第4課時極值點偏移問題

考點一對稱構(gòu)造法求極值點偏移問題

例1(2023?黑龍江牡丹江市第一高級中學高三熱身考試(二))已知函數(shù)危尸/。1%/)，

為實數(shù).

(1)求函數(shù)./U)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)JCr)在工=e處取得極值,/(1)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).口/3)=/(工2)，x\<xi，訐明:

2<vi+x2<e.

解(1)函數(shù)八丫)=『(111%一,，的定義域為(0,+8),

/(x)=2i(hix-,〃)+x=x(2lnx—3?+1).

3a-1

令/(1)=。，得％=e2，

3。一13。-1

22

當x€(0,e)時，/(j)<Ci,當x€(e,+8)時，/(x)>0,

3a-13a-1

故函數(shù)火的的單調(diào)遞減區(qū)間為(o,尸)，單調(diào)遞增區(qū)間為(尸，+8).

3al

(2)證明：因為函數(shù),小0在1=e處取得極值，所以x=e2=e,得。=1,

所以0)=fGnx—今，得/(x)=x(21nx-2)=2r(lnx—1)：

令g(x)=Rlnx—1)，因為g，(x)=2lnx,當0<x〈l時，g'(x)<0,當x>l時，g'(x)>0，

所以函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

且當xW(0,e)時，ga)=2?lnx—l)vO,當x€(e,+8)時,g(x)=2x(ln1)>0,

故0<xi<Y?2<e.

先證片+X2>2,需證X2>2—Al.

因為X2>1，2—X1>I,下面證明以X|)=g(X2)>g(2—X]).

設(shè)f(x)=g(2-x)-g(x),

,

則當081時，r(x)=-^'(2-A)-1g(x)=-2ln(2-x)-2lnx=-21n[(2-x)x]>0,

故《工)在(0,1)上為增函數(shù)，

故r(x)<z(1)=0,

所以/(xi)=g(2—xi)—gCn)<0,則g(2—xD<g(x2)，

所以2—為<%2，即得即+X2>2.

下面證明：x\+x2<e.

令g3)=g(X2)="?，當xW(O，1)時，g(x)一(―2x)=2HnxvO,所以g(x)v—2x成立，

所以一2x\>g(x\)=m,所以即v—

當xW(l,e)時，記"(x)=g(x)—(2r—2e)=2xlnx—4x+2e,

所以當工€(1,e)時，h\x)=2\nx—2<0,所以〃(x)為減函數(shù)，得/?(.r)>A(e)=2e—4e+2e=0,

所以m=g(X2)>2t2—2e,即得X2<^+e.

所以xi+x：<—y+y+e=e.

綜上，2<x\4-xz<e.

方法總結(jié)

對稱構(gòu)造法主要用來解決與兩個極值點之和(積)相關(guān)的不等式的證明問題.其解題要點如下：

(1)定函數(shù)(極值點為X0)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值

點A'o.

(2)構(gòu)造函數(shù)，即對結(jié)論XI+X2>2XO型，構(gòu)造函數(shù)P(x)=Kr)一<2沏一人)或P(x)=/Uo+x)—/Uo

-X)；對結(jié)論W2>腐型，構(gòu)造函數(shù)尸(%)=/^)一姆)，通過研究A(x)的單調(diào)性獲得不等式.

(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論尸(%)的單調(diào)性.

(4)比較大小,即判斷函數(shù)尸(%)在某段區(qū)間上的正負,并得出兀0與?兀一劃的大小關(guān)系.

(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)/U)的單調(diào)性，將人幻與貝2m-x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為工與2r0-x之間的

大小關(guān)系，進而得到所證或所求.

令⑥訓(xùn)練1.(2022.全國甲卷)已知函數(shù)段)=3-Inx+x-〃.

(1)若於)20,求a的取值范圍;

(2)證明：若貝幻有兩個零點箝，X2，則X1X2<1.

解(1VU)的定義域為(0,+-),

/a)=CTkT+1=如_報+(1_+哪弓+11

令/。)=0,得x=L

當x￡(0,1)時，,(x)V0,?幻單調(diào)遞減；

當xW(l,+8)時，/(的>0,/(x)單調(diào)遞增.

所以於)2/U)=e+l-a,

若7U)20,

則e+1—即aWe+1,

所以《的取值范圍為(-8,e+1].

(2)證法一：由題意知，7U)的一個零點小于1,一個零點大于1.

不妨設(shè)0<Xl<l<X2，

要證X]X2<1?即證X\<~.

“2

因為xi,5€((),I),即證yui)>4￡),

因為yUi)=/52),即證jix2)>y(~)，

e'1i

即證不人一Inx+x人—x1—I人nx—：>0,x€(1,+°°),

即證(牝jjlnxTT)

>0.

下面證明當x>l時，"一比*>0,Inx一芥一：)VO.

g-r-

設(shè)g(x)=--xex,

人

則/(x)=g「1T)1e1-=&-*」式]1-0=(1)，仁_,1、

設(shè)8(力=1

則當人>1時，“。)=&一3)^=*^>。，

所以(p(x)>(p(\)=e,而eA<e,

所以?一F>0,

所以當心>1時，gfa)>o,

所以g(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

即g(x)>g(l)=0.

所以,x」>0.

令/?(力=卜]一差一；),

則當心>1時，"。)=:一氐1+勾="毛一二」',)〈°，

所以/2(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

即/?(x)V〃(l)=0,所以Inx一芥一：)VO.

所以當x2」時，，(x)20,即以力在［1,+8)上單調(diào)遞增,

所以r(x)2r(1)=2—。20,

所以當彳21時，尸。)=4萬20,即尸(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增,

所以F(x)^F(\)=2~a^0

所以。的取值范圍為(一8,2］.

(2)證明：由題意知，^(x)=lnx—ar,

不妨設(shè)Xl>X2>0，

lnxi=avi*In(x\X2)=a(xi±X2)'

由〈得，

InX2—CIX2'In-=cCvi—xi)，

M.Jn(A1X2)X14-X2X211X\,

則一21——-----=-----,令/=->1,

翅X1-X2XI_X2

X2X2

i.JnUiX2)/+!?n，+1

則］nt一有，即In(xiX2)--j-lnt.

要證xiX2>e2,只需證In(xX2)>2,

r-、j+lnr、T2(f—1)

只需證二Y】nt>2,即證Ini>什［(>1),

5y2(r-l)

即1證InL,+］>0(f>1),

/2(1)

令加⑺=lnf~~

(L1尸

因為加(1)=而二講>0,

所以小⑺在(1,+8)上單調(diào)遞增，又當/從右側(cè)趨近于1時，陽⑺趨近于0,

所以當/€(1,+8)時，"6)>()，

即InL2；；；)>0成立，故xiX2>e2.

方法總結(jié)

比(差)值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系，然后

利用兩個極值點之比(差)作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的.設(shè)法用比值或差值(一般用

/表示)表示兩個極值點，即，=?,化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于

/的函數(shù)問題求解.

鑰》訓(xùn)練

2.已知函數(shù)段)=.rhix一會+戊-1(/€R)有兩個極值點為,

X2(X\<X2).

(1)求/的取值范圍:

4

(2)iiE明：xi+x2>=P2.

解(1)f(x)=\nx+1—胃+人

令ga)=/a)，

i2e—2Y

則=---=——(X>0),

人w

令g(t)=O,解得x=*

所以當x￡(0,習時，C

當+8)時，/(幻<0,

所以g(x)在(0，9上單調(diào)遞增，在0，+8)上單調(diào)遞減，

所以g(%)max=g⑤=1一加2+乙

因為人工)有兩個極值點，所以g(x)有兩個變號零點，

所以ga)max>0，即l-ln2+?o,所以>ln2—I,即/的取值范圍為(In2—1,+?>).

(2)證明：由題意，知In。一￥+/+1=。，hixi一爭+―1=0，

CV/

所以InX2_Inxi=1(X2-xi)?

m1nx2-Inxi2

即1----------二工

X2-X\e

、4

要證X\-^X2>~X\X2,

只需證"H，

即證工+工>3二電3,

XIX2X2-X\

□nF、^2X2-X\X2-X\X2X\

即證21n—<-----+-----=———，

X\X)X2X\X2

設(shè)§=〃(〃>1),

X1

則只需證〃一721nM(M>1),

令A(yù)(U)=M-21nW(M>1).

It

22

MI.12w-2w+l(M-1)

則h'(u)=1+/—￡=--------=u2>0,

所以/】(“)在(1,I8)上單調(diào)遞增，又當〃從右側(cè)趨近于1時，/](〃)趨近于0,

所以A(M)>0,即〃一^>21n

4

則A|+X2>-X|X2.

課時作業(yè)

1.(2024?福建福州格致中學高三上學期質(zhì)檢)已知函數(shù)人工)=嗎土”

人

(I)討論函數(shù)4人)的極值：

(2)若(exi>2=(ex2力(e是自然對數(shù)的底數(shù)),且可>0,及>0,小工及，證明：制+及>2.

解(1)函數(shù)火用的定義域為(0,+8),求導(dǎo)得八月=一中.

若4=0,則/(幻=0,函數(shù)./U)無極值;

若“W0,由/(x)=0,可得x=l；

若。<0,當0<v<l時，/(A)<0,則於)單調(diào)遞減,當Q1時，/(1)>0,則危)單調(diào)遞增,此時

函數(shù)有唯一極小值近1)=小無極大值；

若〃>0,當0W1時，/U)>o,則兀0單調(diào)遞增,當心>1時，/(x)vo,則加)單調(diào)遞減,此時

函數(shù)有唯一極大值yu)=〃，無極小值.

綜上，當4=0時，函數(shù)/(X)無極值；

當〃<0時，函數(shù)yu)有極小值/U)=〃，無極大值;

當。>o時，函數(shù)yu)有極大值y(i)=a,無極小值.

Inxi+1InX2+I

(2)證明：由(exi)'2=(eA2戶，兩邊取對數(shù)可得X2(lnXi+l)=xi(hiX2+l)，即

X1

,,Inx+1Inx

當4=1時，氏l)=-人--，J\x)=--人r

由(1)可知，函數(shù)/U)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以/(X)max=70)=1，

而0=o，當X>1時，人外>0恒成立，

因此當4=1時，存在X1,X2且0<盯<1<。，滿足次汨)=./也)，

若X2W[2,4-°°),則XI+.0>%2N2成立；

若心€(1，2),則2—足10,1),

記g(x)=J[x}-J12-x),

則當x€(1,2)時，g3=/(x)+/(2-x)=-+-J)〉一￥-'n('已=-

lnr-(x-l)2+l]

--------------->0A,

即函數(shù)g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(l)=O,即￡r)次2一3)，

于是正國)=412)刁(2—、2)，而126(1，2),2—X2€(0,1),X]€(0,1),

函數(shù)/U)在(0，1)上單調(diào)遞增，因此X|>2—X2，即XI+%2>2.

綜上，XI4-X2>2.

2.(2024.廣東深圳中學高三階段考試)設(shè)函數(shù)“￥)=。+4把，，已知直線>,=2x+1是曲線y=/(x)

的一條切線.

(1)求。的值，并討論函數(shù)犬工)的單調(diào)性；

(2)若於1)=4及)，其中X1<X2，證明：》及>4.

解(1)設(shè)直線y=2r+l與曲線y=/U)相切于點5),黃耳))，

??T(x)=(x+a+l)F，

?VCvo)=(xo+?+l)evo=2；

又風卬)=(的+4把%=210+1,

/.2-evo=2^>+1,即e"+2xo-1=0.

設(shè)g(x)=e'+2A-1,則gQ)=e*+2>0,

???g(x)在R上單調(diào)遞增,

又g(O)=。，

???g*)有唯一零點x=0,

/?xo=O?

?'a+1=2,解得a=1,

，./U)=a+l)e,/(x)=a+2)e\

則當K￡(—8,—2)時，/(x)<0；

當x€(-2,+8)時，/(x)>0.

???函數(shù)、/U)在(一8,—2)上單調(diào)遞減，在(-2,+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明：由(1)知，7U)min=/(—2)=—。2<0,

當X<-1時，/U)vo；當x>-\時，Ax)>0,

/.X|<—2<V2<—1.

4

要證X1X2>4,只需證Xl<—<—2.

42

??7U)在(一8,一2)上單調(diào)遞減，

*,?只需證人X。習G)

又yUl)=Z(X2)，則只需證/i>2)習(￡)對任意X26(—2,—1)恒成立.

設(shè)力a)=yu)-/(3,

4

,8(x4-2)~(x+2)evd,

，〃(x)=(x+2)eA+-L^~e'=~(A?e+8).

4

設(shè)p(x)=,e*+8,

則當一24<一1時，“。)=—箝+|)~+(vO,

???〃&)在(一2,—1)上單調(diào)遞減，

/.p(x)<p(-2)=—8+8=0,

X

-,,(x+2)e”

又當一2<￥〈一1時，■AJ<0,

；?當一24<—1時，//(x)>0,

???/?(x)在(一2,—1)上單調(diào)遞增，

：Ji(x)>h(~2)=0,

即yu)習停)在x￡(—2，一1)時恒成立，

又2,1),

，凡切刁(9，原不等式得證?

3.(2023?湖北武漢華中師范大學第一附屬中學高三下學期壓軸卷(一))已知,仆)=21—5皿一也

Inx.

(1)當。=1時，討論函數(shù)AD的極值點個數(shù)；

(2)若存在X],工2(07142)，使府1)=於2)，求證：X\X2<a.

解(1)當。=1時，y(x)=2x—sin.v-Inx,

則/(x)=2-COSA-5，

當時，/(x)21—cosx20,

故4E)在[1,+8)上單調(diào)遞增，不存在極值點；

當0<x〈l時，令/?(x)=2—cosx一

則"(x)=sinr++>0恒成立，

人

故函數(shù)人(幻即了。)在(0,I)上單調(diào)遞增，

且/⑴=1-cosl>0,/(；)=-cos/-2<0,

所以存在入?()€(｝，l)，使得了(xo)=O，

所以當O<rbo時，/(x)vO,./U)單調(diào)遞減；當xo<x〈l時，/(A)>0,?v)單調(diào)遞增，

故函數(shù)?r)在(0,1)上存在唯一極值點.

綜上，當〃=】時，函數(shù)五》)的極值點有且僅有一個.

(2)證明：由y(xi)=/(x2)，知Zii—sinxi—Winxi=Zq—sin*—Win42，

整理，得2(X|—X2)—(sinxi—sirLV2)=*\/fl(lnxj—InX2)(*),

不妨令g(x)=x—sinMoO),則g，(x)=1—cosx20,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當0<Xi<X2時,有g(shù)(Xl)<g(l2)，

即Xi-sinxi<X2-sin%2，

那么Sill￥|—silLT2>Xi—X2，

因此⑺即轉(zhuǎn)化為6>1尋云

接下來證明/大一｝—>7W2(O<.￥|<X2)，

等價于證明In中卷一看，

不妨令里=，(OV<1),

、X2

建構(gòu)新函數(shù)3")=21nr-/+y(O<z<1),

?I(1—Ip

9")=^—1—廿<0,貝48⑺在(0，1)上單調(diào)遞減，又當f從左側(cè)趨近于1時，。⑺趨

近于0,

所以如)>0,故in,*一,叫]::「:;也W((—得證,

由不等式的傳遞性知，即X\X2<a.

4.(2023?湖南長沙實臉中學高三三模)已知函數(shù)h(x)=x-a\nx(aWR).

(1)若〃(x)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍；

2

⑵若方程Xp—“(lnx+x)=0有兩個實根X],X2,且汨力必，證明：evi

A1X2

解(1)函數(shù)人。)的定義域為(0,+8).

當。=0時，函數(shù)力(x)=x無零點，不符合題意，所以〃W0,

由//(x)=x—fllnx=0,

-T/口1Inx

可得一=——，

ax

構(gòu)造函數(shù)人幻=呼，其中.。0,所以直線)，=：與函數(shù)人工)的圖象有兩個交點，

人€?

1—Inx,——一

f(x)=-@—,由/(x)=0可得％=e,列表如下：

X(0,e)C(e,+0°)

f(x)+0—

極大值:

火X）單調(diào)遞增單調(diào)遞減

且當x>l時，於)=乎>0，

由圖可知，當0<聶，即心。時，直線)，=!與函數(shù)7U)的圖象有兩個交點,

故實數(shù)。的取值范圍是9,+8).

(2)證明：因為Aex-fl(lnx+x)=O,則xev—?ln(xer)=O,

令f=xev>0,其中x>0,見有，一aln/=O,

z,=(x+l)ev>0,所以函數(shù)i=%e*在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因為方程xe^—d(lnx+.r)=0有兩個實根工I,必，

令t\=X|CVI,/2=12寸2,

則關(guān)于f的方程/—Hnf=0也有兩個實根h,f2，且A#/2,

要證e'f品即證即efiX2Cv2>e2，即證力t2>c2，即證In力+1nti>2,

（\=?lnt\?

由已知〈

J2=〃lnt2，

t\~t2=a（\n八一Inti）?

所以

fi+/2="（ln力+ln也），

力+介InZi+intz

整理可得,

t\~~t2In/i-Intz

不妨設(shè)心位。，即證hUi+ln-巖In方2,

2（4一，2）

即證

/1+/2

令s=%i,即證ms玉f其中s”,

構(gòu)造函數(shù)g（s）=lns—2:+1"，其中s>l,

^，(5)=7-rT77=_TTT^>(b所以函數(shù)g($)在(1，+8)上單調(diào)遞增，又當s從右側(cè)趨近于1

時，g⑸趨近于0,

所以當S>1時，g(S)>0,故原不等式成立.

5.(2024?河北石家莊部分重點高中高三月考)已知函數(shù)?0=f]nx—?(a€R).

⑴求函數(shù)7U)的單調(diào)區(qū)間;

2

(2)若函數(shù)40有兩個零點M，訐明：1<11+也<存.

解(1)因為1》)=$1114—03€陽的定義域為(0,4-00),

則/(x)=2xlnx+x=x(21nx+1)，

令/(x)>。，解得心力，

令/(工)<0，解得041方，

所以人制的單調(diào)遞減區(qū)間為(o，a),單調(diào)遞增區(qū)間為往，+8

(2)證明：不妨設(shè)X[<X2，由(1)知，必有0<A，|V已<X2.

、2

要證XI?即證X2<~i=-X\，

e

即證人切5XI,

又人X2)=貝箝)，即證貝即)一乂泉巾)<。?

令g(x)=J(x)-

則g'(x)=x(21nx+1)+/一工[21n(京一，+1],

M錄r)+L—2=2ln~2~<0在x€(。

令力(x)=g'(x),貝4"(x)=2(lnx+l)+1—

一

恒成立,

(。功(0，古)上單調(diào)遞減，所以g3>g'|

所以〃(x)在上單調(diào)遞減，即g'(x)在

(。相上單調(diào)遞增，所以g(xi)<g(U=。，

所以g(.r)在

2

即加)一,所乂制+也<^.

接下來證明X|+x2>l?

令則>1，又火M)=y(X2)，

即AT!Il.Vi=x21n4

所以InX]=]_產(chǎn)

要證1〈X|+X2，即證14l+g,

即證”+1)X1>1，

不等式(1+1口直1兩邊取對數(shù)，

即證Inxi+ln(r+l)>0?

即證普+ln(f+D>0，

0nr"+l)ln(/+I)t\nt

即證------?------

令〃(X)=^f，xW(l，+8),

(Inx+1)(x—1)—.Hnx

則“3=

(A-I)2

x-Inx-1

(A-I)2

令p(x)=x—In]一1,其中x€(l,+°°),

則“(x)=1-7=^—^>0,

人人

所以p(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，又當X從右側(cè)趨近于1時，pa)趨近于0,

所以當x€(l,+8)時，p(x)>0,

x-Inx-1

故當x€(l,+8)時，〃”)=_2->o,

(X1)

可得函數(shù)"(X)單調(diào)遞增,可得〃。+I)>?(/),

(r+l)ln(r+1)rlnt.

即------；------所以笛

it—1+M>L

綜上可知，1<X[+也<證.

6.(2021?新高考I卷)已知函數(shù)4