函數(shù)的對稱性重點考點專題練

2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考

一、單選題

I.已知函數(shù)/（x）（.lER）滿足/（X）寸'（2-X）,若函數(shù)產(chǎn)4-》3|與），寸（x）圖像的交點為（X/,#）,

m

（X2^2）?...?（Xn^ym）,則Z七=

；=1

A.0B.tnC.2mD.4w

2.設(shè)函數(shù)y=.f（x）的圖像與），=2…的圖像關(guān)于直線y=-x對稱，且f（-2）+/（T）=l,則4=

.-1.IC.2D.4

3.已知函數(shù)/(x)=lnr+ln(2-x),則

A./⑴在（0,2）單調(diào)遞增B./（外在（0,2）單調(diào)遞減

C.），=/（幻的圖像關(guān)于直線x=l對稱D.），=/（幻的圖像關(guān)于點（1,0）對稱

2023儒卜（）

4.已知函數(shù)/（X）=ln+1,則￡

A.-UUB.一2023C.-1012D.-2024

2

5.己知函數(shù)/（x+1）是R上的偶函數(shù)，且〃匯+2）+/（2-力=0,當(dāng)xw（0,l］時，/（力=1叫卜21十|）

函數(shù)/J）在區(qū)間［-3,3］的零點個數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

6.設(shè)了'（X）是函數(shù)“X）的導(dǎo)數(shù)，/（1一/）+/（1+幻=0,/（2）=0,當(dāng)彳＞1時，"—l）/'（x）—/（x）＞0,

則使得〈。成立的％的取值范圍是（）

A.（0,l）U（l,2）B.（0,1）52,及）C.（f0）U（L2）D.（f0）U（2M）

7.己知函數(shù)/（x）的定義域為R,函數(shù)尸（力=/。+力一（1+力為偶函數(shù),函數(shù)G（x）=〃2-3x）—1為

奇函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）

A.函數(shù)“X）的一個對稱中心為（2,1）B./（0）=-1

C.函數(shù)〃力為周期函數(shù),且一個周期為4D./（!）+/（2）+/（3）+/（4）=6

8.已知函數(shù)〃回=幺二二.§加，貝IJ”函數(shù)””的圖象關(guān)于）軸對稱“是7=1”的（）

1+ae

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

9.已知奇函數(shù)/(力的定義域為R,若〃x)=/(2—X),則()

A./(O)=OB./(力的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C./(x)=-/V+4)D./("的一個周期為4

10.已知函數(shù)/(力的定義域為R,若/(x+y+l)=/W+/(y)+2,且/(0)=1,則(、,

A./(-1)=-1B./(x)無最小值

30

C.?(1?)=1425D./(X)的圖象關(guān)于點(—2,—5)中心對稱

/=1

H.已知定義域為R的函數(shù)〃力滿足:Q(x—1)=—/(x+1),/(12)=0;②>，=/(x—2)的圖象關(guān)于

直線x=2對稱；③對任意的實數(shù)占，毛且工產(chǎn)七，都有(5-々)［/(n)-〃七)］〈。，則()

A./(x)是偶函數(shù)B./(cosl)>/(sinl)

C.”力的圖象關(guān)于(TO)對■稱D./(2024)+/(2025)=0

12.已知函數(shù)〃力的定義域為R,函數(shù)外力=/。+力-(1+力為偶函數(shù)，函數(shù)G(x)=〃2-3x)-l為

奇函數(shù)，則()

A.函數(shù)/(力的一個對稱中心為(2,1)

B./(0)=-1

C.函數(shù)/(力為周期函數(shù)，且一個周期為4

D.〃1)+〃2)+/(3)+/(4)=6

13.已知函數(shù)〃力=丁+加+5+d在上是增函數(shù)，在［0,2］上是減函數(shù)，且方程〃力二。有3

個實數(shù)根，它們分別是442.則()

A.c=0

B.若(2J(2))是對稱中心，則極小值是-12

C./(1)>2

D.\a-fl\>3

三、填空題

14.定義在(-8,+co)上的偶函數(shù)"X)滿足/(x+2)=/(x),且/(%)在［-1,0］上是增困數(shù)，卜面五個關(guān)

于/(X)的命題：①/(X)是周期函數(shù):②/(X)圖象關(guān)于X=1對稱；③/(X)在命,1］上是增函數(shù);@/(x)

在［1,2］上為減函數(shù)；⑤/(2)=/(0),其中的真命題是.(寫出所有真命題的序號》

15.已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-，(x-4)=7.若y=g(x)的圖

象關(guān)于直線x=2對稱，g(2)=4,則//(幻=.

hl

四、解答題

Y

16.已知函數(shù)/(x)=log“U—+axt。>0旦awl.

2—x

⑴求曲線y=/(x)的對稱中心；

(2)證明：曲線)，=/(力在對稱中心處的切線不過坐標(biāo)原點；

⑶討論了(X)的單調(diào)性.

參考數(shù)據(jù)：當(dāng)x->0時，.darfO.

17.設(shè)函數(shù)+心2在％=_］處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，

⑴求L：

⑵是否存在實數(shù)外力使得函數(shù)g(x)=〃x)+er+冰關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求出。涉的值，若

不存在，說明理由；

⑶若恒成立，求。的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(力=(1+外”(。>0).

(I)當(dāng)“為奇數(shù)時，證明：/(⑼的圖象關(guān)于點(T,。)對稱；

⑵當(dāng)時，/(x)<l+av,求〃的取值范圍；

n

(3)證明：當(dāng)〃CN“時，f-j=i+...+f-=^=i<n+\.

IV27FJU2+22JU2+rrJ

19.已知函數(shù)/(x)=lnC—+ax有兩個極值點x，/,滿足；4a<吃.

⑴求a的取值范圍；

⑵判斷并證明函數(shù)/")的對稱性：

⑶若/(%)+3>°恒成立，求實數(shù)化的取值范囿

【詳解】當(dāng)X6(0,l)時，I-x?O，l),-7＜。，/(x)=ln-------FX-],

x-117

1-VX匕/].

所以-x)+〃x)=ln—^-+1-x-1+ln+x-l=In

1-xx\-x)

則歲盛卜點"蔡卜+,篇)

2023(11、+/」(病2023吊|2023

2

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得/。-月+/(6=-1，從而得解.

5.C

【分析】根據(jù)/("的對稱軸和對?稱中心，結(jié)合函數(shù)的圖象即可判斷“X)的零點個數(shù).

【詳解】因為函數(shù)/(x+1)是R上的偶函數(shù)，所以/(一/+1)=/(工+1),

所以/(x)關(guān)于直線x=l對稱，

因為〃x+2)+/(2—x)=0,*=2時〃4)=一/(0),

由/(X+2)+/(2T)=0,當(dāng)工=0時，/(2)+/(2)=0,故f(2)=0,

又〃工)關(guān)于直線x=l對稱，所以"0)=0,/(-2)=/(4)=-/(0)=0,

由對稱性可得“X)在［-3,3］上的大致圖象如下圖所示，

則“X)在區(qū)間［T3］的零點個數(shù)為9.

故選：C.

6.C

【分析】令g(x)=AU,求導(dǎo),得到g(x)在。,內(nèi))上單調(diào)遞增,且gQ)=0,由〃I)+〃l+x)=0

x-1

得至Ug(l—x)=g(l+x)，得到g(x)的對稱性，故g(x)在(F1)上單調(diào)遞減，且g(0)=g(2)=0,得

到當(dāng)x<0時，g(x)>0,則小)<0,當(dāng)l<x<2時，g(x)〈0,則/㈤<0,求出/。)<0成立的x

的取值范圍.

【詳解】令g(x)=AD則g'(x)

X—1(x—1)

因為x>l時，(x-l)/，(x)-/(x)>0,故當(dāng)x>l時,g'(x)>0,

故g(x)在(L+oo)上單調(diào)遞增，且g⑵=/*⑵=0.

因為〃l—x)+/(l+x)=。，故(1-x-l)g(l—x)+(l+x-l)g(l+x)=。，

即Tg(l)+xg(+x)=o,所以g(l-x)=g(l+x),

故g(x)關(guān)于直線x=l對稱，故g(x)在(-00,1)上單調(diào)遞減,且g(0)=g(2)=0,

當(dāng)x<。時，g(x)>0,則〃x)vO；

當(dāng)l<x<2時，g(x)<。，則”x)<0；

所以使得/(4)<0成立的x的取值范圍是(Y),0)U(1,2).

故選：C.

7.C

【分析】對于A,由分x)為奇函數(shù),則G(r-)=-G(x),再將G(x)=f(2+3x)-l代入化簡可求出對

稱中心；對于B,由選項A可得八2)=1,再由F*)為偶函數(shù)可得/(1+X)-/(1T)=2X,令x=l可

求出/(())；對于C,由“X)的圖象關(guān)于點(2,1)對稱，結(jié)合。0)=-1求出/(4)進行判斷；對于D,利

用賦值法求解判斷.

【詳解】對于A,因為G(x)=f(2+3x)-l為奇函數(shù),

所以G(-x)=-GM,即/(2-3x)-1=4/(2+3x)-1],

所以〃2-3x)+/(2+3x)=2,所以f(2-x)+/(2+x)=2,

所以函數(shù)外力的圖象關(guān)于點(2,1)對稱，所以A正確，

對于B,在/(2—x)+/(2+x)=2中，令4=0,得2/⑵=2,得/(2)=1,

因為函數(shù)尸(力=/(1+力-(1+0為偶函數(shù),所以尸(一力=尸8,

所以/(1-X)-(1-x)=f(I+X)-(1+X),

所以/(1+X)-/(If)=2x,

令彳=1,則/(2)-/(0)=2,所以1—八0)=2,得八0)=-1,所以B正確，

對于C,因為函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(21)對稱，/(0)=-1,

所以八4)=3,所以〃0)工3(4),

所以4不是的周期，所以C錯誤，

對于D,在〃2-)+〃2+。=2中令x=l,fi!l/(D+/(3)=2,

令x=2,MlJ/(0)+/(4)=2,因為/(0)=-1,所以〃4)=3,

因為/(2)=1,所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=6,所以D正確，

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛?：此題考查抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，解題的關(guān)鍵是由已知條件化簡

后利用賦值法分析判斷，考查計算能力，屬于較難題.

8.B

【分析】根據(jù)函數(shù)/("的圖象關(guān)于)，軸對稱求出。，再由必要不充分條件的定義判斷可得答案.

【詳解】若函數(shù)〃文)的圖象關(guān)于了釉對稱，

貝ijf(-x)=-—sinv=/(v)="?sinv,

八7l+ac-x、)\+ucx

可得—所以/=],可得。=±1,

當(dāng)a=l時，f(x)=-―—-sinx-

l+ex

x

1一e-1_e,

因為定義域為xeR,/(-x)=--------sinx=----sinx=f(x)，

1+el+e

所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于)'軸對.稱，

當(dāng)4=-1時，/(.r)=-j-!―-situ-,

定義域為{X|XHO},定義域關(guān)于原點對稱，

(\-1-c'.-l-er.、

ff(~x)=~.sm=7n-smr=/(x),

/(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于V軸對稱，

綜上所述，若函數(shù)/("的圖象關(guān)于)，軸對稱，則a=±l；

又當(dāng)a=l時，/")=二.sinx,/(.I)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于丁軸對稱,

則“函數(shù)的圖象關(guān)于了軸對稱”是“a=l”的必要不充分條件.

故選：B.

9.AD

【分析】由奇函數(shù)可得/(0)=。，再根據(jù)函數(shù)的周期性與對稱性分別判斷.

【詳解】由函數(shù)“X)為奇函數(shù)，則/(。)=0,A選項正確：

又/(X)=〃2T),即f(x+l)=/(l-x),則函數(shù)/(x)關(guān)于直線4=1對稱,B選項錯誤；

由〃x)=f(2T)可知〃2T)=f(4+x),

即/(x)=〃4+x),函數(shù)/(x)的一個周期為4,C選項錯誤，D選項正確；

故選：AD.

10.BCD

【分析】對于A,令x=-l,y=0即可；對于BC,令尸0得/(x+l)=/(x)+3,通過遞推計算即可：

對于D,令y=T-x,得+x)=-10即可判斷函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(-2,-5)內(nèi)心對稱.

【詳解】對于A,令x=T)，=0,得/(0)=/(-1)+〃0)+2,解得=故A錯誤；

對于B,令y=0,M/(X+1)=/(X)4-/(0)+2,且八0)=1,即〃x+l)=〃x)+3可知函數(shù)/(“無

最小值，故B正確；

對于C,由B知，/(X+1)=/(A)+3,

所以/(1)=/(。)+3=4+。，/(2)=/(1)+3=4+3,/(3)=/(2)+3=4+6,

八4)=/⑶+3=4+9,…則

擋30x29

￡/(/)=/(1)+/(2)+/(3)+...+/(30)=30x4+^-―x3=1425,故C正確；

<=12

對于D,令)，=-4一]，則原式化為/(-3)=/(耳+/(7-同+2,

令x=-3,y=3,所以/⑴=/(—3)+/(3)+2,即/(-3)=-8,

所以/(H+/(T-x)=/(-3)-2=-10,所以函數(shù)/*)的圖象關(guān)于點(—2,-5)中心對稱，故D正確.

故選：BCD.

II.ACD

【分析】利用函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性，結(jié)合選項分析得出結(jié)論.

【詳解】對于A,由函數(shù))，=/(工-2)的圖象關(guān)干直線x=2對稱，

得)，=/(對的圖象關(guān)于直線X=0對稱，則是偶函數(shù)，故A正確；

對于B,對任意的實數(shù)巧，X>G(-2,0),且不工%，(百一電)[/(內(nèi))一/(9)]<。，

則/(x)在區(qū)間(TO)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(04)上單調(diào)遞增，又0<8sl<sinl<l,

所以/(cosl)</(sinl),故B堵誤；

對于C,因為/(xT)=-/(x+l),所以/(x+2)=-/(%),

則〃X+4)=—/(X+2)=〃X),所以/(x)是周期為4的周期函數(shù)，又/(12)=0,

故"0)=0,"2024)=0.結(jié)合/")是偶函數(shù)，可得〃X+2)=—/(T),

所以函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于點(LO)對稱,故〃1)=0.又/㈤的周期為4,

所以/(力的圖象關(guān)于點(TO)稱，

/(2025)=/(1)=0,故CD正確.

故選：ACD.

12.ABD

【分析】對A：借助奇函數(shù)的性質(zhì)計算即可得：對B：借助A中所得，結(jié)合賦值法令x=0,借助偶

函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合賦值法令x=-l代入計算即可得；對C：由對稱性及“0)的值可得"4)的值，即

可得解：對D：借助賦值法令尤=1代入計算即可得.

【詳解】對A：由函數(shù)G(x)=〃2+3x)-l為奇函數(shù),故/(2+3”-1=一〃2—3刈+1,

即〃2+36+〃2-3力=2,即/(2+x)+/(2—x)=2,

故函數(shù)”力的一個對稱中心為(2』)，故A正確；

對B：由/(2+6+/(2—另=2,令x=0,則/(2)+/(2)=2,即."2)=1,

由函數(shù)/("=/。+力-(1+”為偶函數(shù)，故”l+x)-(l+x)=/(l-x)—(l-x),

即/(l+x)=/(l_x)+2x,令x=7,則/(0)=/(2)_2=]_2=T,故B正確；

對C：由函數(shù)“X)的一個對稱中心為(2,1),/(0)=-1,則/(4)=3,

即/⑼工”4),故函數(shù)/(力不以的4為周期,故C錯誤;

對D：由/(2+x)+/(2—力=2,令x=l,有/(3)+/(1)=2,

由/⑼=—1,/(4)=3,jft/(l)+/(2)+/(3)+/(4)=6,故D正確.

故選：ABD.

【點睛】結(jié)論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：

(1)關(guān)于對稱：若函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=〃軸對稱，則/*)=/(2仆x),若函數(shù)/(外關(guān)于點(。，力)中

心對稱，則/。)=乃-f(2a-X),反之也成立；

(2)關(guān)于周期：若/*+〃)=一/(幻，或/。十編=七,或/@十。)二一1，可知函數(shù)了。)的周

J(x)/(A-)

期為2a.

13.ABD

【分析】根據(jù)函數(shù)極值，單調(diào)性，零點，與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，以及函數(shù)對稱性，列出等式，分別判

斷各選項的正誤.

【詳解】已知函數(shù)/'(力=/+/+a+d在(7⑼上是增函數(shù)，在［0,2］上是減函數(shù)，所以在x=0取

得極大值,則r(o)=o,

由戶㈣=3k+次+c,得門0)=c=0,所以A正確.

方程/(力二0有一個根是2,則"2)=0,得f(2)=8+4"d=。，

由函數(shù)對稱中心是(2,0)，可得/(1)=-/(3),

代入得l+〃+d=—(27+9b+d).化簡得5b+//+14=0.

,」8+4"4=0",仿二一6,..、/,,

聯(lián)立.，“Z解得,M則/x)=.——6f+16,

［5〃+d+14=0［d=16

求導(dǎo)得，(x)=3酎72%,令〃打=3幺-12x=0,解得x=0或4,

可知函數(shù)在(—，。)，(4,包)單調(diào)遞增，在(0,4)上單調(diào)遞減，所以在x=4處取得極小值，

則"4)=43—6x42+16=16,所以B錯誤.

已知“力=/+加+〃，可得:(力=3/+%,因為/(幻在［0,2］上是減函數(shù)，所以/'(2)?0,

即12+48W0,解得6W-3.

由f(2)=8+4〃+d=0,得d=4—8,則/(l)=l+〃+d=—3〃—7,

由〃4—3,可得一勖一722,所以/(1)22,所以C正確.

因為方程/(丫)=0有3個實數(shù)根Z/U,所以設(shè)“r)=(x—0)(.丫_/7)(.丫-2)=.尸-3+#+2)/-2的，

a+p=-b-2

a+/+2=-。

所以

2ap=-d

2222

由("一a>=(/3+a)+4fia=(b+2)+2d=b-4b-\2=(b-2)-\6t

因為〃＜一3,所以3-2)2-1629,所以|。-川23,所以D正確.

故選：ACD.

14.①②⑤

【分析】由已知條件得到函數(shù)周期性判斷命題①，結(jié)合周期性和對稱性確定對稱軸判斷命題②；由已

知單調(diào)區(qū)間，結(jié)合周期性和對稱性判斷命題③④；由周期性判斷命題⑤.

【詳解】/3)定義域為(-8,+00),滿足/(x+2)=/義),則“乃是周期函數(shù),周期為2,命題①正確;

偶函數(shù)/⑴滿足/(x+2)=/U)=〃r),所以/(x)圖象關(guān)于x=l對稱，命題②正確；

/(x)為偶函數(shù)，在-1,0］上是增函數(shù)，則在似1］上是減函數(shù)，命題③錯誤；

/(文)在［-1,0］上是增函數(shù)，且/(%)周期為2,則f(%)在［1,2］上為增函數(shù),命題④錯誤;

周期為2,有*2)=/(0),命題⑤正確.

故答案為：①②⑤

15.-24

【分析】根據(jù)〃x)+g(2-x)=5,g(力-/(工-4)=7得至4(-1)二一1,根據(jù)y=g(x)的圖象關(guān)于直

線x=2對稱得到g(2-x)=g(2+6,然后通過替換得到/(“為周期為4的周期函數(shù)，最后通過賦

值和周期性求函數(shù)值即可.

【詳解】由/(x)+g(2—x)=5得/(2—x)+g(力=5,

由g(x)—/(x-4)=7得/(2—工)+/(工-4)=一2,

令工=3得/(-1)二-1,

因為y=g(x)的圖象關(guān)于直線”2對稱，所以g(2-x)=g(2+x),

由/(x)+g(2-x)=5得/(x)+g(2+x)=5,

由g(x)-/(x-4)=7得g(2+x)—/(x-2)=7,

貝4(耳+小-2)=-2,/(x-2)+/(x-4)=-2,

所以f(x)=/(%-4),〃力為周期為4的周期函數(shù),/(-1)=/(3)=-1,

在〃x)+g(2—x)=5中，令x=0得〃0)+g(2)=5,則/(0)=/(4)=1,

在〃x)+/(x—2)=—2中，令x=2得/(2)+〃0)=-2,則42)=—3,

令x=3得/(3)+/⑴=-2,則/⑴=-1,/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=-4,

￡/(A)=/(l)+/(2)+5x(—4)=—24.

Jt=l

故答案為：-24.

16.(1)(1,?)

(2)證明見解析

⑶答案見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，化簡得到“力+/(27)=2%即可得到曲線)，=/("的對稱性；

(2)求得/'(力=+6+占卜明求得廣⑴二彳詈，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程為

2+Hna2加一下田、七

y=—;----X---,即可得證；

InaIn”

(3)根據(jù)題意，求分々>1和0<〃<1,兩種情況討論，結(jié)合引理，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】(1)解:由函數(shù)/(x)=logaX-loga(2T)+or,

貝1J滿足八，解得0<x<2,所以函數(shù)/(x)的定義域為(0,2),

因為/(”+/(2-x)=log“x-log“(27)+ov+log“(2-x)Tog/:+a(2-x)=2a

所以曲線y=/(M的對稱中心為(La).

(2)證明：由函數(shù)/(x)=log”-log“(2-x)+aL可得/'(])=+(；+壬7)+%

則,⑴=窄吧，所以曲線\,=/(可在對稱中心處的切線方程為),=三普..總

因為。>0且立工心所以曲線y=〃x)在對稱中心處的切線不過坐標(biāo)原點.

(3)解：當(dāng)〃>1時-，/'("=卷&+￡)+〃>°，此時“X)在(0,2)上單調(diào)遞增；

〃、1(\1)(-a\na)x2+2(a\na)x+2

當(dāng)Ovavl時，f(x)=-——+=+4=1——):)—

2-x)x(2-x)lna

當(dāng)0<xvl時，-2<.vlnx<0.

設(shè)g(x)=Mnx,0cx<1,所以g[x)=liu+l,令g<x)=O,可得x=L

e

所以g(x)在(o()上單調(diào)遞減，《」)上單調(diào)遞增，

,、f1A1I

因為當(dāng)R->0時，xlnxfO,g(l)=o,g-=一一,所以一2V--<x\nx<0,

Ie/ee

由y=(-6/lnfl)x2+2(?lii6/)x+2,可看成關(guān)于變量x的二次函數(shù)，

該二次函數(shù)的判別式為△=4(alna1+8alna=4alna(alna+2),

由引理可知，-2<a\na<0,所以△<(),(一alna)/+2?na)x+2>0,

因為。<a<l時，lna<0,所以/'(力<0,此時。(力)在(0,2)上單調(diào)遞減,

綜上所述,當(dāng)col時，/(N)在(0,2)上單調(diào)遞增；當(dāng)Ovavl時,/(力在(0,2)上單調(diào)遞減.

17.(1)々=2

(2)存在，a=2,b=_g

(3)c<3

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求得進而可求切線方程；

(2)存在。=2,6=滿足題意，計算可得月(--1)=雙力；

(3)當(dāng)x<。時，由題意可得J"W-c恒成立,令g(x)=cc，求得最大值，再證明cW3

XX

且x>0時,恒成立即可.

【詳解】⑴尸(刈=尸+2",/'(—1)=1—23/(-1)=1+&,

切線方程為y—(l+*)=(l-22)(x+l),代入(0,0)得&=2；

(2)存在。=2,〃=滿足題意，證明如下：

g(J:)=ex+,+e-x+2x(x+1),g(-x-l)=e-x+ev+,+2(-x-l)(-x)=^(x),

故函數(shù)g(x)關(guān)于直線X=對稱；

e[+i+?r2

(3)當(dāng)x<0時，e用+2d之一5恒成立，即K-c恒成立,

x

人,、/+2/制“\(%-1)尸+2/

令g(%)二——：—，則，(另=1~~H------，

XX

令/t(x)=(X—1)尸+2X2,則“3=市3+4)<0,

故h(x)在(—,0)上單調(diào)遞減，注意到〃(-1)=0,

所以xe(-8,-l)時,A(x)>0,/(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

xe(-1,0)lit,/z(x)<0,g<x)v0,g(x)單調(diào)遞減,

故g(x)1mx=g(-1)=-3,故一3?-c,得C<3：

下證cW3且x>0時，/(x)之小|恒成立，

即證er+,+2x2>ex恒成立，只需證ev+,+2x2>3x恒成立，

構(gòu)造函數(shù)p(x)=尸7-2,則pF(x)=et+,-l,

XG(-00,-1),p'(x)<0,p(x)單調(diào)遞減，XG(-l,+oo),p(x)>0,p(x)單調(diào)遞增,

故〃(力之〃(-1)=。，所以同1+2,

所以?川+2/一3工之工+2+2_?一3工=2|\—，]+->0,證畢;

I2)2

綜上所述，。的取值范圍為cW3.

18.(1)證明見解析

(2)(0,1]

(3)證明見解析

【分析】(I)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，通過對/(幻+/(-2-幻進行化簡，結(jié)合〃為奇數(shù)這一條件，判斷函

數(shù)/3)的對稱性.

(2)對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而分析函數(shù)的最值情況，從而確定滿

足(1+幻”1+以時。的取值范圍.

(3)利用已知不等式(l+x)“e+a?>-1,0<。力)對(-盧干盧進行放縮，然后通過裂項相消法對

42+/

數(shù)列求和，進而證明不等式.

[詳解](1)由題得/(力+/(_2_力=(1+幻"+(1-2—x)a=(l+x)a+(_l_工)〃.

因為a為奇數(shù)，

所以(1+幻“+(—j)"=(l+x『-(l+x)“=0.

即/(小/(一2-x)=0.

所以的圖象關(guān)于點(TO)對稱.

(2)令g(x)=/(x)-(l+ar)=(l+x)“-or-l”(-l,+8).

則/("=砒1+工廠一1].

①當(dāng)a=l時，顯然有(l+x)“=l+or.

所以(1+x)"W1+ax成立；

②當(dāng)。>1時，

當(dāng)一l<x<0時，，因為(1+X)“T<(]+x)o=],

所以g'(x)vO,

即g(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)—IvxvO時，g(x)〉g(O)=O.

即(1+x)"-(1+ov)>。，

所以(I+x)u>1+a.x,不滿足題意；

③當(dāng)Ovavl時，

當(dāng)一IvxvO時，因為(1+處"“>(1+幻°=1，

所以g'(x)>0，

即g("在區(qū)間(TO)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=o時，(i+or'-i=o,即g'(0)=0.

當(dāng)x>()時、因為(1+工)小v(l+x)°=l,

所以《(“<0,即g(x)在區(qū)間(0,”)上單調(diào)遞減,

所以g(x)的最大值為g(O)=。.

所以g(x)Wg(O)=O,即(l+H-(l+or)WO.

所以(l+x)”l+at,符合題意.

綜上，。的取值范圍為(05.

(3)由(2)可知，當(dāng)OvaWl時，(l+x)f，<l+cix(x>-l).

,…e、，11n+\-(n-\)1II

當(dāng)在2時，因為示E=2(〃7)〃("廣詢一而短

q2-n

=x/3+-----+…+-----

U2+22J32+/J

「+亍_'-_L_

4n1+2MA-1)2&(2+l)

3113111

42?k(k-1)々(&+1)，422〃(〃+l)

=〃+1----;----r.

2n(n+\)

n

綜上，當(dāng)〃cN"時,+…+</?+1.

<5/24-/l2>

32

19.(\)--<a<-2

⑵有對稱中心(1,4)，無對稱軸，證明見解析

⑶八2

【分析1(1)由條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)r(力在區(qū)間(0,2)上有2個變號零點，且滿足;《王＜占，轉(zhuǎn)化為產(chǎn)一”

4

與g(x卜號J

的圖象的交點問題，即可求解;

(2)首先并計算7(2-〃)，并結(jié)合函數(shù)對稱性的關(guān)系式，即可判斷;

(3)法一：首先根據(jù)對稱性可知玉+超=2,再找到不等式恒成立的必要條件，再證明充分性；法二:

2x2x

利用對稱性，根據(jù)不等式恒成立，參變分離為“、至匚2至1，再構(gòu)造函數(shù)上..、_5與二,

-g(廣--

再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(x)的最大值，即可求解.

【詳解】(I)由題意知:1e(0,2)

/3\=；1+1相2〃有兩個變號零點;

XN-XAIZ-AJ

令g3=W^

，在(0,1)上遞減，(1,2)上遞增;

I3232

又Z4"1<42,得2<—aK,即——&a<-2；

(2)???K€(0,2),則對稱性有關(guān)的橫坐標(biāo):x=l,且/⑴=〃,

又/(x)=In2，"1ax,,：f(2x)=InX1a(2x)f(x),

X^—^+2a=2a

有/(x)+〃2-x)=mt

故/(X)有對稱中心(La),無對稱軸;

(3)法一:

21

有$+/=2,"=-^1