數(shù)學乘法公式變形教學講義一、引言：為何要重視乘法公式的變形？乘法公式是代數(shù)運算的基石，其核心價值不僅在于直接應用，更在于靈活變形。許多同學在學習時，往往滿足于記住`(a+b)(a-b)=a2-b2`和`(a±b)2=a2±2ab+b2`這三個基本公式，但在面對復雜問題時卻顯得束手無策。事實上，數(shù)學問題的解決過程，本質上就是通過變形實現(xiàn)化歸與轉化的過程。掌握公式變形的技巧，能幫助我們打通解題思路，提升代數(shù)推理能力，為后續(xù)學習更高級的數(shù)學知識奠定堅實基礎。本講義將系統(tǒng)梳理乘法公式的常見變形思路與方法，并結合實例展示其應用。二、乘法公式的本源回顧與理解在深入變形之前，我們必須對基本公式的結構特征有深刻的認識：1.平方差公式：`(a+b)(a-b)=a2-b2`*結構特征：兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的乘積，等于這兩數(shù)的平方差。*幾何意義：邊長為`a`的正方形面積減去邊長為`b`的正方形面積，可表示為一個長為`(a+b)`、寬為`(a-b)`的長方形面積。2.完全平方公式：*`(a+b)2=a2+2ab+b2`*`(a-b)2=a2-2ab+b2`*結構特征：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們積的兩倍。*幾何意義：邊長為`(a+b)`的正方形面積，可分解為邊長為`a`的正方形、邊長為`b`的正方形以及兩個長為`a`寬為`b`的長方形面積之和。對這些基本特征的理解，是進行公式變形的前提。我們不僅要“知其然”，更要“知其所以然”。三、公式的正向應用與逆向思維的建立（一）正向應用的鞏固正向應用是基礎，需要做到準確無誤。例1：計算`(2x+3y)(2x-3y)`解：直接應用平方差公式，`a=2x`，`b=3y`原式`=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2`例2：計算`(m-2n)2`解：應用完全平方差公式，`a=m`，`b=2n`原式`=m2-2·m·2n+(2n)2=m2-4mn+4n2`（二）逆向思維的培養(yǎng)——公式的“逆用”公式的逆用是變形的起點。平方差公式的逆用是`a2-b2=(a+b)(a-b)`；完全平方公式的逆用是`a2±2ab+b2=(a±b)2`。例3：分解因式`x?-16`分析：`x?`是`(x2)2`，`16`是`42`，符合平方差公式的結構。解：原式`=(x2)2-42=(x2+4)(x2-4)`此時，`x2-4`仍可繼續(xù)用平方差公式分解：原式`=(x2+4)(x+2)(x-2)`（注意：`x2+4`在實數(shù)范圍內不能再分解）例4：分解因式`9a2-12ab+4b2`分析：`9a2=(3a)2`，`4b2=(2b)2`，中間項`-12ab=-2·3a·2b`，符合完全平方差公式。解：原式`=(3a)2-2·3a·2b+(2b)2=(3a-2b)2`四、“整體代換”思想在公式變形中的核心作用乘法公式中的`a`和`b`不僅可以是單個字母或數(shù)字，還可以是一個“整體”（多項式）。這種將復雜部分視為一個整體進行代換的思想，是代數(shù)變形的靈魂。（一）把多項式視為一個整體例5：計算`(x+y+z)(x+y-z)`分析：觀察到兩個因式中，`(x+y)`部分相同，`z`部分符號相反，可將`(x+y)`視為一個整體`a`，`z`視為`b`。解：令`a=x+y`，`b=z`，則原式`=(a+b)(a-b)=a2-b2`再將`a`還原：`a2-b2=(x+y)2-z2=x2+2xy+y2-z2`例6：計算`(a-b-c)2`分析：可將`(b+c)`視為一個整體`m`，則原式變?yōu)閌(a-m)2`。解：原式`=[a-(b+c)]2=a2-2a(b+c)+(b+c)2=a2-2ab-2ac+b2+2bc+c2`（進一步整理：`a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc`，此為三數(shù)和的平方展開式雛形）（二）利用整體代換簡化計算或求值例7：已知`x+y=5`，`xy=3`，求`x2+y2`的值。分析：`x2+y2`與完全平方公式有關，`(x+y)2=x2+2xy+y2`，因此`x2+y2=(x+y)2-2xy`。解：`x2+y2=(x+y)2-2xy`，將`x+y=5`，`xy=3`代入，得`x2+y2=52-2×3=25-6=19`。例8：已知`a-b=2`，`a2-b2=12`，求`a+b`的值。分析：`a2-b2`可分解為`(a-b)(a+b)`，已知`a-b`和`a2-b2`，可求`a+b`。解：`a2-b2=(a-b)(a+b)`，即`12=2×(a+b)`，所以`a+b=6`。五、完全平方公式的常見變形與應用完全平方公式`(a±b)2=a2±2ab+b2`之間存在密切聯(lián)系，通過它們的組合與加減，可以派生出許多有用的變形公式。（一）基本變形公式推導1.`(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)`推導：`(a+b)2+(a-b)2=(a2+2ab+b2)+(a2-2ab+b2)=2a2+2b2=2(a2+b2)`2.`(a+b)2-(a-b)2=4ab`推導：`(a+b)2-(a-b)2=(a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2)=4ab`（二）變形公式的應用例9：已知`(m+n)2=7`，`(m-n)2=3`，求：(1)`m2+n2`的值；(2)`mn`的值。解：(1)由變形公式1：`(m+n)2+(m-n)2=2(m2+n2)`即`7+3=2(m2+n2)`，`10=2(m2+n2)`，所以`m2+n2=5`。(2)由變形公式2：`(m+n)2-(m-n)2=4mn`即`7-3=4mn`，`4=4mn`，所以`mn=1`。例10：若`x2+y2=10`，`xy=-3`，求`(x-y)2`的值。分析：`(x-y)2=x2-2xy+y2=(x2+y2)-2xy`解：`(x-y)2=(x2+y2)-2xy=10-2×(-3)=10+6=16`六、公式的拓展與綜合應用（一）添項、拆項與配方法有時，為了能應用乘法公式，需要對原式進行“添項”或“拆項”，創(chuàng)造出符合公式的結構，這種方法稱為“配方法”，在完全平方公式的變形中尤為常用。例11：分解因式`x?+4y?`分析：這是兩項式，且都是平方項，但符號相同，不能直接用平方差?？紤]到`x?=(x2)2`，`4y?=(2y2)2`，若能配上一項`4x2y2`，即可構成完全平方和。解：原式`=x?+4x2y2+4y?-4x2y2`（添上`4x2y2`再減去`4x2y2`，值不變）`=(x2+2y2)2-(2xy)2`（前三項是完全平方和）`=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)`（平方差公式）`=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)`（整理順序）（二）與代數(shù)式求值結合的復雜變形例12：已知`a+1/a=3`，求`a2+1/a2`和`a?+1/a?`的值。分析：`a2+1/a2`可由`(a+1/a)2`展開得到。解：`(a+1/a)2=a2+2·a·(1/a)+1/a2=a2+2+1/a2`所以`a2+1/a2=(a+1/a)2-2=32-2=9-2=7`。同理，`a?+1/a?=(a2+1/a2)2-2=72-2=49-2=47`。七、總結與提升乘法公式的變形千變萬化，但其根本在于對公式結構特征的深刻理解和“整體代換”思想的靈活運用。要達到熟練掌握的程度，需注意以下幾點：1.夯實基礎：熟練掌握三個基本公式的結構和幾何意義。2.逆向思考：養(yǎng)成“正用”與“逆用”公式的雙向思維習慣。3.整體把握：將多項式視為整體進行代換，化繁為簡。4.靈活變通：學會通過添項、拆項、配方等技巧，創(chuàng)造應用公式的條件。5.勤加練習：在不同情境下運用變形技巧，通過練習積累經驗，提升解題的敏銳度和靈活性。練習題（請嘗試運用今天所學的變形技巧解決）：1.分解因式：`(x2+4)2-16x2`2.已知`a-b=5`，`ab=4`，求`a2