專題26.2反比例（知識解讀）

【直擊考點】

【官司目標】

1.能根據(jù)解析式畫出反比例函數(shù)的圖象，

2.會用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，進一步理解反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).

3.會解決一次函數(shù)和反比例函數(shù)有關(guān)的問題.

【知積支梳理】

考點1反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

考點2反比例函數(shù)解析式的確定

1.設(shè)所求反比例函數(shù)解析式為：y=&（無為常數(shù)，k=0）

X

待定系數(shù)法2.找出反比例函數(shù)圖像上一點P（a,b）,并將其代入解析式得k=ab：

3.確定反比例函數(shù)解析式

利用k得幾題中已知面積時，考慮利用k得幾何意義，由面積得k|,再綜合圖像所在象

何意義

限判段k得正負，從而得出k的值，代入解析式即可

考點3反比例與一次函數(shù)的綜合

方法2：四個圖逐個分析判斷；

方法3：運用特殊點（值）去排除（此種方法作參考，不能完全排三選一）

【典例今折】

【考點1反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義】

【典例I]（2022?梁溪區(qū)校級二模）已知反比例函數(shù)y上的圖象如圖所示，若矩形OABC

x

的面積為3,則攵的值是（）

A.3B.-3C.6D.-6

【變式11】（2021秋?海州區(qū)期末）已知點P在雙曲線），=旦第一象限圖象上，%_Lx軸于

x

點A,則AOBA的面積為（）

A.2B.3C.4D.6

【變式12】（2021秋?牡丹區(qū)期末）如圖，點A在雙曲線y4?上，軸于8,且A40B

的面積S&UM=2,則上的值為（)

【變式131（2021秋?霸州市期末）反比例函數(shù)y=且（x<0）的圖象如圖所示，則AA8C

22

【典例2】（2021秋?硯山縣期末）如圖，兩個反比例函數(shù)y=3和y=2在第一象限內(nèi)的圖

xx

象分別是。和C2,設(shè)點P在Ci上，軸于點A,交C2于點B,則△POB的面積為

（）

A.1B.2C.4D.無法計算

_5與y=l在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，作

【變式21］（2021秋?蓮池區(qū)期末）雙曲線y

一條平行于丁軸的直線分別交雙曲線于A、8兩點，連接。4、OB,則△AO8的面積為

yt

B

Ox

Y=f

A.2B.3C.4D.5

【變式32】（2012?深圳模擬）如圖，是函數(shù)y=2的圖象上關(guān)于原點對稱的任意兩點,

8C〃x軸，4C〃y軸，△ABC的面積記為S,則5=

【考點2反比例解析式的確定】

【典例4】（2022?仙居縣校級開學）已知），與x成反比洌，且其函數(shù)圖象經(jīng)過點（?3,

1).

（1）求），與x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）求當），=-4時，x的值.

【變式41】（2022?富陽區(qū)二模）已知反比例函數(shù)），=三（&#（））的圖象經(jīng)過點A（2,3）.

（I）求這個反比例函數(shù)的表達式：

（2）判斷點A（-1,6）是否在這個函數(shù)圖象上，棄說明你的理由;

（3）點C（川，yi）,D（X2?”）是圖象上的兩點，若xiVx2,比較yi和y2的大小,

并說明你的理由.

【變式42】（2022春?衡陽期中）已知），是X的反比例函數(shù)，且函數(shù)圖象過點A（-3,8）.

（1）求），與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當x取何值時，）=2.

-3

【變式43】（2021秋?瀘西縣期末）已知），+1與x成反比例函數(shù)關(guān)系，且x=4時，y=2.

（1）求），與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當工=-2時，求），的值.

【考點3反比例與一次函數(shù)的綜合】

【典例5】反比例函數(shù)），=生與一次函數(shù)y=or+〃在同一坐標系中的大致圖象可能是（）

x

【變式51］在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=x和y=-2的圖象大致是（）

【變式53】函數(shù)產(chǎn)x-a與尸旦（*0）在同一坐標系內(nèi)的圖象可以是（）

【典例6】（2022?大足區(qū)模擬）如圖，一次函數(shù)），=內(nèi)戶〃（AiWO）與反比例函數(shù)（七

W0）的圖象交于點A（-I,3）,8（〃，-1）,與x軸交于點C

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

(2)點P在x軸上，且滿足S?P3=8,求點P的坐標.

【變式61】（2022?咸豐縣模擬）如圖，平面宜角坐標系xQy中，函數(shù)y上的圖象上A、B

兩點的坐標分別為A（〃，〃+1）,B（〃-5,-2〃）.

（I）求反比例函數(shù)y上和直線AB的解析式;

x

（2）連接AO、BO,求△AOB的面積.

【變式62】（2021秋?金水區(qū)校級期末）在平面直角坐標系中，四邊形AOBC為矩形，旦

點C坐標為（8,6）,M為BC中點、,反比例函數(shù)），=區(qū)a是常數(shù)，k#0）的圖象經(jīng)過

x

點M,交4c于點M連接OM、ON.

（1）求反比例函數(shù)表達式.

（2）求△MON的面積.

專題26.2反比例（知識解讀）

【直擊考點】

【學句自標】

2.能根據(jù)解析式畫出反比例函數(shù)的圖象，

2.會用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，進一步理解反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).

3.會解決一次函數(shù)和反比例函數(shù)有關(guān)的問題.

【見積點梳理】

考點1反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

考點2反比例函數(shù)解析式的確定

4.設(shè)所求反比例函數(shù)解析式為：y=8伏為常數(shù)，k^O)

X

待定系數(shù)法5.找出反比例函數(shù)圖像上一點P(a,b),并將其代入解析式得k=ab：

6.確定反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=g

利用k得幾題中己知面積時，考慮利用k得幾何意義，由面積得k|,再綜合圖像所在象

何意義

限判段k得正負，從而得出k的值，代入解析式即可

考點3反比例與一次函數(shù)的綜合

方法2：四個圖逐個分析判斷；

方法3：運用特殊點（值）去排除（此種方法作參考，不能完全排三選一）

【典例今折】

【考點1反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義】

【典例1]（2022?梁溪區(qū)校級二模）已知反比例函數(shù)y上的圖象如圖所示，若矩形048C

x

的面積為3,則改的值是（）

A.3B.-3C.6D.-6

【答案】B

【解答】解：???矩形0A8C的面積為3,

???因=3,

根據(jù)圖象可知，￡V0，

:?k=-3,

故選：B.

【變式11】（2021秋?海州區(qū)期末）已知點尸在雙曲線,二也第一象限圖象上，布_Lx軸于

x

點A,則△。附的面積為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解答】解：軸于點4，

:.S^OPA=-ijZ:|=—X6=3.

故選：B.

【變式12］（2021秋?牡丹區(qū)期末）如圖，點A在雙曲線y=A上，AB_Lx軸于8,且AAOB

【答案】D

【解答】解：.??S4Ao3=2,

???因=4,

???函數(shù)在二、四象限，

:?k=-4.

故選：D.

【變式13】（2021秋?霸州市期末）反比例函數(shù)丫='（乂＜0）的圖象如圖所示，貝UAABC

22

【答案】B

【解答】解:連接04，

由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得S?AOB=l\k\=lx3=?1,

又???/WJ_x軸,

Q

..S^ABC=SMOB=—^

2

【典例2】（2021秋?硯山縣期末）如圖，兩個反比例函數(shù)y=3和）=2在第一象限內(nèi)的圖

xx

象分別是。和C2,設(shè)點P在Ci上，軸于點A,交C2于點B,則△尸OB的面積為

A.1B.2C.4D.無法計算

【答案】A

【解答】解：:以_Lx軸于點A,交C2于點8,

**?X4=2?X2=1>

22

:?SAPOB=2-1=1.

故選：A.

【變式21］（2021秋?蓮池區(qū)期末）雙曲線y至與y3n第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，作

XX

一條平行于），軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點,連接。小OB,則△408的面積為

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解答】解：設(shè)直線四與x軸交于點C.

???A8〃y軸，

???AC_Lx軸，8C_Lx軸.

???點4在雙曲線的圖象上，???△40。的面積='X5=±.

x22

點B在雙曲線y=3的圖象上，.?.△COB的面積=』義3=3.

x22

，△A08的面積=4八0。的面積-△C08的面積=$-2=1.

22

【變式22】（2012?慶元縣模擬）如圖，過x軸正半軸任意一點。作x軸的垂線，分別與反

比例函數(shù)），|=馬口”='的圖象交于點A和點B.若點。是），軸上任意一點，連接AC、

XX

BC,則△ASC的面積為（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】A

【解答】解：設(shè)線段0尸=為貝UP8=4AP=2,

7

；?S四邊形ACOP=2（OC+AP）XOP=A＜；C+I；SBCOP=^.（OC+BP）X0P=A＜；C+2,

2222

S/^BC=S四邊影8cop-S四邊形ACOP=I.

故選：A.

【典例3】（2020秋?商河縣校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，過x軸正半軸上任意

一點P作y軸的平行線，分別交函數(shù)y=l（x>0）、y=-2（x>0）的圖象于點A、

XX

點反若C是），軸上任意一點，則△A8C的面積為（）

D.3

【答案】C

【解答】解：連接Q4、0B，

???c是），軸上任意一點，

SMOB=S/.ABC＞

V—X3=—,5A?0/,=—x|-6|=3,

222

oq

SAAOB=S^AOP+SABOP=~+3=—,

22

Q

/.5AABC=".

2

故選：C.

【變式31】（2021?貴池區(qū)二模）如圖，直線x=/（r>0）與反比例函數(shù)），=區(qū)（x>0）>y

x

=二［（x>0）的圖象分別交于8、C兩點，A為），軸上任意一點，△ABC的面積為3,

x

則k的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解答】解：由題意得，點C的坐標"-1）,

t

點B的坐標（/,—）,

t

BC=—,

tt

則工（K+_l）X/=3,

2tt

解得k=5,

故選：D.

【變式32】（2012?深圳模擬）如圖，48是函數(shù)y=2的圖象上關(guān)于原點對稱的任意兩點,

X

8C〃x軸，AC〃y釉，的面積記為S,則S=.

【解答】解：如圖，連接OC,設(shè)4c與x軸交于點BC與），軸交于點￡

??F、8兩點關(guān)于原點對稱，8C〃x軸，4?！ǎS，

.??AC'_Lx軸，AD=CD.OA=OB,

S^COD=SMOD=-1X2=1,

2

.??S&4OC=2,

/.S/BOC=S/.AOC=2,

:.SMBC=S^BOC+SMOC=4.

故答案為:4.

【考點2反比例解析式的確定】

【典例4】（2022?仙居具校級開學）己知），與工成反比洌，H.其函數(shù)圖象經(jīng)過點（-3,

1）.

（I）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求當），=-4時，x的值.

【解答】解：（I）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為）=區(qū)，

x

又圖象經(jīng)過點（?3,-1）,則k=-1X（-3）=3,

），與x的函數(shù)關(guān)系式為），=工.

故答案為：y=3;

（2）將y=-4代入y=—,得到工=-—,

x4

.?.當），=-4時，尸-3.

4

【變式41】（2022?富陽區(qū)二模）已知反比例函數(shù).v=KaW0）的圖象經(jīng)過點A（2,3）.

x

（1）求這個反比例函數(shù)的表達式：

（2）判斷點8（-1,6）是否在這個函數(shù)圖象上，聲說明你的理由；

（3）點C（xi,yi）,D（r,丁2）是圖象上的兩點，若xi<x2?比較y\和yi的大小,

并說明你的理由.

【解答】解：（1）???反比例函數(shù)丁=區(qū)（&K0）的圖象經(jīng)過點A（2,3），

?M=2X3=6,

，這個函數(shù)的解析式為），=旦；

（2）把B（?1,6）代入y=-2r,貝U6/弓，

故點8不在這個函數(shù)圖象上；

（3）??Z=6＞0,

???反比例函數(shù)y=K（ZWO）的圖象在一、三象限，且在每個象限y隨x的增大而減小,

x

???當兩點在同一象限時，戶＞）2

當兩點在不同象限時，戶＜）2.

【變式42】（2022春?衡隙期中）已知），是x的反比例函數(shù)，H函數(shù)圖象過點A（-3,8）.

（I）求），與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當x取何值時，）=2.

'3

【解答】解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=K,

x

???反比例函數(shù)的圖象過點A（-3,8）.

：.k=-3X8=-24,

???反比例函數(shù)的關(guān)系式為），=-2生

X

（2）當），=2時，即-21=2,

3x3

解得x=-36.

【變式43】（2021秋?瀘西縣期末）已知y+1與x成反比例函數(shù)關(guān)系，且x=4時，尸2.

（1）求），與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當工=-2時，求y的值.

【解答】解：（1）設(shè)y+l=K,

x

把x=4,y=2代入得：k=12,

則y+1=—?即y=衛(wèi)-1；

XX

（2）把工=-2代入得：），=-6-1=-7.

【考點3反比例與一次函數(shù)的綜合】

【典例5】反比例函數(shù)），=處與一次函數(shù)尸ar"在同一坐標系中的大致圖象可能是（）

【答案】D

【解答】解：A、一次函數(shù)y=ar+〃的圖象經(jīng)過第一、三象限，則。＞0,與），軸交于負

半軸，則。V0,所以帥V0,則反比例＞=也經(jīng)過第二、四象限，不符合題意；

x

B、一次函數(shù)＞=爾+》的圖象經(jīng)過第二、四象限，則。＜0,與y軸交于負半軸，則8V0,

所以"＞0,則反比例＞=也經(jīng)過第一、三象限，不符合題意；

X

C、一次函數(shù)），=々計》的圖象經(jīng)過第二、四象限，則aVO,與y軸交于正半軸，則b＞0,

所以他V0,則反比例），=也經(jīng)過第二、四象限，不符合題意；

x

D、一次函數(shù)尸以+〃的圖象經(jīng)過第一、三象限，則a＞0,與），軸交于負半軸，則bVO,

所以他V0,則反比例＞，=也經(jīng)過第二、四象限，符合題意；

X

故選：D.

【變式51】在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=x和），=-2的圖象大致是（）

【答案】B

【解答】解：??j，=x中的1＞（）,

???直線y=lx經(jīng)過第一、三象限.

???），=-2中的-2V0,

x

???雙曲線），=-2經(jīng)過第二、四象限,

X

綜上所述，只有B選項符合題意.

故選：B.

【變變式52］在同一平面直角坐標系中反比例函數(shù)丁=員與一次函數(shù)y=x+3的圖象大致是

???反比例函數(shù)過第一、三象限，

??1=%+3中，k=\>0,h=3>0,

???一次函數(shù)過第一、二、三象限;

故選：A.

【變式53］函數(shù)），與尸旦（aWO）在同一坐標系內(nèi)的圖象可以是（）

x

A.B.

【解答】解：A、由函數(shù)y=x-〃的圖象可知。>0,由函數(shù)），=旦（aWO）的圖象可知a

X

<0,相矛盾，故選項不可以;

8、由函數(shù)y=x-a的圖象可知aVO,由函數(shù)y=2（aW0）的圖象可知a>0,相矛盾,

故選項不可以；

C、函數(shù)1y=x的圖象錯誤，故選項不可以;

D、由函數(shù)y=x-a的圖象可知a>0,由函數(shù)丁=包（470）的圖象可知a>0,一致，故

x

故選項可以；

故選：D.

【典例6】（2022?大足區(qū)模擬）如圖，一次函數(shù)），=&田〃（內(nèi)六0）與反比例函數(shù)(k2

#0）的圖象交于點A（-1,3）,8（〃，-1）,與x軸交于點C.

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

（2）點尸在x軸上，且滿足S“P8=8,求點P的坐標.

【解答】解:（1）將點A（-1,3）代入（依工。）中，

得ki=-3,

???反比例函數(shù)的解析式為y二衛(wèi).

將點3（小-1）代入y=/?中,

得〃=3,

???點8的坐標為（3,-1）,

將4（-1,3）,B（3,-1）代入y=Aix+6（%H0）中，

-k1+b=3

得1，

3kj+b=-l

解得「Li,

lb=2

???一次函數(shù)的解析式為y=-x+2.

（2）對于一次函數(shù)y=-x+2,令y=0,

得x=2,

???點。的坐標為（2,0）.

設(shè)點。坐標為（。，0）,

*.*S^APB=S^CP+S^BCP=X，

即2|2?3X3+212-?|XI=8,

22

???|。-2|=4,

解得a=-2或a=6.

???點P的坐標為（-2：0）或（6,0）.

【變式61】（2022?咸豐縣模擬）如圖，平面直角坐標系K。），中，函數(shù)y=A的圖象上A、B

x

兩點的坐標分別為為（小〃+1）,B（〃?5,-2〃）.

（I）求反比例函數(shù)y上和直線人8的解析式；