2025-2026學(xué)年八年級上冊數(shù)學(xué)北師大版單元測試卷

第一章勾股定理

考試時間：60分鐘滿分：100分

第I卷選擇題

一、選擇題（本題共10個小題，每題3分，共30分）

I.下列各組數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）

A.1,2,右B.1,2,石C.3,4,5D.6,8,12

2.已知△力4c中,a、〃、。分別是/力、/B、/。佗對邊，下列條件中不能判斷

是直角三角形的是（）

A.b--c2=a2B.Z/4:Z5:ZC=3:4:5

C.ZJ=Z5-ZCD.i:A:c=8:15:17

3.如圖是寶安公園一角的平面地圖，利用軟件測得起點力到第一個拐角處點4的距離為30

米，點8到終點C的距離是3（）米，如果乙48C=90。，那么力、。兩點的距離大約是（）

A.30米B.40米C.60米D.70米

4.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形，若正方形4B,C,。的邊長分別是4,9,1,4,則最大正方形E的面積是（

A.18B.114C.194D.324

5.如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點力，4,C都在格點上，AD為“BC

的高，則力力的長為（）

試卷第1頁，共6頁

A14MQ14V10r7>/i(jn7而

301()201()

6.“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直

角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為〃

〃(〃?>〃).若小正方形面積為5,(〃?+〃『二21,則大正方形面積為()

A.12B.13C.14D.15

7.一輛裝滿貨物，寬為1.6米的卡車，欲通過如圖所示的隧道(隧道下方為長方形，上方為

半圓形拱門)，則卡車的外形不得高于()

C.2.9米D.2.8米

8.如圖所示，將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm,高8cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷

子露在杯子外面的長度力cm，則h的取值范圍是()

A.h<17cmB.h>8cmC.15cm<h<\6cmD.7cm</?<16cin

9.如圖，KI△力AC,ZJ=90°,將△/WC，沿。￡翻折，使得點C與點4重合.若44=6,

試卷第2頁，共6頁

4C=8,則折痕O￡的長為（）

10.如圖，在RtZi48C中，N4CB=90。，AC=5,BC=12,AD平分NCAB交BC千點、

D,點、E,產(chǎn)分別是力。.力C上的動點，則EC+EF的最小值為（）

A

二、填空題（本題共6個小題，每題3分，共18分）

11.已知直角三角形的三邊分別為6,8,X,則、=.

12.如圖，這是一個臺階的模型圖.已知每級臺階的寬度都是2cm,每級臺階的高度都是

1.5cm,連接則48的長為cm.

13.如圖，A48C中，AB=AC,AB=5,808,力。是匕胡C的平分線，則力。的長為

14.如圖，在中，乙4cB=90°,AC=8,BC=6,8。為ZUSC的角平分線，則△力8。

的面積為.

試卷第3頁，共6頁

A

(1)8。與4C垂直嗎？請說明理由.

⑵求力。的長.

19.如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是I,且44,C,。都在格點上

(1)求四邊形力8。的周長；

⑵求證：48c=90°

20.小明將要組織策劃社區(qū)龍年春節(jié)聯(lián)歡活動，活動需要準備一塊會場背景板，形狀如圖所

示.具體要求如下：在四邊形,48。。中，連接力C,4c8=90。，48=13米，8c=12米,

(1)求線段4c的長；

(2)若該背景板制作成本為1()元/平方米，制作這樣一塊背景板需花費多少元？

21.如圖，某火車站內(nèi)部墻面上有破損處(看作點/),現(xiàn)維修師傅需借助梯子OE完成

維修工作.梯子的長度為5m,將其斜靠在這面墻上，測得梯子底部E離墻角N處3m,維

修師傅爬到梯子頂部使用儀器測量，此時梯子頂部D距離墻面破損處1m.

試卷第5頁，共6頁

(1)該火車站墻面破損處A距離地面有多高？

(2)如果維修師傅要使梯子頂部到地面的距離為4.8m.那么梯子底部需要向墻角方向移動多

少米？

22.臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有

極強的破壞力，如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向48由A行駛向8,已知點。為一海港，且

點C與直線上的兩點A,8的距離分別為力。=3004加，BC=400km,又AB=500km,

以臺風(fēng)中心為圓心周圍250碗?以內(nèi)為受影響區(qū)域..

(2)海港。受臺風(fēng)影響嗎？為什么？

(3)若臺風(fēng)的速度為20千米/小時，當(dāng)臺風(fēng)運動到點E處時，海港。剛好受到影響，當(dāng)臺

風(fēng)運動到點歹時，海港。剛好不受影響，即CE=b=250燈〃，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時

間有多長？

23.如圖，在中，乙4cB=90。，BC=20,AC=\5.點。從點4出發(fā)，沿邊48以每

秒2個單位長度的速度向終點B運動。＞0).

(1)求邊48的長.

(2)當(dāng)線段8的長取最小值時，求，的值.

(3)當(dāng)△4CO是軸對稱圖形時，求所有滿足條件的t的值.

試卷第6頁，共6頁

1.D

【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即司;

【詳解】解：A,12+22=(^)\能構(gòu)成直角三角形；

12+(73)2=22,能構(gòu)成直角三角形；

C、32+42=5\能構(gòu)成直角三角形;

D、62+82^122,不能構(gòu)成直角三角形.

故選：D.

【點睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三

邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

2.B

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用.由三角形內(nèi)角和定理及勾

股定理的逆定理求解，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方或最大角是否是9()。即可.

【詳解】解：A、

+c2=b2，

???△力8c是直角三角形，故選項A不符合題意；

B、vZJ:Z5:ZC=3:4:5,

??.最大角NC=180°x—^―=75。，

3+4+5

???△48。不是直角三角形.故選項8符合題意；

C、vZJ=Z5-ZC,

:.ZA+ZC=ZB,

???Z/f+Z5+ZC=180°,

N8=90。，

???△/SC是直角三角形，故選項C不符合題意；

D、設(shè)a=84，b=T5k,c=\7k,

?.?(80)2+(15*y=(17k)2,

：.a2+b2=c2，

是直角三角形，故選項D不符合題意；

故選:B.

3.B

答案第1頁，共15頁

【分析】本題主要考查了勾股定理及其應(yīng)用、無理數(shù)的估算等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解

題的關(guān)鍵.利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，連接力C,

由題可知力3=30米，4。=30米,

乙48c=90°,

AC=y/AB2+BC2=3075工42.42米，

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)正方形的面枳公式，勾股定理，得到正方形A,B,C,D的面枳和即為最大正方形的面

積.

根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為C、D的面積和為0,

2222

S,=4+9,S2=l+4,

則S3=S)+S2,

.??S3=16+81+1+16=I14.

故選B.

【點睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么

a2+b'=c2?

5.D

【分析】根據(jù)題意利用割補法求得△48C的面積，利用勾股定理算出8c的長，再利用等面

答案第2頁，共15頁

積法即可求得力。的長.

【詳解】由題可得：

1117

SW=3x3-lx3x——2x3x——lx2x—=—,

2222

BC="+32=M，

ADxV10x—=—,

22

解得：加巫,

10

故選：D.

6.B

【分析】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本

題屬于基礎(chǔ)題型.由題意可知，中間小正方形的邊長為掰-〃，根據(jù)勾股定理以及題目給出

的已知數(shù)據(jù)即可求出大止方形的面積為〃/+/.

【詳解】解：由題意可知，中間小正方形的邊長為〃?一〃，

.?.（m-n）2=5,BPm2+n2-2mn=5?>

+=21,

???m~+n2+2nin=21@>

①十②得2（〃/+〃'）=26,

???大正方形的面積〃/+/=13,

故選：B.

7.C

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)圖形，可得

。。=04=1,根據(jù)勾股定理求出則C〃=CO+QH,根據(jù)?題意，則卡車的外形小于

CH,即可.

【詳解】解：由圖形可得，。。=。4=1（米），。。=0.8（米），

-OC2=CD2+OD2,

.--l2=0.82+CD2,

解得：CD=0.6（米），

?：CH=CD+DH,

答案第3頁，共15頁

.?.07=0.6+2.3=2.9（米），

???卡車的外形不得高于2.9米.

故選：C.

8.D

【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，如圖，當(dāng)筷子的底端在A點時，筷子露在杯

子外面的長度最短；當(dāng)筷子的底端在。點時，筷子露在杯子外面的長度最長.然后分別利

用已知條件根據(jù)勾股定理卻可求出力的取值范圍.

【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)筷子的底端在。點時，筷子露在杯子外面的長度最長，

圖1

如圖2所示，當(dāng)筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短,

圖2

在Rt△力“力中，AD-\5cm,BD=8cm,

AAB=>1AD-+BD1=17cm，

此時如小=24-17=7cm,

：.h的取值范圍是7cm<h<16cm.

故選：D.

9.B

【分析】本題考查了勾股定理，翻折的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

先由勾股定理求出10,由折疊得到。8=OC,DE人BC設(shè)DB=DC=x,則

AD=^-Xt在Rt△力8。中，由勾股定理得62+（8—Ji/,求出。8=。。=等，再由面積

法得到月即可求解.

22

【詳解】解：RtA^5C,乙4=90。，AB=6,AC=8,

???由勾股定理得3c=J/濟+/IC?=io,

答案第4頁，共15頁

?.?將△44C沿OE翻折，使得點。與點8重合.

DB=DC,DELBC

設(shè)DB=DC=x,則力。=8,丫，

在Rl△44。中，由勾股定理得，AD2+AB2=BD2^

A62+(8-X)2=X2,

解得：x=3，

4

--BCxDE=-CDxAB,

22

故選:B.

1().C

【分析】本題主要考查的是軸對稱的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識，解題的關(guān)

鍵是學(xué)利用對稱，解決最短問題.如圖所示：在48上取點尸'，使4尸=4/，過點。作

CH±AB,垂足為〃.因為+"=+推出當(dāng)C、E、k共線，且點產(chǎn)與“重

合時，在+￡C的值最小.

【詳解】解：如圖所示：在力B上取點尸，使力尸=4尸，過點。作CH_L43,垂足為〃.

在RtZk48C中，ZACB=90°fAC=5,BC=\2,

AB=1AC?+BC2=13-

'：-ACBC=-ABCH

22f

ACBC60

CH=

AB~~13

?：EF+CE=EF'+EC,

二當(dāng)C、E、尸共線，且點尸與〃重合時，bE+EC的值最小，最小值為C”的長,

答案第5頁，共15頁

產(chǎn)E+EC的值最小為

故選：C.

11.10或2J7

【分析】本題考查勾股定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和分類討論.分邊長為x的邊

為直角邊和斜邊兩種情況，進行求解即可.

【詳解】解：當(dāng)邊長為X的邊為斜邊時，x=病而=10：

當(dāng)邊長為X的邊為直角邊時，X=^82-62=2A/7：

故答案為：10或2五.

12.10

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，由題意得力O=4X1.5=6,

80=2x4=8,

故AB=V6:+82=l()(cm).

故答案為：10.

13.3

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD1BC,BD=gBC=4,根據(jù)勾股定理計算，得到答

案.

【詳解】解：必1＞人(：，AD是4BAC的平分線，

???AD1BC,BD=^-BC=4,

由勾股定理得.AD=J?==3,

故答案為3.

【點睛】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長分別

是a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.

14.15

【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理及勾股定理;根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得。E=QC,

根據(jù)勾股定埋求得力〃=10,設(shè)DE=EC=x,進而根據(jù)二角形的面積公式列出方程，解方

答案第6頁，共15頁

程，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點、D作DEJ.4B于點E,

???8。為ZUAC的角平分線，4c8=90。

:.DE=DC

在中，ZACB=90c,/C=8,BC=6

：?AB7AC?+BC?=10,

?*"BC一"dABD丁*^BDC

設(shè)OE=EC=x,

.-.-BCxDE+-ABxDE=-BCxAC

222

6x+1Ox=6x8

解得：x=3

:.S1/?D=i/lZ?xD￡=-xl0x3=15

&Aou22

故答案為：15.

15.2.6米

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，理解并掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.過點。作

DEJ.4B于熱E,可得。E=/C=2.4,AE=CD=0.3fDE=l,再根據(jù)勾股定理求解即可

【詳解】解：如圖，過點。作48于點E,

BE=AB-AE=\^,

BD=>IBE2+DE2=7l2+2-42=2.6（米）?

答案第7頁，共15頁

所以此時牽狗繩5。的長為2.6米.

故答案為：2.6米.

16.5&

【分析】本題考查的是平面展開一最短路徑問題.先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后,

再確定兩點之間的最短路徑.

【詳解】解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面，

則這個長方形的長和寬分別是7和3,

則所走的最短線段是萬尸=屈：

第二種情況：把我們看到的右面與前面組成一個長方形,

則這個長方形的長和寬分別是5和5,

所以走的最短線段是二亨=5&；

第三種情況：把我們所看到的上面和左面組成一個長方形,

則這個長方形的長和寬分別是8和2,

所以走的最短線段是廬工7=瘋=2JT7；

???屈＞?。就?，

???它需要爬行的最短路線的長是5立，

故答案為：5近.

17.(1)/0X8=135。

答案第8頁，共15頁

⑵/地形MD=

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，證明

△力CD是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

(1)利用勾股定理可求/C,求出4c2由勾股定理的逆定理可證△力co是直

角三角形，再由NDAB=^CAD+ABAC即可得出結(jié)論：

(2)由三角形的面枳公式即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：連接4C,

???/8=90。，AB=BC=2,

?-AC=ylAB^BC2=V22+22=2V2?

又???CO=3,=1,

?^AC2+DA2=CD2,

是直角三角形，/。1。=90。，

?:AB=BC,/8=90。，

.?.N8/1C=45。，

:?NDAB=NCAD+NBAC=900+45°=135°:

(2)解：四邊形力4CO的面積=-5C的面積+4/1C。的面積

=-x2x2+-xlx2V2

22

=2+72.

18.(1)6。與4C垂直，理由見解析

119

⑵而

【分析】此題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是勾股定理的逆定

理解答.

(1)由8。=13,8=5,80=12,知道4c2=Ab+c3，所以"OC為直角三角形，

(2)由(1)可求出4。的長.

答案第9頁，共15頁

【詳解】（1）解：垂直，理由如下：

???8C=13,。。=5,BD=\2,

fiC2=RD2+CD2,

.?.△8QC為直角三角形，

與ZC垂直；

（2）解：設(shè)4。=x,

???AJ8C是等腰三角形，

AB=AC=x+5,

vAB2=AD2+BD2，

即（x+5『=/+12‘，

119

解得：x=而，

,4。=粵

10

19.（1）3V5+2V10+V29；（2）見詳解.

【分析】（1）利用勾股定理求出各邊長即可解決問題；

（2）連接AC,求出AC的長度，然后利用勾股定理的逆定理證明即可;

【詳解】解：（1）???網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1，由勾股定理，得:

??J5=A/42+22=275?￡C=Vl2+22=V5>

AD=』2、62=2面，CD=^22+52=^9?

???四邊形MCO的周長為：

275+75+2V10+V29=3V5+2710+729；

（2）如圖：連接AC,由勾股定理，得：JC=V32+42=5：

答案第10頁，共15頁

???AB-+BC2=（2>/5）2+（石尸=25=AC2，

???△/8C是直角三角形，

ZJ5C=90°.

【點睛】本題考杳勾股定理的逆定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,

屬十中考?？碱}型.

20.（1）線段4C的長為5米；

（2）制作這樣一塊背景板需花費360元.

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理以及三角形面積公式等知識，熱練

掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

（1）由勾股定理求出的長即可；

（2）由勾股定理的逆定理證出A/CD是直角三角形，旦44。。-90。，然后由三角形面積公

式求出四邊形力的面積，即可解決問題.

【詳解】（1）解：???N4CB=90°,8C=12米，4？=13米，

AC=yjAB2-BC2=>/132-122=5（米），

即線段力。的長為5米：

（2）解：?.?32+42=5-8=3米，/。=4米，/。=5米，

C.CD1+AD1=AC1,

.??△/CO是直角三角形，且乙4。。二90。，

邊彩）

SpiABO=S&48c+S&1co

=1jCZ?C+|cD-JD=^x5xl2+^x3x4=36（平方米），

36x10=360（元），

答：制作這樣一塊背景板需花費360元.

答案第11頁，共15頁

21.（1）該火車站墻面破損處A距離地面的高度為5m

Q

（2）梯子底部需要向墻角方向移動小口

【分析】（I）利用勾股定理求出的長度，則⑷V=/D+ON；

（2）設(shè)4c是梯子移動后的位置，利用勾股定理求出AW,則BE=EN-BN.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得在Rt△。氏V中，OE=5m,EN=3m,

由勾股定理，得DN=JDE'-EN2=452-32=4（m）.

,:NO=lm,

二4N=4。+ON=1+4=5(m).

答：該火車站墻面破損處A距離地面的高度為5m.

（2）解：如圖，此時8c是梯子移動后的位置.

?.,在Rt"CN中，BC=5m,CN=4.8m.

二由勾股定理，WBN=ylBC2-CN2=V52-4.82=1（m）.

7Q

:.BE=EN-BN=3--=-（m）.

55—

答：梯子底部需要向墻角方向移動

【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，即直角三角形兩角直角邊

長平方的和等于斜邊長的平方.

22.（1）90°；（2）海港C受臺風(fēng)影響，證明見解析；（3）臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為7

小時.

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷；

（2）利用勾股定理的逆定理得出AABC是直角三角形，進而利用三角形面枳得出CD的長,

進而得出海港C是否受臺風(fēng)影響：

（3）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進而得出臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間.

【詳解】（1）vJC=300hn,BC=400A加，AB=500^/,

答案第12頁，共15頁

：.AC2+BC2=AB\

???A4AC是直角三角形,

.?.ZACB=9O°：

(2)海港C受臺風(fēng)影響,

過點C作。。148,

?.?AJ8C是直角三角形,

.?.300x400=500x0),

,-.CZ)=240(A?H),

丁以臺風(fēng)