北師大版新初二數(shù)學新接突國

2.3二次稹式?培優(yōu)檢測

一、單選題

1.（24-25八年級下?廣西河池?階段練習）下列各式計算正確的是（）

A.72x73=6B.次+拒=2

C.夜+石=7D.4^-375=1

2.（24-25八年級下?貴州貴陽?階段練習）下列各三角形中，面積為無理數(shù)的是（）

3.（24-25八年級下?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習）下列各式中，一定能成立的是（）

A.yjx2-9=y/x+3-y/x-3B.

C.y/x2-2x+\=X~\D.J（2.5）2=（后『

4.（24-25九年級下?廣東東莞?自主招生）已知：x＞（）,且7^二7.V1?二7=2，則與x

最接近的整數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

5.（24-25八年級下?河北廊坊?階段練習）如圖，在長方形A8CO中不重整無縫隙地放入面

積分別為12和18的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（）

A.6B.676C.18-476D.6x/6-12

6.（24-25八年級卜.?內(nèi)蒙占鄂爾多斯?階段練習）實數(shù)。，人在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化

簡一〃『十問的結(jié)果是（）

-2-10123

A.1B./?+1C.2aD.1—2。

7.（24-25八年級下?福建龍巖?階段練習）把分式a，根號外的字母。移進根號內(nèi)的結(jié)果

是)

A.4aB.C.—\f(iD.—yj-a

8.（24-25八年級下.湖北宜昌?期中）下列各式從左到右的變形正確的有（）

①y/ab=>/a'\/b:②;③>/a--Jb=4ab;④萬一后

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.（24-25八年級下?四川瀘州?期末）用國表示不超過x的最大整數(shù)，例如:

[2.94]=2,[—3.89]=-4.已知/n=2-&a=b=-m+[-m\+5,則一+：=()

ab

A.4B.26C.-4D.2G+2

10.（24-25八年級下?云南楚雄?期末）觀察下列各式:

11,11,1

1+—H--=1H-------=1—;

I222122

1=11;

36

1,1

J+*5=i+i-—=1—

3412

根據(jù)你的觀察,的值是（）

A，*D.

90c?喘1擊

二、填空題

II.（25-26八年級上?全國?單元測試）如圖，有一個高為8cm,底面周長為6cm的圓柱形容

器，在外壁距下沿3cm的點A處有一只螞蟻，與螞蟻相對的內(nèi)壁距上沿4cm的點8處有一

滴蜂蜜，則螞蟻從A處到蜂蜜8處所走的最短路徑長為.

第2頁

cm

12.（24-25八年級下?福建福州?階段練習）二次根式如是一個整數(shù)，那么正整數(shù)。的最小

值是

13.（24-25八年級下?湖北武漢?階段練習）已知x="+佟

2'"-12

14.（24-25八年級下?山東日照?階段練習）對于仟意的正數(shù)m、〃定義運算※，

“誅〃=L廠），計算（3X2）x（8X12）的結(jié)果為______.

y/m+\/n（m<n）

15.（2025?遼寧錦州?模擬預(yù)測）己知。工（）且我們定義工（。）=[匚，記為4；

人（〃）=一—，記為電；……：力（。）=丁’—，記為明.若將數(shù)組（-1，:，3）中的各數(shù)分別

1-%\2；

作工的變換，得到的數(shù)組記為（4，〃，G）;將（4的，G）作人的變換，得到的數(shù)組記為

（%，處。2）；....則%+[+q+出+，2+。2+....+。2025+62025+。2025的值為

三、解答題

16.（24-25八年級下?河北廊坊?階段練習）計算

（1）X/20+732-（75+2X/2）

（2）（V24-2）（2-V2）-（V3-l）2

（3）2gx立+5&

4

17.（24-25八年級下?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?階段練習）已知1,），=石+1,求代數(shù)式

Y+沖+），2的值.

18.（24-25七年級下?西藏昌都?期末）如圖，數(shù)軸上A點表示的數(shù)是近，P是數(shù)軸上一動

點.

(2)求證：log”一=logM-log;V(i7>0,67*1,M>0,N>0)；

Nou

⑶拓展運用：計算：Iogsl25+logs6-logs30.

21.（25-26八年級上?全國.課后作業(yè)）小麗根據(jù)學習“二次根式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊

到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律.下面是小麗的探求過程，請補充完整.

（1）具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律:

【特例1】11+'=

【特例2】

【特例3】+：

【特例4】（填寫一個符合上述運算特征的例子）;

【猜想】

（2）用含〃的式子表示上述運算規(guī)律為（〃為正整數(shù)）;

【應(yīng)用】

（3）化簡:Xy/2O2.

22.（24-25八年級下?吉林白城?階段練習）在進行二次根式運算時，我們有時會碰上7M這

樣的式子，其實我們可以將其進一步化簡.

工2代7）2、曲1）

方法一：石？一西而萬可一而二『一"一

以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

方法二：7s還可以用以下方法化簡：

2二3-1_（6）（6+1）x（6T）=4]

V5+1-V5+1-V3+1-y/3+\

（I）請用不同的方法化簡忑力.

2

①參照方法一，化簡F萬；

②參照方法二，化簡就萬.

222

⑵化簡：M+W+W；（保留過程）

⑶猜想：冊+小+小…而［印的值.(直接寫出結(jié)果)

23.(24-25七年級下?福建廈門?期中)閱讀下面一段材料，并解答材料后的問題：

我們知道"是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，為表示出其小數(shù)部分，可以這樣考慮:

???3＜乃＜4,..?汗的整數(shù)部分為3,小數(shù)部分為萬-3.

再如：?.?石＜將＜如，即2＜萬＜3,二.近的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為"-2.

(I)若風的整數(shù)部分為〃?，小數(shù)部分為〃，則〃?=,〃=

(2)已知“十)，一10十

①若x是整數(shù)，且0＜?。?,求x-2y的值；

②若一張長方形信封A8CD的長和寬分別是xcm,)cm；如圖，準備一個與此信封相同尺

寸的紙片，將該紙片按如圖方式先折一下，然后剪開，可以得到一個正方形AB正和一個長

方形CDEF,已知。。=2?！晷∶髦谱髁艘粡堖呴L為5cm的正方形賀卡想寄給朋友，你認為

小明能將這張賀卡不折疊就放入此信封嗎？請通過計算說明理由.

第6頁

北師大版新初二數(shù)學新接突國

2.3二次稹式?培優(yōu)檢測

一、單選題

1.（24-25八年級下?廣西河池?階段練習）下列各式計算正確的是（）

A.72x73=6B.次+拒=2

C.夜+石=7D.4^-375=1

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式的加減運算、乘除運算等知識點，掌握二次根式的運算

法則是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次根式的運算法則逐項判定即可解答.

【詳解】解：A.72x^3=76,故該選項錯誤，不符合題意；

B.應(yīng)+\/2=18+2=\14=2＞故該選項正確，符合題意；

C.&與。不是同類二次根式，不能相加減，故該選項錯誤，不符合題意；

D.46-36=6,故該選項錯誤，不符合題意.

故選B.

2.（24-25八年級下?貴州貴陽?階段練習）下列各三角形中，面積為無理數(shù)的是（）

【答案】C

【分析】本題考查三線合一，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法，根據(jù)三線合一，結(jié)

合勾股定理和逆定理，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：A、設(shè)底邊上的高為力，由三線合一和勾股定理，得：/?=乒不=3，

故三角形的面積為：gx8x3=12為有理數(shù)；不符合題意；

B、??,（尼）\（⑹加

，三角形為直角三角形，

，三角形的面積為：gxViix石=gx6=3為有理數(shù)；不符合題意；

c、同A法可得，三角形的高為卜二葉二?，

???三角形的面積為：lx5x￡l=2為無理數(shù)，符合題意；

224

D>V22+32=（Vi3）2,

??.三角形為直角三角形，

，三角形的面積為：gx2x3=3為有理數(shù)；不符合題意；

故選C.

3.（24-25八年級下?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習）下列各式中，一定能成立的是（）

A.VX2-9=7X+3-^3B.0=（可

C.Vx2-2x+l=x-iD.&2.5『=嚴7

【答案】D

【分析】此題主要考查了二次根式的化簡，二次根式的乘法法則，利用完全平方公式因式

分解，正確理解二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.需注意二次根式右的雙重非負性，?>0,

^>0.分別利用二次根式的乘法法則，二次根式的性質(zhì)化簡判斷即可.

【詳解】解：A、只有當.「320且1+320時，即S3時，=萬才能成

立，故選項不一定成立，不符合題意；

B、只有當“20時，J/=（6『才能成立，故選項不一定成立，不符合題意；

C、Vx2-2x+l=7（-v-l）2=|x-li,只有當xNI時，G2_2X+I=X—|才能成立,故選項不一

定成立，不符合題意；

D、7（2.5）2=（715）2=2.5,故選項成立，符合題意，

故選：D.

第8頁

4.（24-25九年級下?廣東東莞?自主招生）已知：x>0,且后二F-二7=2,則與1

最接近的整數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，無理數(shù)的估算.先將方程兩邊同乘

,25-f+J15-f可得J25-W+J15-A=5，從而得到2j25-f=7，進而得到％

再由7〈回v7.5解答即可.

【詳解】解：將方程兩邊同乘后二了+而二？■得，

25-X2-(15-X2)=2(V25-X2+V15-X2),

，125-丁+>/15-口2=5,

二右一/一加一寸=2,

??2\l25-x2=7,

???x=@L(負值已舍)，

2

V7<>/5?<7.5,

3.5<勺，工<3.75,

2

???與工最接近的整數(shù)是4,

故選：A.

5.（24-25八年級下?河北廊坊?階段練習）如圖，在長方形ABCO中不重疊無縫隙地放入面

枳分別為12和18的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面枳為（）

A.6B.65/6C.18-476D.6>/6-12

【答案】D

【分析】本題考查了正方形的面積與邊長的關(guān)系、二次根式的運算及長方形面積的計算,

解題的關(guān)鍵是根據(jù)正方形面積求出邊長，結(jié)合擺放方式確定長方形的長和寬，進而通過面

積差求出空白部分面積.

先由正方形面積求出邊長（分別為屈=26和如=3a）；根據(jù)“盡量撐滿長方形”可知長

方形的長為兩正方形邊長之和，寬為較大正方形的邊長；計算長方形面積與兩正方形面積

和的差，得到空白部分面積.

【詳解】解：兩張正方形紙片的面積分別為12和18,

?,?它們的邊長分別為痘=2石和加=3夜.

???要將兩張正方形不重疊無縫隙地放入長方形且盡量撐滿，

，長方形的長為兩個正方形邊長之和，即2月+3正，寬為較大正方形的邊長3人.

?,?長方形的面積為（26+3上）X3百

=25/3x3x/2+3V2x3x/2

=6\/6+9x2

=6>/6+18.

V兩張正方形紙片的面積和為12+18=30,

???空白部分的面積為（6〃+18）-30=66-12.

故選：D.

6.（24-25八年級下?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?階段練習）實數(shù)”，。在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化

簡J（a-1）2-/a-爐+網(wǎng)的結(jié)果是（）

-2-10123

A.1B.b+\C.2aD.\-2a

【答案】A

【分析】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，二次根式的化簡.先根據(jù)數(shù)軸推出7<a<0<l<b<2,

進而得到a-b<0f據(jù)此化簡，再合并同類項即可得到答案.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，-l<a<0<l<^<2,且可

/.?-1<0,a-b<0,

&T）2-｛（5"J十問

第10頁

=\-a+a-b+b

=1?

故選：A.

7.（24-25八年級下?福建龍巖?階段練習）把分式。出，根號外的字母〃移進根號內(nèi)的結(jié)果

是（）

A.\[ciB.J—aC.—\f（iD.—J—a

【答案】D

【分析】主要考查了二次根式的意義.解題的關(guān)鍵是能正確的把根號外的代數(shù)式或數(shù)字移

到根號內(nèi)部，它是開方的逆運算，從根號外移到根號內(nèi)要平方，并且移到根號內(nèi)與原來根

號內(nèi)的式子是乘積的關(guān)系.注意根號外的數(shù)字或式子是負數(shù)時，代表整個式子是負值，要

把負號留到根號外再平方后移到根號內(nèi).

如果根號外的數(shù)字或式子是負數(shù)時，代表整個式子是負值，要把負號留到根號外再平方后

移到根號內(nèi)，然后化簡即可.

【詳解】解：由二次根式的意義可知a<0,

:.。=-/L（~a）2=-4-a>故D正確.

故選：D.

8.（24-25八年級下.湖北宜昌?期中）下列各式從左到右的變形正確的有（）

①\[ab=y[ci-y/b；②召③?-y[b=yfcib;

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，逐一分析各式的成立條件解答即可.

本題考查了二次根式的公式計算的使用條件，熟練掌握條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①yfab=4a-4bt當。20且〃NO時成立，

故①錯誤；

②噲=親當心°且6>0時成立,

故②錯誤;

③&?亞=瓢：當左邊有意義時(即。之()，Z?>0),右邊必然有意義且等式成立；故③

正確;

4a_[a

④

：當左邊有意義時(即。20,b>0)f右邊必然有意義且等式成立,

故④正確.

綜上，正確的有③和④，共2個.

故選：B.

9.（24-25八年級下?四川瀘州?期末）用國表示不超過x的最大整數(shù)，例如：

[2.94]=2,[-3.89]=-4.已知〃7=2-6，a=m-[??],b=-m+[-/n]+5,則，+'=（）

A.4B.273C.-4D.273+2

【答案】A

【分析】本題考查新定義、無理數(shù)的估算，二次根式的混合運算，先估算出0<2-6<1,

根據(jù)題中新定義規(guī)定可求得上〃］和卜間，進而求出。力的值，然后代入1計算可得答案.

ab

【詳解】解：?.?/<百<",即1<石<2,

:.-2<-\/3<-1>

/.0<2->/3<1,

V/M=2-V3,

*,?[^]=[2-5/3]=0,

V-/H=-（2-^）=^-2,

*,?—1<\f3—2<0,

二[-何=[6-2=-1,

:.ci-〃，一=2—\/3—0=2—>/3,h——〃?+[—/〃]+5=>/3—2+（—1）+5=>/3+2,

.1+1=—+=7-）嚴廣\+/2二￡,\=2+百+2-4=4

ab2-百2+石（2-@（2+6）（2+6）（2-司

故選：A.

第12頁

10.（24-25八年級下?云南楚雄?期末）觀察下列各式:

i=ii；

1+---

7I：22

)+1--1=11：

236

1=11

=1+

r412

根據(jù)你的觀察,的值是（）

A?年D.1---

132

【答案】c

【分析】此題考查了二次根式運算規(guī)律問題的解決能力，關(guān)鍵是能準確理解題意，并進行

規(guī)律的歸納、應(yīng)用.

根據(jù)題意進行猜想、歸納出這種式子的規(guī)律，將式子算：J1+擊+出改寫為小++++,

運用規(guī)律進行求解.

【詳解】vV1+F+F=1+T~I=1r

JVi+242+432=i+-2--3=i-6>

,11,1

=1H------=1—

3412

1

----=IT

(〃+1)2〃+1-----〃(/2+1)

二、填空題

11.（25-26八年級上?全國?單元測試）如圖，有一個高為8cm,底面周長為6cm的圓柱形容

器，在外壁距下沿3cm的點A處有一只螞蟻，與螞蟻相對的內(nèi)壁距上沿4cm的點8處有一

滴蜂蜜，則螞蟻從A處到蜂蜜B處所走的最短路徑長為一.

【答案】3V10cm

【分析】本題考查了最短路徑問題，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識點，并作出適當

的輔助線是解題的關(guān)鍵；

將杯子側(cè)面展開，作點A關(guān)于OE的對稱點N,根據(jù)兩點之間線段最短，可知A8的長度即

為所求.

【詳解】如圖：將杯子側(cè)面展開，作點4關(guān)于的對稱點A,過點8作于點尸，

A'

連接ArB,則即為螞蟻從4處到蜂蜜B處所走的最短路徑,

由題易得，AE=8-3=5cm,8/7=女m,EF=4cm,

f

由對稱可知，AE=AE=5cmf

A'F=ArE+EF=5+4=9cm,

由勾股定理得，A'B=JBF+A'L=由2+9。=3VlOcm.

???螞蟻從4處到蜂蜜B處所走的最短路徑長為3尿m.

故答案為：3>/idcm.

12.（24-25八年級下?福建福州?階段練習）二次根式廊是一個整數(shù)，那么正整數(shù)。的最小

值是.

第14頁

【答案】2

【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)、二次根式的定義等知識點，掌握二次根式的性質(zhì)

成為解題的關(guān)鍵.

利用二次根式的性質(zhì)可得隔=2扃,則2a是一個平方數(shù)，然后確定a的最小正整數(shù)即可.

【詳解】解：???廊=2。是一個正整數(shù),

???2〃是一個平方數(shù),

，正整數(shù)。的最小值是2.

故答案為：2.

13.（24-25八年級下?湖北武漢?階段練習）已知x="+',V7-V5

2■2

【答案】V14

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，先求出“+），=療，口=g,再把所求式子

x+y

通分變形為石，據(jù)此代值計算即可得到答案.

【詳解】解：???於立二無，V7-V5,

22

>/7+>/5V7-V5/-_V7+V5V7-V5_7-5_1

x+y=---+—--=77,=-------------------X--------------------=-----------=---f

2242

故答案為：V14.

14.（24-25八年級下?山東日照?階段練習）對于任意的正數(shù)〃?、〃定義運算※,

/語〃={L廠)，計算(3X2)x(8X12)的結(jié)果為________.

yjm+yjn(in<n)

【答案】2

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，根據(jù)定義新運算可得：(G-拉卜(我+/)，

然后利用二次根式的乘法法則，進行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：

(3X2)x(8※⑵

=(V3-V2)x(V8+Vi2)

=便-&卜(2五+2@

=2X(G—QX(A+G)

=2x(3-2)

=2?

故答案為：2.

15.(2025?遼寧錦州?模擬預(yù)測)已知"0且〃工1,我們定義工⑷=「一,記為4;

/；(“)=；,記為生；……:力(。)=丁」—，記為若將數(shù)組中的各數(shù)分別

作力的變換，得到的數(shù)組記為(4的,。);將(4舌,q)作人的變換，得到的數(shù)組記為

（生也，C?）；....則q+々+q+a2+b2+c2+……+。2G+^2025+^2025的值為

8325

【答案】

2

【分析】要先根據(jù)題意找到規(guī)律，多算幾組，發(fā)現(xiàn)每三次變換為一個循環(huán)，進而可得到結(jié)

果.

本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，準確計算、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

11h=_!_=711

【詳解】解：根據(jù)題意，得6=匚苻=5,1一1一，,1=士=-；，故數(shù)組

(4，4，。)=-2--

2,’2

第16頁

1I2

=2,L

4'"七2

故數(shù)組3也/

11I_1_1G=-=3

。尸石j"-由二1-|，

故數(shù)組(％也，。3)=(-6，3),

1-1〃=二=211

「㈠）一2'1-1'6=有=亍

故數(shù)組3也&)=-

故每3次變換一個循環(huán),

且%+&+q=；+2—g=22515

a2+b2+c2=2-}^-=-,a3+b^+c3=-l+-+3=-,

4+?/+&+02+03+4+。3/+工+2=衛(wèi)

236

由2025+3=675,

3783,5

故4+h+。+，+人2+。2a2025+“2025+C2O25的值為~T~X675=―~一

}o2

故答案為：等

三、解答題

16.(24-25八年級下?河北廊坊?階段練習)計算

(1)720+732-(75+272)

(2)(x/2+2)(2-V2)-(V3-l)2

(3)2屈x立+5點

4

【答案】⑴㈠+2&

(2)2x/3-2

⑶逑

10

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先化簡，再合并同類二次根式即可求解；

(2)利用完全平方公式和平方差公式計算后，去括號后合并即可求解；

(3)根據(jù)二次根式的乘除運算法則運算即可.

【詳解】(1)解：而+豉若+2&)

=2石+4&-石-2&

=75+272；

(2)解：+1)

=4-2-(3-2x^+l)

=4-2-3+2^-1

=2>/3-2；

(3)解：2配*正+5&

4

=4>/3x--5V2

4

=3+5及

二逑

一記.

17.(24-25八年級下?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?階段練習)已知尸6-1,)，=6+1,求代數(shù)式

/+工)，+/的值.

【答案】16

【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，二次根式混合運算，先求出工-y、邛，將代數(shù)式化為

(X-J)2+3^,整體代入計算即可.

【詳解】解：.x=非一I,y=V5+l

x—y=^5—1—^^5+1j=-2,

Ay=(V5-l)(x/5+l)=4,

二x2+xy+y2

=(xy)2I3xy

第18頁

=(-2)2+3X4

=16.

18.(24-25七年級下?西藏昌都?期末)如圖，數(shù)軸上A點表示的數(shù)是近，產(chǎn)是數(shù)軸上一動

點.

A

-5-4-3-2-1012345

(I)在數(shù)軸匕把A點向左平移4個單位長度得到8點，求8點表示的數(shù)；

(2)若C點表示的數(shù)是4所表示數(shù)的相反數(shù)，求C點表示的數(shù)：

(3)若/，點從A點向8點以每秒3個單位長度運動，到達8點后又向A運動，到達A后再向8

運動，如此往復(fù)運動.問當。點運動2026秒時，尸點與。點的位置有什么關(guān)系？請說明理

由.

【答案】(1)近一4

⑵4-萬

(3)尸在C點的左側(cè)，理由見解析

【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的大小比較，實數(shù)的加減運算，數(shù)形結(jié)合是解題的

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點距離即可求解；

(2)根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解；

(3)根據(jù)題意，得出P運動2026秒時，P在A點左側(cè)2個單位長度，即尸表示的數(shù)為、5-2,

進而判斷CP所表示的數(shù)的大小，進而即可求解.

【詳解】(1)解：???數(shù)軸上A點表示的數(shù)是"，把A點向左平移4個單位長度得到4點，

，△點表示的數(shù)為近-4：

(2)解：???C點表示的數(shù)是8所表示數(shù)的相反數(shù)，

???C點表示的數(shù)為-("-4)=4-6；

(3)解：2026x3=6078,

6078+(4+4)=759......6,

???尸運動2026秒時，。在A點左側(cè)8-6=2個單位長度，即尸表示的數(shù)為e-2.

因為。表示的數(shù)是4-6，

(?-2)-(4-")=277-6,

(2⑺2=28<6。

.?.2b-6<0,即"-2<4-5，

???F在。點的左側(cè).

19.(24-25八年級下?遼寧大連?階段練習)數(shù)學活動課上，老師要求同學們制作一個長方體

禮品盒，盒子的下底面的面積為54cm2,長、寬、高的比為6:3:1.

(1)計算出這個長方體的長、寬、高分別是多少？

⑵把這個長方體的高的值在數(shù)軸上表示出來；

(3)連接4C,則AC的長度是_cm.(提示：長方體的高垂直于底面的任何?條直線)

【答案】⑴這個長方體的長、寬、高分別6百5、3瓜m、Gem

⑵見解析

(3)>/i38

【分析】(1)設(shè)長方體的長、寬、高分別為6X、3八X,根據(jù)底面積為54cm2列方程即可；

(2)過數(shù)軸上1這點作垂線，然后再以1這個點為圓心，1個單位長度為半徑畫弧，交這

個垂線與點/L連接0A,以點。為圓心，0A為半徑畫弧，與數(shù)軸的正半軸交于點B,該

點表示的數(shù)為及；過數(shù)軸上點B作垂線，然后再以3這個點為圓心，1個單位長度為半徑

畫弧，交這個垂線與點G連接0C,以點。為圓心，。。為半徑畫弧，與數(shù)軸的正半軸交

于一點，該點表示的數(shù)為G;

(3)根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為61、3工、x,

根據(jù)題意得：6x-3x=54,

解得：X=\/5或工=-百(舍去)，

第20頁

答：這個長方體的長、寬、高分別66cm、3Gcm、J§cm.

(2)解：如圖所示，

AC

，，通，一

-2-10I^j2~~3~^

,?*7i2+12=百，+(&)=岳

，點后即為所求；

(3)解：/1C=^(6>/3)2-F(3V3)2+(^)2=V138(cm).

【點睛】本題主要考查了列方程解應(yīng)用題，在數(shù)軸上表示無理數(shù)，二次根式的化簡，求長

方體的對角線，設(shè)出長方體的長、寬、高，根據(jù)底面積列出方程，是解題的關(guān)鍵.

20.(25-26八年級上?全國?單元測試)定義：一般地，如果“r=N(”0且awl),那么x叫

作以〃為底N的對數(shù)，記作x=log“N,比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4=】。8/6,對

數(shù)式2=1陰39可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式32=9.我們根據(jù)對數(shù)論定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：

log“(MN)=log/W+log“Nm>0MWl,A/>0,N>0),理由如下：

設(shè)logrtM=m,log“N=nt則M=a、N=a",

；.MN=dy=a*".

由對數(shù)的定義，得〃7+，z=log,(MN).

又.+n=log“例+log〃N,

二.log“(M?N)=log^M+log〃N.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學的知識，解答下列問題：

⑴填空：①log?32=,②1(^27=,?log7l=；

M

(2)求證：log,,二二log“MTog“N(a>0,awl,M>0,N>0)；

(3)拓展運用：計算：1。亂125+1/56-1。氏30.

【答案】⑴①5,②3,③0

⑵見解析

⑶2

【分析】本題主要考查塞的乘方，對數(shù)的定義和運算性質(zhì).

(1)根據(jù)所給的式子的形式進行求解即可；

(2)根據(jù)對數(shù)的定義進行求解即可；

(3)利用(2)進行求解即可.

【詳解】(1)解:①=

②log*7=log3=3；

③log/=log770=0.

故答案為：①5,②3,③0；

(2)證明：設(shè)log/=〃?,logaN=〃，則知=廠”=",

由對數(shù)的定義，得〃f=log”q,

又小一〃=log“M-log“N,

..logu-=log^-log^;

(3)解：logs125+logs6-Iogs30=logs(125x64-30)=logs25=2.

21.(25-26八年級上?全國?課后作業(yè))小麗根據(jù)學習“二次根式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊

到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律.下面是小麗的探求過程，請補充完整.

(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

【特例I】屋=舁河=2存

【特例4】(填寫一個符合上述運算特征的例子)；

【猜想】

(2)用含”的式子表示上述運算規(guī)律為(〃為正整數(shù));

【應(yīng)用】

第22頁

（3）化簡：^99+-^-x>/202.

【答案】（1）1=5^（答案不唯一）；（2），^=（〃+1）/9；（3）100x^2

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，數(shù)字類規(guī)律探究，正確得出規(guī)律，熟練掌握運

算法則是解此題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)所給的特例的形式進行求解即可；

（2）分析所給的等式的形式進行總結(jié)即可；

（3）利用（2）中的規(guī)律進行求解即可.

【詳解】解：（D由題意可得：2^=56（答案不唯一）

⑵?.小JhR后河=28

特例2：@=舁m=3&

特例3：=

(3)^99+y^xx/202=100^^x72x101=100x/2.

2

22.（24-25八年級下?吉林白城?階段練習）在進行二次根式運算時，我們有時會碰上7Ts這

樣的式子，其實我們可以將其進一步化簡.

22x(8-I)2x

方法一:百r（6+M6一曠點*6-

以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

方法二：7金還可以用以下方法化簡:

23-1(可-(V3+l)x(V3-l)仄,

一—F—7=-75-\

V3+1V3+1V3+1-

⑴請用不同的方法化簡右耳

2

①參照方法一，化簡石十石；

2

②參照方法二，化簡

222

⑵化簡：及TFT后不：(保留過程)

⑶猜想：看+看+萬丹+…+赤島不T的值.〈直接寫出結(jié)果)

【答案】(1)①見詳解；②見詳解

⑵0-1

(3)g(j2〃+l-l)

【分析】本題主要考查了二次根式的分母有理化、平方差公式的應(yīng)用、二次根式的加減以

及裂項相消法求和.熟練掌握分母有理化的方法(利用平方差公式將分母中的根式轉(zhuǎn)化為

有理數(shù))，以及識別式子的規(guī)律用裂項相消簡化計算是解題的關(guān)鍵.

(1)①參照方法一利用平方差公式給分子分母同乘逐一6,實現(xiàn)

分母有理化即可.②參照方法二,將分子變形為(逐)2-(6)2,再利用平方差公式因式分解，

然后約分化簡.

(2)先分別用分母有理化的方法化簡每一項，再去括號進行加減運算.

(3)先將每一項進行分母有理化，然后觀察式子規(guī)律，通過裂項相消法計算.