專題02二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（7個知識點(diǎn)6種題型2個中考考點(diǎn)）

唯［目錄］

倍速學(xué)習(xí)四種方法

【方法一】脈絡(luò)梳理法

知識點(diǎn)2.幾種特殊形式的二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

知識點(diǎn)5.二次函數(shù)的最大（?。┲担ㄖ攸c(diǎn)）

知識點(diǎn)6.拋物線的平移規(guī)律（重點(diǎn)）

【方法二】實(shí)例探索法

題型1.雙圖象問題

題型2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用

題型3.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

題型4.求二次函數(shù)的最值

題型5.二次函數(shù)函數(shù)值的大小比較

題型6.利用拋物線的對稱性解題

【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法

考法1.二次函數(shù)圖象的特征

考法2.二次函數(shù)圖象的平移

【方法四】成果評定法

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會用描點(diǎn)畫二次函數(shù)的圖象，會利用一些特殊點(diǎn)畫出二次函數(shù)的草圖。

2.能根據(jù)二次項系數(shù)判斷函數(shù)圖象的開口方向，并能從圖像上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)，知道二次函數(shù)的系數(shù)

與圖像形狀及對稱軸的關(guān)系。

3.會用配方法確定二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程及求二次函數(shù)的最大值或最小值。

?【知識導(dǎo)圖】

?【倍速學(xué)習(xí)四種方法】

【方法一】脈絡(luò)梳理法

二次函數(shù)尸ax?(aWO)的圖象的性質(zhì)，見下表:

系數(shù)圖象開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸函數(shù)變化最大(小)

值

y=ax2a>0向上(0,0)y軸x>0時,y隨當(dāng)x=0

x增大而增大；時，y址產(chǎn)0

山x<()時，y隨

x增大而減小.

y=ax2a<0向下(0,0)y軸x>0時,y隨當(dāng)x=0

X增大而減??；時，ywk=O

x<0時，y隨

X增大而增大.

要點(diǎn)詮釋：

頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)。相同，那么拋物線的開口方向、開口

大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.|a|相同，拋物線的開口大小、形狀相同.

la|越大，開口越小，圖象兩邊越靠近y軸，|a|越小，開口越大，?圖象兩邊越靠近x軸.

【總結(jié)】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式及二次函數(shù)圖像畫法.

【總結(jié)】本題考察二次函數(shù)的性質(zhì).

【答案】±-.

5

【總結(jié)】本題考察二次函數(shù)的性質(zhì).

【總結(jié)】本題考察了二次函數(shù)的概念和性質(zhì).

知識點(diǎn)2.幾種特殊形式的二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

一、二次函數(shù)丫=@*2+（：3=0）的圖象的性質(zhì)

函數(shù)

[O,c)

圖象斗,布

開口方向向上向下

頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,c)(0,c)

對稱軸y軸y軸

函數(shù)變化

最大（?。?/p>

值

要點(diǎn)詮釋:

拋物線y=ax2（a^O）的對稱軸、最值與頂點(diǎn)密不可分，其對稱軸即為過頂點(diǎn)且與x軸垂直的一條直線,

其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x=0,拋物線平移不改變拋物線的形狀，即a的值不變，只是位置發(fā)生變化而已.

a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

向上x=h

向下x二h

。的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

向上x二h

向下x=h

要點(diǎn)詮釋：

【例2】有一個拋物線形的拱形隧道，隧道的最大高度為6m,跨度為8m,把它放在如圖所示的平面直角坐

標(biāo)系中.

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若要在隧道壁上點(diǎn)P（如圖）安裝一盞照明燈，燈離地面高4.5m.求燈與點(diǎn)B的距離.

描點(diǎn)、連線，如圖所示:

(2)取點(diǎn)(2,8)為所要找的點(diǎn)P,如圖所示，運(yùn)用勾股定理求得ED=5,PD=10,

觀察圖象知AD=2,CD=L點(diǎn)E、P、A、C到直線y=2的距離分別是5、10、2、1.

(3)拋物線上任一點(diǎn)到點(diǎn)D的距離等于該點(diǎn)到直線y=2的距離.

【總結(jié)升華】(1)描點(diǎn)畫圖時，應(yīng)先確定拋物線的對稱軸，然后以對稱軸為參照，左右對稱取點(diǎn).

(2)計算兩點(diǎn)之間的距離應(yīng)構(gòu)造兩直角邊分別平行于兩坐標(biāo)軸的直角三角形，然后運(yùn)用勾股定理求得.

旭物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

【答案】

拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

向下

向下

向下直線”1(1.0)

【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì).

1.頂點(diǎn)式化成一般式

2.一般式化成頂點(diǎn)式

要點(diǎn)詮釋：

1.一般方法：列表、描點(diǎn)、連線；

2.簡易畫法：五點(diǎn)定形法.

其步驟為：

(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M,并用虛線畫出對稱軸.

當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，描出這兩個交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C,再找到點(diǎn)C關(guān)于對稱

軸的對稱點(diǎn)D,將A、B、C、D及M這五個點(diǎn)按從左到右的順序月平滑曲線連結(jié)起來.

要點(diǎn)詮釋：

當(dāng)拋物線與X軸只有一個交點(diǎn)或無交點(diǎn)時，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對稱點(diǎn)D,由C、M、D三點(diǎn)可

粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點(diǎn)A、B,然后順次用

平滑曲線連結(jié)五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖象，

【例3】某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)丫=@*2+6乂+(:的圖象時，列出了下面的表格：

X???-2-1012???

y???-II-21-2-5???

由干粗心，他算錯了其中一個y值，則這個錯誤的數(shù)值是()

A.11B.2C.1D.5

【答案】D.

提示：由函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸對稱，得

(-1,-2),(0,1),(1,2)在函數(shù)圖象上，

把(-1,-2),(0,I),(1,?2)代入函數(shù)解析式，得

'a-b+c=一2

<c=l，

a+b+c=-2

二一3

解得，b=0，

.c=l

函數(shù)解析式為y=-3x2+l

x=2時y=?ll,故選：D.

(1)求這條拋物線的解析式，并用描點(diǎn)法畫出拋物線;

X

y

(3)觀察(2)的計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)這條拋物線上的點(diǎn)具有何種規(guī)律?請用文字寫出這個規(guī)律.

【答案與解析】

???最高點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,1).

列表：

X20246810

y8301038

描點(diǎn)、連線，如圖所示:

（2）取點(diǎn)（2,8）為所要找的點(diǎn)P,如圖所示，運(yùn)用勾股定理求得ED=5,PD=］（）,

觀察圖象知AD=2,CD=1,點(diǎn)E、P、A、C到直線y=2的距離分別是5、10、2、1.

（3）拋物線上任一點(diǎn)到點(diǎn)D的距離等尸該點(diǎn)到直線y=2的距離.

【總結(jié)升華】（1）描點(diǎn)畫圖時，應(yīng)先確定拋物線的對稱軸，然后以對稱軸為參照，左右對稱取點(diǎn).

（2）計算兩點(diǎn)之間的距離應(yīng)構(gòu)造兩直角邊分別平行于兩坐標(biāo)軸的直角三角形，然后運(yùn)用勾股定理求得.

函數(shù)

Jhx

圖象

/PV

開口方向向上向下

對稱軸

頂點(diǎn)坐標(biāo)

增減性

最大（?。┲?/p>

頁目

字母、字母的符號圖象的特征

aa>0開口向上

a<0開口向下

ab>0（a,b同號）對稱軸在y軸左側(cè)

b

ab<0（a,b異號）時稱軸在y軸右側(cè)

c=0圖象過原點(diǎn)

Cc>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負(fù)半柚相交

b'4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)

b'4acb24ac>0與x軸有兩個交點(diǎn)

b24ac<0與x軸沒有交點(diǎn)

【答案與解析】

【總結(jié)升華】所給二次函數(shù)關(guān)系是一般式，求此類拋物線的頂點(diǎn)有三種方法：(1)利用配方法將?般式化

解析式求出縱坐標(biāo).這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用.

(1)求出m的值并畫出這條拋物線；

(2)求它與x軸的交點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)x取什么值時，拋物線在x軸上方？

(4)x取什么值時，y的值隨x值的增大而減??？

【答案與解析】

???拋物線與x軸的交點(diǎn)為(1,0)、(3,0).

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).

(3)由圖象可知：當(dāng)lVx<3時，拋物線在x軸上方.

⑷由圖象可知：當(dāng)x'l時，y的值隨x值的增大而減小.

【總結(jié)升華】研究函數(shù)問題一般都應(yīng)與圖象結(jié)合起來，借助于圖象的直觀性求解更形象與簡潔.

(1)將點(diǎn)(0,3)代入解析式中便可求出m的值，然后用描點(diǎn)法或五點(diǎn)作圖法畫拋物線；

(2)令y=0可求拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用配方法或公式法可求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）、（4）均可利用圖象回答，注意形數(shù)結(jié)合的思想，

知識點(diǎn)5.二次函數(shù)的最大（小）值（重點(diǎn)）

要點(diǎn)詮釋：

【答案與解析】

???x是實(shí)數(shù)，，A=624（12y）^0,Ay24.

【總結(jié)升華】在求二次函數(shù)最值時，可以從配方法、公式法、判別式法三個角度考慮，根據(jù)個人熟練程度

靈活去選擇.

【變式1】用總長60nl的籬笆圍成矩形場地.矩形面積S隨矩形一邊長￡的變化而變化.當(dāng)￡是多少時，

矩形場地的面積S最大？

（0<￡<30）.

（l）0<x<2；（2）2WxW3.

【答案與解析】

:.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）.

（1）Vx=l在0<xV2范圍內(nèi)，且a=l>0,

,:x=l是0<x<2范圍的中點(diǎn)，在x=l兩側(cè)圖象左右對稱，端點(diǎn)處取不到，不存在最大值.

值范圍內(nèi)，根據(jù)不同情況求解，也可畫出圖象，借助于圖象的直觀性求解，如圖所示，2WxW3為圖中實(shí)線

知識點(diǎn)6.拋物線的平移規(guī)律（重點(diǎn)）

向上（gO）［或向下（％0）】平移陶個單位

Ay=ax^+k

向右（心0）【或左（左0）】

向右6>0）［或左6<0）】

向右（力>0）1或左（力<0）］平移I川個單位

平移I川個單位平移歷|個單位

向上（公0）1或下（皿0）】

平移崗個單位

?y=a(x-h^+k

向上（30）［或下仔0）】平移陽個單位

2.平移規(guī)律:

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“力值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”.概括成八個字“左加右減，上

加下減”.

要點(diǎn)詮釋：

【例6］將拋物線y=x2-6x+5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，求得到的拋物線解析

式.

【答案與解析】

解：y=x2-6x+5=（x-3）2-4,

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-4）,

把點(diǎn)（3,-4）向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,-2）,

???平移后得到的拋物線解析式為廣（x-4）2-2.

【總結(jié)升華】由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方

法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐

標(biāo)，即可求出解析式.

得到的拋物線.

（1）求出a、h、k的值；

小，并求出函數(shù)的最值；

（4）由圖象知，對于一切x的值，總有函數(shù)值yW2.

得到a、h、k的值，然后畫出圖象，由圖象回答問題.

【例7】如圖是二次函數(shù)產(chǎn)ax?+bx+c的圖象,下列結(jié)論:

①二次三項式ax2+bx+c的最大值為4；

②4a+2b+cV0；

③一元二次方程ax2+bx+c=l的兩根之和為?1：

④使yW3成立的x的取值范圍是x20.

其中正確的個數(shù)有（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B.

提示：???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,4）,???二次三項式ax?+bx+c的最大值為4,①正確:

??7=2時，y<0,A4a+2b+c<0,②正確；

根據(jù)拋物線的對稱性可知，一元二次方程ax=bx+c=l的兩根之和為?2,③錯誤;

使成立的x的取值范圍是x>0或-2,④錯誤,

故選:B.

【變式】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a#0）的圖象與x$0交于點(diǎn)A（-1,0）,與y軸的交點(diǎn)B在

（0,-2）和（0,-I）之間（不包括這兩點(diǎn)），對稱軸為直線x=l.下列結(jié)論:

@abc>()

(2)4a+2b+c>0

③4ac-b2<8a

⑤5>c.

其中含所有正確結(jié)論的選項是（）

A.①③B.①③④C.②④⑤D.①③④⑤

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對稱軸為直線x=l及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號，從而判斷①；根據(jù)對稱軸

得到函數(shù)圖象經(jīng)過（3,0）,則得②的判斷；根據(jù)圖象經(jīng)過（-1,0）可得到a、b、c之間的關(guān)系，從而

對②⑤作判斷：從圖象與y軸的交點(diǎn)B在(0,-2)和(0,-1)之間可以判斷c的大小得出④的正

誤.

【答案】D.

【解析】

解：①???函數(shù)開口方向向上，

Aa>0；

???對稱軸在y軸右側(cè)

.,.ab異號，

???拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，

Ac<0,

.*.abc>0,

故①正確；

②;圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),對稱軸為直線x=-1,

，圖象與x軸的另一個交點(diǎn)為(3,0),

.??當(dāng)x=2時,y<0,

A4a+2b+c<0,

故②錯誤；

③???圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),

?,?當(dāng)x=?1時,y=(-1)2a+bX(-1)+c=O>

Aa-b+c=0,即a=b-c,c=b-a,

???對稱軸為直線x=l

:.--^-=1,EPb=-2a,

2a

.*.c=b-a=(-2a)-a=-3a,

A4ac-b2=4*a*(-3a)-(-2a)2=-16a2<0

V8a>0

A4ac-b2<8a

故③正確

④???圖象與y軸的交點(diǎn)B在(0,-2)和(0,?1)之間，

」?-2<c<-1

；?-2V-3aV-11

33

故④正確

（5）Va>0,

/.b-c>0,UPb>c；

故⑤正確;

故選:D.

【總結(jié)升華】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系.解題關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【方法二】實(shí)例探索法

題型1.雙圖像問題

1.在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax?-b的圖象可能是（）

A.B.C.D.

【總結(jié)升華】先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母a、b的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=ax?-b的圖象相比較看是

否一致.

【答案】D.

【解析】

解：A、由直線y=ax+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限可知：aVO,b<0,

二次函數(shù)y=ax2-b的圖象開口向上,

/.a>0,A不正確;

B、由直線y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、一、三象限可知：a>0,b>0,

二次函數(shù)y=ax2-b的圖象開口向下,

.*.a<0,B不正確;

C、由直線產(chǎn)ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限可知：a<0,b>0,

二次函數(shù)y=ax2-b的圖象開口向上,

.*.a>0,C不正確;

D、由直線y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限可知：a>(),b>0,

二次函數(shù)y=ax2-b的圖象開口向上，頂點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，

Aa>0,b>0,D正確.

故選D.

【總結(jié)升華】本題考查了一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象逐條分析四個選

項中a、b的正負(fù).本題屬于基礎(chǔ)即，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)一次函數(shù)的圖象找出其系數(shù)的正

負(fù)，再與二次函數(shù)圖象進(jìn)行比較艮」可得出結(jié)論.

【分析】利用二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象的性質(zhì)“二次函數(shù)和一次函數(shù)的常數(shù)項是圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

一次函數(shù)的一次項系數(shù)大于0,圖象經(jīng)過一、三象限；小于0,經(jīng)過二、四象限；二次函數(shù)的二次項系數(shù)

大于0,圖象開口向上；二次項系數(shù)小于0,圖象開口向下.〃逐項判斷即可.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象的性質(zhì).熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解答

本題的關(guān)鍵.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的開口大小與丁軸的交點(diǎn)位置以及對稱軸的位置進(jìn)行判斷即可.

團(tuán)函數(shù),的圖像開口大于函數(shù)力的圖像開口，

A.圖像開門向"對稱軸在），軸的右側(cè)，與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，故此選項符合題意；

B.圖像開口向上，故此選項不符合題意；

c.圖像對稱軸在y軸的左側(cè)，故此選項不符合題意；

D.圖像開口向上，故此選項不符合題意.

故選：A.

題型2.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【詳解】解：?,?拋物線的開口向下，

??,拋物線交了軸正半軸，

綜上所述，正確的個數(shù)為1，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查r二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想

解題，是解題的關(guān)鍵.

題型3,二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系

【答案】A

【詳解】解：回拋物線開口向上，與），軸交與），軸負(fù)半軸，

故選A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識是解題的

關(guān)鍵.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

題型4.求二次函數(shù)的最值

【答案】①②③

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵足明確二次函數(shù)的性質(zhì)，求出相應(yīng)

的最值.

題型5,二次函數(shù)函數(shù)值的大小比較

【分析】先求出拋物線的對稱軸和開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較即可.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的

關(guān)鍵.

題型6.利用拋物線的對稱性解題

⑴求〃的值：

（2）求拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【分析】（1）利用五點(diǎn)作圖法畫出圖象，然后根據(jù)圖象求解即可；

???列表如下：

X-3-2-101

y14541

???如圖所示，將以上5點(diǎn)在坐標(biāo)系中描出，然后用平滑的曲線連接.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了五點(diǎn)作圖法，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知二次函數(shù)的

相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法

考法1.二次函數(shù)圖像的特征

1.（2023?揚(yáng)州）已知二次函數(shù)y=ax2-2x+￡為常數(shù)，且。>0）,下列結(jié)論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第

一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)xVO時，y隨x的增大而減??；④當(dāng)x>0時，y

隨x的增大而增大.其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①@B.②③C.②D.③④

【分析】由a的正負(fù)可確定出拋物線的開口方向，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可.

【解答】解：???a>0時，拋物線開口向上，

91

???對稱軸為直線x=-^-=->0,

2aa

當(dāng)xvo時，y隨x的增大而減小，

當(dāng)時，y隨x的增大而增大，

a

工函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限，函數(shù)圖象可能經(jīng)過第一、二、四象限.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握。決定二次函數(shù)的開口方向，進(jìn)一步能確定出其最值是解題

的關(guān)鍵.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

故①正確；

故②正確；

故③錯誤；

故④錯誤.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的對稱性，增減性，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【答案】2

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，理解題意正確求解是解題關(guān)鍵.

4.（2022?鹽城）若點(diǎn)『（,〃，〃）在二次函數(shù)y=『+2x+2的圖象上，且點(diǎn)〃到），軸的距離小于2,則〃的取

值范圍是.

【分析】由題意可知-2〈機(jī)V2,根據(jù)機(jī)的范圍即可確定〃的范圍.

【解答】解：Vy=?+2x+2=(x+1)2+1,

???二次函數(shù)y=/+2x+2的圖象開口向上，頂點(diǎn)為(-1,1),對稱軸是直線x=-I,

,:P(m,〃)至Uy軸的距離小于2,

???-2<m<2,

而-I-(-2)<2-(-1),

當(dāng)機(jī)=2,n=(2+1)2+1=10,

當(dāng)m=-1時，〃=1,

???"的取值范圍是14V10,

故答案為：1W〃V1O.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵足掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì).

5.(2022?徐州)若二次函數(shù))，=/-2X-3的圖象上有且只有三個點(diǎn)到X軸的距離等于〃h則m的值

為.

【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線x=1,頂點(diǎn)為(1,-4),由圖象上恰好只有三個點(diǎn)到

X軸的距離為m可得機(jī)=4.

【解答】解：???)=7-2x-3=(x-1)2-4,

，拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)為(1,-4),

???頂點(diǎn)到工軸的距離為4,

???函數(shù)圖象有三個點(diǎn)到x軸的距離為m,

：?=4,

故答案為:4.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵.

考法2.二次函數(shù)圖像的平移

6.(2023?徐州)在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù))，=(1+1)2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下

平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為()

A.產(chǎn)(x+3)2+2B.y=(x-1)2+2

C.y=(x-1)2+4D.y=(x+3)2+4

【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進(jìn)而得出答案.

【解答】解?：將二次函數(shù)>=G+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所

得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為>，=（A-+1-2）2+3-1,即y=（X-1）2+2.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的幾何變換，掌握“左加右減，上加下減”的法則是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?徐州）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)），=/的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移1個

單位長度所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）

A.>'=（x-2）2+1B.y=（x+2）2+1

C.>-=（x+2）2-1D.y=（x-2）2-1

【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：將二次函數(shù)>=『的圖象向左平移2個單位長度，得到：y=（x+2）2,

再向上平移1個單位長度得到：y=（x+2）2+1.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，正解掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?蘇州）已知拋物線），=9+米-F的對稱軸在），軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個單位長度，

再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則A的值是（）

A.-5或2B.-5C.2D.-2

【分析】根據(jù)拋物線平移規(guī)律寫出新拋物線解析式，然后將（0,0）代入，求得太的值.

【解答】解：???拋物線的對稱軸在），軸右側(cè)，

z.x=-K>o,

2

???AVO.

2

:拋物線），=/+日-M=（嗚）2-弩一.

???將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線的表達(dá)式是：），=

（X+--3）2■包3+1,

24

2

???將（0,0）代入,得0=（0+—-3）

24

解得左1=2（舍去）,k2=~5.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，

解題的關(guān)鍵是寫山平移后拋物線解析式.

9.（2021?鹽城）已知拋物線y=a（x-1）2+4經(jīng)過點(diǎn)（0,-3）和（3,0）.

（1）求。、/?的值；

（2）將該拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到新的拋物線，直接寫出新的拋

物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)平移規(guī)律“上加下減，左加右減”寫出新拋物線解析式.

【解答】解：（1）將點(diǎn)（0,-3）和（3,0）分別代入y=a（x?1）2+/b得

-3=a（0-1）+h

0=a（3-l）2+h

解得（a：］.

h=-4

所以a=l,h=-4.

（2）由（1）知，該拋物線解析式為：），=（x-I）2-4,將該拋物線向上平移2個單位長度，再向右平

移1個單位長度，得到新的拋物線解析式為：），=（x-2）2-2或），=/-?+2.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象與幾何變換，由于拋物線平移后的形

狀不變，故。不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)

平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.

【方法四】成果評定法

一、單選題

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【答案】C

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，熟練求得二次函數(shù)的對稱軸是解題的關(guān)鍵.

【答案】c

【分析】把點(diǎn)M、N、尸的橫坐標(biāo)代入拋物線解析式求出相應(yīng)的函數(shù)值，即可得解.

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，分別求山各函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

X-7-6-5-4-3-2

y-27-13-3353

A.5B.-3C.-13D.-27

【答案】D

【分析】先根據(jù)表格找到函數(shù)值相同的兩個自變量的值，確定出對稱軸，再根據(jù)對稱性進(jìn)行判斷即可.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線的對稱性求函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)確定拋物線的對稱軸.

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)隹即可進(jìn)行解答.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律：左加右減，上加

下減.

【答案】D

二拋物線開口向上，

在對稱軸的左側(cè)）'隨x的增大而減小，

故選：D.

【點(diǎn)暗】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握當(dāng)拋物線開口向上時，在對稱軸的左側(cè)y隨「的增大而

減小是解題的關(guān)鍵.

A.拋物線開口向上B.拋物線與x軸沒有交點(diǎn)

【答案】D

故選:D.

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)的關(guān)系逐項進(jìn)行判斷即可.

???當(dāng)拋物線開口向上時，在對稱相的右邊，隨x的增大而增大，

:不能確定拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，

正確的有：①②③，

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握知識點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【答案】C

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

A.5或-2B.5C.-5D.-2

【答案】D

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)圖象的平移等知識.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：二次函