河北省雄安新區(qū)雄安十校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.若兔數(shù)z=-2+3i,則復(fù)數(shù)5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.樣本數(shù)據(jù)3,6,9,845的中位數(shù)為（）

A.5.5B.6C.6.5D.7

3.若sin(5兀=,則sina=()

A,也_V2D⑺

C.

3333

3

4.己知事件A,。互斥，P（AB）=《，且P(A)=3P(8),則尸（彳）=（）

179、3

A.—cB.—11C.D.——

20202020

5.已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2,4,體積為28,則該正四棱臺(tái)的側(cè)棱長為（）

A.x/7B.V10C.VilD.V13

6.已知X,y,z的平均數(shù)與方差均為3,則V，r,z2的平均數(shù)為（）

A.9B.12C.15D.20

7.已知圓。為VA8c■的外接圓，且A4+AC'=2AO，/AO笈=g,AO=2t則朋-8C=（）

J

A.1B.2C.2>/3D.4

8.已知V4BC的內(nèi)角A8,C,的對邊分別為。，人，c,內(nèi)角A的平分線AO交AC邊于點(diǎn)。.若5=2,

（b-c+a）（b+c-a）=bc,則8D=（）

A.立B.逆C.2D.-

373

一、多選題

9.某AI機(jī)器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率為5.若它連續(xù)嘗試投送兩次，則（）

A.事件“兩次都成功投放”與“恰好成功一次”是互斥事件

B.事件“兩次都未成功投放”與“至少成功一次”是對立事件

C.事件“第一次成功投放”與“兩次都成功投放”相互獨(dú)立

33

D.該機(jī)器人至少成功投放一次的概率為七

10.函數(shù)/(x)=Asin(3T+0)(A＞(),口＞0,＜兀)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，且函數(shù)/(力過

點(diǎn)(0,6),則()

A.3=1B.0=]

C./(X)在區(qū)間[小,爭上單調(diào)遞增D.小-外為奇函數(shù)

ININ\/

11.如圖，正方體ABC。-A片GA的棱長為2,點(diǎn)P在線段8。上運(yùn)動(dòng)，則()

A.三棱錐尸-44。的體積為定值

B.AD.與平面P&D所成角的正弦值隨著點(diǎn)P從反移動(dòng)到C越來越大

C.G0+4。的最小值為遍+夜

D.當(dāng)點(diǎn)?為&C的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)〃作正方體外接球的截面，所得截面面積的最小值為2兀

三、填空題

12.已知向量d=(m,3),力=(-1⑵,若〃18，則加=.

13.己知復(fù)數(shù)z=/L,則忖=.

14.已知正三棱錐的底面邊長為36,側(cè)棱長26,則該三棱錐的外接球的表面積為.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=6sin2x-'cos2x-cos2x+—.

⑴求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求函數(shù)/。)在區(qū)間?當(dāng)上的值域.

16.某學(xué)校為保障校園科創(chuàng)社團(tuán)成員以良好身體素質(zhì)開展創(chuàng)新實(shí)踐，對“航模社''和“建模社''進(jìn)行專項(xiàng)體能訓(xùn)

練.學(xué)期末，從兩個(gè)社團(tuán)各隨機(jī)抽取10()人進(jìn)行“障礙跑''成績測試(成績單位：秒)，依據(jù)測試結(jié)果得到如下

頻率分布直方圖.

(1)分別計(jì)算航模社測試的平均成績、建模社測試成績的72%分位數(shù)(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似

代替)；

(2)若測試成績在7()秒以內(nèi)(含7。秒)為“體能合格”，從兩社團(tuán)“體能合格”成員中按分層隨機(jī)抽樣選5人

分享“科創(chuàng)+體能”訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，再從這5人中選2人擔(dān)任經(jīng)驗(yàn)分享會(huì)主持人，求2人都來自“建模社”的概率.

17.如圖，在圓錐PO中,A4為底面圓。的直徑,C,。為圓。上不與重合的點(diǎn)，且PO=A8=2,60=6,

AB1CD.

(I)求證：6。1平面POC:

(2)求異面直線AD與BP所成角的余弦值.

cosAcosCc1+b--a~

18.已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c.若

cosA~2^-

(1)判斷VA8C的形狀，并說明理由；

(2)若VA3C是斜三角形，。是AC的中點(diǎn)，且8。=6,BC=4,求sinC.

19.如圖，在四棱錐夕一A4c。中，底面四邊形A8CO為菱形，/BAD=60。，AC與/3Q交于點(diǎn)0,POJ_平

題號12345678910

答案CABBCBDAABDBC

題號11

答案ACD

1.c

由共扼復(fù)數(shù)的概念及嵬數(shù)的幾何意義可解.

【洋解】z=-2+3i,則乞=-2-3i,

所以復(fù)數(shù)5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(-2,-3),位于第三象限.

故選:C.

2.A

將給定數(shù)據(jù)由小到大排列，利用中位數(shù)的定義求解.

【詳解】樣本數(shù)據(jù)由小到大排列為3,4,5,6,8,9,共5個(gè)數(shù)，

所以所求中位數(shù)是竽=5.5.

故選：A

3.B

利用誘導(dǎo)公式化簡即可.

【詳解】因?yàn)閟in(5兀-a)=sin(4n一兀一a)=sin(兀一a)=sina,

所以sina=,

3

故選:B.

4.B

利用互斥事件的加法公式，結(jié)合已知及對立事件的概率公式求解.

33

【詳解】由事件A,8互斥，=g得P(A)+P(B)=1,而P(A)=3P(B),

JJ

9-11

聯(lián)立解得P(A)=三，故P(A)=1-P(A)=7.

故選：B

5.C

由棱臺(tái)體枳公式求出棱臺(tái)的高，再利用正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求出側(cè)棱長.

【詳解】在正四棱臺(tái)中，作人EJ■人C于E,貝!4了即為棱臺(tái)的高,

由棱臺(tái)的體積為28,得V=；(2*42+JFT不)-AE=28,解得AE=3,

在等腰梯形ACGA中，例=卡與還71y=而，

所以該正四棱臺(tái)的側(cè)棱長為4T.

故選：C

6.B

1W、

由方差公式一=--欣2,代入即可求解.

(n

【詳解】s2=：-/ix2)=；(3+)/+z2-3x32)=i(x2+y2+z2)-9=3,

\i=\

所以;(Y+y2+z2)=12,即Y，/,z?的平均數(shù)為12.

故選：B.

7.D

由題可知VA4C為直角三角形，然后結(jié)合直角三角形和數(shù)量積的定義即可得到/弘.4。.

【詳解】?'AB+AC=2AO^，O為BC中點(diǎn),則AB/AC,BC=2AO=4,

B

又408='，所以ZAC8=￡,ZABC=-,AB=BCcosZABC=4cos-=2,

3633

所以BABC=BABdcosZABC=2x4x'=4.

2

故選：D.

8.A

先利用余弦定理求出角A,再結(jié)合角平分線定理求解即可.

【詳解】因?yàn)?〃+。+。)(〃+。-。)=火，

所以從

+2/?C+C2-/=Z?C,

即+c2-a2=-be?

〃+C2_Q2

由余弦定理得:cos4=

2bc2

又0＜人＜兀，所以A=與，

在VA8C中，因?yàn)?。為角A的平分線，b=2,c=l,

由角平分線定理得：黑=條44

設(shè)8/)=x,則CO=2x,BC=8O+OC=3x=a,

由余弦定理：cosA-

2bc

即」_22+\2-a2

解得：。=幣，

22x2x1

所以b=3xnx=立，即4。=①,

33

故選:A.

9.ABD

利用互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷ABC；利用對立事件的概率公式求出概率判斷D.

【詳解】對于A,“兩次都成功投放”與“恰好成功一次”不可能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事件，A正確；

對于B,“兩次都未成功投放”與“至少成功一次”不可能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，它們是對立事件，B

正確；

對于C,設(shè)“第一次成功投放”為事件A,“兩次都成功投放”為事件3,P(A)=；3,P(3)=3，3；=9《，

77749

9

P(AB)=—^P(A)P(B),兩個(gè)事件相互不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；

49

對于D,“至少成功一次”的對立事件是“兩次都未成功投放”，“兩次都未成功”的概率為(1-尹哈，

所以“至少成功一次”的概率為1-2=己D正確.

4949

故選：ABD

10.BC

根據(jù)圖象和已知條件求出4包。得出函數(shù)解析式，然后逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】由圖象可知：《==—三=[,所以7=71,

212122

由T=生=兀=(0=2,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤：

(0

由圖象可知:

所以手+°=E(AeZ),

解錚-27-T

-3

又()<8<兀，所以e=故B選項(xiàng)正確；

因?yàn)楹瘮?shù)人力過點(diǎn)(0,6),所以Asi吟=OnA=2,

所以函數(shù)/(%)=2sin(2x+g),

157c7TLLIvI兀4c717L

由一所以一《二，

1212232

7T兀

又y=sinf在上單調(diào)遞增.

故”力在區(qū)間[專61上單調(diào)遞增，

故C選項(xiàng)正確；

因?yàn)?(x)=2sin(2x+1),

所以/卜一三=2sin2(x-^

令g(x)=2sin

由g(x)的定義域?yàn)镽關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱

(II是g(T)=2sin(-2工一三)=一2sin(2x+三)w—g(x),

所以g(力不是奇函數(shù)，即函數(shù)/卜-冷)不是奇函數(shù)，

故D選項(xiàng)不正確.

故選：BC.

11.ACD

證得用?！ㄆ矫姘?八并結(jié)合錐體體積判斷A；證得人QL平面PAQ判斷B；利用兩點(diǎn)間線段最短判斷C；

求出最小截面圓半徑判斷D.

【詳解】對于A,在正方體A8C0—A4CQ|中，-48。的面積為定值，而與C/M.O,

AQu平面4乃。，qc<z平面48。，則用。//平面A8。，即點(diǎn)2到平面48。的距離為定值,

因此三棱錐P-AB。的體積為定值，A正確;

對干B,由CD_L平面AOA4,42U平面AO〃A，得CQ_LA。，而AO_LA。，

A。CO=Q，A2CDU平面PAD,則AQ_L平面PAQ,即A。與平面PAQ所成角為］B錯(cuò)誤;

對于C,將正△A8C與等腰Rt4GC置于同一平面，連接ACJ8C=E,

顯然4G垂直平分&C,AP+C/W4G=AE+EG=2夜?#+忘=#+&,C正確：

對干D,正方體的外接球的半徑K=g,當(dāng)點(diǎn)。為8c中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn),，為截面圓心的截面面積最小,

又正方體的中心（即外接球球心）到點(diǎn)P的距離為1,因此截面圓半徑最小為HT=&,

所以截面面積的最小值為2兀，D正確.

故選：ACD

12.6

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】7。，〃，4/=一〃?+6=0，解得〃?=6.

故答案為：6.

13.加

利用復(fù)數(shù)的除法化簡要:數(shù)Z,利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得忖的值.

【詳解】2=言=而需2=l+2i,WiJ|z|=#727=V5.

2+I（2+i）（2-i）11

故答案為：x/5.

14.48兀

根據(jù)給定條件，確定外接球球心位置，利用球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑即可.

【詳解】在正三棱錐P-A8C中，正V相。的邊長為3石，取線段A3的中點(diǎn)。，連接

則PO1A氏CDJ.A8,CD=>4Csin60o=1,設(shè)點(diǎn)P在底面A8c的射影為點(diǎn)0,

?._________

則。為正VA6c的中心，OC=^CD=3t則PO3c2—0。2=5

設(shè)正三棱錐夕-ABC的外接球球心為〃，則”在直線P。上，設(shè)球”的半徑為R,

則?！?|石-R|,由勾股定理得?！?+0。2=?！?,即（G_R）、9=R2,解得尺=26，

所以該正三棱錐的外接球的表面積為4兀斤=48小

故答案為:48兀

15.+—

63

⑵[-瓜2]

（1）由三角恒等變換得/a）=2sin（2xj）再整體代換求解即可:

（2）整體代換求解函數(shù)的值域即可.

【詳解】（1）/（x）=V3sin2x--cos2x-cos2x+-

22

=\/3sin2x--cos2x-"c°s2"+￡

222

=V3sin2x-cos2x

1

2——sm29x——cos29x

22

即kn--<x</ai+—,(kGZ),

63

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：［E—J,E+V］（keZ）.

63

（2）因?yàn)?4x4與，所以一?424-?《空，

4663

所以中唱e

所以2sin

所以函數(shù)/⑴在區(qū)間［。苧上的值域?yàn)樾∈?

16.(1)73；75

嗚

（1）根據(jù)頻率分布直方圖面積為1,可求得然后利用頻率分布直方圖平均值及百分位數(shù)的求法求解即

可;

（2）根據(jù)分層隨機(jī)抽樣可知從航模社抽取2人，建模社抽取3人，再利用列舉法求解古典概型的概率即可.

【詳解】(1)根據(jù)題意，(0.016+0.0244-0.032+a+0.008)x10=1,解得〃=0.020,

(0JJ02+0.058+0.024+b+0.006)x10=1,解得〃=0.010,

則航模社測試的平均成績滅=0.16x55+0.24x65+0.32x75+0.20x85+0.08x95=73,

設(shè)建模社測試成績的72%分位數(shù)為工，又［50,60）的頻率為。02.

[6(X70)的頻率為0.58,[70,80)的頻率為0.24,

其中0.02+0.58=0.6<0.7,0.02+0.58+0.24=0.84>0.7,

所以x在［70,80）之間,

則(工一70)x0.024=0.72-0.02-0.58=0.12,解得、=%,

所以建模社測試成績的72%分位數(shù)為75.

（2）根據(jù)題意，航模社“體能合格”的人數(shù)為（0」6+0.24）X100=40人,

建模社“體能合格”的人數(shù)為（0.02+0.58）x100=60人，

故航模社"體能合格''與建模社"體能合格”的人數(shù)之比為40:60=2:3,

則按分層隨機(jī)抽樣從航模社抽取2人，分別為（44）,建模社抽取3人，分別為（片，用,用）,

再從這5人中選2人擔(dān)任經(jīng)驗(yàn)分享會(huì)主持人共有：

（&&）,（4月）,（4里）,（4，名）,（4遍），

（4，6）,（怎倏）,（綜與）,（穌⑷,（火斗），共io種選擇，

其中2人都來自“建模社”有（印8）（印8）（%即3種選擇，

2人都來自“建模社”的概率為2.

17.（1）證明見解析；

喈

（1）根據(jù)給定條件，證得為正三角形，再結(jié)合圓錐的結(jié)構(gòu)特征，利用線面垂直的性質(zhì)判定推理得證.

（2）取P。的中點(diǎn)E,利用幾何法求出異面直線夾角的余弦.

【詳解】（1）連接8C,延長C。交8。于點(diǎn)尸，由A3為底面圓。的直徑，得AOJL8D，

由AB=2,BO=x/J,得人。=1,NA3O=3（）,NZMQ=60,

又A8J_C。，則AB平分CO,ZCTD=2Z4B/9=60，

又BD=BC,則△8CO為正三角形，。是其中心，

于是小是8。中點(diǎn)，CFLBD,

而POJ?平面ACO,4/）u平面8c。，則POJ_3O,

又CF[PO=O,CRPOu平面POC,所以BO上平面QOC.

（2）由（1）知，尸是3。中點(diǎn)，取尸。的中點(diǎn)E,連接。5E/,則E尸〃尸8。尸//AZ）,

NEFO是異面直線A。與8P所成的角或其補(bǔ)角，PD=PB=\jPCP+OB'=舊，

OE=-PD=—,EF=-PB=—,OF=-AD=-,cosZEFO=^―=^=-^,

222222EF151。

2

所以異面直線A。與笈。所成角的余弦值為逝.

10

18.(1)等腰三角形或直角三角形，理由見解析

⑵通

14

(1)由余弦定理，正弦定理和三角恒等變換得到cosAsin(8-C)=0,所以A=］或8=C,故VA8c為等

腰三角形或直角三角形；

(2)在(1)基礎(chǔ)上，得至lj8=C,BPAB=AC,設(shè)CO=x,由題意可得A8=AC=2工，在VA8C和△8CO

中，分別使用余弦定理，從而得到方程，求出a=2近，所以cosC=4Z,利用同角二角函數(shù)美系求出

14

.「3后

sinC=----?

14

【詳解】(1)由余弦定理得c?+后—/=27McosA,

,cosAcosC_2儀?cosA_ccosA

7cosB2b~一"h，

即bcosAcosC=ccosAcosB,由王弦定理得sin8cosAcosC=sinCeosAcosB,

即cosA(sin3cosc-sinCeos3)=0,HpcosAsin(^-C)=0,

所以cos4=0或sin(8-C)=0,所以人=］或4=C,

所以VABC為等腰三角形或直角三角形；

(2)因?yàn)閂A8C是斜三角形，由(1)知8=C,即A8=AC,

設(shè)CO=x,由題意可得A8=AC=2M,

A

A

1_16+4/-4丁_1

在VA8C中，由余弦定理可得cosC=C"'E一."

2CBCA2x4x2x-x

由△8CO中，由余弦定理可得cosC=+8U-=16+二-36=三二型,

2BCCC2x4xx8x

所以_!_=：｝...-,解得％=26，負(fù)值舍去，所以cosC=，7,

x8x14

又0vCv7i,可得sinC=71-cos2C=.

14

19.(1)2；

⑵半