概率的進步認識(3知識點回顧+11題型練習)

題型匯聚

題型一幾何概率題型七概率在比賽中的應用

題型二列舉法求概率題型八概率的其他應用

題型三列表法或樹狀圖法求概率題型九求某事件的頻率

題型四游戲的公平性題型十由頻率估計概率

題型五利用概率計算隨機事件發(fā)生的平均次數(shù)題型十一?用頻率估計概率的綜合應用

題型六概率在轉盤抽獎中的應用

,知識清單

知識點i.概率公式

=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)

(1)隨機事件片的概率?(A)

所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)

(2)P(必然事件)=1.

(3)P(不可能事件)=0.

知識點2.列表法與樹狀圖法

(1)當試驗中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結果較多時，我們常用列表的方式，列出所有可能的結果，再求出概

率.

(2)列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結果求出〃，再從中選出符合事件力或〃的結果數(shù)目m,求出概率.

(3)列舉法(樹形圖法)求概率的關鍵在于列舉出所有可能的結果，列表法是一種，但當一個事件涉及三個或更多元

素時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖.

（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，'象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數(shù)就是

總的可能的結果〃.

（5）當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉.

知識點3.利用頻率估計概率

（1）大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定

理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

（2）用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確.

（3）當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數(shù)很多，或各種可能結果發(fā)生的可能性不相等時，一股通過統(tǒng)計頻率

來估計概率.

題型練習

題型一幾何概率

1.（24-25九年級上?遼寧本溪?期中）一個轉盤上有紅色、藍色兩種顏色，轉動200次轉盤，則指針指向紅色區(qū)域的概

率為（）

A.yB.C.1D.不確定

2.（24-25九年級上?甘肅蘭州?期中）“七巧板”是我國古代的一種拼圖玩具，由5塊等腰直角三角形，1塊正方形和1

塊平行四邊形薄板組成.如圖①是小明用正方形紙板制作的七巧板，圖②是用該七巧板拼出的狐貍圖案的飛鏢盤，若

小明每次扔飛鏢時，飛鏢都能擲在狐貍上，則隨機投擲一次，擲在狐貍頭部的概率是（）

圖①

31

A.C.D.

488

3.（22-23九年級上?湖北武漢?階段練習）如圖，一個轉盤被分成3個扇形，'扇形A、扇形8、扇形。的圓心角分別為

90°,120°,150°,自由轉動轉盤1次，則指針落在扇形A的概率是.

AC

9%、120。

iWx

4.（2024九年級匕全國?專題練習）如圖所示，有一個轉盤，轉盤上有?個可轉動的指針，已知指針轉動一定的時間

后停在紅色部分、黃色部分、白色部分三者的概率之比為5:7:4,轉盤的半徑為2個單位，則紅色部分、黃色部分、

白色部分面積各是多少？

黃、紅白黃

紅、白'

題型二列舉法求概率

5.（24-25九年級上?江西吉安?期末）同時拋擲兩枚面值相同的硬幣，則至少有一枚硬幣正面朝上的概率是（）

題型三列表法或樹狀圖法求概率

9.(九年級上?江西吉安期末)在如圖所示的電路中，隨機閉合開關￡、S?、邑中的兩個，能讓燈泡％發(fā)光的概率是

()

12

A.D.

43

10.(24-25九年級上?天津寧河?期末)兩個人玩“石頭、剪子、布”的游戲，隨機出手一次，其中一人獲勝的概率是.

11.(24-25九年級上?湖北十堰?期末)“天宮課堂”第四課在空間站演示了四個精彩實驗：4球形火焰；正動量守恒;

C.奇妙，，乒乓球，，：D又見陀螺.為弘揚科學精神，傳播航天知識，感悟榜樣精神與力量，某中學要求學生課后觀看“天

宮課堂”，為了解本次學習情況，老師在四張完全相同的卡片上分別寫了A,6,C,。，攪勻后背面朝上放置，讓佳

佳和皮皮各從代表這四個實驗的卡片中隨機選出一張在班會上分享觀后感.

(1)佳佳隨機選出的卡片代表的實驗是“動量守恒”的概率為二

(2)佳佳先從這四張卡片中隨機抽取一張，然后放回，皮皮再從這四張卡片中隨機抽取一張，請用畫樹狀圖或列表的方

法求佳佳和皮皮抽到相同卡片的概率.

題型四游戲的公平性

12.（24-25九年級上?遼寧沈陽?期中）小明和小亮做游戲，先是各自背著對方在紙上寫一個正整數(shù)，然后都拿給對方

看，他便約定，若兩個人所寫的數(shù)的和是偶數(shù)，則小明獲勝，若兩個人所寫的數(shù)字和是奇數(shù)，則小亮獲勝，這個游戲

A.無法確定對誰有利B.對小亮有利

C.對小明有利D.游戲公平

13.（24-25九年級上?廣東江門?期末）甲、乙兩人玩撲克牌游戲，游戲規(guī)則是：從牌面數(shù)字分別為2,3,4的三張撲

克牌中，隨機抽取一張，放回后，再隨機抽取一張，若所抽取的兩張牌面數(shù)字的和為奇數(shù)，則甲獲勝；若所抽取的兩

張牌面數(shù)字的和為偶數(shù)，則乙獲勝.這個游戲.（填“公平”或，不公平”）

14.（24-25九年級上?全國?期末）如圖是兩個可以自由轉動的轉盤，轉盤力中數(shù)字1所在扇形區(qū)域的圓心角為90。，

轉盤8被分成面積相等的三個扇形.游戲規(guī)則：依次轉動轉盤力，B,當轉盤停止后，若指針指向的兩個區(qū)域的數(shù)字之

和大于5,則甲獲勝；否則乙獲勝.（如果指針落在分割線上，則需要重新轉動轉盤）

轉盤A轉盤B

（1）轉動轉盤從指針指向的數(shù)字為3的概率是」

（2）這個游戲公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由.

題型五利用概率計算隨機事件發(fā)生的平均次數(shù)

15.（九年級上?陜西榆林?期末）在數(shù)學活動課上，張明運用統(tǒng)計方法估計瓶子中的豆子的數(shù)量.他先取出100粒豆子,

給這些豆子做上記號，然后放回瓶子中，充分搖勻之后再取出10（）粒豆子，發(fā)現(xiàn)其中8粒有剛才做的記號，利用得到的

數(shù)據(jù)可以估計瓶子中豆子的數(shù)量約為（）粒.

A.125B.1250C.250D.2500

16.（九年級上?全國?課后作業(yè)）事件A發(fā)生的概率為大量重復做這種試驗，平均每100次實驗，事件A發(fā)生的次

4

數(shù)是

17.（九年級下?重慶?階段練習）為了解兩種分別含有甲、乙離子的待檢藥物在實驗白鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試

驗：將200只白鼠隨機分成44兩組，每組100只，其中A組白鼠給服甲離子溶液，2組白鼠給服乙離子溶液.每只

白鼠給服的溶液體積與濃度均相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在白鼠體內(nèi)離子的百分比.

按離子殘留百分比數(shù)據(jù)分段整理，描述這兩組樣本原始數(shù)據(jù)如下表:

離子殘留百分比

2.5?3.53.5?4.54.5?5.55.5?6.56.5~7.57.5?8.5

分組

給服甲離子白鼠（只數(shù)1827302212

給服乙離子白鼠（只數(shù)）5a15b2015

（注：表中力-4表示實驗數(shù)據(jù)》的范圍為4Kx<4）

若記A為事件：“乙離子殘留在實驗白鼠體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)得到P8）的估計值為0.70.

（1）?=;b=.

（2）實驗室常用同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表來估計數(shù)據(jù)的平均值，如對甲離子殘留百分比的平均值估

計如下：（3X0.01）+（4X0.08）+（5X0.27）+（6X0.30）+（7X0.22）+（8X0.12）=6.00,用上述方法估計乙離子殘留百分比的平

均值.

（3）甲、乙離子如殘留體內(nèi)會對生物體產(chǎn)生一定不良副作用，對原始數(shù)據(jù)進一步分析得到兩組數(shù)據(jù)的中位效、眾數(shù)、

方差如下表所示，請根據(jù)數(shù)據(jù)分析兩種待檢藥物哪種相對更安全？請說明理由.

離子殘留百分比

中位數(shù)眾數(shù)方差

分組

給服甲離子白鼠的實驗組5.96.01.38

給服乙離子白鼠的實驗組6.36.21.8

題型六概率在轉盤抽獎中的應用

18.（九年級上?浙江湖州?期中）如圖的四個轉盤中，轉盤3,4被分成8等分，若讓轉盤自由轉動一次停止后，指針

落在陰影區(qū)域內(nèi)可能性從大到小排列為（）

19.（江蘇鹽城?二模）如圖，一個轉盤被分為了/,B,。三個區(qū)域，自由轉動轉盤一次，當轉盤停止時，指針指向力

區(qū)域的概率是

20.（22-23九年級上?河南平頂山，期末）某商場，為了吸引顧客，在“元旦”當天舉辦了商品有獎酬賓活動，凡購物滿

200元者，有兩種獎勵方案供選擇：

方案一：是直接獲得20元的禮金卷:

方案二：是得到一次播獎的機會.規(guī)則如下：已知如圖是由轉盤和箭頭組成的兩個轉盤力、B,這兩個轉盤除了顏色不

同外，其它構造完全相同，搖獎者同時轉動兩個轉盤，指針分別指向一個區(qū)域（指針落在分割線上時重新轉動轉盤），

根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少.

（1）請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的概率.

（2）如果一名顧客當天在本店購物滿200%,若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為實惠.

21.（22-23九年級上?陜西西安?期中）九（1）班在義賣活動中設立了一個可以自由轉動的轉盤，規(guī)定：顧客購物2（）

元以上就能獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應的獎品，下表是此次活動中

的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

轉動轉盤的次數(shù)〃100200300400500100()

落在“手工”區(qū)域的次數(shù)〃760122180298a604

落在“手工”區(qū)域的頻率%

0.60.610.6b0.590.604

11

（1）求出&6的值；

（2）請估計當〃很大時，頻率將會接近；假如你去轉動該轉盤一次，你獲得“手工”獎品的概率約是.（精

確到0.1）

題型七概率在比賽中的應用

22.（四川綿陽?一模）2018（第七屆）綿陽之春國際車展將于2018年4月18H-22日在綿陽國際會展中心盛大舉

行.某品牌汽車為了推廣宣傳，特舉行“趣味答題闖關贏大獎”活動，參與者需連續(xù)闖過三關方能獲得終極大獎.已知

闖過第一關的概率為0.8,連續(xù)闖過兩關的概率為0.5,連續(xù)闖過三關的概率為0.3,已經(jīng)連續(xù)闖過兩關的參與者獲得終

極大獎的概率為（）

23.（九年級上?全國?單元測試）拋擲兩枚普通的正方體骰子，把兩枚悵子的點數(shù)相加，若第一枚骰子的點數(shù)為1,第

二枚骰子的點數(shù)為5,則是“和為6”的一種情況，我們按順序記作（1,5）,如果一個游戲規(guī)定擲出“和為6”時甲方贏,

擲出“和為9”時乙方贏，則這個游戲（填“公平”、“不公平”）.

24.（九年級上?河北廊坊,期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戲，一人為蒙眼人，捉另外兩人，捉到一人，記為捉一次：

被捉到的人成為新的蒙眼人，接著捉……一直這樣玩（每次捉到一人）.請用樹狀圖解決下列問題，

（1）若甲為開始蒙眼人，捉兩次，求第二次捉到丙的概率；

（2）若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，應該誰為開始蒙眼人？

25.（23?24九年級匕福建泉州?期末）貴州“村超”火出圈！所謂“村超”，其實是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育賽事一

一榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級賽賽，被大家簡稱為“村超”.“村超”的民族風、鄉(xiāng)土味、歡樂感，讓每個人盡情

享受著足球帶來的快樂.甲乙丙三人模仿“村超”進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時,

負的一方在下一局當裁判，設各局中雙方獲勝的概率均;，各局比賽的結果相互獨立，第1局甲當裁判.

（1）求第4局甲當裁判的概率：

（2）求前4局中乙恰好當1次裁判的概率.

題型八概率的其他應用

26.（2024?湖南長沙?模擬預測）“交通文明，讓長沙與我一起白頭偕老”.自長沙開展“文明城市創(chuàng)建“以來，我市學生

更加自覺遵守交通規(guī)則.某校學生小明每天騎自行車上學時都要經(jīng)過一個路口，該路口有紅、黃、綠三色交通信號燈,

他在路口遇到綠燈的概率為遇到黃燈的概率為I，那么他遇到紅燈的概率為（）

-1（）

27.（2024?河北滄州?一模）某小區(qū)門口的電子顯示屏上滾動顯示的內(nèi)容和停留時間如圖所示，小明抬頭看顯示屏時,

最大可能看到的內(nèi)容是（）

內(nèi)容時間/秒

日期4

星期3

時間6

天氣3

A.日期B.星期C.時間D.大氣

28.（22-23九年級上?廣東?單元測試）某船隊要對下月是否出海作出決策，若出海后是好天氣，可得收益5（）00元；若

出海后天氣變壞，將要損失2000元；若不出海，無論天氣好壞都要承擔1000元的損失費，船隊隊長通過上網(wǎng)查詢下

月的天氣情況后，預測下月好天氣的機會是60%,壞天氣的機會是40%,則作出決策為（填“出?！薄ⅰ安怀?/p>

?！保?

29.(22-24九年級上?遼寧營口?階段練習)某體育館有4E兩個入口，每個入口有3個通道可同時通行，C,D,E

三個出口，其中C、。出口有2個通道，E出口只有一個通道，每個通道在規(guī)定時間內(nèi)可通行100人，規(guī)定：觀眾進館

時須持票任意從兩個入U進入，出館時只可任意從三個出口離開.甲、乙、丙三名觀眾分別從兩個入口中隨機選擇一

個入口進入.

(1)求甲從4口進入，。口離開的概率；

(2)求甲、乙、丙三名觀眾選擇同一入口進館的概率.

(3)學校有七、八、九三個年級的學生進場觀看比賽，七年級8()人，八年級15()人，九年級160人，比賽結束后，為了

能夠在規(guī)定時間內(nèi)使所有同學都能有序離開，請你合理安排七、八、九三個年級的學生從C、。、E三個出口(每個年

級的學生走同一個出口)離開(安排一種即可)，并說明理由.

題型九求某事件的頻率

30.(23-24九年級上?全國?課后作業(yè))林業(yè)局將一批樹苗移栽到林區(qū)，已知這批樹苗的成活率接近0.95,已知移栽的

樹苗為2000棵，那么移栽后未成活的樹苗約有()

A.75棵B.100棵C.150棵D.1900棵

31.（22-24九年級上?河南周口?階段練習）兩個同學在一次大量重復試驗中，統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率，繪制出如

圖所示的統(tǒng)計圖，符合這一結果的試驗可能是（）

A.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)3點朝上的頻率

B.小華去看電影，他買的電影票座位號是2的倍數(shù)的頻率

C.從分別標有-1、3、0、2、-5、g的6張紙條中，隨機抽出一張，抽到負數(shù)的頻率

D.從一道單項選擇題的四個備選答案中，隨機選一個答案，選中正確答案的頻率

32.（23-24九年級上?北京海淀?階段練習）每逢中秋佳節(jié)，賞月吃月餅是中國人的傳統(tǒng).有關部門對某食品生產(chǎn)企業(yè)

生產(chǎn)的某一批次月餅進行抽樣檢測，結果如下表：

抽取月餅數(shù)量5010020050010002000

優(yōu)等品數(shù)量45921944749511900

若從這批月餅中任取一個，則檢測結果為優(yōu)等品的概率約為.（精確到0.01）

33.（24-25九年級上?山東泰安?期末）一個不透明的袋子中共裝有五個小球，其中2個紅球，2個黃球，1個白球，這

些小球除顏色外都相同.將袋中小球搖勻，從中隨機摸出一個小球記下顏色后放回，記作隨機摸球一次.

⑴隨機摸球10次,其中摸出紅球3次,則這機次摸球中,摸出紅球的頻率是多少?

（2）隨機摸球2次，用畫樹狀圖或列表佗方法，求這兩次摸出的小球都是黃球的概率.

題型十由頻率估計概率

34.（24-25九年級上?陜西咸陽?階段練習）臨淹石榴集中國石榴之優(yōu)，名居中國五大名榴之冠，被列為果中珍品.某

研究院跟蹤調(diào)查了一批石榴樹的移栽成活情況，得到如圖所示的統(tǒng)計弱，由此可估計這批石榴樹移栽成活的概率約為

()

A.0.85B.0.90C.0.95D.0.98

35.（24-25九年級上?廣東深圳?期中）某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這

名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約是（）

射擊次數(shù)1002004008001000

“射中九環(huán)以上”的次數(shù)87172336679850

“射中九環(huán)以上”的頻率0.870.860.840.850.85

A.0.84B.0.85C.0.86D.0.87

36.（24-25九年級匕福建莆田?期末）體育課籃球項目中，“投籃命中率”是一項重要的考核指標.如圖是小強在平時

運動過程中的投籃記錄，請結合圖示，估計現(xiàn)階段小強隨機投籃一次正好命中的概率約為.

37.（24-25九年級上?內(nèi)蒙古烏海?期末）某學習小組做“用頻率估計概率”的試驗時：在一個不透明的布袋中裝有除顏

色外完全相同的紅球和白球共5個，組員小華做摸球試驗，他將球攪勻后從中隨機摸出?個球，記下顏色，再放回布

袋中，不斷重復:上述過程.下表是試驗中的部分統(tǒng)計數(shù)據(jù).

摸球次數(shù)10204060100150200

紅球出現(xiàn)次數(shù)