2024/2025學(xué)年度第二學(xué)期高一年級期終考試

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡

上.

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的)

1.已知復(fù)數(shù)z=l+2i,則同=:)

A.75B.百C.5D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)&數(shù)的模長公式即可求解.

【詳解】Vz=l+2Z,A|Z|=V12+22=y/5.

故選:A.

2.若集合。={-1,2,3,6},N={-1,6},則Q,N=()

A.{-1,3}B.{-1,6}C.{2,3}D.{2,6}

【答案】C

【解析】

【分析】由補集運算即可得解.

【詳解】???€/={—123,6},N={-1,6},???4，N={2,3}.

故選：C.

3.3數(shù)/(x)=x3的奇偶性為()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶

函數(shù)

【答案】A

【解析】

【分析】現(xiàn)求出函數(shù)/(%)的定義域，再根據(jù)奇偶性的定義，判斷/(一幻與/。)的關(guān)系即可求解.

【詳解】因為函數(shù)/(?的定義域為R,/(-x)=(-x)3=-x3=-/(x),

所以函數(shù)/(式)為奇函數(shù).

故選:A.

4.樣本數(shù)據(jù)5,5,6,7,9的80百分位數(shù)為()

A.6.5B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即得.

【詳解】因5x0.8=4,故數(shù)據(jù)5,5,6,7,9的80百分位數(shù)應(yīng)是第4個數(shù)與第5個數(shù)的平均數(shù)，即

2

故選:C.

5.已知加，〃是兩條不同的直線，①〃是兩個不同的平面，則下列命題正確的是()

A.若a//p,m\a,則m\\/3B.若a//夕，〃ua,則〃「夕

C.若m_L〃，〃_La,則，〃|aD.若a￡,〃zua,〃u/?,則/%一〃

【答案】B

【解析】

【分析】利用直線與平面平行、平面與平面平行的定義與性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)及面面平行和線面垂直的判

定定理，逐一分析選項即可求解.

【詳解】若a〃6，mN。,則m|6或加u/7,故選項A錯誤；

若以〃尸，〃ua,根據(jù)線面平行和面面平行的定義可知〃|夕，故選項B正確；

若加_L〃，則〃"a或機ua,故選項C錯誤；

若aJL/,mua,nu0,則根，〃可能平行也可能異面，故選項D錯誤.

故選：B.

6.設(shè)。=lg2,Z?=lg3,則log]210=()

A.2。+〃B.2b+aC.-!—D.—!—

2b+a2a+b

【答案】D

【解析】

【分析】利用換底公式可得Iogi210="，然后運用對數(shù)運算法則即可求解.

但12

.，八IglO1I1

［詳解］Iog10=------=------------=--------------=--------.

nlgl2Ig4+lg321g2+lg32a+b

故選：D.

7.在VA3C中，角A,B,C的對邊分別是。，b,c,且滿足c=3,(2a-b)cosC=ccosB,則

V48c外接圓的半徑為()

A.GB.3C.2月D.6

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)VABC外接圓的半徑為《廠>0).在VA3C中，由余弦定理及題中條件可得

/+從一。2二,必，再由余弦定理可得cosC的值，進而可求sinC的值，由正弦定理即可求解VA3C外

接圓的半徑.

【詳解】設(shè)V45C外接圓的半徑為

在中，由余弦定理及(24-力)85。=。。。$區(qū)可得(2々一/?”"一〃一-=cx"+'",即

lab2ac

(2r/-Z?)(<72+Z?2-c2)=Z?(6z24-c2-Z?2),

即2a^cr+b2-c2)-b^a2+b2-c2)=Z?(tz2+c2-b2),

222

即2a+〃2一。2)=〃(/+〃2_。2+々2+c，2一〃2)=2612b,Upa+fj-c=cib.

2?221

???由余弦定理可得cosC=a+"-c=

2ab2

「2廣=c=3

???Cw(O,7i),???sinC=Y3，，由正弦定理可得而下=耳，解得廠

2T

故選：A.

8.已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(?滿足對任意的正數(shù)孫)'，都有/*)+/(y)=/(肛)，若

ac-bc=（a-^c=O,即可判斷選項B；由向量的定義即可判斷選項C；根據(jù)共線向量的定義即可

判斷選項D.

【詳解】由相等向量定義可得：若兩個相等的非零向量的起點相同，其終點一定相同，故選項A錯誤;

若向量4=〃，則。式一切。=（。-Z?）?C=O,所以q.c=〃-C，故選項B正確；

由向量的定義可得向量4，〃滿足時，向量〃，方可能共線也可能不共線，故選項C錯誤；

若非零向量入內(nèi)與4。共線，則A,B,。三點共線，故選項D正確.

故選:BD.

10.已知AC為圓錐PO底面圓的直徑，母線Q4與圓錐底面所，或角為二，母線P4,總互相垂直

6

24=2,則（）

A.圓錐的側(cè)面積為2兀B.三棱錐P一ABC的體積為2&

32

C.一面角月一人木一。的大小為三D圓錐的外接球體積為《九

43

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題知在RtZXPAO中，尸0=1,A。=百.根據(jù)圓桂的側(cè)面積公式即可判斷選項A；由母線

PA，相互相垂直，可得A3.取A8的中點E，連接OE,根據(jù)圓的性質(zhì)可求sinNOAE的值，即可求

解S.c的值，根據(jù)錐體體積公式即可判斷選項B；連接PE,則NPE0即為二面角尸—A8-O的平面

角，即可判斷選項C；易知圓錐的外接球球心O'必在射線尸。上，設(shè)圓錐的外接球半徑為R.分圓錐的外

接球球心O'在線段。。上和圓錐的外接球球心O'在P0的延長線上兩類討論，在直角三角形中利用勾股

定理即可求得R的值，即可判斷選項D.

【詳解】

由題知Q4=PC=2,PO1AC,^PAC=-,

6

???在RtZ\PAO中，PO=PAsinZPAO=2sin-=\,AO=PAcosZPAO=2cos-=>/3.

66

???圓錐的側(cè)面積為S=儲A0-P4=兀，故選項A正確；

p

???母線小，相互相垂直，PA=PB=2,???AB=dPA2+PB2=2日

取A8的中點E，連接0￡,則根據(jù)圓的性質(zhì)可知人七=血，OE±AB.

-OE=y]OA1-AE2=bsinN0AE=^=4=g，

ASABC=；xA8xACsinNOAE=gx20x2A/5x理=2行，

AKABC=-xS18CXPO='X2也xl=2包，故選項B錯誤；

r**/IDC3AlfC33

連接莊:，如圖所示.由Q4=P8=2,￡為線段AB的中點，PEVAB.

乂0E_LA3,，/。七。即為二面角P—A4—O的平面角.

71

???在RtqPOE中，PO=OE=T,：,/PEO=一，故選項C正確；

4

易知圓錐的外接球球心O'必在射線PO上，設(shè)圓錐的外接球半徑為R.

當(dāng)圓錐的外接球球心。在線段P。上時，如圖所示，則有R7=O'A=R,OO,=\-R,()</?<1,

???R2=OO,2+QA2=(]_R)2+3,解得R=2(舍去)；

當(dāng)圓錐的外接球球心。在00的延長線上時，如圖所示，則有P(7=O'A=R,OO=R-\,R>\,

.?.R2=OO,2+OA2=(R_])2+3,解得H=2.

綜上，圓錐的外接球半徑為R=2，

???圓錐的外接球體積為如故選項D正確.

33

故選：ACD.

11.在斜三角形ABC中，cosA=sinB,則()

A.角B為鈍角B.sinA=cosB

C.若〃=1,則。=tanAD.cosA+cos8+cosC的最大值為工

4

【答案】ACD

【解析】

7TJI

【分析】對于A,利用誘導(dǎo)公式結(jié)合正弦函數(shù)的圖象推得3=二+4或A+8=不，分析即得；對于B,根

據(jù)兩函數(shù)值的符號即可判斷；對于C,利用正弦定理即可判斷：對于D,將待求式中的角都用角A的三角函

數(shù)式表示，利用三角恒等變換、換元將其化成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)即得.

【詳解】對于A,由cosA=sin8可得sin(巴+A)=sinB,

2

因則四+AE(N,生)，則巴+A=8,或工+4=兀-3,

22222

兀兀

即8=—+A或4+8=—，

22

因VAAC為斜三角形，故B」+A,即角B為鈍角，故A正確；

2

對干B,由A項已得角8為鈍角，則cos3<0,因sin4>0,故sinAwcosB,即B錯誤；

對干C,由正弦定理，一工二一二，又cosA=sin3,

sinAsinn

sinA

代人解得a=------=tan/A,故C正確；

cosA

對于D,由上分析可得：B=-+A,C=7i-A-(-+A)=--2A,

222

TlTi

故cosA+cosB+cosC=cosA+cos(—+A)+cos(——2A)=cos4-sin4+sin2A

22

=cosA-sin/4+2sinAcos4,設(shè)，=cosA-sinA=V2cos（A+—）,

4

又C=2-2A>0,則OvA<工，則巴VA+N<2,

24442

則l￡（0,1）,且2sin4cos4=1-"，

則cosA+cosB+cosC=z+1-*=-（/-l）2+-,

24

故當(dāng)，二!時，cosA+cosB+cosC的最大值為!"，故D正確.

24

故選：ACD.

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知數(shù)據(jù)%,冬,…,%（）平均數(shù)為2,那么數(shù)據(jù)2%+3,2々+3,…,2%+3的平均數(shù)為

【答案】7

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念和公式計算即可.

【詳解】因為百,々，…，Mo的平均數(shù)為2,所以內(nèi)+/+…+/+玉0=10'2=20.

所以2玉+3,2七+3,,2玉。+3平均數(shù)為：

x

2斗+3+2x,+3+…+2/+32（x+/+>）+A：I（））4-3X10707

-To"io-To".

故答案為：7.

sina-cosa

【答案】3

【解析】

【分析】將齊次式弦化切即可求解.

【詳解】因為tana=2,

「，…sina+cosatana+12+1.

所以------------=---------=-----=3,

sina-cosatancr-12-1

故答案為：3.

14.已知非零向量〃，方的夾角為S，忖=4.對于任意的4eR,卜+2沙卜卜一24恒成立，則欠二

，xa-b+xa-3Z?（x￡R）的最小值為.

【答案】①.1②.歷

【解析】

【分析】將不等式兩邊平方得（。+/^了之（〃一28『，進而;12方2+244為一（47一4。力）20對于任意

/leR恒成立，利用△4（）即可求解答題空1；再結(jié)合圖形，利用幾何意義及對稱性即可求解答題空2.

【詳解】由卜十勸卜卜一2。|兩邊平方可得（〃+乃丫即無7+2而/24//—4。6，

???加？+2布.力一（4"一4。同20對于任意的；IwR恒成立,

???A=4（a.b『+4方2（4Z?2—4a"）=（2Z/2—工0,

；?2/一〃m=0，即2時_同-陣0§1=|/“2網(wǎng)一同cos1J=0

V*0,/.2/?=kz|cos—=4x—=2,/.h=1.

1132

如因所示，設(shè)04=〃，OB-a,OC=3b-OP=xa.

則xa-b=OP-OA=AP,xa-3b=OP-OC=CP

xa-b+xa-3b=AP+CP

作點C關(guān)于OP的對稱點E,連接CE,如圖所示,則恢-司+.-3白卜網(wǎng)+畫=|四+|而

???當(dāng)E,P,A三點共線時，恒-母+忸-3同=網(wǎng)+網(wǎng)取得最小值同.

■一0兀

此時，OE=OC=3b=3,OA=b=\/EOA=2/BOA=—,

f3

在△EQ4中，由余弦定理可得

AE=OA+OE-2(?A|?|(9￡?cosZ.EOA=l+9-2xlx3x--^1=13,故AE=VI5.

Axd-b^xa-3b(x￡R)的最小值為JTL

故答案為：1；\f\3?

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.）

15.對20（）個電子元件的壽命（單位：h）進行追蹤調(diào)查，情況如下:

壽命/h[100,200)[2()0,300)[300,4(X))[400,500)[500,6(X)]

個數(shù)2030804030

（1）估計元件的壽命在［300.400）（單位：h）內(nèi)的概率：

（2）估計元件的壽命在400h以.匕的概率.

【答案】（1）-

5

（2）—

20

【解析】

【分析】（1）先求出200個電子元件的壽命在［300,400）（單位：h）內(nèi)的頻率，再對元件的壽命在［300,400）

（單位：h）內(nèi)的概率估計即可；

（2）先求出200個電子元件的壽命在400h以上的頻率，再對元件的壽命在400h以上的概率估計即可.

【小問1詳解】

QQ

因表中200個電子元件的壽命在［300,400）（單位：h）內(nèi)的頻率為^—-—-—

20+30+80+40+305

2

故由此估計元件的壽命在［300,400）（單位：h）內(nèi)的概率為

5

【小問2詳解】

40+307

因表中200個電子元件的壽命在400h以上的頻率為

20+30+80+40+3020

7

故由此估計元件的壽命在400h以上的概率為一.

20

16,已知向量a=(2cosx,-l),Z?=(逐sinx,cos2x),設(shè)函數(shù)/(x)=aW.

（1）求函數(shù)的對稱中心:

2

（2）求函數(shù)/（x）在0,-71上的值域.

【答案】（1）（匚+E,0）,ZeZ

12

⑵[T2]

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等變換將函數(shù)/（X）化成正弦型函數(shù)，再求其對稱中心即可；

（2）根據(jù)條件求出整體角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，即得函數(shù)/a）的值域.

6

【小問1詳解】

/'（X）=&?/7=sinxcosx-cos2x=6sinlx-cos2x=2sin（2x--）,

6

兀71

由2x—=E,ZEZ,可得X=—+E,ZEZ,

612

TT

故函數(shù)/（X）的對稱中心為（五+E,0）,攵￡Z.

【小問2詳解】

2,c?！肛?

由工￡0,-71,可得2xG—,一兀，

6L66J

由正弦函數(shù)的圖象可得一,<sin（2x-￡）<l,

26

故函數(shù)在。弓兀上的值域為[-1,2].

一—

17.如圖，在四棱錐P-A/C。中，底面48CD是邊長為2的菱形，NB4D=60。，△P4O是正三角

形，七為線段AO的中點，尸為線段尸C的中點.

（1）求證：PA//平面BDF;

（2）求證：BC上平面PEB；

（3）若平面Q4O_L平面A8CD,求異面直線與班'所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析（3）叵

2（）

【解析】

【分析】Q）連接4C,交BD于點0,連接。尸，證明A4//0F,由線線平行證明線面平行即可;

(2)利用等腰三角形的三線合一可證夕￡_/A。，BE.LAD,由線線垂直即可證得線面垂直;

(3)取。C的中點M，連接FM,BM,CE,得到NM/中即PD與8b所成角或其補角，利用余弦定理

求得CE,通過證明尸EJ_平面ABC。得到PE_LCE,求出尸C=Ji6,在aMFB中,結(jié)合RM=1，

BM=B利用余弦定理即可求得答案.

【小問1詳解】

連接AC,交BD于點0,連接。尸，

因底面ABCD是邊長為2的菱形.則點。是AC的中點，

又因尸為線段PC的中點，則有B4//OF,

PAu平面BDF,OFu平面產(chǎn)，可得PA//平面3。產(chǎn).

【小問2詳解】

因力是正三角形，E為線段AO的中點，則有尸E1A。，

又AD=A3,ZBAD=6O°,即_ADB為正三角形，且跳:_LAE>,

因BEcPE=E,BE,PEu平面BPE，則AO_L平面8PE，

又因5C7/AD,故得BC_L平面8尸￡.

【小問3詳解】

如圖，取0c的中點M，連接產(chǎn)則FM〃PD,且KW=1pO=l,

2

故40方6即。。與5廠所成角或其補角.

因DC=2,OE=1,NAOC=120,由余弦定理，。爐=/十？?__2xlx2cosl20=7，

又因平面Q4D_L平面A8CO,立面PAOc平面A8c￡>=AO,PELAD,PEu平面PAD，

故尸石_L平面ABC。，又CEu平面ABC。，則尸E_LCE,又PE;&=6故

PC=VG/IF+G/T)1=V10,

由（2）已得3C_L平面PEB，因P8u平面Q￡8，故BC上PB,則B/7=,尸。=，邁，

22

P,710x23,—

C-3^/]Q

又BM=主義2=也，則在?.〃戶月中，由余弦定理，cosZBFM=------2r—=-->0,

2W20

2xlx---

2

即異面直線PD與8廠所成角的余弦值為亞

20

18.如圖，在△A3。中，AB=IAD=2,點C為△A3。外接圓上的一個動點（點AC在直線8。兩

（2）若A8.AD=—1，求四邊形A3C。周長的最大值;

（3）若AC=2A8+A。，求IACI.

【答案】（1）-V2

⑵3+2幣

（3）瓜

【解析】

【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積公式即可求出ABAO的值.

（2）首先根據(jù)數(shù)量積求出向量的夾角，然后根據(jù)余弦定理求出8。，然后根據(jù)余弦定理和基本不等式的

性質(zhì)求出四邊形周長的最大值.

（3）首先通過等式可證明四邊形ABC。為等腰梯形，然后在AABO/BC。中利用余弦定理求出

cosNBA。，從而求出AC.

【小問1詳解】

根據(jù)向量數(shù)量積公式可得:

ABAD二卜胤叫cos（AB,則=1x2xcos亨=-72.

【小問2詳解】

因為A8A/）=_],所以A啟ADcosAB,AD\=1X2XCOSAB,AD^=-1,

所以cos（AB,AO）=—g,所以=

根據(jù)余弦定理8。2=4B2+AO2-2A8XA￡>XCOS^=1+4-2X1X2X—=7,

32

所以BO=J7.

IF

因為AB,C,O四點共圓，/BAD+/BCD=n,所以/5CO=-.

3

謖BC=a,CD=b,在cBCQ中，根據(jù)余弦定理aT=片__2"cosNBCO，

即7=g+人）2—3時2（a+32一冬M_=把詈，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.

所以解得a+642近.

所以四邊形A3CO的周長為A3+AO+8C+CO=l+2+2x/7=3+2j7.

小問3詳解】

由AC=2AB十A。得AC—A￡>=OC=2AB，

所以,C|=2且A3//C。，

即NBAD+ZADC=180，ABAD+/BCD=180，

所以N3CD=NADC,得到四邊形A3CO為等腰梯形，忖。卜2.

設(shè)/朋。=8,在血中，BD2=AB1+AD2-4故-0,

在4.4CQ中，BEr=BC2+CD2-26^iCZ?@-8*+0,

所以COS8=-L.

4

所以|A4=J（2A8+AQ『=J4+4+2x2x2x（—；、=瓜

19.設(shè)X］為函數(shù)/(元)的任一零點，勺為函數(shù)以外的任一零點，若|內(nèi)-司＜1,則稱函數(shù).f(x)與或x)

是“零點近距函數(shù)”.

JT

(1)已知函數(shù)/(x)=2COSQX+1(xW(0,3)),g(x)=logx-l,判斷f(x)與g(x)是否為“零點近距函

J3

數(shù)”，并說明理由；

2%+2,x<0

(