第08講難點探究專題：一次函數(shù)的綜合與新定義型函數(shù)（7類熱點題

型講練）

考點導(dǎo)航

目錄

【類型——次函數(shù)圖象共存綜合問題】............................................................1

【類型二一次函數(shù)含參數(shù)中的圖象和性質(zhì)】........................................................2

【類型三一次函數(shù)中平移問題】..................................................................3

【類型四一?次函數(shù)中的規(guī)律探究問題】............................................................6

【類型五一次函數(shù)一一分段函數(shù)】................................................................8

【類型六絕對值的一次函數(shù)】...................................................................11

【類型七新定義型次函數(shù)】...................................................................16

典型例題

【類型——次函數(shù)圖象共存綜合問題】

A.①和③B.②和③C.①和④D.②和④

【答案】。

【分析】利用正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象逐一判斷即不求解.

故選D.

【點睛】本題考查了正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，熟練掌握其圖象是解題的關(guān)鍵.

【分析】根據(jù)選項，結(jié)合一次函數(shù)圖像與表達式系數(shù)的關(guān)系逐項判斷即可得到答案.

故選:A.

【點睛】本題考查一次函數(shù)圖像與表達式系數(shù)的關(guān)系，掌握此類題型的解題方法是解決問題的關(guān)鍵.

【答案】A

【分析】分別分析四個選項中一次函數(shù)和正比例函數(shù)切和"的符號.即可進行解答.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)和正比例函數(shù)圖象與

系數(shù)的關(guān)系.

【答案】D

【分析】對于每個選項，先確定一個解析式所對應(yīng)的圖象，根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系確定〃、〃的符

號，然后根據(jù)此符號看另一個函數(shù)圖象的位置是否正確.

故選：D.

【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確記憶一次函數(shù)圖象經(jīng)過象限與系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【答案】B

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和?次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，對平面直角坐標(biāo)系中兩函數(shù)圖像進行討論即可得出答

案.

故選B.

【點睛】本題主要考查的是正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像

與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【類型二一次函數(shù)含參數(shù)中的圖象和性質(zhì)】

①其圖象是一條直線；

④若），隨x的增大而增大，則其圖象與軸的交點必定在正半軸上.

A.①②③④B.①②③C.②③④D.①③④

【答案】A

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進行判斷后，即可得出結(jié)論.

眇是關(guān)于x的一次函數(shù)，其圖象是一條直線，故①正確；

則其圖象與y軸的交點必定在正半軸上，故④正確：

故選A.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì).熟記一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和圖象求解即可.

13一次函數(shù)），隨k增大而增大，如圖所示，

故選:D.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵.

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系對A、B、C進行判斷，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征對力進

行判斷.

故選：D.

【答案】D

故選：D.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

4①②B.②③C.②④D.③④

【答案】C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷即可.

回此函數(shù)圖象必經(jīng)過（11），故②正確；

團此函數(shù)圖象都不可能同時經(jīng)過第二、三、四象限，

故④正確；

故選：C.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

其中正確的結(jié)論是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①④

【分析】利用函數(shù)的增減性質(zhì)可判斷①；利用平移的性質(zhì)可判斷②；把兩個點的坐標(biāo)分別代入，解方程組

消去〃?，可判斷③；根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可判斷④.

綜上，正確的說法有①④，

故答案為：①④.

【點睛】本題考查的是兩條直線相交或平行問題，一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵.

【類型三一次函數(shù)中平移問題】

【點睛】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)

形結(jié)合的思想解答.

乂倒點A向下平移4個單位，向左平移3個單位得到8,

團點C向下平移4個單位，向左平移3個單位得到。，

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)圖像的變換，理解并掌握一次函數(shù)平移的特點，平行四邊形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

⑴求平移后的函數(shù)表達式；

⑵求平移后函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圖成的三角形的面積.

（2）根據(jù)解析式求得與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，即可求解.

B,

A/AOx

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求解析式，求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積,

根據(jù)平移求得解析式是解題的關(guān)鍵.

【類型四一次函數(shù)中的規(guī)律探究問題】

例題：(2023?全國?九年級專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，直線/：)，=x+l與)，軸交于點4,如圖所示，依

次作正方形OAIBICI,正方形CN282C2,正方形C2A383c3,正方形C3A484c4,點Ai,A2,A3,A,，...在直

線/上，點G,c2,a,a,...在x軸正半軸上，則人的坐標(biāo)是；4的坐標(biāo)是.

【答案】(7,8)(2^11,2nl)

【分析】由題意可得人1，A2,A3,A4的坐標(biāo)，可得點4坐標(biāo)規(guī)律，即可求解.

【詳解】解：由題意可得正方形。A1B1C1邊長為1,

正方形A282c2。的邊長為2,

正方形A383c3c2的邊長為4,

正方形AnBnCnCni的邊長為2〃1,

0A1(0,1),A2(1,2),A3(3;4),A4(7,8),…，An(2?11,

故答案為：(7,8),(2wll,2nl).

【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、規(guī)律型：點的坐標(biāo)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【變式訓(xùn)練】

【點睛】本題考查了一次函數(shù)規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【答案】1675

故答案是：1;675.

【點睛】本題考查一次函數(shù)上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)特殊點的坐標(biāo)得到變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

【分析】設(shè)等邊魴〃4〃4〃+1的邊長為由廣巫x得出〃。加=30°,再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)及外角的

3

性質(zhì)即可得出團。覬4〃=30。，團08MH■1=90。，從而得出=設(shè)A”的坐標(biāo)為(M0),由點A1

的坐標(biāo)為(1,0),得到。1=1,a2=1+1=2,。3=1+。1+。2=4,.4=1+41+a2+〃3=8,an=2n\.即可求得A2022

的坐標(biāo)力B2=&aI=G,52021a2022=G?2020=&x22020=22020場.

【詳解】解：設(shè)等邊回的邊長為

回點小，in,33,...是在直線"且x(A>0)上的第一象限內(nèi)的點，

3

(3E1A〃08〃=30。，

又釀由泊〃4〃+1為等邊三角形，

團回1=60°,

00OBnAn=3O0,用O/3〃A〃+l=90°,

^BnBn+1=08〃=Qan,

（3點Al的坐標(biāo)為（1,0）,

設(shè)A〃的坐標(biāo)為Can,0）,

團a1=1,“2=1+1=2,a3=l+al+a2=4,〃4=l+al+a2+a3=8,...?

^an=2n1.

[M2022（22021,0）.

財182=G〃I=6,B202182022g42021=&x22020=22020G.

故答案為：B1B2=G“1=G，42021/12022=22020,2021B2022W〃2021=Gx22020=22（）206.

【點睛】本題考查了坐標(biāo)規(guī)律變換，一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形邊的特征找出邊的變化規(guī)律A〃A〃+l=a〃=2〃l.

【類型五一次函數(shù)——分段函數(shù)】

（1）請同學(xué)們把小紅所列表格補充完整，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象:

X???10123456???

???-2-10222???

y

（2）根據(jù)函數(shù)圖象，以下判斷該函數(shù)

性質(zhì)的說法，正確的有.

①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱；

②此函數(shù)無最小值；

③當(dāng)上V3時，y隨x的增大而增大；當(dāng)我23時，y的值不變.

【答案】（1）見解析；（2）②③；（3）\

【分析】（1）根據(jù)所給的函數(shù)解析式填表，然后描點連線即可得到答案:

（2）根據(jù)函數(shù)圖像進行逐一判斷即可；

【詳解】解：（1）列表如下:

X…10123456

???-2-1012222???

y

函數(shù)圖像如下圖所示:

（2）根據(jù)函數(shù)圖像可知，這個函數(shù)圖像不關(guān)于〉，軸對稱，故①錯誤：

觀察函數(shù)圖像可知，此函數(shù)沒有最小值，故②正確；

觀察圖像可知當(dāng)工＜3時，y隨x的增大而增大；當(dāng)XN3時，），的值不變，故③正確;

故答案為：②③；

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【變式訓(xùn)練】

（1）該函數(shù)圖象與軸交點的縱坐標(biāo)是；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出該函數(shù)的圖象；

【分析】（1）令x=0,求得y=3,即可求解：

（2）根據(jù)兩點法畫出函數(shù)圖像；

（3）分兩種情況討論：設(shè)點當(dāng)〃?＞3時，（m-3）=6；當(dāng)/"V3時，；＞AOx（3-m）

=6,分別求出，〃即可求解；

（4）當(dāng)直線y=kr+l與y=x-3平行時，2=1,所以kVI時，直線），=去+1與函數(shù)有兩個交點；當(dāng)直線y

=仙+1經(jīng)過點（3,0）時，3女+1=0,所以時，直線）=依+1與函數(shù)有兩個交點，即可求出女的

取值范圍.

【詳解】解：（1）解：（I）令x=0,則），=3,

回函數(shù)圖象與），軸的交點為（0,3）,

團函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)是：3,

故答案是：3；

（2）如圖：

（4）當(dāng)直線），=h+1與y=x-3平行時，k=l,此時直線），=玄+1與函數(shù)有一個交點,

歐＜1時，直線丁=履+1與函數(shù)有兩個交點，

當(dāng)直線丁=代+1經(jīng)過點（3,0）時，3攵+1=0,

團上=一!，

3

團直線》=日+1經(jīng)過點（0,1）,

3

瞅＞時，直線），=依+1與函數(shù)有兩個交點，

團-g<k<\且上0直線)，=履+1與函數(shù)有兩個交點.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合，熟練掌握兩點法畫函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵.

【類型六絕對值的一次函數(shù)】

下面是小慧的探究過程，請補充完成：

(2)列表，找出y與x的幾組對應(yīng)值.其中，b=；

(3)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，描出以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，并畫出該函數(shù)的圖象；

(5)結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)(一條即可)：.

【答案】(1)任意實數(shù)

(2)2

(3)見解析

(4)0

(5)*1時，1y隨x增大而減??；QI時，y隨x增大而增大；圖象關(guān)于直線產(chǎn)1對稱(寫一條即可)

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)把x=l代入函數(shù)解析式，求出)，的值即可；

(3)在坐標(biāo)系內(nèi)描出各點，再順次連接即可；

(4)根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論.

(5)根據(jù)函數(shù)圖象解答即可.

(1)

盟無論為何值，函數(shù)均有意義,

以為任意實數(shù).

故答案為：任意實數(shù)；

(2)

回當(dāng)x=l時，產(chǎn)1111=2,

M=2.

故答案為:2；

(3)如圖，

(4)

由函數(shù)圖象可知，函數(shù)的最小值為0.

故答案為：0.

(5)

*1時，y隨x增大而減?。粁>l時，y隨x增大而增大；圖象關(guān)于直線"1對稱(寫一條即可).

【點睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?河南漂河?八年級期末)有這樣一個問題：探究函數(shù)y=|x+l|的圖象與性質(zhì).下面是小明的探究

過程，請補充完整：

⑴函數(shù))，=|x+11的自變量工的取值范圍是;

⑵下表是x與)，的幾組對應(yīng)值.

X???-5-4-3-2-10123???

y???432m01234

m的值為_________

⑶在如圖網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,描出表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，并畫出該函數(shù)的圖象;

(4)小明根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，寫出此函數(shù)的兩條性質(zhì).

【答案】(1)任意實數(shù)

(2)1

(3)見解析

(4)見解析

【分析】(1)根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可知x的取值范圍；

(2)根據(jù)函數(shù)解析式可以得到用的值；

(3)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象；

(4)根據(jù)函數(shù)圖象可以寫出該函數(shù)的性質(zhì).

(1)

解：在函數(shù)尸次+1|中，自變量x的取值范圍是x為任意實數(shù),

故答案為：任意實數(shù)；

(2)

解：當(dāng)m2時，吶|2+1|=1,

故答案為：1;

(3)

解：描點、連線，畫出函數(shù)的圖象如圖：

⑷

解：由函數(shù)圖象可知，

①函數(shù)有最小值為0；

②當(dāng)心＞1時，y隨x的增大而增大；

③圖象關(guān)于過點(1,0)且垂直于x軸的直線對稱.(任寫兩條即可)

【點睛】本題考查?次函數(shù)的性質(zhì)、?次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象,

利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

⑵下表是x與y的對應(yīng)值：

2

X???-3-2-1013???

?.?432m234???

①加"；

(3)在如圖的直角坐標(biāo)系中:

①描出上表中各對對應(yīng)值的坐標(biāo)的點，并根據(jù)描出的各點，畫出該函數(shù)的大致圖象;

②根據(jù)函數(shù)圖象可得?，該函數(shù)的最小值為:

③結(jié)合函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)除②外的一條性質(zhì)：.

【答案】(1卜的取值范圍是全體實數(shù)

(3)①見解析；②1；③函數(shù)關(guān)于)，軸對稱

【分析】(1)沒做要求一次函數(shù)自變量取值范圍都是全體實數(shù)

(2)①把代入函數(shù)即可求得加的值

②y=10代入函數(shù)即可求得〃

(3)①作圖見解析

②由圖可見最小值為1

③言之有理即可.

【詳解】解：(1)自變量x的取值范圍是全體實數(shù)；

(3)①圖象如圖所示.

y

6

②最小值為1；

③函數(shù)關(guān)于），軸對稱

【點睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)和自變量、應(yīng)變量的變化取值，掌握這些是本題關(guān)鍵.

3.（2（）21?河南許昌?八年級期末）我們學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進一步研究函數(shù)），=

|x|的圖象與性質(zhì).

々

-3丁

-！+

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_'-:-

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_,1十

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（2）通過觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì):

（3）利用學(xué)過的平移知識，說說函數(shù)），=次-4|+1是怎樣由函數(shù)），=次|平移得來的？并利用（I）中給出

的平面直角坐標(biāo)系畫出函數(shù)），=|.”4|+1圖象.

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)￡>0時，），隨x的增大而增大；（答案不唯一）（3）由函數(shù)y=|x|向右平移4

個單位，再向上平移1個單位得來的，見解析.

（2）根據(jù)圖象得出結(jié)論；

（3）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求得.

【詳解】解：（1）列表：

X???-3-2-10123