第十八章分式

一、單選題

1.若分式Y(jié)的值為0,則X的值是（）

x+3

A.0B.6C.-3D.-6

2.下列運算：①cJ.a'a";②=。6；③(2a)3=6t/；④a'a'q；

⑤（a-b）2=/_b:⑥其中結(jié)果正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.下列各式中，是分式的是（)

A.R+6）B.型3〃+2

2V74m

x+V

4.在一4,y十,——6中分式的個數(shù)有（）

y4x+y2

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.初三學(xué)生周末去距離學(xué)校120km的某地游玩.一部分學(xué)生乘慢車先行，1小時后，另一部

分學(xué)生乘快車前往，結(jié)果他們同時到達目的地.已知快車的速度是慢車的2倍，求慢車的速

度.設(shè)慢車的速度是xh〃泌，根據(jù)題意列方程為（）.

41201201口120120,

A.----------=1B.--------=1

2xA-x2x

c120120,n120120,

C.—+—=1D.--------------=1

2xxx-\2x

6.小馬虎同學(xué)在下面的計算中只做對了一道題，他做對的題目是（）

‘。丫/77112—x-y.

A.—=——B.a，+a=a2C.—?—=-------D.-------=—\

Jbaba+bx-y

v-33

7.計算上上+士的結(jié)果是（）

rr

x+6-x-6-I、

A.------B.------C.-D.1

xx2

8.甲，乙工程隊分別承接600米，8（）0米的道路修建工程，已知乙比甲每天多修建12米,

結(jié)果甲比乙提早1天完成，問甲每天修建多少米？設(shè)甲每天修建x米，根據(jù)題意可列出方程

是（）

600800600_800

A.——---------1B.+1

xx-12xx-12

試卷第1頁，共4頁

,、600800600800

C.--------1D.一=-----+1

xx+\2xx+12

mx23

9.已知關(guān)于x的分式方程6）+'=』無解，且關(guān)于N的不等式組

m-y>4

卜.4?3（尹4）有且只有三個偶數(shù)解,則所有符合條件的整數(shù)用的乘積為（）

A.iB.2C.4D.8

x-1<11+x

10.若整數(shù)。使關(guān)于X的不等式組丁一丁，有且只有45個整數(shù)解，且使關(guān)于y的方

4x-?>x+1

程2,2+魯=1的解為非正數(shù),則。的值為（）

y十+"：\\+y

A.-61或-58B.-61或-59C.-60或-59D.-61或-60或-59

f3-5x<9_

11.若數(shù)加是關(guān)于x的不等式組2~至少有3個整數(shù)解且所有解都是2X-5W1的解,

[x<m

且使關(guān)于X的分式4"1彳—2+;乙—」1=2有整數(shù)解.則滿足條件的所有整數(shù)機的個數(shù)是（）

x-1l-x

A.5B.4C.3D.2

12.有下列說法：①在同一平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；②

把分式喀土塔的分子和分母中的各項系數(shù)都化成整數(shù)為等斗；③無論上取任何實數(shù),

0.3a-b3a-n

多項式/一打2總能進行因式分解；④若1_2[=1,貝h可以取的值有3個，其中正確的

說法是（）

A.①④B.①③④C.②③D.①②

二、填空題

13.計算(一！)+(n-3)°=______

<3)

Y—1

14.若分式——的值為。，則x的值為

X

5若分式我在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則、的取值范圍是

6定義運算必6三一±，如3=得，若山（一3）=不則"勺值為.

17.已知鴻，則牛=x_X-y

x+y'x+y

試卷第2頁，共4頁

已知。6工0,若5ab=a+b,則一+二=

19.如果等式(3"1廣=1,則』的值為_____.

XVvz4zx4

20.已知三個數(shù)，x,y,z滿足二一=-3,二二二三,二^=-三，則y的值是___

x+yy+z3z+x3--------

<2

21.若關(guān)于x的方程一\-白=-2的解為非負整數(shù)，關(guān)于x的不等式組-5一一“一的

X-22-X,,r,1

[3x<2x4-1

解集為X<1,則符合條件的所有整數(shù)。的和為—.

22.關(guān)于x的分式方程-7+1二=1的解為正數(shù)，則〃?的取值范圍是________.

x-11-x

"-2v+i

23.若關(guān)于x的一元一次不等式組3至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于V的分式方程

x+?<3

=7的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)〃的值之和是.

三、解答題

24.解方程:

x-2x-4x+2

25.解下列分式方程:

26.疫情期間，某校根據(jù)攻府防控要求用4000元購買了一批口罩，兩天后，學(xué)校后勤人員

發(fā)現(xiàn)口罩.數(shù)量不多了，學(xué)校決定再次用5000元購買一批口罩作為備川，后勤人員發(fā)現(xiàn)這時

每只口罩價格漲了0.2元，結(jié)果兩次購買口罩的數(shù)量相同.

(1)學(xué)校兩次購買口罩的單價分別是多少元？

(2)學(xué)校兩次共購買口罩多少只？

27.斑馬線前“車讓人”，不僅體現(xiàn)著對生命的尊重，也直接反映著城市的文明程度.如圖,

某路口的斑馬線路段4-屏C橫穿雙向行駛車道，其中4方=40=12米，在綠燈亮?xí)r，曉雯共

有9秒通過4C,其中通過8C段的速度是通過力8段速度的2倍，求曉雯通過48段時的速

度.

28.某超市用5000元購進某種干果銷售，由卜銷售狀況良好，超市又調(diào)撥900()元資金購進

試卷第3頁，共4頁

1.B

【分析】本題考查了分式值為零的條件，掌握分子等于零且分母不等于零是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)分式值為零的條件可得：A-6=0,且X+3HO,解答即可.

【詳解】解：.??分式二的值為0

x+3

：.x-6=0,且x+3wO

，x=6時，原分式值為()

故選：B.

2.A

【分析】本題考查整式的運算，涉及同底數(shù)塞的乘除法，積的乘方和塞的乘方，完全平方公

式，零指數(shù)塞，根據(jù)相關(guān)運算法則逐個判斷即可求解.

【詳解】解:①〃2.4=入故①錯誤;

②(叫“=°6,故②正確；

③(2.)3=8/,故③錯誤；

④故④錯誤；

⑤("6)2="2_2曲+62,故⑤錯誤;

⑥(-故⑥錯誤，

綜上，結(jié)果正確的個數(shù)為1,

故選：A.

3.C

【分析】根據(jù)分式的定義卻可求出答案.

【詳解】解：A,+=3券分母不是未知數(shù)，故不是分式；

R、過分母不是未知數(shù).故不是分式：

7T

C、山是分式；

m

3

。、3分母不是未知數(shù)，故不是分式.

4

故選：C.

【點睛】本題考查的是分式的定義，如果1、4(4不等于零)表示兩個整式，且8中含有字

答案第1頁，共14頁

母，那么式子、叫做分式，其中力稱為分子，3稱為分母，解題關(guān)鍵是掌握分式的定義.

4.B

【分析】根據(jù)分式的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：—中分式有：＞

y4x+y2yx+y

故選B

A

【點睛】本題考查的是分式的定義，形如：且8中含有字母，這樣的代數(shù)式是分式，

D

掌握“分式的定義”是解本題的關(guān)鍵.

5.B

【分析】此題求速度，有路程，所以要根據(jù)時間來列等量關(guān)系.因為他們同時到達目的地,

所以此題等量關(guān)系為：慢車所用時間-快車所用時間=1小時.可列方程為四-畢=1.

x2x

【詳解】解：發(fā)慢車的速度是解7〃〃?，根據(jù)題意列方程為：

120120,

----------------I

x2x

故選：B.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問

題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】本題考查分式乘方、同底數(shù)塞的除法、異分母分式相加減、分式的性質(zhì)等.分式乘

方，等于把分子分母分別乘方；同底數(shù)幕的除法法則為：底數(shù)不變，指數(shù)相減；異分母分式

相加減，先通分，再運算.

【詳解】解：(￡)=/，故A選項錯誤；

=“2,故B選項正確；

—+-=——，故C選項錯誤；

aban

一x-y

—2■的分子和分母沒有公因式，不能約分，故D選項錯誤,

x-y

故選B.

7.D

【分析】根據(jù)同分母分式的加法法則計算可得結(jié)論.

答案第2頁，共14頁

…MYx—33x-3+3x

【詳解】----+-=-------=-=1.

XXXX

故選D.

【點睛】本題考查了分式的加減法，解題的關(guān)鍵是掌握同分母分式的加減運算法則.

8.C

【分析】設(shè)甲每天修建x米，根據(jù)結(jié)果甲比乙提早1天完成列出方程即可解答.

【詳解】設(shè)甲每天修建x米，根據(jù)題意可得：您=卑-1,故選C.

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)健是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適

的等量關(guān)系，列方程解答.

9.B

【分析】分式方程無解的情況有兩種，第一種是分式方程化成整式方程后，整式方程無解,

第二種是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此確定〃?的值.不

等式組整理后求出解集，根據(jù)有且只有三個偶數(shù)解確定出m的范圍，進而求出符合條件的

所有m的和即可.

【詳解】解：分式方程去分母得：mx+2(x-6)=3(x-2)f

整理得：(W-I).r-6=O,

分式方程無解的情況有兩種，

情況一：整式方程無解時，即〃?-1=0時，方程無解，

，6=1；

情況二：當(dāng)整式方程有解，是分式方程的增根，即尸2或尸6,

①當(dāng)x=2時，代入(陽-1?-6=0,得:2m-8=0

解得：得〃尸4.

②當(dāng)x=6時，代入(〃?-1*-6=0,得：6/n-12=0,

解得:得加=2.

綜合兩種情況得，當(dāng)〃?=4或〃尸2或m=1,分式方程無解；

tn-y>4

解不等式

y-4<3(y+4)

y<777-4

得：

y2—8

根據(jù)題意該不等式有且只有三個偶數(shù)解,

答案第3頁，共14頁

??.不等式組有且只有的三個偶數(shù)解為-8,-6,-4,

：.-4<m-4<-2,

.??0<w<2,

綜上所述當(dāng)〃尸2或m=1時符合題目中所有要求，

二符合條件的整數(shù)〃?的乘積為2x1=2.

故選B.

【點睛】此題考查了分式方程的無解的問題，以及一元一次不等式組的偶數(shù)解，其中分式方

程無解的情況有兩種情況，一種是分式方程化成整式方程后整式方程無解，另一種是化成整

式方程后有解，但是解為分式方程的增根，易錯點是容易忽略某種情況；對于已知一元一次

不等式組解，求參數(shù)的值，找到參數(shù)所表示的代數(shù)式的取值范圍是解題關(guān)鍵.

10.B

【分析】先解不等式紅I,根據(jù)不等式和的整數(shù)解確定〃的范圍，結(jié)合。為整數(shù),再確定。的

值，再解分式方程，根據(jù)分式方程的解為非正數(shù)，得到。的范圍，注意結(jié)合分式方程有意義

的條件，從而可得答案.

①

【詳解】解：:2"3

4x-a>x+l?

由①得：X<25,

由②得：

因為不等式組有且只有45個整數(shù)解，

A—<x<25,

3

A-20<-<-19,

3

.\-60<^+1<-57,

-610”7-58,

為整數(shù)，

.1.a為-61,-60,-59,

2y+a+260

y+\\+y

2y+a+2+60=y+1,

y=-6\-a,

答案第4頁，共14頁

而yWO,且尸-1,

二.一61—a?0,

二.a0-60,

綜上：。的值為：-61,-59.

故選B.

【點睛】本題考查的是由不等式組的整數(shù)解求參數(shù)系數(shù)的問題，考查分式方程的解為非正數(shù),

易錯點是疏忽分式方程有意義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

11.D

3—5x

-----W9一x一,一

【分析】根據(jù)題意解不等式組，用常數(shù)〃?表示其解集，通過不等式組2至少有3

x<m

個整數(shù)解且所有的解都是2x-5W的解，確定常數(shù)機的取值范圍，其次，解分式方程，同樣

用含有常數(shù)，〃的代數(shù)式去表示方程的解，排除掉當(dāng)解為增根時機的取值，從剩下的整數(shù)機

的取值中選擇使H?為整數(shù)的取值即可.

3-5x,

-----<9-x

【詳解】解：2

x<m

x>-5

化簡得：

x<m

??--5<x<m.

Xv2r-5<1

解得，A<3.

由不等式組至少有三個整數(shù)解且所有解都滿足爛3

故-29E3.

4x-23m-1.

又???-----+-----=2

x-11-x

整理得，4x2(3/n-l)=2(x-1)

解得，

由該方程有整數(shù)解，則網(wǎng);封，且3〃*應(yīng)為2的整數(shù)倍.

答案第5頁，共14頁

解得，*1.

???在生心3且〃田中，滿足3ml應(yīng)為2的倍數(shù)的整數(shù)加的取值有兩個，

分別為，-1,3.

故選：D.

【點睛】本題考查了解分式方程時應(yīng)考慮增根的情況，同時也考查了解不等式組的能力，以

及確定不等式組中字母參數(shù)滿足題意的值的判斷方法.

12.A

【分析】利用平行公理對①判斷：根據(jù)分式的基本性質(zhì)本分子分母都乘以10即可對②判斷:

利用平方差公式的特點對③分析：④通過0指數(shù)、底數(shù)為1,底數(shù)為對代數(shù)式進行分類

討論得結(jié)果.

【詳解】解：①按照平行公理可判斷在同一平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與己

知自線平行,故木選項正確：

②把分式喀土塔的分子和分母中的各項系數(shù)都化成整數(shù)為金嚕，故本選項不正確：

0.3a-b3a-10/?

③當(dāng)女為負值時，多項式不能分解成兩個一次因式積的形式，故本選項不正確；

④當(dāng)2/=0即t=0時，(t-2)2片(-2)0=1,

當(dāng)b2=1即片3時,(卜2)2416=1,

當(dāng)b2=1即/=1時，(t-2)2t=(-1)2=1,

，可以取的值有3個，故本選項正確；

綜上正確的說法是①④.

故選:A.

【點睛】本題考查了平行公理、分式的基本性質(zhì)、因式分解、零指數(shù)制等知識點，熟練掌握

相關(guān)性質(zhì)定理及運算法則是解題的關(guān)鍵.

13.10

【分析】根據(jù)負指數(shù)品的定義以及任何不為0的數(shù)的零次方都等于1，計算即可得到答案.

+(n—3)0=—L^+l=9+l=10

【詳解】解：㈢

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查「負指數(shù)鼎和零指數(shù)鼎，掌握負指數(shù)鼎的定義以及任何不為0的數(shù)的

零次方都等于1是解題的關(guān)鍵.

答案第6頁，共14頁

14.1

【分析】根據(jù)分式的值為零的條件即可得出.

X—1

【詳解】解：?.■分式—的值為()，

X

.??x-l=O且x,0,

故答案為1.

【點睛】本題考查了分式的值為零的條件：當(dāng)分式的分母不為零，分子為零時，分式的值為

零.

15.洋一2

【分析】根據(jù)分式有意義的條件進行求解即可.

【詳解】由題意得：x+2#),

解得：x,-2,

故答案為x#-2.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知“分式的分母不為0”時分式有意義是解題的關(guān)

鍵.

16.4

【分析】本題考查了新定義和解分式方程，根據(jù)定義，得Kd/-J)一11一1向1一§1，解方程即

可，注意分式方程需要檢驗.

【詳解】根據(jù)定義，XA(-3)=--7(h)=l

整理得，，+；=:，

x3x3

去分母,得3+1=》，

解得34,

經(jīng)檢驗，'=4是原方程的根，

故答案為：4.

17.!|##0.4一!##-0.2

JJJ

【分析】根據(jù)題意，設(shè)x=2腔y=3k,k/0,分別代入各式求解即可.

X9

【詳解】解：由題意一=彳，可設(shè)x=2k,V=3A,k=U

y3

答案第7頁，共14頁

x+y2k+3k5x2k2x-y2k-3k

則

y3k3x+y2k+3k5x+y2k+3k5

故答案為:，1，-!

JJ，

【點睛】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.5

【分析】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握最簡公分母的確定方法：系

數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次暴及單獨字母的事的乘積.先通分，再整

體代入求值即可得到結(jié)果.

【詳解】解：*尹誓

■:ab^O,5ab=a+b,

原式=曾=5.

故答案為：5.

2

19.§或-6或0

【分析】根據(jù)零次轅，1”=1,（-1廣=1,分類討論即可求解.

【詳解】解：當(dāng)a+6=0時，a=-6

原式=一19°=1,

2

當(dāng)3a-1=1時，4=5,

原式=1,

當(dāng)3。-1二一1時，o=0,a+6是偶數(shù)

二原式=（二）'1,

2

故答案為：§或-6或0.

【點睛】本題主要考查了零次毒、有理數(shù)的乘方運算法則等知識點，掌握零次事的性質(zhì)，1

的任何次累都是1,T的偶數(shù)次幕是1,是解答本題的關(guān)鍵.

2小

4zx4、一，x+y1y+z3z+xi得到

【分析】將q=T*變形為封口=-?---:

x+yy+z3'z+x4zx

111113113111131_13

—+-=一一“利用（L?七十75,求出，代入

yx3zy4xzA-y2

答案第8頁，共14頁

91T即可求出答案.

【詳解】?.?且=-3,yz_4zx4

x+yy+z3'z+x3

x+y_1y+z_3z+x3

??,z----

xy3yz4zx4,

111113113

---1—=,—I=—,—H—

yx3zy4xz

zyxz2

113

得ZI1----=不，

yx2

_[=_1__3

出2_7

得丁i

xy2yx3

12

???y=亍，

12

故答案為:y.

【點睛】此題考杳分式的性質(zhì)，分式的變形計算，根據(jù)分式的性質(zhì)得到

，+，=一:，，+，=一'是解題的關(guān)鍵.

yx3zy4xz4

21.5

【分析】本題考查的是解分式方程，一元一次不等式組的解法，理解題意是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元一次不等式組的解集可得-4,解分式方程，再進一步可得答案.

5x-a,

----------x<

【詳解】解：???，3

3x<2x+1

6+。

不等式組整理得：\~

x<1

由解集為得到號之1,即心-4.

x4-tz

解

x-2~T~

...關(guān)于x的方程隨一直二一2有解

???x-2。0即x。2

4一。c

------42

3

答案第9頁，共14頁

???關(guān)于X的方程三-=-2的解為非負整數(shù)，

x-22-x

???》=乎為非負整數(shù)，

即a可取4,1,

??.所有整數(shù)〃的和為4+1=5,

故答案為：5.

22.〃？>2且*3

【分析】方程兩邊同乘以六1,化為整數(shù)方程，求得x,再列不等式得出機的取值范圍.

【詳解】方程兩邊同乘以工-1,得，膽-3=x-l,

解得x=m-2,

???分式方程」、十二=1的解為正數(shù)，

x-\\-x

.-.x=/M-2>0nX-1￥O,

即m-2>0且小-2-1和,

2且

故答案為：洲>2且m卻.

23.2

【分析】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，先解不等式組，根據(jù)關(guān)于x

的一元一次不等式組至少有2個整數(shù)解，確定”的取值范圍,再把分式方程去分母轉(zhuǎn)

化為整式方程，解得y=手，由分式方程的解為正數(shù)，確定。的取值范圍。>-3且awl,

進而得到-3<。44且。工1,根據(jù)丁=號為正整數(shù)，確定出。的取值，相加即可得到答案.

【詳解】解：3,

x+a43②

解①得：."2<3x+3,

-2x<5,

5

X>~2,

解②得：x+aS3,

x<3-af

,??關(guān)于x的一元一次不等式組至少有2個整數(shù)解.，

答案第10頁，共14頁

解得。工4,

y-a1

---------4-----------

y-22-y

y-a1

y-2y-2

y-a-\=2-yt

3+。

???關(guān)于y的分式方程的解為正整數(shù),

3+4.L3+4C

——>0K——*2,

22

解得。＞一3且a±1,

一3<a44且awI,

由號為正整數(shù),

.,??=-1或a=3

則所有滿足條件的整數(shù)〃的值之和是-1+3=2,

故答案為：2.

24.x=\

【分析】本題考查解分式方程，先去分母將分式方程變形為整式方程，求出解后代入檢驗即

可.

152

【詳解】解:7^2-x2-4-7+2*

去分母，得x+2—5=2(x—2),

去括號，得x+2-5=2x-4,

移項、合并同類項，得r=-1，

系數(shù)化為I,得x=l,

當(dāng)x=1時，(x+2)(x-2)=(1+2)x(1-2)=-3H0,

故原分式方程的解為x=l.

25.(l)x=-5：

(2)x=4,5.

【分析】此題考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵

(1)去分母化為整式方程，再檢驗即可

答案第11頁，共14頁

（2）根據(jù)解分式方程的方法和步驟即可解答

【詳解】（1）解：去分母得：2X2-2X+3X+3=2X2-2

解得：x=-5

經(jīng)檢驗x=-5是分式方程的解

（2）解:去分母得：3=3.丫-6-x,

移項合并得：2x=9,

解得：x=4.5,

經(jīng)檢驗x=4.5是分式方程的解

26.（1）第一次購買口罩的單價為0.8元，第二次購買口罩的單價為1元

（2）學(xué)校兩次共購買口罩10000只

【分析】（1）設(shè)學(xué)校第一次購買口罩的單價為x元，則第二次購買口罩的單價為（x+0.2）

元，兩次購買口罩的數(shù)量相同列出分式方程，解方程即可：

（2）由（1）的結(jié)果列式計算即可.

【詳解】（1）解：設(shè)學(xué)校第一次購買口岸的單價為x元，則第二次購買口罩的單價為

(x+0.2)元,

40005000

由題意得:

xx+0.2

解得：x=0.8,

經(jīng)檢驗，x=0.8是原分式方程的解，且符合題意,

則x+0.2=0.8+0.2=l,

答：學(xué)校第一次購買口罩的單價為0.8元，第二次購買口罩的單價為1元；

（2）解：兩次購買口罩為黑x2=10000（只），

0.8

答：學(xué)校兩次共購買口罩100（）0只.

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，壬確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

27.曉雯通過AB段時的速度為2米/秒

1212

【分析】設(shè)曉雯通過48段時的速度為x米/秒，由題意知丁+—=9,計算求出滿足要求的

2xx

解即可.

【詳解】解：設(shè)曉雯通過力8段時的速度為x米/秒

由題意知312+上12=9

2xx

答案第12頁，共14頁

去分母得：12+24=18、

解