第六節(jié)二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布

一、教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

1.〃重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

(1)〃重伯努利試驗(yàn)

把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做但如噠驗(yàn).

將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為〃重伯努利試

驗(yàn).

(2)二項(xiàng)分布

設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(OV〃Vl).

在〃重伯努利試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X

=公=€：豺(1一加一,火=0,1,2，…，〃，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作X?

8(〃，p).

微提醒■?■

二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布的聯(lián)系

由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即〃=1時(shí)

的二項(xiàng)分布.

2.超幾何分布

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件(不放回)，用X表示抽取的〃件

CfaC*扇

產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為尸(X=A)=Qf,攵=〃2,機(jī)+1,6+2,…，

r,其中〃，M,NWN*,，〃=max{0,n-N+M},r=min{〃，M},

稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

微提醒■■■

超幾何分布的特征

(1)考察對(duì)象分兩類；

(2)已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；

(3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.

超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概,率模型，其實(shí)質(zhì)是古

典概型.

3.正態(tài)分布

(1)正態(tài)曲線

函數(shù)/(x)=6歷e”,x￡R,其中〃￡R,?()為參數(shù)，我們稱函數(shù)7U)為

正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.

(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)

①曲線位于x軸上方:，與x軸不相交.

②曲線是單峰的，它關(guān)于直線3對(duì)稱.

③曲線在處達(dá)到峰值Q9.

④曲線與X軸圍成的面積為L

⑤在參數(shù)。取固定值時(shí)，正態(tài)曲線的位置由，〃確定，且隨著區(qū)的變化而沿X

軸平移，如圖⑴所示.

⑥當(dāng)〃取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由。確定，。較小時(shí),峰值高，曲線“瘦

高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；。較大時(shí),峰值低，曲線“矮胖”，表

示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖(2)所示.

(3)正態(tài)分布的定義及表示

1中

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為人0=涯;e-,x￡R,則稱隨機(jī)變

量X服從正態(tài)分布，記為X~N(小標(biāo)).

正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值.

①。WXW"+a)-0.6827.

②P("—2oWX+220.9545.

③-3—3oWXW"+3g0.9973.

微提醒■■■

若X服從正態(tài)分布，即X?M/1,W)、要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直線X=4

對(duì)稱和曲線與x軸之間的面積為1.

―57基麻族括加播

i.判斷下列說法的正誤，對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“義”.

(1)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(X=k)=a〃"(l-p)，r,k=

(),1,2,…，〃表示的概率分布列，它表示了〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次

數(shù)的概率分布.(J)

(2)從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球的盒中有放回地任取一個(gè)球，連取3次，則取

到紅球的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布.(X)

(3)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從揚(yáng)幾

何分布.(J)

(4)一個(gè)盒中裝有4個(gè)黑球、3個(gè)白球，從中任取一個(gè)球.若是白球，則取出

來，若是黑球，則放回盒中，直到把白球全部取出來.設(shè)取到黑球的次數(shù)為X,

則X服從超幾何分布.(X)

(5)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布，其公式相當(dāng)于二項(xiàng)式(〃+份"展開式的通項(xiàng)公

式，其中。=p,b=1—p.(X)

(6)正態(tài)分布中的參數(shù)〃和。完全確定了正態(tài)分布密度函數(shù)，參數(shù)〃是正態(tài)

分布的均值，。是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.

(V)

2

2.如果某一批玉米種子中，每粒發(fā)芽的概率均為？，那么播下5粒這樣的種

子，恰有2粒不發(fā)芽的概率是()

8080163163

A.243B.麗C.243D.729

A解析：用X表示發(fā)芽的粒數(shù)，則X?般I),則P(X=3)=CgX住了

(2V_80_80

XU-3J=243,故播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概,率為加.

3.某班有48名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，平均分為80,

標(biāo)準(zhǔn)差為10,則理論上在80分到90分的人數(shù)是()

A.32B.16C.8D.20

B解析：因?yàn)閿?shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布/V(80,102),所以P(\x-

801^10)^0.6827.根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知，便于80分到90分之間的概率是

1

位于70分到90分之間的概率的一半，所以理論上在80分到90分的人數(shù)是2

X0.6827X48^16.

4.設(shè)隨機(jī)變量X?B(6,II則P(X=3)等于()

65

所以甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率為所.

(2)記“甲射擊4次，恰好擊中目標(biāo)2次”為事件A2,“乙射擊4次，恰好

擊中目標(biāo)3次”為事件員，

則p(A2)=ax(3)x(i-l)

3f627

lI--

4一

Xy1--64

P(&)=C?X、47

由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，

JL271

故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=27X64=8.

所以兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率為

1

8.

(3)記“乙恰好射擊5次后，被終止射擊”為事件A3,“乙第，次射擊未擊

中“為事件D"=1,2,345),

則小=。5。4萬3(D2萬|U萬2。1UDrD|),

1

且P(A)=4.

由于各事件相互獨(dú)立，故

—————113

P(/h)=P(D5)P(DQP(D3)P(D2DI+￡>2P1+D2D1)=4X4X4

(1n45

x(l-4x4=1024.

45

所以乙恰好射擊5次后，被終止射擊的概率為1()24.

解題通法

〃重伯努利試驗(yàn)概率求解的策略

(1)首先判斷問題中涉及的試臉是否為n重伯努利試臉，判斷時(shí)注意各次試

驗(yàn)之間是否相互獨(dú)立的，并且每次試臉的結(jié)果是否只有兩種，在任何一次試驗(yàn)中，

某一事件發(fā)生的概率是否都相等，全部滿足n重伯努利試驗(yàn)的要求才能用相關(guān)公

式求解.

(2)解此類題時(shí)常用互斥事件概率加法公式，相互獨(dú)立事件概率乘法公式及

對(duì)立事件的概率公式.

考向2二項(xiàng)分布

例?，某公司招聘?員工，先由兩位專家面試，若兩位專家都同意通過，則視

作通過初審予以錄用；若這兩位專家都未同意通過，則視作未通過初審不予錄用;

當(dāng)這兩位專家意見不一致時(shí)，再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審則予以錄

1

用，否則不予錄用.設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為E，復(fù)審能通

3

過的概率為正，各專家評(píng)審的結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求某應(yīng)聘人員被錄用的概率；

(2)若4人應(yīng)聘，設(shè)X為被錄用的人數(shù)，試求隨機(jī)變量X的分布列.

解：設(shè)“兩位專家都同意通過”為事件A,“只有一位專家同意通過”為事

件&“通過復(fù)審”為事件C

(1)設(shè)“某應(yīng)聘人員被錄用”為事件。，

則D=AUBC.

Ill

因?yàn)镻(A)=2X2=4,

P(B)=2X2X(1-2)=2,

3

P(O=T5,

2

所以P(O)=P(AUBC)=P(A)+P(B)P(C)=G.

(2)根據(jù)題意,X=0,1,2,3,4,且X?

Ai表示“應(yīng)聘的4人中恰有i人被錄用“(i=0,l,2,3,4).

因?yàn)镻(Ao)=C9x區(qū)！=625,

2(邳216

P(A|)=CJX5X(引=625,

俳⑶2216

P(A2)=C*X(5jX15j=625,

但、3_96_

。如)=ClX(5JX5=625,

②4⑶。16

2(4)=01x151X\^)=625

所以X的分布列為

X01234

812162169616

p

625625625625625

解題通法

二項(xiàng)分布概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否

滿足公式尸（X=A）=C鏟（1一〃）廠火的三個(gè)條件：（1）在一次試臉中某事件A發(fā)生的

概率是一個(gè)常數(shù)p;（2）〃次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而

且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；（3）該公式表示〃次試瞼中事件A恰好發(fā)生了k

次的概率.

「多維訓(xùn)練」

為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)

前必須進(jìn)行兩輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售.已

11

知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為4,第二輪檢測(cè)不合格的概率為正，兩輪檢

測(cè)是否合格相互沒有影響.若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不

能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元.已知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元,

則P（X2—80）=.

243（1Y3

256解析：由題意得該產(chǎn)品能銷售的概率為（1一%八1一面=1易知X的所

有可能取值為一320,-200,-80,40,160.

設(shè)4表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，則J?J%I）,

所以P《=&）=C5售）（?4:

所以p（x=-80）=p（c=2）=CH?2-02=ns,

P（X=40）=P（k3）=c6）G）舄，

P(X=160)=%=4)=Ct鈔出=懸.

243

故尸(X2-80)=P(X=-80)+P(X=40)+P(X=160)=256.

考點(diǎn)2超幾何分布——綜合性

「典例引領(lǐng)」

例?“在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理喑示對(duì)人的影

響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示,

另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)

兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者4,A2,A3,AI,4,4和4名女志愿

者⑸，ft,&,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理

暗示.

(1)求接受甲種心理喑示的志愿者中包含4但不包含&的概率；

(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.

解：(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含4但不包含Bi的事件為M,

q5

則P(M)=Go=18.

(2)由題意知X可取的值為0,1,2,34,則

Cg1

“(義=())=說=冠，

mA

P(X=1)=c?o=21,

io

P(X=2)=CM=五,

CgCj_5_

P(X=3)=c?0=21,

CiCj1

P(X=4)=Go=42,

因此X的分布列為

X01234

151()5I

p

422?2?2142

解題通法

(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)

數(shù).超幾何分布的特征：

①考查對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查

某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.

(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)

是古典概型.

「多維訓(xùn)練」

1.已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數(shù)為乙

16

已知P(<=1)=/，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%,則這10件產(chǎn)品的次品率為

()

A.10%B.20%C.30%D.40%

ClClo-xx(lO-x)16

B解析：設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品，則P(f=l)=C?o=45=45,

所以x=2或x=8.

2

因?yàn)榇纹仿什怀^40%,所以人=2,所以次品率為m=20%.

2.(2020?貴陽市四校高三聯(lián)考)高新區(qū)某高中德育處為了調(diào)查學(xué)生對(duì)“國安

法”的關(guān)注情況，在全校組織了“國家安全知多少”的知識(shí)問卷測(cè)試，并從中隨

機(jī)抽取了12份問卷，得到其測(cè)試成績(百分制)如下：

52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94.

(1)寫出該樣本的中位數(shù)，若該校共有3000名學(xué)生，試估計(jì)該校測(cè)試成績?cè)?/p>

70分以上的人數(shù)；

(2)從所抽取的70分以上的學(xué)生中再隨機(jī)選取4人,記4表示測(cè)試成績?cè)?0

分以上的人數(shù)，求^的分布列和數(shù)學(xué)期望.

82

解：(1)由已知數(shù)據(jù)可得中位數(shù)為76,樣本中7()分以上的所占比例為適=],

故可估計(jì)該校測(cè)試成績?cè)?()分以上的約為

2

3000X3=2000(人).

(2)由題意可得J的可能取值為0,l,2,3A

qci1C\Cl168CIG3618

P(f=0)="cF=70,P(f=l)=ci=70=35,P(C=2)=a=70=35,

QC116_8_C1C21

P(<=3)=cl=70=35,P(4=4)=c殳=70.

所以j的分布列為

01234

181881

P

7035353570

J__8__[8_8_J_

E(^)=0X70+lX35+2X35+3X35+4X70=2.

考點(diǎn)3正態(tài)分布——應(yīng)用性

「典例引領(lǐng)」

例0，(1)(多選題)(2020.本溪高級(jí)中學(xué)期末)若隨機(jī)變量。?M0J)，9(6=

P《w?,其中人>0.下列等式成立的有()

A.^(—x)=l—^(x)

B.(p(2x)=2(p(x)

C.P(?<Y)=29(X)—1

D.尸(?>x)=2—%)

AC解析：因?yàn)殡S機(jī)變量j服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),所以正態(tài)曲線關(guān)于

。=0對(duì)稱，如圖.

9(—x)=夕(。2幻=1—(p(x),所以A項(xiàng)正確；

8(2X)=9(《W2%),2叭x)=2(pQWx),

所以(p(2x)#2(p(x),B項(xiàng)錯(cuò)誤；

P(\^<x)=P(—x<^<x)=1—2(p(—x)=1—2[1—^(x)]=2^(x)—1,所以C項(xiàng)正

確；

P(同>x)=P(令狀或^<—x)=1—9(x)+w(—x)=1—9(.0+1—e(x)=2—2例1)，

所以D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC.

(2)設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨機(jī)變量X,且X?M800,50，則一

天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為()

A.0.97725B.0.84135

C.0.9973D.0.9545

A解析：因?yàn)閄?N(800,502),

所以P(700WXW900)~0.9545,

1-0.9545

所以P(X>900)=2=0.02275,

所以P(XW9()0)七1-0.02275=0.97725.

(3)“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗.202()年春節(jié)前夕，

A市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了1()()包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，

所得頻率分布直方圖如下：

①求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)7(同?組中的

數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

②由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布

N3,/),利用該正態(tài)分布，求Z落在［14.55,38.45］內(nèi)的概率.

附:計(jì)算得所抽查的這1()()包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差為。=小無

叼1.95.

解:①所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)1=5x0.1+15x0.2

+25x0.3+35x0.25+45x0.15=26.5.

②因?yàn)閆服從正態(tài)分布M",〃)，且"=26.5,戶11.95,

所以P(14.55WZW38.45)=P(26.5一11.9526.5+11.95)=0.6827,

所以Z落在［14.55,38.45］內(nèi)的概率是0.6827.

解題通法

(1)利用3〃原則求概率問題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的〃，

〃進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于［〃一。，"+司，［〃-2o,〃+2可，［〃-3%〃+30］

中的哪一個(gè).

(2)利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線

關(guān)于直線對(duì)稱，及曲線與x軸之間的面積為1.注意活用下面兩個(gè)結(jié)論：

①尸(XVa)=l—P(X2o);

②P(XV4-a)=P［X>f.t+°).

「多維訓(xùn)練」

(202()?安慶二模)為了保障某種藥品的主要藥理成分在國家藥品監(jiān)督管理局

規(guī)定的值的范圍內(nèi)，某制藥廠在該藥品的生產(chǎn)過程中，檢驗(yàn)員在一天中按照規(guī)定

每間隔2小時(shí)對(duì)該藥品進(jìn)行檢測(cè)，每天檢測(cè)4次，每次檢測(cè)由檢驗(yàn)員從該藥品生

產(chǎn)線上隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)量其主要藥理成分含量(單位：mg).根

據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條藥品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品中其主要藥理成分

含量服從正態(tài)分布NUL,(T2).

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示某次抽取的2()件產(chǎn)品中其主要藥理成分含

量在［〃-3。,“+3用之外的藥晶件數(shù)，求P(X=1)(精確到().001)及X的數(shù)學(xué)期望.

(2)在一天內(nèi)的四次檢測(cè)中，如果有一次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在［4一36

4+3。］之外的藥品，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情

況，需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查；如果在一天中，有連續(xù)兩次檢測(cè)出現(xiàn)了主要

藥理成分含量在［〃-3/〃+3月之外的藥品，則需停止生產(chǎn)并對(duì)原材料進(jìn)行檢測(cè).

⑴下面是檢驗(yàn)員在某一次抽取的20件藥品的主要藥理成分含量:

10.029.7810.049