專題10計數(shù)原理1．【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】的展開式中x3y3的系數(shù)為A．5 B．10 C．15 D．20【答案】C【解析】展開式的通項公式為(且)所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C.【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬于中檔題.2．【2020年新高考全國Ⅰ卷】6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【解析】首先從名同學(xué)中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學(xué)中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學(xué)去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C．【點睛】本小題主要考查分步計數(shù)原理和組合數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.3．【2020年高考北京】在的展開式中，的系數(shù)為A． B．5 C． D．10【答案】C【解析】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．4．【2020年高考全國II卷理數(shù)】4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種．【答案】【解析】4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，先取2名同學(xué)看作一組，選法有：.現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個小區(qū)，分法有：，根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種，故答案為：.【點睛】本題主要考查了計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.5．【2020年高考全國III卷理數(shù)】的展開式中常數(shù)項是__________(用數(shù)字作答)．【答案】【解析】其二項式展開通項：當(dāng)，解得的展開式中常數(shù)項是：.故答案為：.【點睛】本題考查二項式定理，利用通項公式求二項展開式中的指定項，解題關(guān)鍵是掌握的展開通項公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．【2020年高考天津】在的展開式中，的系數(shù)是_________．【答案】10【解析】因為的展開式的通項公式為，令，解得．所以的系數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題主要考查二項展開式的通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．【2020年高考浙江】二項展開式，則_______，________．【答案】80；122【解析】的通項為，令，則，故；.故答案為：80；122.【點晴】本題主要考查利用二項式定理求指定項的系數(shù)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道基礎(chǔ)題.1．【2020·全國高三其他(理)】若的展開式中的系數(shù)是80，則實數(shù)a的值為A．-2 B．C． D．2【答案】D【解析】的展開式中含的項為，由題意得，所以.選D.2．【2020·黑龍江省大慶實驗中學(xué)高三月考(理)】二項式的展開式中的系數(shù)為A． B． C． D．【答案】A【解析】通項為令，則，故選：A【點睛】本題主要考查了求指定項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3．【2020·山東省高三一模】某校周五的課程表設(shè)計中，要求安排8節(jié)課(上午4節(jié)?下午4節(jié))，分別安排語文數(shù)學(xué)?英語?物理?化學(xué)?生物?政治?歷史各一節(jié)，其中生物只能安排在第一節(jié)或最后一節(jié)，數(shù)學(xué)和英語在安排時必須相鄰(注：上午的最后一節(jié)與下午的第一節(jié)不記作相鄰)，則周五的課程順序的編排方法共有A．4800種 B．2400種 C．1200種 D．240種【答案】B【解析】分步排列，第一步：因為由題意知生物只能出現(xiàn)在第一節(jié)或最后一節(jié)，所以從第一個位置和最后一個位置選一個位置把生物安排，有種編排方法；第二步因為數(shù)學(xué)和英語在安排時必須相鄰，注意數(shù)學(xué)和英語之間還有一個排列有種編排方法；第三步：剩下的5節(jié)課安排5科課程，有種編排方法．根據(jù)分步計數(shù)原理知共有種編排方法．故選：B．【點睛】本題考查排列和分步乘法原理的應(yīng)用，限制條件優(yōu)先考慮，屬于中檔題.4．【2020·遼寧省高三三模(理)】在展開式中，含的項的系數(shù)是A． B． C．15 D．51【答案】A【解析】因為所以含的項的系數(shù)為.故選：A.5．【2020·天津耀華中學(xué)高三二?！吭谟?,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中,能被5整除的有A．512個 B．192個C．240個 D．108個【答案】D【解析】由于能被5整除的數(shù)，其個位必為0或5，由此分兩類：第一類：個位為0的，有個；第二類：個位為5的，再分兩小類：第1小類：不含0的，有個，第2小類：含0的，有個，從而第二類共有48個；故在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個數(shù)有60+48=108個，故選D．6．【2020·寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三三模(理)】為了加強“精準扶貧”，實現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國夢”，某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加三個貧困縣的調(diào)研工作，每個縣至少去1人，且甲、乙兩人約定去同一個貧困縣，則不同的派遣方案共有A．24 B．36 C．48 D．64【答案】B【解析】當(dāng)按照進行分配時，則有種不同的方案；當(dāng)按照進行分配，則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案，故選：B.【點睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化，還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想，屬于中檔題.7．【2020·河北省河北正中實驗中學(xué)高三其他(理)】“仁義禮智信”為儒家“五?！庇煽鬃犹岢觥叭?、義、禮”,孟子延伸為“仁、義、禮、智”,董仲舒擴充為“仁、義、禮、智、信”.將“仁義禮智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相鄰的概率為A． B． C． D．【答案】A【解析】“仁義禮智信”排成一排,任意排有種排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相鄰的排法有種排法,故概率故選：A【點睛】本題考查排列問題及古典概型，特殊元素優(yōu)先考慮，捆綁插空是常見方法，是基礎(chǔ)題.8．【2020·湖南省長沙一中高三月考(理)】已知(1＋ax)·(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝A．－4 B．－3C．－2 D．－1【答案】D【解析】由題意知：，解得，故選D.【點睛】本小題主要考查二項展開式,二項式定理在高考中主要以小題的形式考查,屬容易題,熟練基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵.9．【2020·福建省連城縣第一中學(xué)高三一模(理)】第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，中國隊以133金64銀42銅位居金牌榜和獎牌榜的首位.運動會期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個運動場地提供服務(wù)，要求每個人都要被派出去提供服務(wù)，且每個場地都要有志愿者服務(wù)，則甲和乙恰好在同一組的概率是A． B． C． D．【答案】A【解析】五人分成四組，先選出兩人組成一組，剩下的人各自成一組，所有可能的分組共有種，甲和乙分在同一組，則其余三人各自成一組，只有一種分法，與場地?zé)o關(guān)，故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選：A.10．【2020·福建省高三月考(理)】已知的展開式中第9項是常數(shù)項，則展開式中的系數(shù)為___________；展開式中系數(shù)的絕對值最大的項的系數(shù)為___________.【答案】【解析】因為，所以當(dāng)時，，則；令，得，所以的系數(shù)為.設(shè)的系數(shù)的絕對值最大，則，解得，因為，，所以，故系數(shù)的絕對值最大的項的系數(shù)為.故答案為：(1)(2)【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，求展開式中的某項的系數(shù)與系數(shù)絕對值最大項等問題，考查了學(xué)生的運算求解能力.11．【2020·浙江省高三其他】有標號分別為1，2，3，4，5，6的6張抗疫宣傳海報，要求排成2行3列，則共有_______種不同的排法，如果再要求每列中前面一張的標號比其后面一張的標號小，則共有_______種不同的排法.【答案】72090【解析】先從標號分別為1，2，3，4，5，6的6張抗疫宣傳海報，選出3張排在第一行，剩余3張排在第二行，則共有種不同的排法，如果再要求每列中前面一張的標號比其后面一張的標號小時，當(dāng)?shù)谝恍惺牵?，2，3時，第二行是4，5，6，則有種不同的排法，當(dāng)?shù)谝恍惺牵?，2，4時，第二行是3，5，6，則有種不同的排法，當(dāng)?shù)谝恍惺牵?，2，5時，第二行是3，4，6，則有種不同的排法，當(dāng)?shù)谝恍惺牵?，3，4時，第二行是2，5，6，則有種不同的排法，當(dāng)?shù)谝恍惺牵?，3，5時，第二行是2，4，6，則有種不同的排法，所以每列中前面一張的標號比其后面一張的標號小時，共有：種不同的排法，故答案為：①720；②90【點睛】本題主要考查排列組合應(yīng)用題以及分類計數(shù)原理，還考查了分類討論的思想和分析求解問題的能力，屬于中檔題.12．【2020·天津耀華中學(xué)高三二?！康恼归_式中x7的系數(shù)為__________.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】展開式通項為，令，得，所以展開式中的系數(shù)為．故答案為．【點睛】①求特定項系數(shù)問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所要求的項．②有理項是字母指數(shù)為整數(shù)的項．解此類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解．13．【2020·山西省太原五中高三其他(理)】二項式的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，且展開式中的第3項的系數(shù)是第4項的系數(shù)的3倍，則的值為________.【答案】8【解析】展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，故，的展開式的通項為：.故，化簡得到.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.14．【2020·廣東省湛江二十一中高三月考(理)】為了積極穩(wěn)妥疫情期間的復(fù)學(xué)工作，市教育局抽調(diào)5名機關(guān)工作人員去某街道3所不同的學(xué)校開展駐點服務(wù)，每個學(xué)校至少去1人，若甲、乙兩人不能去同一所學(xué)校，則不同的分配方法種數(shù)為___________．【答案】114【解析】分四種情況：(1)安排甲去一所學(xué)校共有種方法，安排乙到第二所學(xué)校共有種方法，余下三人去第三所學(xué)校共有種方法，共有種方法.(2)安排甲去一所學(xué)校共有種方法，安排乙到第二所學(xué)校共有種方法，余下的三人中兩人一起去第三所學(xué)校有種方法，另一個人去前兩所學(xué)校中任意一所共有種方法，共有種方法.(3)安排甲去一所學(xué)校共有種方法，安排乙到第二所學(xué)校共有種方法，余下的三人中一人去第三所學(xué)校有種方法，另外兩人一起去前兩所學(xué)校中任意一所共有種方法，共有種方法.(4)安排甲去一所學(xué)校共有種方法，安排乙到第二所學(xué)校共有種方法，余下的三人中一人去第三所學(xué)校有種方法，另外兩人分別去前兩所學(xué)校中任意一所共有種方法，共有種方法.綜上共有種方法.故答案為：【點睛】本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的分類討論的思想，屬于中檔題.15．【2020·黑龍江省哈爾濱三中高三其他(理)】2020年初，我國突發(fā)新冠肺炎疫情.面對突發(fā)災(zāi)難，舉國上下一心，繼解放軍醫(yī)療隊于除夕夜飛抵武漢，各省醫(yī)療隊也陸續(xù)增援，紛紛投身疫情防控與病人救治之中.為分擔(dān)“逆行者”的后顧之憂，某大學(xué)生志愿者團隊開展“愛心輔導(dǎo)”活動，為抗疫前線工作者子女在線輔導(dǎo)功課.現(xiàn)安排甲、乙、丙三名志愿者為某學(xué)生輔導(dǎo)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四門學(xué)科，每名志愿者至少輔導(dǎo)一門學(xué)科，每門學(xué)科由一名志愿者輔導(dǎo)，共有______種輔導(dǎo)方案.【答案】36【解析】根據(jù)題意，要求甲、乙、丙名志愿者每名志愿者至少輔導(dǎo)一門學(xué)科，每門學(xué)科由名志愿者輔導(dǎo)，則必有人輔導(dǎo)門學(xué)科.則有.故答案為：36.【點睛】本題考查了排列組合的應(yīng)用，掌握排列組合公式的計算，屬于基礎(chǔ)題.16．【2020·山東省鄒城市第一中學(xué)高三其他】“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)、緊跟時代脈搏的熱門APP，該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”“視聽學(xué)習(xí)”兩個學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”“每周答題”“專項答題”“挑戰(zhàn)答題”四個答題板塊，某人在學(xué)習(xí)過程中，“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間最多間隔一個答題板塊的學(xué)習(xí)方法有______種.【答案】432【解析】根據(jù)題意學(xué)習(xí)方法有二類：一類是：在“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間間隔一個答題板塊，這樣的學(xué)習(xí)方法數(shù)為：；另一類是：在“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間不間隔一個答題板塊，這樣的學(xué)習(xí)方法數(shù)為：，因此某人在學(xué)習(xí)過程中，“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間最多間隔一個答題板塊的學(xué)習(xí)方法數(shù)為：.故答案為：432.【點睛】本題考查了分類計算原理的應(yīng)用，考查了排列數(shù)與組合數(shù)的計算，考查了數(shù)學(xué)運算能力和數(shù)學(xué)閱讀能力.17．【2020·四川省綿陽南山中學(xué)高三一模(理)】的展開式的第五項為，則展開式的第六項的二項式系數(shù)為_________．【答案】56【解析】：的展開式的通項為，因為的展開式的第五項為，所以且，解得，所以展開式的第六項的二項式系數(shù)為故答案為：56【點睛】此題考查的是求二項式展開式的二項式系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.18．【2020·上海高三二?！吭O(shè)，若，則_