專題2.7函數(shù)的周期性與對稱性重難點題型精講

”功兄啟君

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1.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)7；使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有了(X

+7)=/(x),那么就稱函數(shù))，=/(x)為周期函數(shù)，稱7為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)/(#的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做/(A)

的最小正周期.

2.函數(shù)圖象的對稱性

(1)圖象關(guān)于點成中心對稱圖形：函數(shù))-/&)的圖象關(guān)于點P(a,。)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)

}i(x)=J(x+a)b為奇函數(shù).

(2)圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形：函數(shù))q3的圖象關(guān)于直線x=?成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)

g(xj="￥+a)為偶函數(shù).

??辛一更三

【題型1函數(shù)的周期性及應(yīng)用】

根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，函數(shù)的周期性具有

將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能，在解決具體問題時要注意結(jié)論，若r是函數(shù)的周期，則上ra

wz且際o)也是函數(shù)的周期.

[例I](2021秋?宿州期末)已知函數(shù)/(x)=COS7U?，則下列正確的是()

A.f(A)是周期為1的奇函數(shù)

B.f(x)是周期為2的偶函數(shù)

C./(x)是周期為1的非奇非偶函數(shù)

D./(x)是周期為2的非奇非偶函數(shù)

【解題思路】本題根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義法進行判斷即可，再根據(jù)余弦函數(shù)的周期性公式丁需進行計

算即可得到正確選項.

【解答過程】解：由題意，可知

函數(shù)/(x)的定義域為R,定義域關(guān)于原點對稱，

f(-A)=COSH(-A)=COSIU=/(A)，

故函數(shù)/（x）是偶函數(shù)；

.?T27r_27r）

*-o）~n一

.V（X）是周期為2的偶函數(shù).

故選:B.

【變式II】（2022春?船山區(qū)校級期中）函數(shù)/（幻=貪小》一義是（）

A.周期為TT的偶函數(shù)B.周期為7T的奇函數(shù)

C.周期為2n的偶函數(shù)D.周期為2n的奇函數(shù)

【解題思路】由二倍角公式將函數(shù)化簡，由余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解周期及奇偶性.

（解答過程］解：因為函數(shù)f（%）=sin2x-1=l-c；s2x-i=-icos2r,

所以且/（x）為偶函數(shù).

故選：A.

【變式12】（2022春?云巖區(qū)校級期中）下列函數(shù)中，周期為IT的奇函數(shù)是（）

A.y=sinxB.y=sin2vC.y=lan2xD.y=cos2x

【解題思路】利用三角函數(shù)的奇偶性與周期性判斷即可.

【解答過程】解：..j，=sinx的周期7=2n,產(chǎn)tanZr的周期7=當(dāng)可排除4,C；

又「cos（-x）=cosx,，y=co注為偶函數(shù)，可排除。；

y=sin2_r的周期r=Tr,sin（-Zv）=-sinZv,.??y=sin2_r為奇函數(shù)，/.B正確；

故選:B.

【變式13】（2021秋?五華區(qū)校級月考）下列四個函數(shù)中，以口為最小正周期，且在區(qū)間（泉TT）上為減

函數(shù)的是（）

X

A.j=|siruiB.y=sin2vC.y=2|cosx|D.y=cos-

2

【解題思路】分析每個選項中函數(shù)的周期性和單調(diào)性，利用排除法解題.

【解答過程】解：對于A，函數(shù)以7T為最小正周期，且在區(qū)間（泉7T）上為減函數(shù)，符合題意；

對于從以n為最小正周期，且在區(qū)間（泉江）先減后增，不合題意；

對于C，函數(shù)在I］，ir）上單調(diào)遞增，不合題意；

對于。，函數(shù)的周期是4m不合題意;

故選:A.

【題型2函數(shù)的對稱性】

⑴定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；

⑵利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在另一對稱區(qū)間上的圖象，確定函數(shù)在另一區(qū)間上的解析式，解決某些求

值或參數(shù)問題；

⑶由函數(shù)奇偶性延伸可得到一些對稱性結(jié)論，如函數(shù)/(X+G)為偶函數(shù)(奇函數(shù))，則y=/(x)的圖象關(guān)于直線

x=a對稱(關(guān)于點(a,0)對稱).

【例2】(2022?福州模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(2-x)=2-/(x),若八x)的圖象關(guān)于直

線x=3對稱，則下列選項中一定成立的是()

A./(-3)=1B./(())=0C./(3)=2D./(5)=-1

【解題思路】由/(2-x)=2-/(x),可令x=l,x=-3,再由/(x)的圖象關(guān)于直線工=3對稱，可

得/(5)=/(1),求得/(-3),可得結(jié)論.

【解答過程】解:定義在R上的函數(shù)/G)滿足f(2?x)=2-f(x),若于(x)的圖象關(guān)于直線x=3

對稱，

可得/(I)=2-/(1),即/(I)=1,

又/(5)+/<-3)=2，且/(5)=/(1)=1,

所以/(-3)=2-/(5)=2-1=1,

故選:A.

【變式21】(2022春?惠州月考)定義在R上的函數(shù)/(工)滿足/(4-/)4/(x)=2.若/CO的圖象關(guān)

于直線工=4對稱，則下列選項中一定成立的是()

A./(-2)=1B./(0)=0C./(4)=2D./(6)=-1

【解題思路】根據(jù)/(4?x)V(x)=2,令x=2,可求得了(2),再根據(jù)函數(shù)的對稱性可得/(6)及/

(4+x)+fCx)=2,再令x=-2,可求得/(-2),即可得出答案.

【解答過程】解：因為函數(shù)/(/)滿足/(4-x)V(A)=2,

所以f(4-2)+f(2)=2f(2)=2,所以/(2)=1,

又/(x)的圖象關(guān)于直線x=4對稱，

所以/(6)=/(2)=1,且/(4-x)=/(4+x),

則/(4+x)+f(x)=2,

所以/(4?2)?2)=2,

所以/(?2)=1,

無法求出/(()),/(4).

故選：A.

【變式22】(2022?遼寧三模)函數(shù))，=/(2A-1)是R上的奇函數(shù)，函數(shù))，=/(外圖像與函數(shù)y=g(x)

關(guān)于y=?x對稱，則g(x)+?(?4)=()

A.0B.-1C.2D.1

【解題思路】利用函數(shù)的性質(zhì)，對稱性，即可解出.

【解答過程】解：函數(shù))，=/(〃-1)是R上的奇函數(shù)，

:J(-1)=0,

即/(x)關(guān)于(-1,0)對稱，

又函數(shù)y=/(x)圖像與函數(shù)y=g(x)關(guān)于)，=-x對稱，

：.g(x)的圖像關(guān)于(0,1)對稱，

(A)+g(-X)=2>

故選：C.

【變式23】(2022?遼寧模擬)已知函數(shù)y=f(2vM)的圖象關(guān)于直線％=I對稱，函數(shù)y=/(x+l)關(guān)于點

(1,0)對稱，則下列說法正確的是()

A./(I)=0B./(I-x)=/(1+x)

C./(x)的周期為2D./(X)=/(^-x)

【解題思路】由函數(shù)的對稱性和奇偶性、周期性的定義和性質(zhì)，計算可得結(jié)論.

【解答過程】解：由函數(shù)y=/(2什1)的圖象關(guān)于直線4=1對稱，可得/(2x+2+l)=/(2-2r+l),

即/(2x+3)=/(3-2r),

將2x換為x可得/(x+3)=/(3-x),即有/(x+6)=/(-x)①，故。錯誤；

由函數(shù)y=/'(x+l)關(guān)于點(1,0)對稱，可得/'(2+x)+/<2-x)=0,且/(2)=/(0)=0,故A錯

誤；

f(x+4)=(-x)②，

由①②可得/(.計6)=-/(%+4),

即/(x+2)=-f(x),可得/(x+4)=-f(x+2)=/(x),

則/(x)的最小正周期為4,故C錯誤.

故選：B.

【題型3周期性與奇偶性結(jié)合】

【例3】(2022?鄲都區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(X)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)OV.rVl時，f

(x)=16,則/(一,)V(l)=()

A.-8B.-4C.12D.20

【解題思路】由奇函數(shù)和周期函數(shù)的定義可得/(I),再由所給區(qū)間上的解析式和周期的定義，求得了

(T)，可得所求和.

【解答過程】解：函數(shù)/(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，

可得/(-I)=/(1)=-/(I),則/(1)=0；

當(dāng)OVxVl時，f(x)=16A,

551

---

222

所以/(一^)4/(1)=-4.

故選：B.

【變式31](2021秋?金安區(qū)校級期末)若八外是R上周期為3的偶函數(shù)，且當(dāng)0。時，/(x)=log4A-,

則/(—竽)=()

11

A.-2B.2C.-4D.-

22

【解題思路】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性與周期性可得/?(一竽)=/(一分=/(|)，結(jié)合函數(shù)的解析式

分析可得答案.

【解答過程】解:根據(jù)題意，/G)是A上周期為3的偶函數(shù)，則/■(一竽)=/(-4)=/(?，

Q111

又由當(dāng)時，/(X)=log4X，則/(:)=log4-=-T：

4222

故/(一%=_'

故選：C.

【變式32】(202()?深圳模擬)設(shè)/(X)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)尤⑵3]時，/(幻=x,

則AGL-2,0]時，/(x)的解析式為()

A.f(x)=2+|X+1|B.f(x)=3-|x+l|C.f(x)=2-xD.f(x)=x+4

【解題思路】①當(dāng).@-2,-I]時，則x+4曰2,3],由題意可得：/(x+4)=x+4.再根據(jù)函數(shù)的周期性

可得f(%)=f(x+4)=x+4.②當(dāng)xe[-1,0]時，則2-xE-2,3],由題意可得：f(2-x)=2-x.再

根據(jù)函數(shù)的周期性與函數(shù)的奇調(diào)性可得函數(shù)的解析式.

【解答過程】解：①當(dāng)比［-2,-1］時,則x+442,3］,

因為當(dāng)工日2,引時，/(x)=乂

所以/(x+4)=x+4.

又因為/(x)是周期為2的周期函數(shù)，

所以f(x)=f(x+4)=x+4.

所以當(dāng)疣［?2,-I］時，/(x)=x+4.

②當(dāng)0］時,則2-x€［2,3］,

因為當(dāng)比⑵3］時，/(K)=M

所以/(2-x)=2-乂

又因為/(X)是周期為2的周期函數(shù)，

所以/(-=/(2-A)=2-X.

因為函數(shù)/(X)是定義在實數(shù)R上的偶函數(shù)，

所以f(x)=/(-x)=f(2-x)=2-x.

所以由①②可得當(dāng).隹［-2,0］時，/'(X)=3-|x+l|.

故選：B.

【變式33】(2022?道里區(qū)校級四模)已知/(x)為定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，當(dāng).隹(0,I)時，f

(x)若/(警)一/"(2022)=2e3,則/■(等)=()

A.e3+eB.-e3-eC.e3-eD.-e3+e

【解題思路】由奇函數(shù)和周期函數(shù)的定義求得/(2)=0,結(jié)合已知區(qū)間上的/(%)的解析式求得〃的值，

即可得到所求值.

【解答過程】解：f(x)為定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，

可得f(-2)=-/(2),X.Z(-2)=/(2),即/(2)=0,

當(dāng)xW(0,1)時，/(x)=『4小

OAOOO3

若/(^^)一/(2022)=2e3,即/(404+5)~f<4X505+2)=/(-)-f(2)

=e3+a-0=25，解得a=e3,

”.20191112

所以/(----)=/(404-F)=/(-1)=-/(一)=~(e+a)=-e-e3,

故選：B.

【題型4對稱性與周期性結(jié)合】

[ft4](2021?房山區(qū)二模)已知函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且周期為4,若/(-1)=2,?/(2017)

=()

A.2B.0C.-2D.-4

【解題思路】由題意可得/(?x)=-/(x),/(A+4)=/(X),則/(2017)=/(1)=-/(-1),

計算可得所求值.

【解答過程】解：函數(shù)/?)的圖象關(guān)于原點對稱，且周期為4,

可得/(-x)=-f(A),f(J+4)=/(x),

則/(2017)=/(504X4+1)=/(l)

=-/(-1)=-2,

故選：C.

【變式41](2021秋?瀘縣月考)已知函數(shù)/(x)是(-8,十8)上的奇函數(shù)，且/■)的圖像關(guān)于直線

.v=l對稱，當(dāng)工曰-1,0)時，/(X)=1-(1)x,則/(2020)4/(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

【解題思路】由/(X)的圖像關(guān)于直線x=l對稱得了(I-X)=/(l+x),再結(jié)合函數(shù)/皂)是(-8,

+8)上的奇函數(shù)，可求得函數(shù)周期，然后可解決此題.

【解答過程】解：由/J)的圖像關(guān)于直線工=1對稱得/(I-X)=/(l+x),又因為合函數(shù)/CO是

(-8,4-00)上的奇函數(shù)，

所以-/(「I)=/(l+x),所以/(x)=-/(X+2),所以/(x+2)=-/(.r+4),所以?/(x)=-

f(x+4),

所以J?)=/(x+4),所以4是函數(shù)/(x)的周期，乂因為當(dāng)爐[-1,0)時，f(x)=1-(^)x,

則/(2020)V(2021)=/(0)4/(1)=0-/(-1)=-1+(!)r=l.

故選：C.

【變式42】(2021?西城區(qū)校級模擬)若/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且/J+2)=-/(4，則下列表

述錯誤的是()

A.f(x)的值域為R

B./(x)為周期函數(shù)，且4為其一個周期

C./(x)的圖象關(guān)于x=l對稱

D.函數(shù))，=/(x+l)的圖象與函數(shù)y=/(1-X)的圖象關(guān)于y軸對稱

【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)，推導(dǎo)函數(shù)的周期性，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分別進行判斷即可.

【解答過程】解：/(x+2)=-/(x),得/(x+4)=-/(戶2)=/(%),

即函數(shù)/G)是周期為4的周期函數(shù)，故B正確，

V/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，

x+2—%

???由/(1十2)=-fix}=f(-X)得-----=1為常數(shù)，即函數(shù)大于K=1對稱，故。正確，

2

函數(shù).y=/(x+l)是/(工)的圖象向左平移1個單位，

y=f(\-x)=/[-(工-1)],則y=/(l-x)的圖象是/(-x)向右平移1個單位，

???/(x)與/(7)關(guān)于)，軸即x=0對稱，則函數(shù)y=/(x+l)的圖象與函數(shù)y=/(l-x)的圖象也是關(guān)

于y軸對稱，故。正確，

定義域是R,無法判斷函數(shù)的值域，故A錯誤，

故錯誤的是A,

故選：A.

【變式43】(2021?西城區(qū)校級模擬)若是定義域為R的奇函數(shù)，且/(x+2)=-/(x),則下列表

述錯誤的是()

A./(x)的值域為R

B./(x)為周期函數(shù)，且4為其一個周期

C.f(x)的圖象關(guān)于x=l對稱

D.函數(shù)y=/(x+l)的圖象與函數(shù)y=/(l■外的圖象關(guān)于y軸對稱

【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)，推導(dǎo)函數(shù)的周期性，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分別進行判斷即可.

【解答過程】解：/(x+2)=-/(x),得f(x+4)=-/(肝2)=f(x),

即函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，故8正確，

V/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，

v4-2-X

???由/a+2)=-f(A-)=/(-x)得2=1為常數(shù)，即函數(shù)關(guān)于1=1對稱，故c正確，

函數(shù)y=/(x+l)是/CO的圖象向左平移1個單位，

y=f(1-x)=fl_-(x-1)],則y=f(1-x)的圖象是/(?x)向右平移1個單位，

V/(x)與/(-X)關(guān)于y軸即x=0對稱，則函數(shù)y=/(x+l)的圖象與函數(shù)y=/(1?x)的圖象也是關(guān)

于)，軸對稱，故。正確，

定義域是R，無法判斷函數(shù)的值域，故4錯誤，

故錯誤的是A,

故選：A.

【題型5函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

對于所給題目條件，得到函數(shù)解析式，判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì)，進行轉(zhuǎn)化求

解即可.

【例5】(2021秋?湛江月考)定義域為R的奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，當(dāng).伯［(),I］時，/(x)

=3X-1,則/(2000)+/,(2001)+f(2002)+…4/(2021)=()

A.-2B.0C.2D.4

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的對稱性和函數(shù)的奇偶性即可證明/J)是周期函數(shù)，當(dāng).隹［0,1］時，f(x)=

3*7,可得/(0)=0,/(I)=2,/(2)=/(0)=0,/(3)=/(-1)=-/(I)=-2,再結(jié)合周

期性即可求出答案.

【解答過程】證明：???/(公的圖象關(guān)于x=I對稱，

?V(l+x)=/(1-X),

■:"x)是R上的奇函數(shù)，

???/(l+x)=/(1-x)=-/(1),

即/(2+x)=-/(x),

/./(x+4)=-f(x+2)=f3,

即/(x)是周期為4的周期函數(shù).

當(dāng).他［0,1］時，f(x)=3X-I,可得/(0)=0,/(I)=2,/(2)=/(0)=0,/(3)=/(-1)=-

/⑴=-2,

則/(2(X)0)+/C200I)4/(2002)+-+/<2021)=5［/,(0)+f(1)+f(2)+f(3)］+f(0)4/(1)=5

(0+2+0-2)+0+2=2.

故選：C.

【變式51】(2021秋?廣州期中)己知函數(shù)/(%)二言，有以下結(jié)論：

?f(x)的圖象關(guān)于原點對稱；

@f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；

@f(x)在R上單調(diào)遞增；

@f(x)的值域為［-1,1).

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.②B.①④C.②④D.?@?

【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)偶函數(shù)定義判斷函數(shù)為偶函數(shù)，故①錯誤，②正確；通過換元，結(jié)合復(fù)合函數(shù)

的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性可判斷③錯誤；將函數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為的形式，求出值域，可判斷④.

【解答過程】解：因為/（X）=去|

定義域為止R,

(一%)2-]_X2-1

(一X)*-N+i（X）

所以/（X）為偶函數(shù),

所以/（X）的圖象關(guān)于｝，軸對稱，故①錯誤，②正確;

令f=』+l心1）,

當(dāng)人￡（0,+8）時，/=『十］些調(diào)遞增，

當(dāng)（-8,0）時，/=/+1單調(diào)遞減，

而尸早=1—（彥1）,在（1,+8）單調(diào)遞增，

VV

所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知/（/）在（（），+8）單調(diào)遞增,

又/（X）為偶函數(shù),

所以/（X）在（-8,0）單調(diào)遞減，故③錯誤；

因為y=-7-=1-7（/21）,

VC

9

由后1,有0<12,

9

所以-24一（V0,

故-2-怖VI,

卻）0-1,I）,故④正確，

故選：C.

【變式52】（2021秋?棗強縣校級期末）己知定義在R上的奇函數(shù)/（工）的周期為4,其圖象關(guān)于直線戈=

1對稱，旦當(dāng).隹（2,3］時，f9=-（x-2）（x-4）,則/（sin-）,f（sinl）,f（cos2）的大小關(guān)

2

系為（）

,1

A.fCcos2)>/(sinl)>/(sin—)

B.f(cos2)>f(sin-)>f(sinl)

,1

C.f(sin—)>/(cos2)>f(sinl)

1

D.f(sinl)>f(sin-)>f(cos2)

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的對稱性和函數(shù)的周期性，畫出函數(shù)的圖象，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，進而求出

函數(shù)值的大小.

【解答過程】解：由題意得函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線.1=1對稱，

另外函數(shù)/(工)的周期為4,又當(dāng)，隹(2,引時，

/(x)=-(x-2)(x-4),

???可以畫出函數(shù)/(X)的圖象，如圖示：

可知函數(shù)/G-)在［-1,1］上單調(diào)遞減,

1

又一1Vcos2VoVsin-VsinlVI,

2

1

.*./(cos2)>f(sin-)>/(sin1),

故選：B.

y

【變式53](2021秋?安徽月考)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：/J-1)關(guān)于(1,0)中心對稱，f

(A+1)是偶函數(shù)，且/?(一,)=1.則下列選項中說法正確的有()

A./(x)為偶函數(shù)B.7(x)周期為2

0

^

C.1D.y(x-2)是奇函數(shù)

【解題思路】由函數(shù)的對稱性和奇偶性的定義，可判斷4由奇偶性和周期性的定義，求得了(工)的周

期，可判斷&由周期性和奇偶性的定義，計算可判斷C曰周期性和奇偶性的定義，可判斷Q.

【解答過程】解：由/(x-1)關(guān)于(1,0)中心對稱，可得/(x-1)4/(2-.”1)=0,

即為/(x-1)4/(17)=0,即有/(-X)=-/(%),即/(x)為奇函數(shù)，故A錯誤；

由/(x+l)是偶函數(shù)，可得/(-X+1)=/(A+l),

即為/(?x)=/(x+2),

所以f所+2)=-/(x),

則f(A+4)=-f(x+2)=f(x),

所以/(x)的周期為4,故8錯誤；

9913o

由/(《)=/<T-4)=/(-)=/(])=-h故C錯誤；

由/(x-2)=/(x+2)=-f(-x-2),可得/(x-2)為奇函數(shù)，故。正確.

故選：O.

【題型6抽象函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

【方法點撥】

抽象函數(shù)問題可以全面考查函數(shù)的概念與性質(zhì)，將函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、

圖象集于一身，解決這類問題一般采用賦值法解決.

[ft61(2022?撫順一模)已知函數(shù)/(外對任意xWR都有/5+4)=/(x)-/(2),若的

圖像關(guān)于直線工=-1對稱，且對任意的，xi,X2GK),2],當(dāng)xiKr時，都有"""一"不)<0,則下列

X2F

結(jié)論正確的是()

A1<11111

—B.

??/(-3)、f(4)、得/(-3)、樗)、/(4)

111111

C."TT~V-----V----D.V11V

心/(-3)f(4)fW哈/(-3)

=/(x)卞2)分析周期性，由?/)—，/)<0分析

【解題思路】y=f(x+l)分析奇偶性，f(A+4)

%2一修

單調(diào)性，結(jié)合題意選出答案.

【解答過程】解：因為)，=/(/+1)的圖象關(guān)于直線1=-1對稱,

所以y=/(x)向左平移一個單位關(guān)于直線X=-I對稱，

所以y=/(x)關(guān)于直線x=0l.v軸)對稱，

所以y=/(x)是偶函數(shù)，

所以/(?2)=/(2),

又因為/(x+4)=f(x)-f(2),

令工=-2得：2/(2)=f(-2),

所以4(2)=/(-2)=/(2),

所以/(2)=/(-2)=0,

所以/(x+4)=f(x)

所以」(x)周期為4,

xi,X2G[O,2],當(dāng)xi#X2時，都有笈亙二&&VO,

%2-41

所以①0>0,

Xl-X2

所以/(x)在[0,2]單調(diào)遞增,

由圖像可得：/(-3)=/(3)>/(4),且/(^)>/(5)=/(3)=/(-3),

所以0》;"(當(dāng)可(-3)刁(4),

111

存、，(-3)'俞

故選：C.

【變式61】(2021秋?武昌區(qū)校級期中)定義在(-8,o)u(o,+8)上的函數(shù)/(x)滿足：①對任意

X,ye(-8,o)u(0,+8)恒有/(")=/(x)+f(y)；②當(dāng)x>l時，f(x)VO,且/(2)=-

1.

(1)判斷/(x)的奇偶性和單調(diào)性，并加以證明；

(2)求關(guān)于x的不等式/(3x-2)+f(x)+420的解集.

【解題思路】(1)先求/(-1)的值，令尸-1,推出/(-%)=f(x)4/(-1),/(-x)=f(x).結(jié)

合函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)/(x)的奇偶性.

(2)根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性單調(diào)性的關(guān)系將

不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答過程】解：(1)令x=y=1,則/(1X1)=/(1)句、(1),得/(1)=0；

再令工=),=-1,則力(-1)X(-1)]=/(-1)■?/(-1),得/(-1)=0.

對于條件=/(x)+f(>'),令y=-1,

則/(?x)=f(x)+f<->)，所以/(-x)=/(x).

又函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù).

(2)任取XI,X2E(Or+8),且X[U%2,則有包A.

Xi

又.??當(dāng)x>l時，fix)<0,

?V(~)<0

而/(X2)=/(A-|--)=/(XI)+f(—><f(XI)

X1X1

卻/(X2)<f(XI),

所以函數(shù)/(X)在(0,+8)上足減函數(shù).

V/(2)=-1,/./(4)=f(2)+f<2)=-1-1=-2,

f(16)=f(4)+f(4)=-2-2=-4；

則由/(3x-2)+fCx)+420得f(3x-2)+f(A)2-4,

即於(3x-2)]^/(16),

???函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)，

.卜(3X-2)>0或[3-2)<0

"x(3x-2)<16[x(3x-2)>-16'

(2

她VOr.......-2

得18或n.

3

得-2?0或g<x<、或OVxV,,

即不等式的解集為國-2Wx〈0或OVxv|或曰<r<|}.

【變式62](2021秋?天心區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(x),對亍任意的x,yGR,都有/(X+)：)=/(x)+f

(y)，當(dāng)Q0時，/(x)<0,且/⑴=一,.

(1)求/(0),/(3)的值；

(2)當(dāng)?8W%W10時，求函數(shù)的最大值和最小值.

【解題思路】(1)由于對于任意的x,)，6R,都有/(x+y)=/(x)V(y)，且/(1)=一)，故當(dāng)x，J

取合適的值時，可求得/(())，/(2),/(3)的值；

(2)根據(jù)條件，令y=-x,則fCx-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,f(-x)=-f(x),可證f

(x)為奇函數(shù)，又根據(jù)當(dāng)x>0時，/(x)<0,可用定義證明/G)的單調(diào)性，從而求出/G)的最值.

【解答過程】解?：(1)對于任意的x,ywR,都有/(x+y)=f(x)(>-),

令x=y=0,則/(0)=0,

V/(l)=-1令人.=),=|,則/(l+l)=/(l)+/*<>>，-V<2)=1；

-V(2+l)=/(2)+fC\)；即/(3)=-

(2)令丁=-x,則/(x