第01講集合的概念

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過實(shí)例/解集合的定義，體會(huì)元素與集合間的屬于關(guān)系；

2.能通過自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，感受集合的意義和作用;

|［函基礎(chǔ)知識(shí)］:

―^—―imiiiiiiiiniiiiuiiiiiiiiiiiMiiiiiiii

一、集合的含義與表示

1、元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a,b,C,…表示.

2、集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母4

C>…表不.

二、元素的三個(gè)特性

1、確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的.也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一

個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.簡記為“確定性”.

【注意】如果元素的界限不明確，即不能構(gòu)成集合。

例如：著名的科學(xué)家、比較高的人、好人、很難的題目等

2、互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的.也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)

的.簡記為“互異性

3、無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的.簡記為“無序性”.

三、元素與集合關(guān)系的判斷及應(yīng)用

1、屬于與不屬于概念：

(1)屬于：如果“是集合力的元素，就說〃屬于集合Z,記作?！炅?

(2)不屬于：如果。不是集合彳的元素，就說。不屬于集合兒記作人兒

2、常用數(shù)集及表示符號(hào)

名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

記法NN*或N+ZQR

四、集合的兩種表示方法

1、列舉法：把集合的所有元素——列舉出來，并用花括號(hào)"｛『'括起來表示集合的方法叫

做列舉法.

【注意】（1）元素與元素之間必須用“，”隔開；（2）集合中的元素必須是明確的.

（3）集合中的元素不能重復(fù)；（4）集合中的元素可以是任何事物.

2、描述法：一般地，設(shè)/表示一個(gè)集合，把集合力中所有具有共同特征P（x）的元素x所組

成的集合表示為4|P（x）｝,這種表示集合的方法稱為描述法.有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎

線.

iQ考點(diǎn)剖析］

------------------IIHIIIIUIIIIIIIIIIillllllllllllllllllll----------------------

考點(diǎn)一：判斷元素是否構(gòu)成集合

［例L下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（）

A.上課遲到的學(xué)生B.2022年高考數(shù)學(xué)難題

C.所有有理數(shù)D.小于x的正整數(shù)

【答案】B

【解析】對于B中難題沒有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，對同一題有人覺得難，但有人覺得不難,

故2022年高考數(shù)學(xué)難題不能構(gòu)成集合，組成它的元素是不確定的.

其它選項(xiàng)的對象都可以構(gòu)成集合.故選：B

【變式訓(xùn)練】下列各選項(xiàng)中能構(gòu)成集合的是（）

A.學(xué)生中的跑步能手B.中國科技創(chuàng)新人才

C.地球周圍的行星D.唐宋散文八大家

【答案】D

【解析】對于A,學(xué)生中的跑步能手不具有確定性，所以不能構(gòu)成集合，所以A錯(cuò)誤，

對于B,中國科技創(chuàng)新人才不具有確定性，所以不能構(gòu)成集合，所以B錯(cuò)誤，

對于C,地球周圍的行星不具有確定性，所以不能構(gòu)成集合，所以C錯(cuò)誤，

對于D,唐宋散文八大家分別為唐代柳宗元、韓愈和宋代歐陽修、蘇洵、蘇軾、蘇

轍、王安石、

曾鞏八位，研究的對象是確定的，可能構(gòu)成集合，所以D正確，故選：D

考點(diǎn)二：判斷元素與集合的關(guān)系

例2.給出下列關(guān)系：①giR；R；③卜3|eN；@|-3|eQ.其中正確的個(gè)

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】?是有理數(shù)，正是無理數(shù)，均為實(shí)數(shù)，①正確，②錯(cuò)誤；

卜3|=3,為自然數(shù)及有理數(shù)，③?正確.故選：C.

【變式訓(xùn)練】（多選）給出下列關(guān)系中正確的有（）

A.|GRB.x/3eQC.-3/ZD.-75gN

【答案】AD

【解析】因?yàn)間GR,GWQ,-3GZ,一石里N,所以AD正確.故選：AD.

J

考點(diǎn)三：集合中元素互異性的應(yīng)用

['ll例工設(shè)集合M={2'?1，〃L3},若-3CM,則實(shí)數(shù)m=（）

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

【答案】C

【解析】設(shè)集合M={2〃I,〃L3},若-

v-3GM,2〃1-1=一3或一3=-3,

當(dāng)2加-1=-3時(shí),m=-l,此時(shí)M={-3,-4}；

當(dāng)，〃一3=-3時(shí)，，〃=0,此時(shí)A/={-3,-1}：

所以〃=-1或。.故選：C

【變式訓(xùn)練】若則實(shí)數(shù)。的取值集合為.

【答案】{0,1,3}

【解析】因?yàn)閍w{-1,3,，},故a=-1或"3或。,

當(dāng)。=7時(shí)，/=-1，與元素的互異性矛盾，舍；

當(dāng)a=3時(shí)，a3-27?符合；

當(dāng)。=標(biāo)時(shí)，。=0或。=±1,根據(jù)兀素的"異性，。=（”符合，

故a的取值集合為{0」,3}.

故答案為：{0,1,3）

考點(diǎn)四：用列舉法表示集合

例4.方程組「：；二；的解集是（）

1.下列四組對象能構(gòu)成集合的是（）

A.高一年級跑步很快的同學(xué)B.曉天中學(xué)足球隊(duì)的同學(xué)

C.曉天鎮(zhèn)的大河D.著名的數(shù)學(xué)家

【答案】B

【解析】集合元素具有確定性，

高一年級跑步很快的同學(xué)、曉天鎮(zhèn)的大河、著名的數(shù)學(xué)家，這三組對象不確定，不

能構(gòu)成集合.

“曉天中學(xué)足球隊(duì)的同學(xué)''滿足集合元素的：確定性、互異性、無序性，

所以“曉天中學(xué)足球隊(duì)的同學(xué)”能夠構(gòu)成集合.故選：B

2.已知集合歷={幻.e-1）=0},那么（）

A.OeMB.\iMC.-IGMD.OiM

【答案】A

【解析】由題意知集合M={x|x（x—l）=0}={0）},

故OcA7,故A正確，D錯(cuò)誤，IwM,故B侍誤，-1壬M,故C錯(cuò)誤，故選：A

3.（多選）已知集合則下列屬于集合力的元素有（）

o-X

A.-4B.3C.4D.6

【答案】CD

【解析】依題意，8-4是12的約數(shù)，而12的約數(shù)有±1,=2,±3,±4,±6,±12,

即8-xe{-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12},則

x€{20,14,12,11,10,9,7,6,5,4,2,-4),

因?yàn)閤eN,因此xw{20,14,12,11,10,9,7,6,5,4,2}

所以CD正確，AB錯(cuò)誤.故選：CD

4.（多選）下列說法中，正確的是（）

A.五的近似值的全體構(gòu)成集合B.自然數(shù)集N中最小的元素是0

C.在數(shù)集Z中，若awZ,則-awZD.一個(gè)集合中可以有兩個(gè)相同的元素

【答案】BC

【解析】對于A,&的近似值的全體，元素不具有確定性，不能構(gòu)成一個(gè)集合，故A錯(cuò)誤;

對于B,由自然數(shù)的定義可得B正確；

對于C,若aeZ,則-aeZ,故C正確；

對于D,由集合的互異性可知，一個(gè)集合中不可以有兩個(gè)相同的元素，故D錯(cuò)誤.

故選:BC

5.（多選）以下命題中正確的是（)

A.所有正數(shù)組成的集合可表示為卜卜>0｝

B.大于2020小于2023的整數(shù)組成的集合為｛x|2020Vx<2023｝

C.全部三角形組成的集合可以寫成｛全部三角形｝

D.N中的元素比N)中的元素只多一個(gè)元素()，它們都是無限集

【答案】AD

【解析】正數(shù)均大于0,故所有正數(shù)的集合應(yīng)表示為｛x|x>3,故A正確；

大于2020小于2023的整數(shù)組成的集合應(yīng)表示為

｛xeZ|2020<x<2023｝或(2021,2022),故B不正確;

全部三角形組成的集合應(yīng)表示為｛三角形｝或｛x|x是三角形｝,故C不正確；

N為自然數(shù)集，電為正整數(shù)集，故N中的元素比N+中的元素只多一個(gè)元素D,

它們都是無限集，故D正確.故選：AD.

6.下列各種對象的全體可以構(gòu)成集合的是.(填寫序號(hào))

①高一(1)班優(yōu)秀的學(xué)生；②高一年級身高超過1.60m的男生；

③高一(2)班個(gè)子較高的女生；④數(shù)學(xué)課本中的難題.

【答案】②

【解析】①中“優(yōu)秀”，③中“個(gè)子較高”，④中“難題”不滿足構(gòu)成集合元素的確定性，

而②滿足集合元素的性質(zhì)，故②正確，

故答案為：②.

7.已知集合力=｛123,4,5,6｝,八｛(”)卜5/“因"｝,則集合8中的元素個(gè)數(shù)為

【答案】14

【解析】由題意得：

/?=｛(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)^1,5)<1,6)(2力(2,2(2J(3,)(3,2),(4,1),(5,1),(6,1)),

.?.8中元素個(gè)數(shù)為14.

故答案為：14.

8.已知—3e｛12,i+4。,。｝,則實(shí)數(shù).

【答案】-1

【解析】若。=—3,貝iJ/+4a=9-12=-3,不符合集合元素的互異性，排除；

若/+4。=-3，則。2+4。+3=0，可得”=-1或。=-3(舍)，

所以"-1,此時(shí)｛12,-3,7｝.

故答案為：-1

9.表示下列集合:

（I）請用列舉法表示方程岳二1+12），+1|=0的解集：

（2）請用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；

（3）請用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合；

（4）請用描述法表示二次函數(shù)y=/+2x7（）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合.

【答案】⑴{（提一；）}；⑵（3）*cN+|x=5〃+3,/7GN}:（4）

3y=/+2X_]0}

【解析】⑴方程療1+團(tuán)+1|=0的解集為心-；）}.

（2）用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為

{（xj）⑻0}.

（3）用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合為《￡此|、=5〃+3,〃￡2

（4）用描述法表示二次函數(shù)y=公+2x-10的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合

為3y=/+2..10}.

10.已知集合4={x|a—-2x+l=（）,a€R}.

（1）若片中只有一個(gè)元素，求。的值；

（2）若力中至少有一個(gè)元素，求。的取值范圍.

【答案】（1）。=0或〃=1；（2）{a\a<\}

【解析】（1）由題意，當(dāng)。=0時(shí)，2x+l=0,得》=-；,

集合力只有一個(gè)元素，滿足條件；當(dāng)〃工0時(shí)，

ad+2x+l=0為一元二次方程，△=4-4。=0,得。=1,

集合力只有一個(gè)元素x=-l

--A中只有一個(gè)元素時(shí)a=0或a=l.

（2）由力中至少有一個(gè)元素包含兩種情況，一個(gè)元素和兩個(gè)元素，

A中有兩個(gè)元素時(shí)，aH0并且△=4一4〃>0,得a<lHa/0,

再結(jié)合A中一個(gè)元素的情況，。的取值范圍為{。Ia<\].

1營過關(guān)檢測飛

一.‘I1IIIIIIIIIIIIIIIIIUIIIIIIIIIIBIIIIIIIII------------------

1.①聯(lián)合國安全理事會(huì)常任理事國；②充分接近血的所有實(shí)數(shù)：③方程/+2工+2=0的

實(shí)數(shù)解；④中國著名的高等院校.以上對象能構(gòu)成集合的是（）

A.①②B.①@C.②③D.①②③④

【答案】B

【解析】對①，聯(lián)合國安全理事會(huì)常任理事國包括中國、法國、美國、俄羅斯、英國，能構(gòu)

成集合.

對②，充分接近夜的所有實(shí)數(shù)，不滿足集合的確定性，不能構(gòu)成集合，

對③，方程X2+2X+2=0，A=4-4X2<0,方程無實(shí)根，集合為空集，

對④，中國著名的高等院校，不滿足集合的確定性,不能構(gòu)成集合,故選：R

2.下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是()

2

A.-IGNB.。史N，C.石wQD.

【答案】B

【解析】N表示自然數(shù)集，-1不是自然數(shù)，故A錯(cuò)：

N,表示正整數(shù)集，0不是正整數(shù)，故B正確；

Q表示有理數(shù)集，G不是有理數(shù)，故C錯(cuò)；

R表示實(shí)數(shù)集，(是實(shí)數(shù)，故D錯(cuò).故選：B.

3.己知集合力=｛12,^+布,“一2｝,-3e則。=()

A.-1B.-3或-IC.3D.-3

【答案】D

【解析】由題意，〃2+4。=-3…①或"2=-3…②，

由①得，a=—\,或。=一3,由②。=一1；

當(dāng)。=-1時(shí)，/+4〃=-3,〃-2=-3,不符合集合描述規(guī)則，舍去，

。=一3；故選：D.

4.下列說法：①集合卜￡\|/=》｝用列舉法可表示為｛一］,o,1｝；②實(shí)數(shù)集可以表示為｛很

為所有實(shí)數(shù)｝或｛R｝;③一次函數(shù)y=x+2和)，=-2丫+8的圖像象交點(diǎn)組的集合為｛x=2,y

=4｝,正確的個(gè)數(shù)為()

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】由得xa-l)(x+l)=O,解得x=0或x=l或x=-l,

乂因?yàn)?liN,故集合｛x￡N*=x｝用列舉法可表示為｛0,1｝,故①不正確.

集合表示中的”｛「已包含“所有”“全體”等含義，

而“R”表示所有的實(shí)數(shù)組成的集合，故實(shí)數(shù)集正確表示應(yīng)為*|x為實(shí)數(shù)｝或R,故

②不正確.

y=x+2丫=2

聯(lián)立｛r。，解得《」.??一次函數(shù)與y=-2x+8的圖像交點(diǎn)為（2,4）,

y=-2x+8=4

???所求集合為｛（工,刈*=2且y=4｝,故③不正確.故選：D.

5.（多選）下列說法中，正確的是（）

A.若awZ,則一acZB.R中最小的元素是0

C.石的近似值的全體構(gòu)成一個(gè)集合D.一個(gè)集合中不可以有兩個(gè)相同的元素

【答案】AD

【解析】若。CZ,則一4也是整數(shù)，即-4CZ,故A正確；

因?yàn)閷?shí)數(shù)集中沒有最小的元素，所以B錯(cuò)誤；

因?yàn)椤癎的近似值'‘不具有確定性，所以不能構(gòu)成集合，故C錯(cuò)誤；

同一集合中的元素是互不相同的，故D正確.故選：AD.

6.由下列對象組成的集體屬于集合的是（填序號(hào)）.

①不超過10的所有正整數(shù);②高一（6）班中成績優(yōu)秀的同學(xué);③中央一套播出的好看的電視??；

④平方后不等于自身的數(shù).

【答案】①④

【解析】①④中的對象是魂定的，可以組成集合，②③中的對象是不確定的，不能組成集合.

故答案為：①④

7.已知集合A中含有兩個(gè)兀素3和2a-1.

（1）若-2是集合A中的元素，試求實(shí)數(shù)〃的值；

（2）-5能否為集合A中的元素？若能，試求出該集合中的所有元素；若不能，請說明理由.

【答案】（1）1或-；；（2）不能，理由見解析

【解析】（1）因?yàn)?2是集合A中的元素，

所以一2=4-3或一2=2。一1.

若一2=。-3,則a=1,

此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素-2,1,符合要求；

若—2=2a—1>則。=—二，