2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策因子分析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列哪項不是因子分析的主要目的？A.降維B.探索變量間潛在的共同因子C.直接預(yù)測變量的未來值D.降低數(shù)據(jù)的相關(guān)性2.在因子分析中，因子載荷aij表示：A.第i個變量與第j個因子的相關(guān)系數(shù)B.第i個因子對第j個變量的解釋程度C.第i個變量與總體的相關(guān)程度D.因子分析前變量個數(shù)的平方3.進(jìn)行因子分析的樣本量要求一般不少于：A.20B.30C.50D.1004.Kaiser-Meyer-Olkin(KMO)統(tǒng)計量用于衡量：A.數(shù)據(jù)的偏度B.數(shù)據(jù)的峰度C.樣本間協(xié)方差矩陣的相關(guān)性D.數(shù)據(jù)是否適合進(jìn)行因子分析5.Bartlett's球形檢驗的零假設(shè)是：A.相關(guān)系數(shù)矩陣是單位矩陣B.相關(guān)系數(shù)矩陣是奇異矩陣C.變量之間存在顯著相關(guān)性D.變量之間不存在顯著相關(guān)性6.下列哪種方法不屬于因子提取方法？A.主成分法B.最大似然法C.因子分析法（主軸法）D.相關(guān)分析法7.因子旋轉(zhuǎn)的目的是：A.提取更多因子B.增加因子解釋的方差C.使因子載荷矩陣更容易解釋D.提高因子得分的準(zhǔn)確性8.Varimax方法屬于哪種類型的因子旋轉(zhuǎn)？A.正交旋轉(zhuǎn)B.非正交旋轉(zhuǎn)C.正交或非正交旋轉(zhuǎn)均可D.無旋轉(zhuǎn)9.因子得分表示：A.每個變量在各個因子上的相對位置B.每個樣本在各個因子上的具體得分C.每個因子由哪些變量解釋D.因子分析的旋轉(zhuǎn)方法10.因子分析中，一個變量的公共因子方差越大，表示：A.該變量受特殊因子的影響越大B.該變量受公共因子的影響越大C.該變量與其他變量的相關(guān)性越強(qiáng)D.該變量越適合進(jìn)行因子分析二、填空題1.因子分析的核心思想是假設(shè)每個變量都可以表示為一部分由共同因子解釋的和一部分由__________解釋的和。2.因子載荷aij的取值范圍通常在__________之間。3.確定提取因子數(shù)量的常用準(zhǔn)則有__________準(zhǔn)則和碎石圖法等。4.在因子分析中，變量總方差可以分為__________方差和特殊因子方差兩部分。5.因子得分系數(shù)矩陣是用來計算__________的關(guān)鍵矩陣。6.如果一個變量只與一個因子有較大的載荷，而與其他因子載荷很小，則稱該變量是__________的。7.進(jìn)行因子分析前，通常需要計算__________矩陣，并進(jìn)行KMO和Bartlett檢驗。8.因子旋轉(zhuǎn)后，因子載荷的平方仍然表示__________。9.因子分析主要用于處理__________較多，且變量之間存在一定相關(guān)性的數(shù)據(jù)。10.__________是衡量變量之間相關(guān)性的指標(biāo)，是因子分析的重要輸入。三、計算題1.某研究收集了5個變量（X1,X2,X3,X4,X5）的數(shù)據(jù)，得到的相關(guān)系數(shù)矩陣如下（部分）：||X1|X2|X3||-------|-------|-------|-------||X1|1.000|0.85|0.70||X2|0.85|1.000|0.60||X3|0.70|0.60|1.000||X4|0.55|0.40|0.35||X5|0.80|0.65|0.55|（續(xù)表）||X4|X5||-------|-------|-------||X4|1.000|0.75||X5|0.75|1.000|要求：(1)(4分)試計算該相關(guān)系數(shù)矩陣的第一個特征值及其對應(yīng)的特征向量（保留兩位小數(shù)）。(2)(4分)若采用特征值大于1的準(zhǔn)則，問應(yīng)提取多少個因子？(3)(8分)假設(shè)提取了2個因子，請根據(jù)上述特征向量（只需前兩個特征值的特征向量即可），構(gòu)建因子載荷矩陣（保留兩位小數(shù)）。(4)(8分)若對因子載荷矩陣進(jìn)行最大似然法估計，并采用方差最大化正交旋轉(zhuǎn)（Varimax），旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣（部分）如下：||F1|F2||-------|-------|-------||X1|0.82|0.19||X2|0.65|0.38||X3|0.71|0.16||X4|0.12|0.88||X5|0.60|0.50|請解釋這兩個因子可能代表的實際含義。(5)(6分)假設(shè)已得到因子得分系數(shù)矩陣（部分）：||F1|F2||-------|-------|-------||X1|0.50|-0.10||X2|0.35|0.25||X3|0.40|-0.05||X4|-0.20|0.60||X5|0.30|0.40|請計算樣本X1（得分分別為：X1=1.0,X2=0.8,X3=0.9,X4=0.5,X5=0.7）在第一個因子F1上的得分（保留兩位小數(shù)）。四、簡答題1.簡述因子分析與主成分分析的主要區(qū)別。（8分）2.因子分析中，因子載荷為什么需要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)？旋轉(zhuǎn)前后，因子解釋的方差總量會發(fā)生改變嗎？（12分）試卷答案一、選擇題1.C2.A3.C4.D5.D6.D7.C8.A9.B10.B二、填空題1.共同因子2.-1到13.主成分4.公共5.因子得分6.單一7.相關(guān)系數(shù)8.該變量與對應(yīng)因子解釋的方差9.降維10.相關(guān)系數(shù)三、計算題1.(1)*計算特征值：λ1=2.88,λ2=1.52,λ3=0.45,λ4=0.15,λ5=0.00(保留兩位小數(shù)，此處為假設(shè)計算結(jié)果)*計算第一個特征值對應(yīng)的特征向量（假設(shè)計算結(jié)果）:*V1=[0.52,0.55,0.48,0.25,0.40](單位化后保留兩位小數(shù)，此處為假設(shè)計算結(jié)果)(2)根據(jù)主成分準(zhǔn)則，選取特征值大于1的因子，即λ1=2.88和λ2=1.52，應(yīng)提取2個因子。(3)構(gòu)建因子載荷矩陣F=[R]*[V1,V2](其中[R]是相關(guān)系數(shù)矩陣，[V1,V2]是前兩個特征值對應(yīng)的特征向量矩陣)。假設(shè)計算結(jié)果：*F=[[0.85,0.22],[0.72,0.31],[0.64,0.26],[0.23,0.21],[0.65,0.36]](保留兩位小數(shù)，此處為假設(shè)計算結(jié)果)(4)解釋因子：*根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的載荷矩陣，變量X1,X2,X3在F1上載荷較高，表示F1可能代表了與這三個變量相關(guān)的某個共同潛在特質(zhì)（例如，“認(rèn)知能力”或“市場接受度”）。*變量X4,X5在F2上載荷較高，而X1,X2,X3載荷較低，表示F2可能代表了與X4,X5相關(guān)的另一個共同潛在特質(zhì)（例如，“情感反應(yīng)”或“滿意度”）。(5)計算X1在F1上的得分：*得分=Σ(得分系數(shù)*變量得分)=(0.50*1.0)+(-0.10*0.8)=0.50-0.08=0.42四、簡答題1.區(qū)別：*目的：主成分分析旨在通過降維減少數(shù)據(jù)維數(shù)，保留盡可能多的原始數(shù)據(jù)信息；因子分析旨在探究變量間潛在的共同因子，解釋變量間的相關(guān)性。*模型：主成分分析認(rèn)為成分是原始變量的線性組合，成分之間不相關(guān)；因子分析認(rèn)為變量是共同因子和特殊因子的線性組合，因子之間通常相關(guān)（除非做正交旋轉(zhuǎn)）。*載荷：主成分載荷的絕對值表示原始變量與主成分的相關(guān)程度；因子載荷表示原始變量與因子之間的相關(guān)程度，用于解釋因子含義。*變量間關(guān)系：主成分分析假設(shè)原始變量間存在一定相關(guān)性；因子分析是建