江西省鷹潭市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月期末質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校;姓名:班級:考號:

一'單選題

1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）,Z2=Z|i,則Z?的虛部為（）

A.iB.-iC.1D.-1

-?]---?--->

2.如圖，在V48C中，P在線段8C上，滿足2BP=PC，O為線段/P上一點(diǎn)，且BO=產(chǎn)+'BC,則入

的值為（）

72

C.3D.

3939

3.已知口角的終邊經(jīng)過點(diǎn)則cos2(x=()

B.F

A，C.D.

222

4.曲線”同⑵|的對稱軸方程為（)

A.x="（kwZ）

B.x=竺(左eZ)

42

（）

C-=儂汕A.ZD.x=kn(keZ)

4

5.斛是我國古代的一種量器，如圖所示的斛可視為正四棱臺，若該正四棱臺的上、下底面邊長分別為

2近，4拒，側(cè)棱長為2A，則該正四棱臺的體積為（）

224D,坐

A.56B.一C.56拉

33

6.蜂巢的精密結(jié)構(gòu)是通過優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化自然形成的，若不計(jì)蛉巢壁的厚度.蜂巢的橫截面可以看成正六邊

形網(wǎng)格圖，如圖所示.設(shè)夕為圖中7個(gè)正六邊形（邊長為1）內(nèi)部或邊界上點(diǎn)，A,4為兩個(gè)固定頂點(diǎn)，則力PY8

的取值范圍是（）

A.[-2,18]B,[-2,2]C,[0,16]D,[0,18]

7.設(shè)函數(shù)/（x）=卜inx|+cosx,下述四個(gè)結(jié)論：

①/'（x）是偶函數(shù)②/G）的圖象關(guān)于直線x=2對稱

2

③/（X）的最小值為&④/?）在（-兀⑼上不單調(diào)

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

8.V"C的內(nèi)角4優(yōu)。的對邊分別為a/,c,若sin4=-2sinCcosJ,ac=2j5則V/8C面積的最大值為

（）

A-2B,乎C.1D.2

二'多選題

9.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z,i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）

A.若忖=1,貝ljz=±l或z=±i

B.若iw|z%&，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為兀

C.i+P+i3+-+i?0?5=i

D.若-1+i是實(shí)系數(shù)方程f+px+q=0的一個(gè)根，則〃+1=（）

10.已知函數(shù)/（力=2而（5+。）3>0,午；的秒分圖象如圖所示，則（）

B./(x)在區(qū)間「-兀,-："1上單調(diào)遞減

ILTh7c

c.y=/(x)的圖象可由y=2cosZv?可右平移二個(gè)單位得到

6

D.cos(%2-x)=

II.在棱長為2的正方體X8CO-中，點(diǎn)2是正方形8CG與內(nèi)的一點(diǎn)(包含邊界)，貝!下列說法正

確的是()

A.ACLBD}

B.若點(diǎn)P是線段8卅的中點(diǎn)，則平面4a截正方體所得的截面的面枳為30

C.若點(diǎn)。在線段8c上，則BP+PQ的最小值為通+JI

D.若點(diǎn)尸滿足“皿"，則"與平面所成角的正切值的最大值為應(yīng)

三、填空題

T-TT

12.已知向量。=。,2),/?=(4,一2),且“_1_8，則和一〃午.

13.設(shè)當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)/(x)=sinx-2cosx取得最大值，則cos6=.

14.樺卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個(gè)結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重

量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得樣卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一

種簡單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木撅、木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四

邊形"CQ是邊長為2的正方形，且aW及a4C”均為正三角形，EF\\CD,EF=4,則該木楔子的外接球

的體積為.

DC

⑴試將aOE尸的周K，表示成儀的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；

⑵當(dāng)tana=Lfl寸，求加溫帶￡尸的長；

2

⑶為增加夜間水下照明亮度，決定在兩條加溫帶OE和O尸上按裝智能照明裝置，經(jīng)核算，兩條加溫帶每米

增加智能照明裝置的費(fèi)用均為400元，試問如何設(shè)計(jì)才能使新加裝的智能照明裝置的費(fèi)用最低？并求出最

低費(fèi)用.

19.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題.該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，

使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)V44C的三個(gè)內(nèi)角均

小干120。時(shí)，使得/408=/80。=/。。4=120。的點(diǎn)0即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)V48C有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。

時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識解決下面問題：己知V48C的內(nèi)角A,B,。所對邊分別為

a,b,c,且cos28+cos2c=l+cos2/,點(diǎn)尸為V48C的費(fèi)馬點(diǎn).

(1)求證：V48C是直角三角形；

⑵若V/8C的面積為3，且c=l,求的值；

2

I、PR+PC3日［在

⑶求------的取小值.

PA

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數(shù)學(xué)試題參考答案

題號12345678910

答案DDCABABBBCACD

題號11

答案ACD

1.D

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)馬在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),所以々=l+3i,

所以Z2=Z|i=(l+3i)i=-3+i,所以Z2=-3-i,所以z2的虛部為-1.

故選：D

2.D

【詳解】由已知。為線段42上一點(diǎn)，

--?-----?-----?-----?-----?-----?----->----->-----?-----?

貝1」80=84+40=8/+工力產(chǎn)=84+工(力8+8尸)=(\-x]BA+xBP,

又2BP=PC，

則BP=-BC,

所以BO=BA+AO=(\-x)BA+^C,

1

則

晨入

13

2

X=

解得

2

9

故選：D.

3.C

【詳解】解：Q角口的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-2,2

—2,y—2」3?

/.r=4,

x21

.,.cosa=_：=-j=-_j

r42

.\cos2(x=2cos2(x-l=-一

2

故選：C.

4.A

【詳解】根據(jù)函數(shù)N=tan2x的圖象可知曲線y=kan2?|的圖象如下圖:

即可得工=”/吟,

4

Lrr

所以對稱軸方程為x=_（AwZ）.

4

故選：A

5.B

【詳解】設(shè)正四棱臺的上、下底面中心分別為。1。2,則。1。2即為正四棱臺的高，如圖所示:

取過正四棱臺的軸。。2和側(cè)棱力反CO的截面，易知4）=4,4。=8,

所以可得截面是上底為4,下底為8,腰長為2、行的等腰梯形，

則=?一（SC；）。）=，2（）-22=4,

所以正四樓臺的體積為展:（2j）+（t戶）+產(chǎn)91:4=3.

故選：B

6.A

【詳解】如圖建立平面宜角坐標(biāo)系，則力（0,0）,8（4,0）￡-；步16'9,

I*7I?

設(shè)P（x,y）,則力Q="/）,/也=（4,0）,

「191

所以4P?/A=4x，由于xq--,_卜

122U

所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E或點(diǎn)/重合時(shí)，力/>.48最小，最小值為-2,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G或點(diǎn)〃重合時(shí)，力。.48最大，最大值為18,

所以"?加[-2,18].

【詳解】①因?yàn)?（f）=/（'），所以/（x）是偶函數(shù)，①正確;

②因?yàn)?(71-%)=^?in(7i-x)\+cos(n-x)=|?inx\-cos"/(x),

所以/(x)的圖象不關(guān)于直線x=1對稱，②錯(cuò)誤：

2

|sinx+cosx,xG[2bt,2kji+n]

③因?yàn)?(x)一sE%+cosr,x?[2E+兀,Ikn+2句

f(兀、

1^/2sinIx+—\,xe[2kTt,2kn+it]

所以/.(》)=[,174A

2sin(x|,xt(2kn+7i,2kn+2n]

當(dāng)zc[2A兀2E+兀]時(shí)，/(x)e[-

當(dāng)ie(2E+兀,2E+2TI]時(shí)，/(x)￡(-l,

綜合得/(工”[-1,3]，即/(x)的最小值為-1,③錯(cuò)誤：

由xe（-兀,0）,化簡/（x）=sinx+cosx=-sinx+cosx=一產(chǎn)「

因?yàn)槭瑂inf在/J/、/]上單調(diào)遞減，在I上單調(diào)遞增,

「與I個(gè)力

故/（上）在（-再0）上不單調(diào)，④正確.

故選：B

8.B

【詳解】由sin5=-2sinCcos/i可得sin（C+＜）+2sinCcosJ=0,

sinCcosJ+cosCsinA+2sinCcosJ=0=cosCsin/+3sinCcos/l=0,

故tanA=-3tanC,

tanB=-tan（J+C）=-⑶1**⑶1C=2⑶"2

1-tan//tanC1+3tairC

----+3tanC

tanC

1tanB=

則tan民lanC同號，故民。為銳角，故——+3tanC>2jT,即蘇，當(dāng)且僅當(dāng)

tanC+3tanC

tanC

1

tanC=耳時(shí)取等號，

故8的最大值為:，

6

故S=："csinB<\icx[==E，故面積的最大值為

aABC222422

故選：B

9.BC

【詳解】對于A中，例如：復(fù)數(shù)2=1+史"可得刊=1，所以A不正確;

對于B中，由復(fù)數(shù)的幾何意義，可得1引z|K點(diǎn)是以半徑為1和半徑為虎的圓構(gòu)成的圓環(huán),

其中圓環(huán)的面積為S=7tX（g）2-兀Xi?=兀，所以B正確：

對于C中，由虛數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：i$〃+i4w+l+i4n+2+i4n+3=0,

nrni+i2+i3+???+i2025=506x0+i2025=i506x4+,=i,所以C正確;

對于D中，由復(fù)數(shù)-l+i是實(shí)系數(shù)方程f+px+c/=0的一個(gè)根,

可得復(fù)數(shù)-1-i是實(shí)系數(shù)方程/+〃工+夕=0的另一個(gè)根,

則一〃=-1+i+(—l-i)=-2且］=(-1+i)(—l-i)=2,即p=2,<7=2,

所以〃+4=4,所以D不正確.

故選：BC.

10.ACD

【詳解】由條件可知，/(O)=2sin巾=1,則sin(j)=:且巾f卜_

22

所以8七

6

由圖象可知，得

32125

當(dāng)二=土?xí)r，丁兀+2E,得3=2+2%kwZ,

~\2T?6T

所以3=2,所以38"一故A正確;

3

/'7='I5n|17l

()2sin|2x+y|,因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，xw|-兀,—-1的單調(diào)性和xe|°，」t的單調(diào)性一致.由圖可知，

「力IJL丁」LrJ

%,I是函數(shù)的增區(qū)間，故B錯(cuò)誤；

IL6^

，兀、Tty=」'花'加〕

/(x)=2sin|2x+^向左平移萬個(gè)單位得到函數(shù)2sin|2|x+6+6=2COSZY,故C正確；

加/

兀

所

以

+則

一=X=

由條件可知，2x++2x2K，

6--丁

1622/

(4711兀

-1

所以COS(X-x)=COS|2V

肚-cos

，1

-r3-

sinl兀

32x.

月+

因?yàn)?sin6_

T'

因?yàn)閏os71-2x「71

2

3

所以cos(x-x)=,故D正確.

214

故選：ACD

11.ACD

【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)檎襟w力8。。-481GA，所以/C1BO,4C_L45,

又BB、cBD=B,BB、,BDu平面BDDB，所以/IC1平面BDD.B,.

又8Ru平面BDD四,所以力C1BR.故A正確.

Dt

G

對三選項(xiàng)B：取8c中點(diǎn)。，連接PQ,Q。，平面截正方體所得截面為等腰梯形尸?？趦?/p>

因?yàn)椤?。?:/，嗎=2五,AP=DQ=/,所以等腰梯形ZP。。的高為￥，

所以梯形面積為s&+2.；29,所以B錯(cuò)誤.

3=-----------=—

22

B

對于選項(xiàng)C：如圖:

G

當(dāng)戶為8。中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?P18C，所以8P取得最小值，為日

此時(shí)因?yàn)閍BCS為等邊三角形，旦邊長為2萬，PDJBC,所以PR也取得最小值，為2/x且=9.

2

所以8P+PA的最小值為jZ+虎，故C正確；

對于選項(xiàng)D：如圖：

由,4C_L8Q,瓦平面"以，點(diǎn)尸的軌跡是線段8c.

過P作尸”1平面力。34,垂足為〃，則〃在線段4。上，連接力”,4尸，則為力P與平面力所

成的角.

PH2

tanZPJ/7=_=_，又AHN戶所以tanNP4/S/，當(dāng)P為4c中點(diǎn)時(shí)取“=故D正確.

THAH"1

故選：ACD.

12.2J10

【詳解】因?yàn)?I8，所以T./)=X-4=0,解得＞4,

TTT

所以2〃-6=(2,4)—(4,—2)=(-2,6),貝ij(2a-卜^(-2)2+62=240,

故答案為：2，h).

5

【詳解】f^x)=sinx—2cosx=?_cosx=^_sin(x—(p)?其中sin(p=2^S\cos(p=,當(dāng)

J5

TTn

x—(p=2k兀+,(kWZ)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，即OnZkji+5+cp時(shí)，函數(shù)f(x)取到最大值，所以cos6=—

*

sin(p=

5

14.32%321T

33

【詳解】如圖，分別過點(diǎn)48作￡尸的垂線，垂足分別為G,”,連接QG,C〃，則瓜7===1,故

2

AG=ylAE^-EG2=V22-12=揚(yáng).

取,40的中點(diǎn)O',連接GO',

y,AG=GDy:.GO'LAD,則GO'=J/1G2-1年

由對稱性易知，過正方形48CQ的中心。|且垂直于平面/8C。的直線必過線段E廣的中點(diǎn)。

且所求外接球的球心。在這條直線上，如圖.

設(shè)球O的半徑為R,則R2=OO2+力。2,且心=2+2,

1IOO2EO2

從而002=002+2,即(OO+00)(00-OO)=2,

I21212

當(dāng)點(diǎn)。在線段。。2內(nèi)(包括端點(diǎn))時(shí)，有OQ+。。2=60，0，得OO「OON，

從而OO】=血，即球心O在線段E戶的中點(diǎn)，其半徑R=2.

當(dāng)點(diǎn)。在線段。。2外時(shí)，0。產(chǎn)￡(6+0。27=00+2,解得。。2=。(舍).

4兀/?332江

故所求外接球的體積V=——=一.

33

故答案為：:

3

15.(l)z=l-i

⑵入＜2且入H-1一

2

【詳解】(1)設(shè)復(fù)數(shù)z=a+砥a/cR),

由z+i是實(shí)數(shù)知6+1=0，即6=-1,

所以z=a-\.

又因?yàn)槎羌兲摂?shù)，則二-—『("Di為純虛數(shù),

1+i1+i2

即=0且〃+1。0,

所以“=1,

所以z=1-i.

(2)由(1)知z=l-i,

則/=(1,-1);=(1,1),

入T-?TT

所以〃?+〃=(入+1,-入+1),m-2n=(-1,-3),

因?yàn)橄蛄咳胄?〃與機(jī)-2〃的夾角為鈍角，

所以(〃?+〃＞(〃?-2〃)＜。，月.入〃?+〃與/〃一2〃不共線，

即-(入+1)-3(-入+1)＜0,fi-3(X+l)+(-X+l)*0

解得入＜2且人工」一

2

16.⑴應(yīng)

(2)日

2

【詳解】(1)由必=l+2"s￡二得a/l-2sin2：L

NI丁I

所以“力cosC=1

由正弦定理。=2Rsin/f,b=2RsinB,c=2Rs'\nC

得（3sinJ-sin8）cosC=sinC'cosB

所以3sinJcosC=sin8cosc+cosAsir.C=sin（B+C）=sin（TT-J）=sin4

由sinJ>0,得cosC=l

3

所以=—!—-=3

cosC

由sinC>0,得sinC=Jl-cos?。

112

所以V/8C的面積S=_absinC=_x3x_JT=

223

a2+b2-c2

（2）由余弦定理得ahcosC=abx---------=1

lab

化簡得標(biāo)+b2-c2=2

方法一：邊運(yùn)算

設(shè)V/8C的外接圓的半徑為R

由正弦定理得a=2RsiM,h=2Rs\nB,c=2RsinC

_4代=_竺_=2.=18

所以"=4/?2sin/sin8,解得siMsinBJ_

6

所以2A=3。

2

所以c=2RsinC=30*§0=4

所以4+〃=2+/=2+16=18

所以（a+?=/+尻+2ab=18+6=24

由a+b>0,得4+6=2J6

所以"+"=2《=4

c42

方法二：邊運(yùn)算

b_c

由正弦定理

sin4sinffsinC

1=18

得sin2CsirUsinB1

6

Q

所以^=180112c=18x1=16

9

所以=2+^2=2+16=18

所以(Q+4=標(biāo)+〃+2"=18+6=24

由”+力>0,得a+6=2遍

所以"6=2?=?

42

方法三：角運(yùn)算

由(1)知cosC=_,sinC=2f

3丁

所以siMsin〃=sirL4sin(4+C)=lsi"4+L^sinJcos/l

33

="(l-cos2J)+應(yīng)sin2J=~+~(22sin2J-cos2J)=~

6366、6

化簡得2j5sin2力一cos2/=0

因?yàn)閟in/+sinB=sin力+sin(4+C)="sin/+cos力=

弋(j2s\nA+cos』)

33

所以(siM+sin8『="(2sin2/i+cos2/f+j2s\x(lAj

一8「1/9、廠】

一911-COS2/+T(1+COS24)+2sin2/l|

闌2"嗎32%五必蟄

7

由sirt4+sin8〉0,得siM+sin8=-?--

3

ul一sin/l+sinB23R

所以由正弦定理得____=__________=_2_=^_

csinC2^22

17.(1)證明見解析;

(2)證明見解析;

⑶叵

5

【詳解】(1)在三棱柱48。-力向G中，連接4c交力G于。，連接

則。是4c的中點(diǎn)，又。是4c的中點(diǎn)，OD//A.B,

而AXB<z平面AC】D,OOu平面4CQ，

所以48//平面/G。

(2)由48=8C=4C,。是8c的中點(diǎn)，得

由力力1平面4?C,得MJ平面48C,又4)u平面48C,貝！88-4),

又8發(fā)、8c是平面BCCfi內(nèi)的兩條相交直線，因此平面8。。61，而4OU平面彳CQ,

所以平面/1G。，平面BCC、B\

(3)在平面8CG8內(nèi)過C作C￡_LG。于￡，連力￡

由(2)知，平面4CQ_L平面5CC￡i，平面力CQn平面6CG5)=G。,

則CE1平面ACQ,ZCAE是AC與平面AC.D所成的角,

在直角aCCQ中，令CDJBC=a、CC=2a,則CO=的，CE=CC'CD

'27廠不

在直角心后中，sin/OE與虛=且

AC2a5

所以直線力。與平面力G。所成角的正弦值為Q.

5

25(l+sin(X+cosOi)~兀兀

18.(1)/=___________________r--i：

sin(Xcos(X63

⑵斯=巴

2

(3)當(dāng)8￡="'=25米時(shí)，照明裝置費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為200004元.

2525

【詳解】(1)在Ria4OE,Ria力。產(chǎn)中，由NBOE=N4FO=a,得?！?二^OF=八，

cosOCsinCX

又R3EOF中，由勾股定理得EF=Jo?+o尸=/(25y，(251=25,

Vcos(Xsin(Xsin(Xcos(X

25252525(l+sin(X+cos(X)

因比/=—+—+—--=.~?―-、

cos(xsin(xsin(xcoscxsinacosa

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)。時(shí)，此時(shí)儀的值最小，當(dāng)點(diǎn)￡在點(diǎn)CH寸，此時(shí)儀的值最大，a=n,_

63

所以函數(shù)關(guān)系式為『受竺竺L，定義域?yàn)?/p>

sin(Xcos(X63

251

(2)由(1)知,tan(X=」

sinCXcosOC2

因此sin(x?cos(X=sinOGcos"=tan(X=:,

sin2(X+cos2(Xtan2(X+l5

于是叱―殳.

2

(3)依題意，要使費(fèi)用最低，只需。￡+。尸最小即可，

由⑴得0E+0d當(dāng)"四c",

sin(Xcos(X63

產(chǎn)一1OE+OF=25/=50/=50

設(shè)sin(X+cos(X=/,則sinOGcos(X=--------,t2-\t2-\”1，

r..兀、1_rr/口5兀兀7兀.771.5苑

t=2^sin(z(Xa+)，由(Xaw[2g,得_<(X+j<_,sin_=sin_

46,3n472V212

=s:n("+兀)=、2(1+、3)=4?,于是745,

6422242

令F")="l，函數(shù)在(。，+8)上為增函數(shù)，

tt

則當(dāng)時(shí)，OE+OF最小,且最小值為50人，此時(shí)儀二，

所以當(dāng)g=4尸=25米時(shí)，照明裝置費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為20000"1元.

19.(1)證明見解析:

(2)；anNP比1=貯；

5

(3)2+2j3.

【詳解】(1)由COS24+COS2c=l+cos2力，得l-2sin28+1-2sin2C=1+1-2sin24,

即sin2A=sin2B+sin2C>由正弦定理得/=b2+c2

所以V/l6c是直