第十章概率易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練

01目錄

易錯(cuò)題型一誤把頻率當(dāng)概率，混淆了頻率與概率的概念.............................................I

易錯(cuò)題型二混淆了互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別.....................................................3

易錯(cuò)題型三忽視了概率加法公式適用的前提條件...................................................5

易錯(cuò)題型四基本事件列舉時(shí)出現(xiàn)重復(fù)或者遺漏.....................................................6

易錯(cuò)題型五混淆了有放回和無(wú)放回...............................................................10

壓軸題型一獨(dú)立事件的判斷.....................................................................13

02易錯(cuò)題型

易錯(cuò)題型一誤把頻率當(dāng)概率，混清了頻率與概率的概念

例題1：⑵-24高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降雨概率是70%”，下列說(shuō)法正確的是（）

A.本市明天將有70%的地區(qū)降雨B.本市有天將有70%的時(shí)間降雨

C.明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大D.明天出行不帶雨具肯定要淋雨

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】天氣預(yù)報(bào)中的概率解釋

［解析］根據(jù)概率的意義，可判斷各選項(xiàng).

【詳解】氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降雨概率是70%”,則本市明天降雨的可能性比較大.與降水地區(qū)面積和降水時(shí)

間無(wú)關(guān)，所以A,B錯(cuò)誤.

降水概率是事件發(fā)生的可能，不是一定會(huì)發(fā)生的事情，所以D錯(cuò)誤.

而由降水概率是70%,可知降水概率較大,所以明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大，所以C正確.

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了概率的概念和意義,屬于基礎(chǔ)題.

例題2：（23-24高二上?湖北宜昌）某種彩票的中獎(jiǎng)概率為正嬴，則以下理解正確的是（）

A.購(gòu)買這種彩票10000（）張，一定能中獎(jiǎng)一次

B.購(gòu)買這種彩票100000張，可能一次也沒(méi)中獎(jiǎng)

1

C.購(gòu)買這種彩票1張，一定不能中獎(jiǎng)

D.購(gòu)買這種彩票100000張，至少能中獎(jiǎng)一次

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】抽獎(jiǎng)、彩票的概率解釋

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件概率的定義逐個(gè)分析判斷即可.

【詳解】購(gòu)買這種彩票10000()張，相當(dāng)于做100()00次試驗(yàn)，因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，

所以每張彩票可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)，

對(duì)于ABD,購(gòu)買這種彩票100000張，可能沒(méi)有一張中獎(jiǎng)，所以AD錯(cuò)誤，B正確

對(duì)于C,購(gòu)買這種彩票1張，有可能中獎(jiǎng)，所以C錯(cuò)誤，

故選：B

鞏固訓(xùn)練

1.(24?25高二?全國(guó)?假期作業(yè))已知某廠生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的合格率為90%,現(xiàn)從該批次產(chǎn)品中抽出100

件產(chǎn)品檢查，則下列說(shuō)法正確的是()

A.合格產(chǎn)品少于90件B.合格產(chǎn)品多于90件

C.合格產(chǎn)品正好是90件D.合格產(chǎn)品可能是9()件

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題中的概率解釋

【分析】根據(jù)概率的定義與性質(zhì)，直接可求解.

【詳解】某廠生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的合格率為90%,現(xiàn)從該批次產(chǎn)品中抽出100件產(chǎn)品檢查，

在,4中，合格產(chǎn)品可能不少于90件，故力錯(cuò)誤；

在B中，合格產(chǎn)品可能不多于90件，故8錯(cuò)誤；

在C中，合格產(chǎn)品可能不是90件，故C錯(cuò)誤；

在。中，合格產(chǎn)品可能是90件，故。正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查概率的定義與性質(zhì)的應(yīng)用，考查理解辨析能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2024高一下?全國(guó)?專題練習(xí))氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降水的概率是30%”，對(duì)于這句話的理解，下列說(shuō)

法正確的是

A.本市明天將有3()%的地區(qū)降水

B.本市明天將有30%的時(shí)間降水

C.本市明天有可能降水

D.本市明天肯定不降水

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】天氣預(yù)報(bào)中的概率解釋

【分析】氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降水的概率是30%”，表示本市明天降水的可能性為30%,

2

逐一分析每個(gè)選項(xiàng)，得出答案.

【詳解】氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降水的概率是30%”，表示本市明天降水的可能性為30%,

故A、B、D均不正確，

故選C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨機(jī)事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.

易錯(cuò)題型二混淆了互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別

例題1：（23-24高一下?山東濟(jì)南?期末）從裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黃球的口袋中任取兩個(gè)球，下列各組事件

中，是互斥事件的是（）

A.，，至少一個(gè)白球，，與，，至少一個(gè)黃球，，B.“恰有一個(gè)白球”與“恰有兩個(gè)白球”

C.”至多一個(gè)白球，，與，，至多一個(gè)黃球，，D.”至少一個(gè)黃球”與“都是黃球”

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系

【分析】利用互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生，末檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可.

【詳解】從裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黃球的口袋中任取兩個(gè)球，

共有三種結(jié)果：兩白球，一白一黃，兩黃球，

這三個(gè)事件是互斥事件.所以B是正確的：

由于至少一個(gè)白球，包含事件有兩白球和一白一黃，

而至少一個(gè)黃球包含兩黃球和一白一黃，

當(dāng)取到一白一黃時(shí)，此時(shí)這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，故A錯(cuò)誤；

由于至多一個(gè)白球，包含事件有一白一黃和兩黃球，

而至多一個(gè)黃球包含一黃一白和兩白球，

所以當(dāng)取到一白一黃時(shí)，此時(shí)兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，故C錯(cuò)誤；

由于至少一個(gè)黃球，包含事件一白一黃和兩黃球，

而都是黃球顯然也是兩黃球，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

例題2：（多選）（23-24高二下?云南大理?期末）小華到大理旅游，對(duì)于是否選擇崇圣寺三塔與蝴蝶泉這

兩個(gè)景點(diǎn)，下列各事件關(guān)系中正確的是（）

A.事件“至少選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”與事件”至多選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”為互斥事件

B.事件“兩個(gè)景點(diǎn)均未選擇”與事件“至多選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”互為對(duì)立事件

C.事件“只選擇其中一個(gè)景點(diǎn)'與事件”兩個(gè)景點(diǎn)均選擇''為互斥事件

D.事件“兩個(gè)景點(diǎn)均選擇”與事件”至多選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”互為對(duì)立事件

【答案】CD

【知識(shí)點(diǎn)】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、確定所給事件的對(duì)立關(guān)系

3

足條件.

B、至少有1件次品與都是正品是對(duì)立事件，故不滿足條件.

C、至少有1件次品與至少有1件正品不互斥，它們都包括了“一件正品與一件次品”的情況，故不滿足條件.

D、恰有1件次品與恰有2件正是互斥事件，但不是對(duì)立事件，因?yàn)槌酥膺€有“兩件都是次品”的情況，故滿

足條件.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)立事件和互斥事件，意在考查學(xué)生對(duì)對(duì)立事件和互斥事件的理解，難度較易.

易錯(cuò)題型三忽視了概率加法公式適用的前提條件

例題1:（23-24高一下?陜西西安?期末）已知隨機(jī)事件48滿足P（4）=LP網(wǎng)=之,P（4U8）==,則

346

P（4nB）=（）

113i

A.—B.-C.—D.—

168164

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】概率的基本性質(zhì)

【分析】根據(jù)給定條件，利用概率的基本性質(zhì)列式計(jì)算即得.

1351

【詳解】依題意，P（AC\B）=P（A）+P（B）-P（AUB）=-+-=-.

314764

故選：D

11

例題2：（多選）（24-25高二上?河北保定?開(kāi)學(xué)考試）己知事件4SC兩兩互斥，若尸（力）=；,尸（4U4）=；,

產(chǎn)（力Uc）=V，則（）

A.P（BcC）=：B.P（5）=|C.P（B2C）=±D.P（C）=1

【答案】BCD

【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式

【分析】根據(jù)互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)槭录?SC兩兩互斥，

所以尸（8cC）=P（/c4）=P（/lcC）=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由尸（-8）=尸⑷+P（B）=:+P（8）=（得p（4）=，故B正確；

對(duì)于D,由P（/uC）=P（/）+P（C）=（+P（C）=/得P（C）=\,故D正確：

1|7

對(duì)于C,因?yàn)槭˙uC）=Q（8）+P（C）=w+q=五，故C正確.

5

故選：BCD.

鞏固訓(xùn)練

7|s

1.（23-24高二下?江蘇鹽城?期末）若隨機(jī)事件48滿足。（⑷=二，尸（4=7,P（4+4）=1則P（48）=

2

c；D.

3

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】概率的基本性質(zhì)

【分析】由概率的性質(zhì)尸（Z8）=P（/+尸（8）-尸（4+5）即可得到答案.

【詳解】由概率的性質(zhì),

7151

P（^）=P（/f）P（5）-P（JB）=----=-

++3+263

故選:B.

2.（多選）（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)48,C是三個(gè)隨機(jī)事件，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若力避互斥，則P（/）+P（B）=l

B.若力G&則尸（3）

C.P（4UB）=P（/）+P（B）-P（48）

D.若48相互獨(dú)立,則P（口）=[1-尸（期11一尸⑻]

【答案】BCD

【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件美系的辨析、相互獨(dú)立事件與互斥事件、概率的基本性質(zhì)、獨(dú)立事件的乘

法公式

【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)即可逐項(xiàng)判斷得到答案.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若/I,4互斥但不對(duì)立，則尸（力+尸傳）＜1,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：若AEB,尸（力）4尸伊），故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：顯然P（4uB）=P（4）+P（3）-P（/B）,故C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D：若48相互獨(dú)立，則力了也相互獨(dú)立，則P（劉）=尸（勾夕（司=口-可劃｛1-5故D

正確.

故選：BCD.

易錯(cuò)題型四基本事件列舉時(shí)出現(xiàn)重復(fù)或者遺漏

例題1：（24-25高二上?山東淄博?階段練習(xí)）已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,

16。?160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng).

6

（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？

（2）現(xiàn)從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作.

①寫出樣本空間；

②設(shè)事件v="抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)“，求事件M發(fā)生的概率.

【答案】（1）甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人

（2）①答案見(jiàn)解析；②

【知識(shí)點(diǎn)】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計(jì)算、寫出基本事件、計(jì)算占典概型問(wèn)題的概率

【分析】（1）根據(jù)分層抽樣得定義即可得解；

（2）①利用列舉法即可得解；

②利用古典概型求解即可.

【詳解】（1）由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3:2:2,

由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，

因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人：

（2）①設(shè)甲年級(jí)的是兒乙年級(jí)的是。,E,丙年級(jí)的是產(chǎn),G,

則樣本空間為｛（4外（4C）,（4。）,（40,（4尸）,（4G）,（8,K）,

（5,F）,（5,G）,（C,D）,（C,E）,（C,F）,（C,G）,（D,E）,（D,F）,（D,G）,（￡,F）,（￡,G）,

仍。）｝：

②由①得，事件〃包含的基本事件為（48）,（4。）,（民。）,（。/）,（尸。）共5種，

所以「（"）=《■.

例題2：（23-24高三上?寧夏吳忠?階段練習(xí)）某新能源汽車制造公司，為鼓勵(lì)消費(fèi)者購(gòu)買其生產(chǎn)的新能源

汽車，約定從今年元月開(kāi)始，凡購(gòu)買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的購(gòu)車補(bǔ)貼.某

調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)已購(gòu)買該品牌汽車的消費(fèi)者，就購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分

理預(yù)期值（萬(wàn)元）

（1）求實(shí)數(shù)。的值：

（2）估計(jì)已購(gòu)買該品牌汽車的消費(fèi)群體對(duì)購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)

值作代表）；

7

（3）現(xiàn)在要從購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在［3,5）間用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2

人進(jìn)行調(diào)查，求抽到2人中購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在［3,4）間的概率.

【答案】（1）0.15

（2）3.5（萬(wàn)元）

⑶I

【知識(shí)點(diǎn)】由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率、補(bǔ)全頻率分布直方圖、寫出基本事

件

【分析】（1）由頻率分布直方圖列方程，能求出實(shí)數(shù)。的值；

（2）利用頻率分布直方圖能求出平均數(shù)的估計(jì)值；

（3）從購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在［3,5）間用分層抽樣的方法抽取6人，則購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值

在［3,4）間的有4人，記為購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在［4,5）間的有2人，記為4B,通過(guò)列

舉法求出抽到2人中購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在［3,4）間的概率.

【詳解】（1）由題意知，1x（0.10+030+030+^+0.10+0.05）=1,

解得〃=0.15：

（2）平均數(shù)的估計(jì)值為卜=1.5x0.1+2.5x0.3+3.5x0.3+4.5x0.15+5.5x05+6.5x0.05=3.5（萬(wàn)元）

（3）從購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在［3,5）間用分層抽樣的方法抽取6人，

則購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在［3,4）間的有4人，記為b,c,d,e,

購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在［4,5）間的有2人，記為4B,則基本事件有：

（瓦￡?）,（6,4）,（仇6）,（仇力）,（6,3）,（60卜（0,e）,（0,/）,（6,8）,（4,2）,（44）,08）,（號(hào)力）,（6,8）,（48）共15種情況,

其中購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在［3,4）間有傳,°）,（44），90,（%4）,（°，4,34，共6種情況，

所以抽到的2人中購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在［3,4）間有6種情況，

所以抽到的2人中購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在［3、4）間的概率為尸=2=|

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24高二上,湖北省直轄縣級(jí)單位?期中）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為一號(hào)和二號(hào)），觀察兩枚

骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.

（1）寫出這個(gè)試臉的樣本空間；

（2）求下列事件的概率：

①幺="兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是6"：

②3="一號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)比二號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大”.

【答案】（I）樣本空間詳見(jiàn)解析

（2）①親■

【知識(shí)點(diǎn)】寫出基本事件、計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率

8

【分析】(1)列用列舉法求得正確答案.

(2)結(jié)合(1)以及古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.

【詳解】(1)樣本空間為：

{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,61,

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.

(2)①“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是6”，包括的樣本為：

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),

所以尸⑷總.

②“一號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)比二號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大”，包括的樣本為：

(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),

所以尸⑻

3012

2.(2023高一?全國(guó)?專題練習(xí))從4名男同學(xué)、2名女同學(xué)中選出3人構(gòu)成一組.

(1)該活動(dòng)包含了多少個(gè)基本事件？

(2)生出男同學(xué)比女同學(xué)多的概率是多少？

【答案】(1)20個(gè)；

嗚

【知識(shí)點(diǎn)】寫出基本事件、計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率

【分析】(1)對(duì)6名同學(xué)編號(hào)，利用列舉法列出所有基本事件即可作答.

(2)由(1),求出抽出男同學(xué)匕女同學(xué)多的基本事件數(shù)，再利用古典概型計(jì)算作答.

【詳解】(1)4名男同學(xué)分別記為％,/，4，%，2名女同學(xué)分別記為小與，選出的3人構(gòu)成的一組記為孫z,

表示一個(gè)基本事件，

從4名男同學(xué)、2名女同學(xué)中選出3人的不同結(jié)果為：

。得2。3，的2a42bl,。洶2&網(wǎng)a3a4嗎。3bl此處4外。4aMM嗎4&,

a2a3a4,詠4M2a34,a2a4bl,a2a4b2yaj)ib24bl,a3a也嗎她，她一:共20個(gè)，

所以該活動(dòng)包含了20個(gè)基本事件.

9

（2）由（1）知，抽出的男同學(xué)匕女同學(xué)多的事件包含的基本事件有:

%。2a32a4,。i。2bl,%a2b23a4MM3bl,。1。3b2，。1。4blMi。4b2，

a2a3a4.a.ajj.,a2aAb［,a2aAb2,aiaAb2,共16個(gè)，

所以抽出男同學(xué)比女同學(xué)多的概率p=v=（

易錯(cuò)題型五混淆了有放回和無(wú)放回

例題1：（23-24高一下?天津西青?期末）從兩名男生（記為與利與）、兩名女生（記為G1和6）中任意抽

取兩人，分別采取不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一

男生一女生的概率分別為（）

人21「11廠12c11

A.—B.-C.一，一D.一，一

32462364

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率

【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計(jì)算公式求解.

【詳解】從兩名男生（記為4和B?）、兩名女生（記為G］和GQ中任意抽取兩人，

記事件力="抽到的兩人是一男生一女生”，

在無(wú)放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為：

Q產(chǎn)｛（4,層）,（&GJ,（距G?）,（見(jiàn)附,（%GJ,（%G2）,（G「4）,（GM2）,（GG）,（G2,8J,（G2，B）（G2，G）｝

共12個(gè)樣本點(diǎn)，

其中力=｛（a。）（用,伉）,（26）.（%&）仁4）公叢）伉中）?0）｝有8個(gè)樣本點(diǎn),所以

尸（4=白=：.

123

在有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為：

。2=｛（4用）,（冷切,（4GJ,（穌GJ,（%硝,（分層）,（％3，（%&）,（凡片）,（6也），

（G，G）,（GG）,（G2,8j,（G2,82）,（G2，Gj,（aG）｝共16個(gè)樣本點(diǎn)，

其中力=｛出￡）,（4。2）,區(qū)6）,區(qū),。）6,4）伉,當(dāng)）伉，瓦）伉,星）｝有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以

PC4）=—=1.

162

故選:A.

例題2：（多選）（23?24高一下?內(nèi)蒙古通遼?期末）袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個(gè)，每次任取一

個(gè)，有放回地取3次，則下列說(shuō)法正確的是（）

2

A.取出的3個(gè)球顏色相同的概率為］

10

Q

B.取出的3個(gè)球顏色不全相同的概率為5

2

C.取出的3個(gè)球顏色全不相同的概率為］

D.取出的3個(gè)球無(wú)紅球的概率為:

【答案】BC

【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率、有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率

【分析】應(yīng)用古典概型計(jì)算各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】設(shè)取得黃、紅、白球分別為1,2,3,

有放回地取球3次，

^(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,3,1),(2,1,1),(3,1,1),

(1,2,3),(1,3,2),(1,2,2),(1,3,3)(2,1,3)0,1,2)@［，2),(3,1,3),(3,2,1),(2,3,1),(2,2,1)0,3,1)

(2,2,2),(3,3,3),(2,2,3),(2,3,2)(3,2,2),(3,3,2),(3,2,3),(2,3,3)27種等可能結(jié)果,

其中顏色相同的結(jié)果有(LL1),(2,2,2),(3,3,3)3種，其概率為盤=’故A錯(cuò)誤：

顏色不全相同的結(jié)果有24種，

(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,3,1),(2,1,1),(3,1,1),

(1,2,3),(1,3,2),(1,2,2),(1,3,3)?1,3)*1,2)?』，2),(3』,3),(3,2』),(2,3』)(2,2,1)0,3』)

74X

(2,2,3),(2,3,2乂3,2,2),(3,3,2),(3,2,3),(2,3,3),其概率為言=；,故B正確；

顏色全不相同的結(jié)果有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,1,2),(3,2,1),(2,3,1)6種，其概率為卷=￡,故C正確;

無(wú)紅球的結(jié)果有(1,1,1),(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1),(1,3,3),(3,3,3),(3,1,3),(3,3,1),8種,其概率為熱,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

鞏固訓(xùn)練

1.(多選)(23-24高二上?黑龍江哈爾濱?開(kāi)學(xué)考試)一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地均相同的3個(gè)小球，分別標(biāo)

有數(shù)字1,2,3,現(xiàn)分別用三種方案進(jìn)行摸球游戲.方案一：任意摸出一個(gè)球并選擇該球；方案二：先后有

放回的摸出兩個(gè)球，若第二次摸出的球號(hào)碼比第一次大，則選擇第二次摸出的球，否則選擇第一次摸出的

球；方案三：同時(shí)摸出兩個(gè)球，選擇其中號(hào)碼較大的球.記三種方案選到2號(hào)球的概率分別為鳥(niǎo)，鳥(niǎo)，

則()

A.P.>P2B.Px>Py

C.6=烏D.A=A

【答案】CD

【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率、有放回與無(wú)放回問(wèn)題的概率

II

【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式分別求得三個(gè)方案選到2號(hào)球的概率.，從而得解.

【詳解】方案一：易得“選到2號(hào)球”的概率4=1：

方案二:先后有放回的摸出兩個(gè)球的基本事件有{1」},{1,2},{1,3},{2,1},{2,2},{2,3},{3,1},{3,2},{3,3},共9件,

其中“選到2號(hào)球”的基本事件有{1,2},{2,1},{2,2},共3件，

所以“選到2號(hào)球”的概率為2=5=；；

方案三：同時(shí)摸出兩個(gè)球的基本事件有{1,2},{1,3},{2,3},共3件，

其中“選到2號(hào)球”的基本事件有0,2},共1件,

所以“選到2號(hào)球”的概率為4=1；

所以=6,故AB錯(cuò)誤，CD止確.

故選：CD.

2.(23-24高一下?天津?期末)抽取某車床生產(chǎn)的8個(gè)零件，編號(hào)為4，4,…，4,測(cè)得其直徑(單位：

cm)分別為：1.51,1.49,1.49,1.51,1.49,1.48,1.47,1.53,其中直徑在區(qū)間［149,1.51］內(nèi)的零件為一等

品.

(1)求從上述8個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率：

(2)從上述一等品零件中，不放回地依次隨機(jī)抽取2個(gè)，用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果，并求這2

個(gè)零件直徑相等的概率.

【答案】⑴:

O

2

(2)結(jié)果見(jiàn)解析，y

【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率、有放回與無(wú)放網(wǎng)問(wèn)題的概率

【分析】(1)根據(jù)條件，利用古典概率公式，即可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)條件，列出樣本空間點(diǎn)和事件8的樣本點(diǎn)，利用古典概率公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有5個(gè).

設(shè)“從8個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)為一等品''為事件A,則尸(月)=J

O

所以，從8個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)為一等品的概率為。.

8

(2)一等品零件的編號(hào)為4，4，4,4.從這5個(gè)一等的零件中依次不放回隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可

能的結(jié)果有：Q={(4，制,(4,4),(4,

(4,⑷,(4,4卜(4,4b(4,4)，(4,4)，(4，4)，(4,4卜(4，4)，(&4)，(4,4)(4,4)，(4,4)}，分共20

種.

12

設(shè)“從一等品零件中，隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”為事件8,所有可能結(jié)果有：

8=｛（44）,（&4）,%4）區(qū)，4）&，4）（43，/2）&，4）回4）｝，共有8種.

Q7

所以，P（/?）=—=-.

03壓軸題型

壓軸題型一獨(dú)立事件的判斷

例題1：（23-24高一下?云南?期末）已知甲盒中有3個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號(hào)為1,3,4,乙盒中有3

個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號(hào)為3,4,6,現(xiàn)從甲、乙兩盒中分另!隨機(jī)摸出1個(gè)小球，記事件4="摸到的兩

個(gè)小球標(biāo)號(hào)相同"，事件8=”摸到的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和為奇數(shù)”，則（）

A.事件4和8相等B.事件4和8互相對(duì)立

C.事件力和8相互獨(dú)立D.事件彳和8互斥

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】寫出基本事件、相互獨(dú)立事件與互斥事件、判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、確定所給事件的對(duì)

立關(guān)系

【分析】列舉出樣本空間C、事件A和事件8,即可判斷A；對(duì)FBD：根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的概念分

析判斷；對(duì)于C:根據(jù)事件概率乘法公式分析判斷.

【詳解】用（出方）每次取球的結(jié)果，分別表示甲、乙兩盒中分別隨機(jī)摸出1個(gè)小球的標(biāo)號(hào)，

由題意可知:樣本空間。=｛（L3）,（1,4）,（1,6）,（3,3）,（3,4）,（3,6）,（4,3）,（4,4）,（4,6）｝；

事件/=｛（3,3）,（4,4）｝；事件八｛（1,4）,（1,6）,（3,4）,（3,6）,（4,3）｝,；

對(duì)干選項(xiàng)A：因?yàn)樗允录?不相等，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)BD：因?yàn)槭录4=0,，4口4=｛（1,4）,（1,6）,（3,3）,（3,4）,（3,6）,（4,3）,（4,4）｝工。，

所以事件4和8互斥，事件4和8不互相對(duì)立，故B錯(cuò)誤，D正確；

對(duì)「選項(xiàng)C：因?yàn)椤ǎ–）=9,〃（力）=2,〃仍）=5,〃（46）=0,

則P4=-^4=*,尸8=-H=己,P48=-^^=0,

—“（Q）9V7”（C）9l）〃（C）

顯然?（48）工尸（⑷尸（8）,所以事件力和8不相互獨(dú)立,故C錯(cuò)誤；

故選：D.

例題2：（多選）（2024?貴州貴陽(yáng)?一模）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中不放回

地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)“，乙表示事件”第二次取出的球

13

的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶

數(shù)”，則()

A.乙發(fā)生的概率為13B.丙發(fā)生的概率為13

C.甲與丁相互獨(dú)立D.丙與丁互為對(duì)立事件

【答案】BCD

【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件關(guān)系的辨析?、相互獨(dú)立事件與互斥事件、獨(dú)立事件的判斷、獨(dú)立事件的乘

法公式

【分析】先計(jì)算出甲乙丙丁的概率，故可判斷AC的正誤，再根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式可判斷C的正誤，

根據(jù)對(duì)立事件的意義可判斷D的正誤.

【詳解】設(shè)《為事件”第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)“，4為事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，C為事件

“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，力為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則

故A錯(cuò)；

oZoJoJ2

333322

P(C)=2x|x|=|,P(D)=2xjx|=|,故B對(duì)；

而P(/1O)==XM===P(4)尸(O),故C對(duì)；

655

兩次取出的數(shù)字之和要么為奇數(shù)，要么為偶數(shù)，故丙與丁互為對(duì)立事件，故D正確.

故選：BCD.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24高一下?河南安陽(yáng)?階段練習(xí))袋子中有5個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,從中隨機(jī)

取出兩個(gè)球，設(shè)事件力=”取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件8廿取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件C="取

出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)“，事件取出的球的數(shù)字之和大于5”，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.事件4與8是互斥事件B.事件4與8是對(duì)立事件

C.事件。與。相互獨(dú)立D.事件。與。不是互斥事件

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、確定所給事件的對(duì)立關(guān)系、相互