第一章特殊平行四邊形單元試卷

一、選擇題

1.菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相垂直B.對角線相等

C.對角線互相平分D.對角互補(bǔ)

2.菱形的兩條對角線長為6cm和8cm,那么這個(gè)菱形的局長為（)

A.40cmB.10cmC.20cmD.5cm

3.如圖.四邊形ARCO是菱形,AC.=8,DR=6,0〃I/!/?于H,則DH=()

A.YB.YC.12D.24

4.在正方形ABCD中，E,F是對角線AC上兩點(diǎn)，連接BE,BF,DE,DF,則添加下列哪一個(gè)

條件可以判定四邊形BEDF是菱形（）

A.zl=Z2B.BE=DFC.Z.EDF=60°D.AB=AF

5.如圖，E,F,G,H分別是BD,BC,AC,AD的中點(diǎn)，且AB=CD,下列結(jié)論：①EG1FH；

②四邊形EFGH是菱形;③HF平分乙EHG；（4）EG=^BC-AD）,其中正確的個(gè)數(shù)是

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF//BC,分別交AB,CD于E,

F,連接PB,PD.若/1E=2,PF=8,則圖中陰影部分的面積為（）

A.10B.12C.16D.18

7.如圖，正方形ABCD的兩條對角線AC,BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡在BD上，且BE=CD,則

乙BEC的度數(shù)為（）

A.22.5°B,60°C.67.5°D.75。

8.如圖，矩形ABCD中，R是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上運(yùn)動，E,F分別是AM,MR的

中點(diǎn)，則EF的長隨著M點(diǎn)的運(yùn)動（）

A.變短B,變長C.不變D.無法確定

9.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，48=45。，AE為BC邊上的高，將△沿AE所在

直線翻折得△AB'E,AB'與CD邊交于點(diǎn)F,則B'F的長度為（）

A.1B.V2C.2-V2D.2V2-2

10.如圖，矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AE平分ABAD交BC于點(diǎn)E,

Z-CAE=15-,貝ljLAOE度數(shù)為()

B.135°c.145cD.150°

和正方形CEFG中,點(diǎn)D在CG上,BC=CE=3,H是AF的中

點(diǎn)，那么CH的長是()

A.2B.-C.D.V5

12.如圖，在AABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上一動點(diǎn),PELAB于E,PF1

AC于F,M為W中點(diǎn)，則AM的最小值為（)

6

C.D.

A。；B35

二、填空題

13.如圖，平行四邊形ABCD的對角線互相垂直，要使平行四邊形ABCD成為正方形，還需添加的

一個(gè)條件是.（只需添加一個(gè)即可）

.w

三、解答題

19.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE1BC,AF1CD,垂足分別為E,F,且BE=DF.

(1)求證：平行四邊形ABCD是菱形；

(2)若A8=5,AC=6,求平行四邊形ABCD的面積.

20.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)D作對角線BD的垂線交BA的

延長線于點(diǎn)E.

(1)證明：四邊形ACDE是平行四邊形.

(2)若AC=8,8。=6,求△ADE的周長.

21.在四邊形ABCD中，AD//BC,AB1BC,連接AC,E為對角線AC中點(diǎn)，連接DE并延長交

BC于點(diǎn)F,連接AF與BE,CD=13,BE=12,DE=5.

⑴求證：四邊形AFCD為菱形.

⑵延長CB到點(diǎn)G使得GB=FB,連接DG.

①補(bǔ)全圖形.

②求證：AC=DG.

22.如圖，在平行四邊形ABCD中，^BAD的平分線交CD于點(diǎn)E,交BC的延長線于點(diǎn)F,連接

BE,Z-F=45°.

(1)求證：四邊形ABCD是矩形.

(2)若71B=14,DE=8,求BE的長.

23.如圖1,正方形ABCD優(yōu)邊長為6cm,點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線AB方向以1cm/秒的速

度移動，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，向點(diǎn)71以1cm/秒的速度移動(不到點(diǎn)21).設(shè)點(diǎn)E,F同時(shí)出

發(fā)移動t秒.

(1)在點(diǎn)E,F移動過程中，連接CE,CF,EF,則ACEF的形狀是一，始終保持不變;

⑵如圖2,連接EF,設(shè)“交8。移動M,當(dāng)￡=2時(shí)，求的長；

⑶如圖3,點(diǎn)、G,H分別在邊AB,CD上，且GH=3>/5cm,連接EF,當(dāng)“與GH的

夾角為45。，求t的值.

答案

一、選擇題（共12題）

1.A

2.C

3.A

4.B

【解析】由正方形的性質(zhì)知，Z.ACD=/.ACB=45°,BC=CD,CF=CF,

???△CDF^△C8"(SAS),

BF=FD,同理，BE=ED,

當(dāng)BE=DF,有BF=FD=BE=ED,四邊形BEDF是菱形.

5.C

【解析】?.?￡1,F,G,H分別是BD,BC,AC,AD的中點(diǎn)，

EF=-CD,FG=-AB,GH=^CD,HE=-AB,

2222

VAB=CD,

:.EF=FG=GH=HE,

四邊形EFGH是菱形,

:.①EGLFH,正確；

②四邊形EFGH是菱形，正確；

③HF平分Z.EHG,正確；

④當(dāng)40〃8C,如圖所示：E,G分別為BD,AC中點(diǎn)，

???連接CD,延長EG到CD上一點(diǎn)N,

EN=-BC,GN=-AD

22t

AEG只有AD//BC時(shí)才可以成立，

而本題AD與BC很顯然不平行，故本小題錯誤.

綜上所述，①②③共3個(gè)正確.

6.C

7.C

8.C

9.C

【解析】???在邊長為2的菱形ABCD中，

△B=45°,AE為BC邊上的高，

AAE=V2,由折疊易得LABB'為等腰直角三角形，

S^ABB，=￡84,AB=2?SHABE=3

:.CB，=2BE-BC=2a一2,

-AB//CD,

:.Z-FCB'=ZH=45°,

又由折疊的性質(zhì)知，48'=48=45°,

:.CF=FB'=2-V2.

10.B

【解析】:四邊形ABCD是矩形，

?.AD//BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,^ABC=^.BAD=90°,

:.OA=OB,

-AE平分乙BAD,

Z.BAE=Z.DAE=45°=Z.AEB,

AB=BE,

???/-CAE=15°,

???Z.BAO=/.BAE+Z.CAE=60°,

BAO是等邊三角形，

???AB=OB=BE,4ABO=Z.AOB=60°,

.?/OBE=90°-60°=30°,

在等腰二BOE中，zBOE=；(180°-zOEE)=1(180°-30°)=75°,

:.Z.AOE=乙BOE+乙4OB=750+60°=135°.

11.D

【解析】如圖,連接AC,CF,

???正方形ARCD和正方形CEFG中,9。=1,CE=3.

:.AC=V2,CF=3企，AACD=Z.GCF=45°,

:.Z-ACF=90°,

由勾股定理得：

AF=VAC2+CF2

=J疔+(3可

=275,

???H是?的中點(diǎn)，

...CH=1/IF=1x2V5=V5.

12.D

【解析】：在A48C中，AB=3,AC=4,BC=5,

AB2+AC2=BC2,即LBAC=90°.

又vPE1AB于E,PFJ.AC于F,

二四邊形AEPF是矩形，

???EF=AP.

???M是"的中點(diǎn)，

---AM=-EF=-AP.

22

-AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即等于三,

AM的最小值是去

O

二、填空題

13.答案不唯一，如：Z.ABC=90°或4C=B0

14.2V15

【解析】過點(diǎn)｛作AE1BC于E,AFLCD于F,

兩條紙條寬度相同，

/.AE=AF,

AB//CD,AD//BC,

二四邊形ABCD是平行四邊形.

SABCD=BC?AE=CD-AF.

又-AE=AF,

???BC=CD,

：,四邊形ABCD是菱形，

連接AC,BD相較于點(diǎn)0,

AC1BD,AO=-AC=1,

2

:.BO=7AB2—A02=yfis,

BD=2B0=2^15.

15.4

【解析】過點(diǎn)E作EQIBC,垂足為Q,連接BP,如圖所示.

???四邊形ABCD是矩形，

.-.AD=BC,zC=LADC=90°.

vAD=8,CF=3,

:.BF=BC-CF=AD-CF=5.

由折疊可得：DF=BF,乙BEF=^DEF,

???DF=5.

???LC=90°,

???DC=VDF2-CF2=V5Z-32=4.

vEQ1BC,“=N4DC=90°,

:.乙EQC=90°=ZC=/.ADC,

???四邊形EQCD是矩形，

二EQ=DC=4.

-AD//BC,

:./.DEF=Z-EFB.

???Z.BEF=/-DEF,

:.乙BEF=4EFB,

:.BE=BF.

,:S^BEF=S&BEP+S&BFF

=-BE-PG+-BFPH

22

=-BF-(PG+PH)

=^BF-EQ,

PG+PH=EQ,

???PG+PH=4,

即PG+PH的值為4.

16.(6,8)或(4,8)或(16,8)

【解析】(1)0D是等腰三角形的底邊時(shí)，P就是00的垂直平分線與C8的交點(diǎn)，此時(shí)0P=

PD工10：

(2)OD是等腰三角形的一條腰時(shí)：

①若點(diǎn)。是頂角頂點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)就是以點(diǎn)。為圓心，以10為半徑的弧與CB的交點(diǎn)，

在直角△?！浮Ｖ?，"=，102-82=6,則P的坐標(biāo)是(6,8).

②若D是頂角頂點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)就是以點(diǎn)D為圓心，以10為半徑的弧與CB的交點(diǎn)，

過D作。MJ.BC于點(diǎn)M,

在直角"DM中，PM=V102-82=6,

當(dāng)P在M的左邊時(shí)，CP=10-6=4,則P的坐標(biāo)是(4,8)；

當(dāng)P在M的右側(cè)時(shí)，8=5+3=8,則P的坐標(biāo)是(16,8).

故P的坐標(biāo)為:(6,8)或(4,8)或(16,8).

17.12°

【解析】根據(jù)菱形的對角相等得乙ADC==70。，

vAD=AB=AE,

:.Z.AED=4ADE,

根據(jù)折疊得乙AEB=ZF=68°,

-AD//BC,

???/.DAE=Z.AEB=68°,

:/.ADE=Z-AED=(180°-乙DAE)+2=56°,

.-.zEDC=68°-56°=12°.

18.10

【解析】作D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)為連接RD.交AC干N，點(diǎn)*再連接RM交AC干N

點(diǎn)，

則DN+MN最小值為BM長，

???DM=2DC=BC=8,

:，CM=6,

在Rt△BCM中，48cM=90°,

三、解答題

19.

(1)???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.Z.B=zD,

???AE1BC,AF1DC,

ALAEB=Z.AFD=90°,

在和中，

(4LAEB=乙AFD,

BE=DF,

3=ZD,

△力EBg△/IFO(ASA),

:.AB=AD,

???平行四邊形ABCD是菱形.

(2)如圖，連接BD交AC于點(diǎn)0.

???由(1)知四邊形ABCD是菱形，AC=6,

:.ACA.BD,AO=OC=^AC=^X6=3,

vAB=5,AO=3,

在Rt△AOB中，BO=〃砂-力。2=V52_32=4,

???BD=2B0=8,

???S平行四邊形ABCD=：4C?BD=：X6x8=24.

20.

(1)：四邊形ABCD是菱形,

.'.AB//CD,AC1BD,

-.AE//CD,4408=90°,

???DE工BD,即乙EDB=90°,

:.Z.AOB=乙EDB,

DE//AC.

???四邊形ACDE是平行四邊形.

(2)v四邊形ABCD是菱形，AC=8,8。=6,

:.A0=4,DO=3,AD=CD=5,

v四邊形ACDE是平行四邊形，

AE=CD=5,DE=AC=8,

ADE的周長為AD+AE+DE=5+5+8=18.

21.

(1)vAD//BC,

：?Z.OAE=Z.FCE,

,:E為AC中點(diǎn)，

???AE=CE,

又v^AED與乙CEF是走頂角，

:.Z.AED=Z.CEF,

4引足△CEF,

'.AD=CF,

又-AD//CF,

二四邊形AFCD為平行四邊形，

?：AB1BC,E為AC中點(diǎn)，

???CE=BE=12,

又vCD=13,DE=5,

ACD2=BE2+DE2,

DEC是直角三角形，

???DE1EC,

???平行四邊形AFCD為菱形.

(2)①

②

vGB=FB,AB±BC,

-AB為GF的垂直平分線，AG=AF,

???乙AGB=Z.AFB,

又???由(1)知，AF//DC,

:.Z.DCF=Z.AFB,

???Z.AGB=乙DCF,

乂-AD//BC,

???四邊形AGCD是等腰楞形，

???DG=AC.

22.

(1)???四邊形ABCD是平行四邊形,

AD//BC,

Z.DAF=乙F,

又vzF=45°,AF平分LBAD,

:./.EAB=/.DAE=45°,

:.Z.DAB=90°,

乂v四邊形ABCD是平行四邊形，