專題24.8相似三角形的性質(zhì)

1.掌握相似三角形的性質(zhì)；

教學(xué)目標(biāo)2.學(xué)會解決相似三角形性質(zhì)的實際應(yīng)用；

3.利用相似三角形的性質(zhì)與其他幾何知識解決問題。

1.重點

（1）利用相似三角形的性質(zhì)直接求解；

（2）相似三角形性質(zhì)的幾何應(yīng)用、實際應(yīng)用等；

（3）相似三角形的判定與性質(zhì)及其應(yīng)用；

教學(xué)重難點

2灘點

（1）相似三角形性質(zhì)的幾何應(yīng)用；

（2）相似三角形在平面坐標(biāo)系的應(yīng)用；分類討論思想；

（3）相似三角形的判定與性質(zhì)、比例線段的性質(zhì)綜合分析。

知識清單

知識點1相似三角形

一、相似三角形的性質(zhì)

L根據(jù)相似三角形的定義，可以直接得到相似三角形的性質(zhì)：

相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

2.相似三角形性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

要點：要特別注意“對應(yīng)”兩個字，在應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.

由已知條件可知dABD、A.B.Du有兩個角對應(yīng)相等，于是可推出結(jié)論是肯定的.

推導(dǎo)過程如下：

V4ABC^AAIB.CH頂點A、B>c分別與A］、G對應(yīng)，

???ZB=ZB,ZBAC=ZBIAICI（相似三角形的對應(yīng)角相等）.

TAD、AIDI分別是AABC、△AIBIG的角平分線，

BPZBAD=-ZBAC,ZBIAIDI=-NBiAiG

22

/.ZBAD=ZB|AiDi.

在△ABD與A|B,Di中，

NB=/Bi?

NBAD=/BiA】Di,

???AABD<^AA]B[D]（兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似）.

用類似的方法可以得到，相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比也等于相似比.

4.相似三角形性質(zhì)定理2:相似三角形周長的比等于相似比.

VAABC^AA!BlCl,頂點A、B、C分別與A】、、C】對應(yīng)，△ABC與^A1C]的相似比為k,

得AB=kAiBi,BC=kBxC\,CA=kgA].

4.相似三角形性質(zhì)定理3:相似三角形面積的比等于相似比的平方.

11

SABC=~BC-AD,SAA.BJc,,=—BjCi-AtD].

由相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，可知

要點：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.

【即學(xué)即練】

1.兩個相似三角形的對應(yīng)面積比為1:2,則其對應(yīng)周長比為.

【分析】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解?，相似三角形周長的比等于相似比.根據(jù)相似三角形的面積比

等干相似比的平方，對應(yīng)周長的比等于相似比解答.

【詳解】解：團兩個相似三角形對應(yīng)的面積之比為1:2,

又相似三角形對應(yīng)周長的比等于相似比，

2.兩個相似三角形的相似比為3:5,則對應(yīng)的角平分線之比為.

【答案】3:5

【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì).根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段之比等于相似比進行解答即可.

【詳解】解：???兩個相似三角形的相似比為3:5,

???它們的對應(yīng)角的角平分線的比為3:5.

故答案為：3:5.

3.如果兩個相似三角形對應(yīng)高的比是2:3,那么它們的面積比是.

【答案】4:9

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由相似三角形的性質(zhì)可知，相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，而相似三角形的面積比等于相似比的平方，

由此即可得出答案.

【詳解】解：由相似三角形的性質(zhì)可知，相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，而相似三角形的面積比等于

相似比的平方，

故答案為：4:9.

4.若兩個相似三角形的面積之比為4:9,則它們的對應(yīng)中線之比為一.

【答案】2:3

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積之比得到相似比，即可解答，掌握相似三

角形的面積之比是相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?兩個相似三角形面積之比為4:9,

兩個相似三角形相似比為2:3,

它們的對應(yīng)中線之比為2:3,

故答案為：2:3.

【答案】］4

4

故答案為：

知識點2相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用

1.測量高度

測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等''的原理解決.

要點：測量旗桿的高度的幾種方法：

平面鏡測量法影子測量法手臂測量法標(biāo)桿測量法

2.測量距離

測量不能直接到達的兩點間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。

1.如甲圖所示，通?？上葴y量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì),

求出AB的長.

2.如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算AB的長.

B

1.比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺;圖上距離/實際距離；

2.太陽離我們非常遙遠，因此可以把太陽光近似看成平行光線.在同一時刻，兩物體影子之比等于其對

應(yīng)高的比；

3.視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）；

4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角

【即學(xué)即練】

1.在某一時刻，直立地面的一根竹竿的影長為3米，一根旗桿的影長為25米，已知這根竹竿的長度

為1.8米，那么這根旗桿的高度為米.

【答案】15

【分析】設(shè)這根旗桿的高度為人米，根據(jù)竹竿的影長回竹竿的長度等「旗桿的影長團旗桿的高度，即可求解.

【詳解】解：設(shè)這根旗桿的高度為〃米，根據(jù)題意得：

即這根旗桿的高度為15米.

故答案為：15

【點睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【答案】10

故答案為：10

【答案】20

A

30cm->|<-?cm->|

故答案為：20.

4.圖1是裝了紅酒的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），喝去一部分紅酒后如圖2所示，此時液面A3的長為.

【答案】35"3厘米

圖1圖2

故答案為：3cm.

【答案】；/0.5

團CD的長是3cm.

故答案為：—.

【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是求出力8的值.

題型精講

題型01利用相似三角形的性質(zhì)直接求解

【典例1].如果兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比是4:9,那么它們的周長之比等于.

【答案】4:9

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比，周長比也等于相似比，

由此可解.

【詳解】解：，?兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比是4:9,

??.這兩個相似三角形的相似比為4:9,

它們的周長之比等于4:9.

故答案為：4:9.

【變式1].如果兩個相似三角形的周長的比等于1:3,那么它們的面積的比等于.

【答案】1:9

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知“相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于枉似比的平方〃

是解題關(guān)鍵.根據(jù)兩個相似三角形的周長的比等于1:3,得到相似比為1:3,即可得到它們的面積比等于1:9.

【詳解】解：團兩個相似三角形的周長的比等于1:3,

團這兩個相似三角形的相似比是1：3,

回它們的面積比等于1:9.

故答案為：1:9

【變式2].如果兩個相似三角形的對應(yīng)高的比為2:3,那么這兩個三角形的面積比為—.

4

【答案】4:9/-

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：團兩個相似三角形對應(yīng)高的比為2:3,

4

故答案為：--

【變式3].若兩個相似三角形的面積比為1:3,則這兩個三角形的周長比為.

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)兩個相似三

角形的周長比等于相似比，則面積比等于相似比平方，據(jù)此即可得出答案.

【詳解】解：?.?兩個相似三角形的面積比為1:3,

?.?兩個相似三角形的周長比等于相似比，

【變式4].如果兩個相似二角形的面積之比為1:9,那么這兩人二角形一組對邊上的中建之比為

【答案】1:3

【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，由面積比為1:9得到相似比為1:3,利用“相似三角形的對應(yīng)中線

的比等于相似比''解本題是關(guān)鍵.

【詳解】解：團兩個相似三角形的面積之比為1:9,

13相似比是1:3,

又叵相似三角形一組對邊上的中線的比等于相似比，

(3中線的比為1:3.

故答案為：1:3.

【答案】>0.5，/0.25

24

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

故答案為：；，

24

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握和運用相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

題型02相似三角形性質(zhì)的簡單應(yīng)用一邊長問題

【分析】本題考查了相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比，相似三角形周長的比等于相似比的性質(zhì)，熟記

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比，求出兩個三角形的相似比，再根據(jù)相似三

角形周長的比等于相似比列式計算即可.

【詳解】解：由題意，得兩三角形的周長比為5：2,

【答案】12

故答案為例12.

【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

【答案】26

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解題即可.

故答案為：2G.

題型03相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用一一三角形一邊的平行線

【詳解】解：團點。、E分別是4B、AC的中點,

根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，

故答案為：

【點睛】本題主要考查的是三角形相似求面積的問題，掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【答案】1

故答案為：1.

【答案】1:2

故答案為：1:2.

【答案】1:9

故答案為1:9.

題型04相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用一重心問題

【答案】A

【詳解】解：如圖，連接”并延長交3c于點。，

故選:A.

【詳解】解：???G是重心,

故答案為:二.

1O

58

A.2B.-C.2D.-

33

【答案】D

【詳解】解：如圖，延長4G交于

故選:D.

題型05相似三角形性質(zhì)的實際應(yīng)用

D

【答案】7

故答案為:7.

9

【答案】y

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

9

故答案為：

【答案】8.3

【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用.解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出

方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.因為小明和占城墻均和地面垂直，且光線的入射角等于反射角，

因此構(gòu)成一組相似三角形，再利用對應(yīng)邊成比例即可解答.

故答案為：8.3.

【變式3】.清朝《數(shù)理精蘊》里有一首小詩《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都開門，南

門直行八里止，腳下有座塔聳立.又出西門二里停，切城角恰見塔形，請問諸君能算者，方城每邊長是幾？

如圖所示，詩的意思是：有正方形的城池一座，四面城墻的正中有門，從南門口（點O）直行8里有一塔

（點A）,自西門（點E）直行2里至點13,切城角（點C）也可以看見塔，問這座方城每面城墻的長是—里.

【答案】8

【詳解】解：設(shè)這座方城每面城墻的長為工里，

回這座方城每面城墻的長為8里，

故答案為：8.

【答案】28

【分析】通過相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建比例關(guān)系，設(shè)出海島高利相關(guān)水平距離，列方程求解.本題主要考

查相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

即海島的高為28,

故答案為：28.

題型06相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用一一動點問題

24Q?49

A.tSB.（SC.?；颍緿.以上均不對

【答案】C

【詳解】解：設(shè)運動時間為后，

綜上，運動時間為324s或（9s,

故選:C.

⑴求出48的長度；

⑵用含有/的式子表示AP和3Q:

【答案】（1）10

⑶亞或竺

II13

【分析】(I)利用勾股定理即可求解:

(2)根據(jù)題意列出代數(shù)式即可;

本題考查了勾股定理，列代數(shù)式，相似三角形的性質(zhì)，運用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

團2A是公共角,

題型07相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用一一坐標(biāo)問題

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意，畫出圖形，利用相似三角形對應(yīng)邊對應(yīng)成

比例，進行求解即可.

【變式1].已知點A(2,0),點B(b,0)(b>2),點P是第一象限內(nèi)的動點，且點P的縱坐標(biāo)為g,若I3POA

和(2PAB相似，則符合條件的點P坐標(biāo)為

【詳解】由題意可得：OA=2,OB=。，AP=1,

0A=AB=2,

b=4,

4

."(2,y);

解得：〃=9±3石，

P(2,3±>/5);

4

綜上：P的坐標(biāo)為：(2,—)>(2?3±x/5).

4

故答案為：（2,—）?（2,3±x/5）.

J

【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，分類討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出對應(yīng)邊的長度進而寫出

點的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

⑴求直線的解析式：

3

回點尸的橫坐標(biāo)為-/，

回點〃在第三象限，

【點睛】本題主要考查勾股定理，待定系數(shù)法解一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，

中點坐標(biāo)，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半等知識，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型08相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用一一格點問題

【答案】B

【分析】先計算出每條邊的長度，再進行比較即可，選出適合的選項.

【詳解】解：設(shè)每個正方格邊長為1，

故選：B.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵.

A.點片B.點鳥C.點&D.點R

【答案】A

【分析】本題考查了相似三角形的判定.利用相似三角形的判定定理（兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等

的兩個三角形相似）即可判斷.

團點《符合題意，

故選：A.

題型09相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【答案】（1）見解析

⑵

【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明即可；

【點睛】本題考查射影定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，

屬于中考?？碱}型.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握兩三角形相似的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【答案】⑴見解答；

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

【答案】（1）見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩三角形相似：（2）利用相似

三角形面積比等于相似比的平方艮J可求解.

題型10相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用——動態(tài)問題

【答案】:31

2

【詳解】解：如圖:

AD是卜?的高,

故答案為：3

［答案】3或YY

故答案為：3或;j".

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊的比相等，注意到分兩種情況進行討論是解決本題的

關(guān)鍵.

題型11相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用——特殊平行四邊形

【答案】（1）見解析

（2）見解析

（2）證明：如圖，連接

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定，熟

練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

(2)解：連接GF,如圖所示：

【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的運算，相

似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

題型12相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用一證明成比例線段

【答案】(1)證明見解析

⑵證明見解析

(2)證明：如圖，

方法一：

方法二：

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余，線段中點的有關(guān)計算，

直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，等邊對等角，勾股定理，線段的和與差等知識點，熟練掌握相似三

角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，掌握相似三角形的判定

與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

團點E是3c中點，

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似，是解題

的關(guān)鍵：

強化訓(xùn)練

一、單選題

1.如果兩個相似三角形的面積之比為49,則它們的周氏之比為()

【答案】B

【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的

平方是解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行解答艮］可.

【詳解】解：國兩個相似多邊形的面積比為4:9,

故選：B.

【答案】B

【分析】本題考查想點三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長的比、對應(yīng)中線的比、高線的比、角平分線

的比都等于相似比解題即可.

【詳解】解：回兩個相似三角形的周長比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比，

故選:B.

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

故選：D.

【答案】A

故選：A.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記相似三角形的判定與性質(zhì).

5.如圖，點A(1,7),B(1,1),C(4,1),D(6,1),若團COE與財8。相似，那么在下列選項中，點

E的坐標(biāo)不可熊是().

A.(6,2)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2).

【答案】B

【分析】分C、。為直角頂點的情況進行考慮即可判斷.

【詳解】解:魴8=6,BC=3

①若。為直角頂點

0CE=4或CE=1

團點E的坐標(biāo)為(4,5)或(4,2)

②若。為直角頂點

(3OE=4,DE=1

回點E的坐標(biāo)為(6,5)或(6,2)

故選；D.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是分類討論.

6.如圖，OBECfCDB,下列結(jié)論正確的是()

A.EF?BF=DF/CFB.BE*CD=BF*CF

C.AE^AB=AD^ACD.AE?BE=AD?DC

【答案】C

故選：C.

二、填空題

7.兩個相似三角形，其中一個三角形的二個內(nèi)角分別為67。，45。.則另一個三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)

是.

【答案】68。/68度

故答案為：68°.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，能熟記相似三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵,

注意：相似三角形的對應(yīng)角相等.

8.如果兩個相似三角形面積的比為1:3,那么它們周長的比為.