專題5?2平面向量共線定理與等和線

思維導(dǎo)圖

知識點?梳理

一、平面向量共線定理：已知PC=4AX+4P月，4+4=1是A、B、C三點共線的充要條件

證明

若點A,B,C互不重合，P是A,B,C三點所在平面上的任意一點，^L~PC=xPA+yPB,

證明：A,B,C三點共線是x+y=l的充要條件.

證明：(1)由x+y=l=A,B,C三點共線.由x+y=l得

PC=xPA+yPB=xPA^[\-x)PBPC-PB=x(PA-PB)nBC=xBA.

即比，加共線，故A,B,C三點共線.

(2)由A,B,C三點共線=>x+y=l.

由A,B,C三點共線得前，成共線，即存在實數(shù)x使得阮二義麗.

故喬+定二亞所+中)=定=4雨+(1—㈤而.令冗=4〉=1-4,則有x+y=l.

二、等和線相關(guān)性質(zhì)

B

B,

平面內(nèi)一組基底麗及任一向量而，OP=2OA+//OB,若點p在直線AB上或在平行于AB的直線

上，則；1+〃=左（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線。

1.當?shù)群途€恰為直線AB時，k等于1.

2.定值k的變化與等和線到0點的距離成正比.

平面內(nèi)一組基底班礪及任一向量而，OP=ZOA+//OB,若點P在直線AB上或在平行于AB的紅線

上，則4+〃=2（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線。

1.當?shù)群途€恰為直線AB時，k等于I.

2.定值k的變化與等和線到0點的距離成正比.

高考真題?回顧

2017全國3卷（理）T12

1.在矩形ABCD中，AB=LAD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若2=/AB+/7AD?

則4+〃的最大值為

A.3B.272C.75D.2

【答案】A

【詳解】

法一：等和線

AD

設(shè)兩二aMMwe，y）,則麗二二通+工而，

4+14+1

_______tn_—I_■_

3殳祈二/^7,則-----A8+----AD=XAB+J,1AD,即2+〃=/

。+1。+1

AP

\\xMPPE

\AM\AMAG

PE

?「PE過點C時取最大值，貝"PE<2AG,故——M2,Mr<3

AG

設(shè)A（0,l）,8（0,0）,C（2,0）,0（Zl）,P（x,y）,

2i

易得圓的半徑r=不，即圓。的方程是（大一2f+），2=不

._-UUULUUIUK1

A尸=（x,y—l）,A4=（0,-l）,AO=（2,0）,若滿足A尸=/lA8+〃AZ）,

X=2/zXx

則，y-\=-V〃=/=所以人"瓦.小

設(shè)2=土一），+1,即3-）'+1-2=0,點P（x,y）在圓（x-2y+），=3上，

225

|2-z|<2

所以圓心（2,0）到直線g-y+l-z=O的距離dK乙即H一一節(jié),解得1VZW3,

2J—1"1

V4

所以z的最大值是3,即4+〃的最大值是3,故選A.

2020年江蘇省高考

2.在A43C中，BC=3,AC=4,Z4CB=90°,。在邊4?上（不與端點重合）.延長。到尸，使得

a__a

CP=9.當。為AB中點時，PQ的長度為；若PC=mPA+（士一機）加（〃2為常數(shù)〃?H0且6w士）

22

則8。的長度是,

【解答】解：當。為中點時,

在MBC中，BC=3,AC=4,ZAC5=90°,則A5=5,

所以CO=,A8=2,又CP=9,

22

s1?

所以PO=CP-CO=9-2=」，

22

即當。為中點時，物的長度為上.

2

一—3一3

PC=mPA+(——m)PB{m為常數(shù)mh01m*—),

如圖，以。為坐標原點，分別以C4,C8所在直線為x,y軸建立平面直角電標系,

則A(4,0),以0,3),

一_3___3__

由PC=mPA+(--in)PB=m(PC+C4)+(--w)(PC+CB),

22

整理得PC=-2mCA+(3-2m)CB.

=一2〃?(4,0)+(2m-3)(0,3)=(一8〃？,6m-9).

77

由CP=9,得64/+(6".9)2=81,解得〃?=—或"?=0(舍).

25

所以直線PC的方程為k誓

直線/W的方程為^+2=1,

43

聯(lián)立兩直線方程可得x=^n,y=3-2/n.

即D（衛(wèi)，—）,

2525

,180=催尸+（||-3）2中

.?.6。的長度是史.

5

重點題型?歸類精講

題型向量共線定理：構(gòu)造方程組求系數(shù)

2023?深圳二模

1.已知AOAB中，OC=C4?OD=2DB^AO與8C相交于點M,OM=xOA+yOB,則有序數(shù)對",')=

]_I)

A.B.J11C.D.

94,2;

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量共線定理得到而7=丸入方，CM=JLICB,利用麗、加分別表示出麗，再根據(jù)平

面向量基本定理得到方程組，解得2、4,再代入計算可得.

【詳解】依題意A、M、。三點共線，故彳祈=2而，

所以+4冠=（a4+%A萬=函+%（。萬一函）

OA+A\^OB-

又C、歷、4三點共線，故由=

則OM=OC+CM=OC+^CB=OC+^OB-OC)

=(\-/J)OC+/.IOB=OA+/葭苑,

13

X=—

24

所以，

2A'叼I

//=T”5

i

x=—

所以O(shè)A7=goQ+；o4,又兩=工兩+），礪，所以4

1'

)'=5

所以有序數(shù)對（x,y）=11

()

D

M

AB

江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2023屆高三下學(xué)期3月教學(xué)情況調(diào)研（一）

2.在“WC中，已知%5=2。3，CE=EA^應(yīng):與AO交于點。.若8=x圍+yCA（x,yeR）,則

x+y=.

【答案】|

【分析】根據(jù)向量線性運算的幾何表示可得以＞=3.北方+），。4,CO=xCB+2yCEt然后利用共線向量的推論

即得.

【詳解】因為肘5=2。3,CE=EA,

所以。月=3。萬，CA=2CE,又前=xCg+yCA,

所以C0=3xC萬+)，C4,CO=xCl3+2yC^,又跳:與AO交于點O,

3x+y=1

所以，

x+2y=1

123

所以x=W，y=w，即

JJJ

3.在△ABC中，BC=3BD^齊=2可，E是AB的中點，EF與AD交于點P,若9=〃?而+〃配，則利+〃=

（）

34c6

A.—B.—C.-D.I

777

【答案】A

【分析】利用向量的線性運算求得=+由此求得m,n,進而求得.

77

A

___?—I__

因為A,P,D三點共線，所以AP=/MO=§/MB+§/lAC.

因為5=2而，所以標=：*.

因為E是邊AB的中點，

所以A^=：A尻因為E,P,F三點共線,

所以「=l-k

AkAE+(l-A:)AF=g%AB+AC,

~T~

2,I,

—A=-K

324213

則，］"女，解得從而m=亍,〃=,，故"?+〃='.

-2=---

33

向量共線定理：結(jié)合不等式求最值

2024屆?湖南師大附中月考（二）

4.△ABC中，。為AC上一點且滿足而=；配，若P為BD上一點,且滿足而=2血+〃/,4〃為正實

數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.辦的最小值為上B.辦的最大值為1

16

c.J+1-的最小值為4D.?+的最大值為16

x4"X4〃

【答案】C

【分析】利用基本不等式可求得上"的最大值為上，判斷A、B；將!+--化為（4+4〃）[5+，-],結(jié)合

基本不等式可求得其最小值，判斷C；?+；=占，結(jié)合0<〃芯上可判斷D.

44/74A//16

【詳解】???4〃為止實數(shù)，AD=^DC,:.AC=4Ab,

：.AP=AAB+PAC=AAS+4MD,而P,8,。共線，

A

\D

P

BC

1(4+4〃丫1

「.2+4〃=2//=—(2-4//)<4^2J

16

當且僅當2=4〃時，結(jié)合；l+4〃=l,即義=:，〃=：時取等號，A,B錯誤;

28

1》(人4〃)*卷卜2+與+介2+2秒5=4,

當且僅當當唱，即…〃，即"舁4時取等號，

即;+上的最小值為4,C正確;

J1J+4J?

24〃42//42//

由于4〃為正實數(shù)，衿4〃=1'則

則XJLI=(1-4〃)〃=-4(〃一:f+」，〃=：時入〃取最大侑上,

8108Io

當"趨近于0時，4,可無限趨近于0,

故0<4/?4,故:+；=/無最大值，D錯誤，

1644〃4/1〃

5.如圖，在~48。中，O是線段BC上的一點，且阮=4而，過點。的直線分別交直線八乩4C于點M,

N.若AM=%麗，AN=//AC(A>0,//>0),則義-'的最小值是.

從

【分析】平面向量基本定理，借助B,Q,C三點共線，找出4〃的關(guān)系式，4-'的最值利用消元法求解范圍

即可.

【詳解】平面向量基本定理，借助RD,C三點共線可知:

血=入而+(1)麗="通+(1)〃而，

2024屆?重慶市西南大學(xué)附中、重慶育才中學(xué)十月聯(lián)考

6.（多選）在三角形ABC中，點。足A4邊上的四等分點且4。=3。8*。邊上存在點￡滿足礪=義怎（；1>0）,

直線CO和直線交于點E若定=〃麗（〃>0）,則（）

A.Cb=-CA+-CBB.切=4

44

164CFFA4

C.不+一的最小值為17D.

力〃CDCA9

【答案】ABD

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算、共線定理、數(shù)量積的運算性質(zhì)逐項判斷即可.

—3—

【詳解】因為A￡>=3O8,所以AD=-A8,

4

所以8=34+4）=。4+彳4月=。4+（（而一弓5）=^或+：而，故A正確：

又因為西=義區(qū)（2>0）,則不二（1十；I）無，

因為定=〃而（〃>0）,

所以叫金正竟（抨+》卜戒產(chǎn)+瑞產(chǎn)=給旭瑞產(chǎn)

又BfE三點共線'所以〃（卡1+"麗）+3瑞zz?土

整理得力/=4,故B正確:

由〃/=4可得〃=3,所以，y+%=±+164,因為義>0,當1=工時，-y+162=4+16x—=12<17

故

2Z~//X'22"2

164

不+一的最小值不為17,故C不正確；

x〃

由于匕4=（1+2）在，所以在二——CA,則麗二」一夙.

'1+21+4

所以CF-EA_1+4〃丸—JLIA_4_4

CDCACDCAI+//1+義1+〃+2+1+//+A+45+〃+2

又〃+/1227^=2，3=4,當且僅當〃=4=2時，等號成立

44

所以百I的最大值為鏟故口正確

7.（多選）如圖所示，在凸四邊形ABCD中，對邊BC,AD的延長線交于點E,對邊AB,DC

的延長線交于點F,若前=丸分，ED=X/DA,而=3麗（％〃>0）,則（）

A.EB=-EF+-EA

44

B.卻=—

4

C.~+~的最大值為1

ZJL1

反?通、4

D.

EBEA~9

【答案】ABD

【解析】顯然A正確，注意規(guī)律（分點恒等式）

對于B選項：麗=「一屋+勺胡，定=工花十1】麗（分點恒等式）

1+41+〃1+21+2

[12

------m-------

而"?京n01匚二歲二上!（三點共線定理），故B正確

±_=”_Li+〃1+〃4

[1+//1+A

補充：也可以同梅涅勞斯定理求出B選項.

對于C選項：>21-^~=4>1,故C錯誤;

/t〃yZ〃

EC-AD1114

對于D選項:=—,——,>—,——故D正確

EBEA(1+狽+〃)1+初+；1+〃-1+沏+2巧9

等和線：求系數(shù)和最值，范圍

8.如圖正六邊形A8COEE中，P點三角形COE內(nèi)(包括邊界)的動點，設(shè)點=+y際,

則x+y的取值范圍是.

【答案】［3,4］

【解析】令而二而，易證絲空

fx+y=f,==1+=1+.\re[3,4]

AQAQAG

9.如圖，在直角梯形A3CQ中，ADJ.AB,AB//DC,AD=DC=\,AB=2,動點P在以點。為圓心,

且與直線8。相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)A戶=+政Z〃eR),則九十〃取值范圍是_________

【答案】［1,2］

【分析】以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，先求出以點C為圓心，且與直線8。相切的圓方程，設(shè)PUy),

再根據(jù)入戶=/IA/5+4A8(大〃GR),可求出點。的坐標，再根據(jù)尸在圓內(nèi)或圓上，可得關(guān)于人”的一個不等

關(guān)系，設(shè)/+〃?=，，進而可得出答案.

【詳解】如圖所示以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，

則AQO),0(0.1),C(LI),8(2.0),

直線8。的方程為］+；=1,化簡得x+2y-2=0,

|l+2-2|=x/5

點C到BD的距離d=

后5

可得以點C為圓心，且與直線80相切的圓方程為(.￥-1)2+(丁-1產(chǎn)=2,

設(shè)P(x,y),則A尸二(x,y),AD=(O,1),通=(2,0),

；9=屈+〃麗(/1,〃的，

/.(x,y)=A(0,1)+(2,0)=(2〃,Aj,

可得x=2〃且y=4,。的坐標為

???/在圓內(nèi)或圓上,

設(shè)I+m-/,得〃=/一2，

o

代入上式化簡整理得5笳-(8/-2)2+4/-4/+140,

若要上述不等式有實數(shù)解，

o

則A=(8f-2)2-4x5x(4/2-4/+-)>0,

化簡得產(chǎn)一3r+2M0,

解得1KY2,

即1WN+〃W2,

」.2+〃取值范圍是『2].

10.給定兩個長度為3的平面向量誣和加，它們的夾角為120°,如圖所示，點C在以O(shè)為

I員I心的圓弧上運動，若祝二x或+y礪，其中x，ycR,則尤+y的最大值是；

2x+'的最大值是__.

【答案】

【解析】（1）AB交CO于D,設(shè)。。=/0。j?0,xo）,易證x+y=1

OC

t=——：,當時，Z取最大值，1=2；

OMm

B

C

D

OA

(2)取OA中點E,則OC=2xOE+yOB

OC交BE于F,設(shè)沆=〃?麗,/%七（（）,”），易證2x+y=f

右寫，當OCJ■晅時，z取最大值，/x=當

11.如圖，在正方形ABCD中，E為BC的中點，P是以AB為直徑的半圓弧上任意一點，設(shè)

AE=XAD+yAP（xyyeR）f則2x+y的最小值為（）

A.-1B.1C.2D.3

AB

【答案】

【解析】取AD中點F,則M+%戶。,yeR)

直線FP交AE于G,設(shè)初=r運

?：FPG三點共線：.^G=mAF+(\-nt)AP

AE=tAG=tmAF-\-t(\-m)AP\AE\

JE=