河南省洛陽市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.下列結(jié)論正確的是（）

A.若￡與3都是單位向量，則3=石

B.方向?yàn)槟掀?0。的向量與北偏東60。的向量是共線向量

c.直角坐標(biāo)平面上的x軸，y軸都是向量

D.若々與坂是平行向量，則￡=B

2.三個(gè)平面可將空間分成〃部分，則〃的最大值為（）

A.4B.6C.8D.10

3.若復(fù)數(shù)（笳3al2）i（J4a13）i足純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1或3B.1或2C.1D.2

4.如圖，△0/8'是水平放置的△0/8用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖，則△048的周長(zhǎng)為（）

力5。、

/a3FT

A.12B.6C.5+J13-6&D.5+V13

5.在V48C中，點(diǎn)。是8c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是4。的中點(diǎn)，若EC=xAB+yACt則》一卜=

（）

i

A.1B.-1C.yD.一

2

6.已知O,N,P滿足|與卜|而卜|反NA+NB+NC=0,PAPB=PBPC=P^CPA，

則點(diǎn)O,N,尸依次是丫/2。的（）

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，內(nèi)心

C.外心，重心，垂心D.外心，重心，內(nèi)心

7.在平行六面體481GA中，A1,N分別為棱4。，上的點(diǎn)，且BA/=2"C,

水）

A、N=2NB\,直線彳G與平面DWN的交點(diǎn)。，則兀7的值為()

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

8.在V"C中，角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,%若/=2/一2〃，則當(dāng)tan（力-B）最

大時(shí)，。等于（）

n_7tn?2兀

A.-B.-C.-D.—

6323

二、多選題

9.已知向量￡=（-4,3）,2=（7,1）,下列說法正確的是（）

A.石p+可B.（4+/））_La

C.a?石的夾角為37:rD.向量a在向量B上的投影向量為三]了—

10.在V/I4C中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,。，下列說法正確的是（）

A.“力>8”是“sin4>sin8”的充要條件

B.若，則V/18C為等腰三角形

cosBcosA

C.若a=6,8=10,4=30。，則符合條件的V/l3c有兩個(gè)

D.StanJ+tan+tanC=tanJ-tanZ??tanC,則V45c為銳角三角形

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中力AC。-48c僅，E為線段CG的中點(diǎn)，產(chǎn)為線段4〃上

的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

5C.

小

A

A.過A,R,E三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的面枳為?

B.存在點(diǎn)、F,使得直線曰7//平面力。。

C.當(dāng)尸在線段力出上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐C-力巨口的體枳不變

D.E4+打。的最小最為2&+0

三、填空題

12.已知向量7=(1,-2),6=(-2/),且Z/序，則)，=.

13.已知復(fù)數(shù)4=〃?+(4-eR),z?=2cose+(7+3sin?)i(/l,eGR).若％=Z2，則

4的取值范圍是.

14.已知直三棱柱48C—48c中，乙48c=90。，且CG=2/1C.若三棱柱48C—48?的外

接球的表面積是10兀，則此三棱柱的體積的最大值是.

四、解答題

15.已知復(fù)數(shù)z=l-i,z2=(3-a)+(2-a)i(asR),其中憶|=5,且&在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)在第一象限.

⑴求復(fù)數(shù)均；

⑵若復(fù)數(shù)Z=Z/2，求Z的共規(guī)復(fù)數(shù))

16.已知向量人區(qū)滿足口=3,慟=2&，ab=6-

(1)求向量￡與5的夾角e；

(2)求證：工1百-3到；

(3)求忻-35.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

《河南省洛陽市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期口考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BCDABCDCABCAC

題號(hào)11

答案ACD

1.B

【分析】根據(jù)單位向量、方位角、平行（共線）向量等的定義判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】A：由單位向量只是模長(zhǎng)相等，但方向任意，故￡不一定成立，錯(cuò);

B：如下圖，上北右東，則南偏西60。的向量方，北偏東6（）。的向量而，

顯然它們是方向相反的向量，即為共線向量，對(duì);

C：直角坐標(biāo)系中，》、）軸有方向，但無大小，與向晶的概念不符，錯(cuò)；

D：￡與否是平行向量，也有可能方向相反的情況，故￡=各不一定成立，錯(cuò).

故選：B

2.C

【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)，結(jié)合空間想象畫出劃分空間最多的情況即可得.

【詳解】由于兩個(gè)平面最多將空間分成4個(gè)部分，故三個(gè)平面最多可將空間分成8個(gè)部分,

如下圖示，

3.D

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念有仁:京:，求解即可得.

-3。+2=(q-1)(。-2)=0

【詳解】由題設(shè)可得a=2.

-4t/+3=(?-1)(?-3)工0

故選：D

4.A

【分析】結(jié)合圖形作出△。48,求其各邊長(zhǎng)，即得周長(zhǎng).

【詳解】作出△014,如下圖所示：

由勾股定理可得AB=yj0A2+0B2=>/42+32=5，

故△CM8的周長(zhǎng)為04+08+48=4+3+5=12.

故選：A.

5.B

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可得出的關(guān)于而、正的表達(dá)式，結(jié)合平面向量基本定

理求出x、），的值，即可得解.

【詳解】如下圖所示：

因?yàn)?。為“的中點(diǎn)，所以通4萬+；麗

因?yàn)槠邽?，。的中點(diǎn)，所以荏毛而《加4元,

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

所以反=衣-左=

因?yàn)樵?、旅不共線，且或=*茄+y%，所以x=-；,)’=(,

13

故x-y=

44

故選：B.

6.C

【分析】根據(jù)|萬H礪卜I沅I和外心的性質(zhì)得到。為外心；由重心的性質(zhì)得到N為重心；

利用向量數(shù)最積運(yùn)算法則得到方.5=0,所以P8_L4C,同理可得0/1_L3C,所以P為垂

心

【詳解】依題意，由|萬5卜|麗卜|沅|得，o到丫力8。的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以o為外心;

設(shè)48的中點(diǎn)為。，則由藕+福+近=0得2而=-林，所以N為重心；

由蘇.麗=麗.定得蘇?而一而?正=而?停一正卜萬?B=0,

所以尸〃_L,4C,同理可得a4_L8C,所以?為垂心.

故選：C

7.D

【分析】根據(jù)等體積法得怒=注崢=孑峽，計(jì)算可得乙」《＞=；〃，匕*皿=三/，

yq-MND*C「MND。2/

代入化簡(jiǎn)即可.

【詳解】設(shè)平行六面體的體積為/,

因?yàn)槠叫辛骟w的上下底面平行，所以平面DWN與上下底面的交線互相平行,

設(shè)NE為平面QA/N與上底面的交線，E為與4〃的交點(diǎn)，則NEUMD,

連接QE,4M,力N，GMCM，CQ,C￡,

正如"一r/曰_".4-MND_「NTAID

由等體積法可得75F一?-----~v--------------

K

yCt-MNDC|-A/.VD

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

設(shè)平行六面體的上下底面的距離為d,

=

^N-AMDTS.AMD"=§*5'S^ABCD"=

因?yàn)樵谄叫辛骟wABCD-48CA中，

因?yàn)锳\NHDC,A\EIIMC,NEUDM,

由等角定理可知人4M?,A/)a”各內(nèi)角相等,

所以?AOCM,

所以旭=生=2,=22122

AE-CM=-x-BC=-BC=-A.D.,

MDDC3'333991)

又因?yàn)榭诹譍R各內(nèi)角相等或互補(bǔ),

所以sinN814A=sin/力出口=sinZB]ClDl=sinNCRA、，

所以Zw=/…=1%呻=3}S

NEC,-d,

因?yàn)镾。&B?A=44?4Z)「sinN8|4Dx=SaABCD,

1222

s心E二5x,4與xG4Asm/q4A二萬s.aABCD，

177

SaETG=gX44xA4ASinNB/Z)]=—SoABCD?

Zy1o

S-百乂”加34口="-

所以S：\=SoWD~\S&ANE+S,￡*；+S.c島N)=萬aABCD，

所以匕”=/，

}_y

即9=V=2

1oqio.

27

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

故選：D.

8.C

【分析】由余弦定理及已知得4/)cos/l=c,應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換有

3sin8cos4=sin4cos8,講而有tan力=3tan8,即48均為鎖角，最后應(yīng)用差角正切公式、

基本不等式求tan(4-8)最大值，并確定取值條件即可得.

【詳解】由/+c?-2/)ccos/，而聯(lián)立并整理得4人cos4=c,

2

所以4sinBcosJ=sinC=sin(力+〃)=sin/cosB+cos力sin5,

所以3sin8cos4=sin/cosB,則tan4=3tan8,顯然48均為銳角,

/,小tanJ-tan52tanB2,2V5

所以')1+tanJtan^l+3tan-^口,1"H3，

3tan8+~~-2J3tanZ?------

7tan4Vtan4

當(dāng)且僅當(dāng)tan4=乎，tan4=百時(shí)取等號(hào)，故4=此時(shí)C=]

故選：C

9.ABC

【分析】對(duì)于A,先計(jì)算：一書和〉+B的坐標(biāo)，再分別是計(jì)算它們的模進(jìn)行判斷，對(duì)于B,

計(jì)算伍+斗￡進(jìn)行判斷，對(duì)于C,利用向量的夾角公式分析判斷，對(duì)于D,利用投影向量的

定義計(jì)算判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤?(-4,3),力=(7,1),所以5-5=(-11,2),2+5=(3,4),

所以它斗必薩Q=5司+斗#+47=5,

所以可=b/+可，所以A正確,

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

rrrrrr

對(duì)于B,因?yàn)椤?(—4,3),￡+5=(3,4),所以(a+力"=—12+12=0,所以(a+b)”所以B

正確，

——/—r\ci9b—28+3^2

對(duì)于C,因?yàn)閍=(T3)-=(71)，所以8S"六麗==^=萬,

因?yàn)镚&e[0,句,所以所以C正確,

a9bb-28+3717

對(duì)于D,向量￡在向量族上的投影向量為下「眄二下訂"二一5〃，所以D錯(cuò)誤.

故選：ABC

10.AC

【分析】對(duì)?于A,根據(jù)充要條件的定義結(jié)合正弦定理分析判斷，對(duì)于B,利用余弦定理統(tǒng)一

成邊的形式，然后化簡(jiǎn)進(jìn)行判斷，對(duì)于C,根據(jù)已知條件計(jì)算。到的距離，再與比

較判斷即可，對(duì)于D,利用兩角和的正切公式分析判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)1>8時(shí)，有a>b,由正弦定理得sin/>sin4,

當(dāng)sin力>sin4時(shí)，由正弦定理得a>b,則力>4,

所以F>8”是“sinA>sin5”的充要條件,故A正確;

對(duì)于B,由a=——,得4cos/=bcosB,由余弦定理得“?生士———=/)?^―^———?

cosBcosA2bclac

BPa\b2+c2-a2)=b\a2+c3-b2),也即/(/_〃)_(/+〃)(/一〃)=0,

整理得(a2-b2)(。2+〃_/)=0,故得/_〃=o或/+〃_=o,

即a=6或/+從=°2,所以V/8C為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,過C作。。垂直于所在的直線于點(diǎn)。，則CD=4Csin力=10xg=5,

因?yàn)?<。=6<力=10,所以符合條件的V/18c有兩個(gè)，放C正確；

對(duì)于D,因?yàn)閠an+tan5+tanC=tanA-tanBtanC,

所以46,C均不等于90°,且tan4+tanB=tanJ-tan5-tanC-tanC,

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

則得tan/+tan8=-tanC(1—tan4tan4),因1一tan4?tan8w0,故得

tanA+tanB-

------------=-tanC,

1-tanJ-tanB

所以tan(/l+5)=-tanC=tan(n-C),

因4+8e(0,7T),TT-Ce(0,7c),則月+8=it-C,即4+5+。=兀，

所以V48。為任意斜三角形，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.ACD

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判定可

①@③確定ABC的正誤，利用展開法和點(diǎn)距離的三角不等式，結(jié)合余弦定理計(jì)算可求得

/X+RT的最小值，進(jìn)而判定D.

???正方體的對(duì)面互相平行,

???過三點(diǎn)的平面截正方體力4。。-44GA的對(duì)面ADD^BCC}B}所得截線互相平

行，

又???E為線段CC,的中點(diǎn)，???截面交AC于其中點(diǎn)G,

連接/G,GE,EA，A4則四邊形力"EG即為所求截面，顯然為等腰梯形,

且叫=2&EG=y/i,AG=D\E==亞,

梯形的高力二』/G2-'AD「EG、

<2)

面積為二竺史度，

s=(4R+EG)h!=2故A正確;

F-2-3

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

如圖所示，設(shè)，為。A的中點(diǎn)，

因?yàn)?3〃。。，44a平面/qc,qCu平面力。0,

所以48〃平面NRC,

假設(shè)直線）//平面傍c,

又因?yàn)榱?c/?"=",力因/"（-平面力/外，

所以平面48￡〃平面力?！?

又因?yàn)锽Eu平面4BE,所以8E〃平面/RC,

因?yàn)椤?，石分別為正方形DD￡C的邊。僅,CG的中點(diǎn)、，所以HE//DC：HE=DC,

又因?yàn)镈C//AB,DC=AB,

所以HE"AB,HE=AB,

所以四邊形印弦力是平行四邊形，所以BE//AH,

而直線AH與平面AD.C相交，所以直線BE與平面AD.C相交，

這與8￡//平面4）。矛盾，故假設(shè)直線E尸”平面力。。不成立，故B錯(cuò)誤.

?:A\BMD\C,ACu平面4。。，4/不在平面力。。鹵，

.??44〃平面4AC,

又???產(chǎn)???尸到平面4O/C的距離為定值,又???“?！愕拿娣e為定值,

???當(dāng)/在線段力田上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變，故C正確：

將等腰直角三角形448展開到與矩形A.D.CB在同一平面內(nèi),

FA+FC>AC=.122+22-2x2x2x--=2也+力,

<2>

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

當(dāng)4共線時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：ACD.

12.4

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量共線的坐標(biāo)表不計(jì)算作答.

【詳解】向量1=(1,-2),b=(-2,y),因力方，則有k(-2)?(-2)=0,解得k4,

所以y=4.

故答案為：4

13R71

[16'J

【分析】由雙數(shù)相等列出方程，得到義的表達(dá)式，結(jié)合換元法，由二次函數(shù)的值域，即可得

到結(jié)果.

m=2cos0

【詳解】由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等可得)

4一〃/=A+3sin0

即4-(2cos0)~=4+3sind,

化簡(jiǎn)可得幺=4sin。0-3sinO=4sin<9—^1-,其中sin8e[—1.1].

39

當(dāng)Sin0=6時(shí)，7取得最小值，A=--,

o16min

當(dāng)sin”-l時(shí)，義取得最大值，4a=7,

-9'

所以之的取值范圍是.

Io

「9

故答案為：一二7

1O

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

14.72

【分析】根據(jù)直棱柱的結(jié)構(gòu)特征及已知確定球心的位置和半徑長(zhǎng)度，利用球體半徑與相關(guān)線

段的幾何關(guān)系求得4C=&,CG=2x/i,再應(yīng)用基本不等式、棱柱體枳公式求體積最大值.

【詳解】直三棱柱44G中，48c=90。，則外接球的球心在/IC,4G中點(diǎn)的連線上，

如下圖，分別為力C4G中點(diǎn)，o為E產(chǎn)中點(diǎn),則o為棱柱外接球球心，

又則。后=；?\=/。=24￡',外接球的表面積是1（）兀，

若外接球半徑為，,，則4兀產(chǎn)=10冗，可得

所以4E?+。爐=/=2,則5/1=』n=,故AC=五,3、=26,

222

由4B、BC2=AC2=2N24B?4C，即力氏/CKl,當(dāng)且僅當(dāng)力5=力。時(shí)取等號(hào)，

所以此三棱柱的體積的最大值曦x=CGxg4R8C=2x/5xgxlxl=/.

故答案為：V2

15.（l）z2=4+3i

⑵7+i

3-a>0

【分析】（1）根據(jù)題意可得2-。>0,從而可求出。的值，進(jìn)而可求出復(fù)數(shù)Z?；

（3-娟+（2-力=25

（2）先計(jì)算求復(fù)數(shù)z,再求其共加復(fù)數(shù)即可.

3-（7>0

【詳解】（1）依題意得?2-a>0,解得。=-1,

（3-?）2+（2-a）2=25

所以電=4+3i.

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

（2）因?yàn)?=1-i,z2=4+3i,

所以Z=ZR2=（l-i）（4+3i）=4+3i-4i-3r=7-i,

所以z=7+i.

16.⑴

（2）證明見解析

（3）6

【分析】（1）由向量夾角的公式計(jì)算可得；

（2）由數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合向量垂直的條件可得；

（3）由數(shù)量積的運(yùn)算律給合模長(zhǎng)的計(jì)算可得.

ncrb6&

【詳解】C）由于8‘心麗=訪=亍.

且owew兀，所以e=￡.

4

（2）Va-^2a-3b^=2a-3〃彳=2x3?-3x6=0,

/.Q_1_（2〃-3否）.

（3）所3可="213盯=扁—伉二+獷

=V4X32-12X6+9X8=6.

17.（1）證明見解析

⑵存在，證明見解析

【分析】（1）先證明。P〃DC,再利用線面平行的判定定理證0P〃平面力8c。，再利用線面

平行的性質(zhì)定理證明0尸〃相；

（2）取尸為QC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，證明平面力/?！ㄆ矫?8c即可.

【詳解】（1）因而=2所，DQ=2Qd,

則P為線段CO靠近點(diǎn)O的三等分點(diǎn)，。為線段靠近點(diǎn)O的三等分點(diǎn)，

則QPHDC,

又。。二平面/4CO,。。＜=平面力8。。，則0P〃平面49。。，

又因44/,。四點(diǎn)共面，則QPu平面48P。，平面44Poe平面力舐刀=4

則。尸"48,貝iJ/A〃C。，

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

又CD=3AB,所以底面18c。為梯形.

（2）存在，尸為。。上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，證明如下：

連接產(chǎn)。，F(xiàn)A,因尸為DC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，則CQ=3W,

因48//C。且則力8〃/C且力8=改，

所以四邊形MC/為平行四邊形，則8C%產(chǎn)，

因力”。平面O8C,8Cu平面OBC,則力產(chǎn)〃平面O8C,

因。尸〃0C,。尸的平面OBC,OCu平面O9C,則。尸〃平面08C,

又4FIQF=F,4歹u平面力世，0Fu平面4股，則平面力尸?！ㄆ矫?4。,

因上為力。上的動(dòng)點(diǎn)，則E〃u平面4F。，則跖〃平面。8c.

（2）721+76.

【分析】（1）正弦邊角關(guān)系有2sinCcosb+sinA-2sin,4,結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)、三角恒

等變換化簡(jiǎn)得sinB（2cosC-l）=0,即可求解；

（2）由題意2而二百+赤，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律、定義得16=/+力2+必，由余弦定

理得6=/+力2_帥，進(jìn)而可得。+/,=后，即可得周長(zhǎng).

【詳解】（1）V2ccosB+b=2a,由正弦定理得2sinCcos8+sin8=2sin4,

即2sinCcosZ^+sinB=2sinA=2sin（8+C）=2sinAcosC+2cos3sinC,

/.sinB（2cosC-1）=0,又sinAwO,所以cosC=g,從而C=g.

（2）???。為4?的中點(diǎn)，，2麗=0+而，兩邊平方可得4前2=（2+赤丫，

即16=/+/+2。6cosc=/+從①，

在VX8C中，由余弦定理得c2=6=q2+〃—2a〃cosC=a2+〃一〃四，

由①②可得，/+/=]1.心=5,所以（4+8）2=21,即〃+。=無1.

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

所以V/8C的周長(zhǎng)為a+〃+c=&T+#.

19.⑴247r

（3）6

【分析】（1）先求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐的表面積公式求解即可；

（2）當(dāng)球?的表面積最小時(shí)，作出其軸截面，利用勾股定理求出球a的半徑，再根據(jù)球的

表面積公式即可得解；

（3）正方體的外接球在圓錐內(nèi)，旦與圓錐相切時(shí)x最大，利用相似三角形求出正方體外接

球的半徑，即可得解.

【詳解】（1）因?yàn)椋?3,力=4所以母線長(zhǎng)/=5,

圓錐的底面圓面積為?=兀X32=9兀，

圓錐的側(cè)面面積為$2=71x3x5=1571,

則圓錐的表面積為S=5+'=24立；

（2）當(dāng)球?的表面積最小