耳尸鳥，得喘=需=1,而IAg|+|A用=2,則|4E|=W，

所以1何|=杼2+*=乎.

8.B

過點(diǎn)N作M/LA8,利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定證得平面他所，再結(jié)合三角形全

等的性質(zhì)及圓的性質(zhì)求出最小值.

【詳解】如圖，過點(diǎn)N作M/_L48,垂足為〃，連接

r

而MNJ1A6,MNCHN=N，MN、HNu平面MNH,則A8_L平面MN”.

又例A/u平面MN”，則八8_LM〃，又平面A8CD/平面A座萬，

平面ABC。。平面AB￡F=AB，M/7u平面A8CO,貝ljM7_L平面AHM,

HNu平面AB/獷,于是MH1NH,而HN=HB,因此用9,即加4=MN=2,

則點(diǎn)M的軌跡是以3為圓心，2為半徑的圓弧，所以的最小值為。8-2=2播-2.

故選：B

9.AD

利用平行線間距離公式判斷A,舉反例判斷B,C,利用斜率的幾何意義判斷D即可.

【詳解】對于A,因?yàn)橹本€4：x+2y+l=O與4：2x+ay-2=0平行，

2/7-2

所以彳二]工岸，解得4:4,此時(shí)直線4為2x+4y_2=0,即j+2y-]=0,

由平行線間距離公式得4與A的距離為上工廿二空,故A正確，

Jl+45

對干B,將點(diǎn)（-山）代入2x-y-6=0中，

發(fā)現(xiàn)_2-1-6/0,故該點(diǎn)不在直線上，

即過點(diǎn)且和直線2x-y+7=0平行的直線方程

不可能是21一丁-6=0,故B錯(cuò)誤,

對于C,當(dāng)〃=0時(shí)，直線〃"一"1=0可化為7+1=0,

直線x-"-2=。為x-2=0,此時(shí)兩直線也互相垂直，

所以“〃=-]”不是“直線。2工一），+]=（）與直線”一代\,一2二0互相垂直”

的必要不充分條件，故C錯(cuò)誤，

對FD,直線xsina+），+2=。的斜率為&=—sina,貝1」一1《&41,

當(dāng)-i“<o時(shí)，夕的取值范圍是[七,小，當(dāng)0女金時(shí)，舛勺取值范圍為

4）4

故直線4sina+y+2=0的傾斜角6的取值范圍是0。u故D正確.

L4」|_4)

故選：AD

10.ABD

設(shè)出直線/：戶沖+工刈…),網(wǎng)”)，根據(jù)題意求出拈2)*(8,8),得到斜率判定A；運(yùn)用拋物線

定義轉(zhuǎn)化線段長度，結(jié)合基本不等式計(jì)算判定B；借助向量法計(jì)算判定C；運(yùn)用拋物線定義轉(zhuǎn)化長度，結(jié)合

基本不等式計(jì)算判定D.

【詳解】依題意得尸(2,0),設(shè)直線/：1”+2,3方),5(七,%)，

x=my+2、

聯(lián)立得y-6=。，則y+%=8〃”歷=T6,

貝端唱T解吸;8或七1則心

4(8,—8)或46，-2),B(8,8),則直線/的斜率A=±g,故A項(xiàng)正確.

|A尸|+4忸尸|=凡+4/+10=]+/+10=￡+5+10之18,

當(dāng)且僅當(dāng)代=8時(shí)等號成立，故B項(xiàng)正確.

22

因?yàn)榉?醞=x,x,+Xy,二歲^+乂），2=-1240.所以N4O5＞g0,故C項(xiàng)錯(cuò)誤.

64

。（―2,。）/（2,0）,則犬=8中為＞0,由拋物線的定義可得

加[=X+2,|AO|=J（N+21+（y-O,=4x；+4%+4+8X[=Qx；+12%+4,

2

E、I-…|AP|$+2IX）+4X）+4f8x）

=l-

因?yàn)槎荆ǎ?所以號內(nèi)=i,==J,s----7J-h不---A

|AD|Jx；+12.&+4Y$+⑵i+4YXI+12玉+4

當(dāng)且僅當(dāng)玉=2時(shí)取等號，此時(shí)|A*|=4,故D項(xiàng)正確.

故選：ABD

11.BCD

根據(jù)P為BG中點(diǎn)時(shí)，異面直線A2與4,所成角為5判斷A；根據(jù)/_八七=匕＞型?=]/〃勿6?8。判

斷B；證明與。，平面ACR即可判斷C；將平面8CG沿8G展開使其與平面ABGR重合時(shí)，再求RC的

距離即可判斷D.

【詳解】解：對于A選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)易知4OJ/BG，V&BG為等邊三角形，

所以，當(dāng)尸為BG中點(diǎn)時(shí)，g"P,

所以叫_LAP,此時(shí)，異面直線年與/⑷所成角為與，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于B選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)易知A8_L平面3CC心，qcu平面4CCM，側(cè)面3。。蜴為正方形，

所以48_LHC，B￡上BC,由于ABD8G=8,A8,8￡u平面A3G。，

所以8C_L平面A8CQ

設(shè)C到平面RAP的距離為力，則/?=；&C，

因?yàn)镾?”=g?AA-OC，

所以，三棱錐AMP。的體積匕2吒=%/”=聶”/=55分。6由。，故正確；

對干C選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)易知44L平面人力。A,人口（=干面口。。必，

所以A〃_LQA，由于人由「14。=/\,入44。＜=平面兒用。，

所以A〃_L平面A4。，4OU平面A4。，

所以A"_Lq。，同理證得ACJ_BQ,

由于4烏04。=4,AR,ACu平面ARC,

所以耳QJL平面/WC，因?yàn)锽Qu平面8QP,

所以平面P瓦。，平面ACA，故C選項(xiàng)正確:

對TD選項(xiàng)，根據(jù)題意，將平面BCG4沿3片展開使其與平面瓦重合時(shí)，如圖,

因?yàn)锳B=1,所以A3=8C=CG=CA=1,A〃=8C=血，BC±CC,,

所以CP+PDiNCR==也+夜?故正確;

故選：BCD

12.BD

根據(jù)給定的幾何體，作出軸截面，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及勾股定理求出橢圓長軸和焦距作答.

【詳解】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體,

得圓錐的軸截面及球。.球。2的截面大圓，如圖,

點(diǎn)分別為圓日,與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點(diǎn)，線段MN是橢圓長軸,

可知橢圓。的中心（即線段MN的中點(diǎn)）不在直線QO,上，故A錯(cuò)誤:

橢圓長軸長加=|削|=阿丹+|硒|=眼曰+眼目=|“同+|〃4|=|/^,

過。2作2。八。小于。，連顯然四邊形ABO2。為矩形，

又|。國=1,|?川=3,依勾=4及，

則la=\AB\=\O2D\=2TqM2=J（4可-2?=2s,

過。2作O?J_?E交aE延長線于c,顯然四邊形CEFO2為矩形，

橢圓焦距2c=怛尸|=|。2。|=JQQJTOCF=J（4拒）2_4?=4,故B正確；

所以直線與橢圓。所在平面所成的角的正弦值為sin/CO2?=盟=志=孝,

故C錯(cuò)誤;

所以橢圓的離心率0=在=—==2且，故D正確:

2a2V77

故選：BD.

⑶T/5I

過點(diǎn)A作A￡_LA/G,垂足為E,確定AE=2AG=4,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，設(shè)出直線方程,聯(lián)立得到根與系數(shù)

的關(guān)系，確定*=3,工2=鼻，得到答案.

【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為G,過點(diǎn)A作A￡_L例G,垂足為E,

由拋物線C:），2=4x,得G/=2,準(zhǔn)線/的方程為x=-l,焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（L0）,

產(chǎn)為4M的中點(diǎn)，故AE=2/G=4,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

因?yàn)橹本€/過點(diǎn)尸且與準(zhǔn)線相交，所以直線/的斜率存在，

，24x

設(shè)其方程為），=攵（'-1）,聯(lián)立‘二:八，化簡可得公丁-（23+4卜+公=0,

方程公/一（2公+4）x+F=o的判別式△=（2二+4）2—4-=16攵2+16>0,

設(shè)A（x，yJ,"（七,%），則王m=1，又占=3,所以w=g,

故怛尸|=$+1=；+1=；|4尸|=百+1=3+1=4,

故|陰=卜尸|+忸尸|=4+：4.

故答案為:-y

14."

利用三角形中位線定理、銳角三角函數(shù)的正弦與余弦的定義，結(jié)合己知，可以求出&〃的雙曲，進(jìn)而求得雙

曲線的離心率.

【詳解】因?yàn)镹是尸鳥中點(diǎn)，即QN是尸2的中位線，

則tan4PF、F2=tanNNO6=-,

可得sin/P片尼=2,cosZPFiF2=-,

又因?yàn)榈?2c,則|防|=2々，儼周=%，關(guān)系

則歸閭一|尸/=幼_%=2.=〃=2a,

所以雙曲線的離心率是e=￡=5/5.

a

故答案為：y/S.

2回2c.

設(shè)4（4），）3（天,必），將直線和橢圓聯(lián)立消元得,+），2=，由|明=3|耳邳可得

3從-3從+a

y二一2乃，再結(jié)合〃2=〃2一°2化簡可得2

【詳解】由題意，直線48過￡（-。，0）且斜率為右，所以直線AB為：y=^（x+c）,

與橢圓C：A+g=l（a">0）硬立消去盯得住:佐卜2―婆4_/=（）,

crb-k3；3

設(shè)A（%,x）,8&,M），則y+%=當(dāng)空jy2=廿］，

3a2+b2

因?yàn)镮明=3忻耳，所以麗=21瓦可得y=一2為，

代人上式得一二牌五等‘消去力并化簡整理得：8心獷+凡

將從="一。2代入化簡得：c2=-a\解得c=ga,

因此，該雙曲線的離心率e=￡=g.

a3

2

故答案為:3-

16.28兀

由題設(shè)及線面垂直的判定有A8_L平面3CO,利用線面垂直模型求出三棱錐外接球的半徑，進(jìn)而求其表面積.

【詳解】由題設(shè)452+5。2=4。2,AB2+BD2=AD\即""LBC,AB工BD,

由BCABD=B且都在平面BCD內(nèi)，則AB_L平面BCD,

由BC=BD=3,ZCBD=60°,則&BCD的外接圓半徑r=---=,

2sin60°

又AB=4,則三棱錐A-8CD外接球半徑R2=r2+—=7,

4

所以所求外接球的表面積為4加叱=28兀.

故答案為：28TT

17.(1)。(0,2)

(2)(5,1)

(3)3

（1）由A8CO為平行四邊形知而=反可求；

[P=T

（2）設(shè)點(diǎn)。（2,4）關(guān)于直線48對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為。'（小,打），由題意可得出2一"。，解方程即

p±Z-A±l_]=（i

I22

可得出答案.

（3）求出|A回和點(diǎn)C到直線的距離即可求出面積.

【詳解】（1）設(shè)。（乂?。葾BCO為平行四邊形知而=成,

2-x=2,x=0/、

即(2,2)=(2r,4-y),則，[f2,解陷即。(0,2).

[y=2

(2)直線A8的方程為注=汜，即人-)，-1=0,

0—21—3

點(diǎn)C(2,4)關(guān)于直線AB對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為C'(小,先卜

4=7

2f，解得：?%=5

所以《

9一山一1=()>o=1

22

故C關(guān)于直線八區(qū)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,1).

⑶\AB\=^(1-3)24-(0-2)2=272,

直線AB的方程了一)」1=0,

|2-4-1|372

點(diǎn)C(2,4)到直線工一k1=0的距離為4

2

c_113五_二

S^ABC=-x2V2x—=3.

18.(1

(2)證明見解析

(1)取AD中點(diǎn)G,連接4G、產(chǎn)G,證明出G3〃DC,則NPBG或其補(bǔ)角為異面直線C。與。8所成角,

然后求出△?'8G三邊邊長，結(jié)合余弦定理求解NP'HG的余弦值即可;

(2)證明出COJ_平面PAC,可得出AE1CO,再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AEJ?產(chǎn)C,可得出

A￡_L平面尸8,結(jié)合線面垂直口勺性質(zhì)可證得結(jié)論成立.

【詳解】(1)取A。中點(diǎn)G,連接8G、PG,

vBC//GD,BC=GD,二.四邊形GDC8是平行四邊形，則G8//DC,

/.NP'6G或其補(bǔ)角為異面直線與08所成角，

翻折前區(qū)4_1_尸￡),WAB1AD,ABLPA,

翻折后，則有且有尸4=94=&，

pfD2=6=P,A2+AD2,

又QABIAD=A,AB.AOu平面ABC。，_L面ABC。，

在△P8G中，PB7pA^AB?，BG=4AB?+BG?=ViTT=&，

PG=JPA?+AG?="仃二6，

由余弦定理可得8，/尸垢=空半*=亨4=亞，

2PBBG2x/3xV26

因此，異面直線。。與。8所成角的余弦值為".

6

(2)?.?產(chǎn)4_1_面八8。。，COu平面八BCO,/.P'ALCD,

QAB=BC=l,AB1AD,BC//AD,..ABJ.BC,故V4BC為等腰直角三角形,

/.ZC4D=Z4CB=45O?

vAC=42AB=42,A￡)=2,

由余弦定理得CO?=AC?2+A02-2AC?AOcos45=2+4-2拒x2x^=2,

2

/.AD2=CA2+CD\:.AC±CD,

vPrAC\CA=A,P'A.ACu平面P'AC,\8人面PAC,

因?yàn)锳Eu平面PAC,.\CD1AE,

XvPrA=AC,E為產(chǎn)C的中點(diǎn)，.?.AE_LP'C,

E、、?.CDn/yC=C,CD、尸Cu平面尸8,..AE，面產(chǎn)8,

D

B---c

QCru平面尸'CD,/.AE1CF.

以(44=15

(2)(i)證明見解析:(H)巫.

2

(1)由離心率及雙曲線參數(shù)關(guān)系求得〃結(jié)合已知令代入雙曲線求參數(shù)值，即可

得方程:

(2)(i)設(shè)。(西,凹),。。2，%)，則N(l,y),設(shè)/:x=〃「+2,聯(lián)立雙曲線并應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合直線NQ、

雙曲線對稱性確定定點(diǎn)位置并得到工=止里再作化簡求值，即可得定點(diǎn)坐標(biāo)；

必一凹

(ii)應(yīng)用三角形面積公式、弦長公式，結(jié)合0W,〃2Vl求面積的最小值.

【詳解】(1)由題設(shè)￡=&且/+〃=/，則。=/“=及〃，

2a22

由/_Lx軸時(shí)，/。=2上，不妨令尸（夜出庭）,代入雙曲線得I,

a2b-

所以〃=》2=2,則所求方程為￡—21=1；

22

⑵⑴設(shè)尸（百,必）,。（孫必），則N（Ly）,由2斜率不為0,設(shè)/：x="?），+2,

聯(lián)立雙曲線并整理得（//r-l）r+4〃少+2=0,則/_1工0,△=8掰2+8>0,

I?4m2

所以y+%=――=-^—7，

m-1m~-1

由訪工1，直線NQ:y="?（xT）+y,

x2—\

根據(jù)雙曲線的對稱性，直線NQ配過定點(diǎn)必在x軸上,

令y=o,Mil——立（x-l）+y=0=x=±-匕上

因?yàn)椤?2,所以戶忙也邑二生,

而――號—?jiǎng)tJ/巖一2y_3,

幾為一2%_另三

3

所以NQ過定點(diǎn)M0,0）；

"J。。

由(i),8(加+1)>0可得0<in2<1>

2

>V72=^—r<°

m-1

令E-lefO）,則%°M=手.辟=當(dāng)「^=呼.并+；）-1,

（-00,-1],故逑，當(dāng)，二一1時(shí)取等號，

jAv/vJ"2

綜上，Sa?！钡淖钚≈禐楹?

20.（1）證明見解析

⑵如

3

（1）由題意可得8_1A產(chǎn)，結(jié)合A尸_LP￡）,可得A尸_L平面QDC；

（2）由題意可得AF與平面夕￡陀所成角即為石G與平面夕￡陀所成角，過A作/VW_LEC于M,連接夕M,

可得lanNPM4=&，可求得PA=&，利用等體積法可求得A到平面燈汨的距離，可得EG與平面P/g所

成角的正弦值.

【詳解】（1）因?yàn)橛质荘D的中點(diǎn)，所以4尸JLPO,

又E4_L平面A8CO,CDu平面A8CO,所以P4_LCD,

又底面A4co是矩形，所以AO_LQC,又AOcP4=A,人。,Rlu平面尸A。，

所以CO_L平面PAD,乂A/u平面尸A。，所以

又CDC]PD=D,CDPDu平面POC,所以Ab_L平面PDC.

（2）連接G〃，因?yàn)槭?，G分別是燈），0C的中點(diǎn)，所以G〃=；C。，GF//CD,

又E是A8的中點(diǎn)，底面A8CO是矩形，所以AE=g。。，AENCD,

所以AE=G尸且A七〃GF,所以四邊形AEGF是平行四邊形，

所以GE//人/，所以"'與平面2/）￡所成角即為EG與平面PDE所成角,

因?yàn)橛諵4_L平面ABC。，ECu立面ABCD,所以P4_LEC,

過A作4MJ_EC于M,連接尸M,

又AMcRl=4,AM,PAu平面EW,

所以CE_L平面QAM,又BWu立面Q4M,所以CE_LP/W,

pA-

所以NPM4為二面角尸-EC—0的平面角，所以tan/PMA=&，所以R二四，

AM

thAR=?A/^?AD=-J?,可得AM=1?所以PA=-s