等可能條件下的概率（3知識點回顧+14題型練習(xí)）

等題型匯聚

題型一列舉隨機實驗的所有可能結(jié)果題型八幾何概率

題型二判斷實驗所得結(jié)果是否是等可能的題型九列舉法求概率

題型三概率的意義理解題型十列表法或樹狀圖法求概率

題型四判斷幾個事件概率的大小關(guān)系題型十一游戲的公平性

題型五根據(jù)概率公式計算概率題型十二概率在轉(zhuǎn)盤抽獎中的應(yīng)用

題型六根據(jù)概率作判斷題型十三概率在比賽中的應(yīng)用

題型七己知概率求數(shù)量題型十四概率的其他應(yīng)用

L--______________

感知識清單

知識點i,可能性的大小

隨機事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法：

（1）理論計算又分為如下兩種情況：

第一種：只涉及一步實驗的隨機事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對一類概率模型進行的計算；

第二種：通過列表法、列舉法、樹狀圖來計算涉及兩步或兩步以上實驗的隨機事件發(fā)生的概率，如：配紫色，對游戲

是否公平的計算.

（2）實驗估算又分為如下兩種情況：

第一種：利用實驗的方法進行概率估算.要知道當實驗次數(shù)非常大時，實驗頻率可作為事件發(fā)生的概率的估計值，即

大量實驗頻率穩(wěn)定于理論概率.

第二種：利用模擬實驗的方法進行概率估算.如，利用計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來模擬實驗.

知識點2.概率公式

一事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

（1）隨機事件力的概率。（J）

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

（2）P（必然事件）=1.

（3）P（不可能事件）=0.

知識點3.幾何概率

所謂幾何概型的概率問題，是指具有下列特征的一些隨機現(xiàn)象的概率問題：設(shè)在空間上有一區(qū)域G,又區(qū)域g包含在

區(qū)域G內(nèi)（如圖），而區(qū)域G與g都是可以度量的（可求面枳），現(xiàn)隨機地向G內(nèi)投擲一點假設(shè)點M必落在G

中，且點M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量（長度、面積、體積等）成正比，而與g的位置和形

狀無關(guān).具有這種性質(zhì)的隨機試驗（擲點），稱為幾何概型.關(guān)于幾何概型的隨機事件“向區(qū)域G中任意投擲一個點

M,點初落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率〃定義為：g的度量與G的度量之比，即P=g的測度G的測度

簡單來說：求概率時，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率.計算方法是長度比，面積比，體積比等.

S'題型練習(xí)_________________________________________________________

題型一列舉隨機實驗的所有可能結(jié)果

1.（2024九年級江蘇南通專題練習(xí)）第19屆亞運會將于今年9月23日到10月08日在杭州舉行.其吉祥物是一組

名為“江南憶'’的機器人.三:個吉祥物分別取名“琮琮”、"蓮蓮''和“宸宸”，分別代表世界遺產(chǎn)''良渚日城遺址“、“西湖”、

“京杭大運河某校開展了一系列的“迎亞運”活動，其中一項是由志愿者扮演吉祥物和同學(xué)們合影留念.甲乙兩位同學(xué)

和三個吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相鄰，且甲乙均不站在兩端，則不同的站法種數(shù)為.

【答案】12

【知識點】列舉隨機實驗的所有可能結(jié)果

【分析】本題考查列舉法所有等可能情況，把三個吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”分別標記為4B、C,共有六種站

法，再利用插空法即可求解，掌握例舉法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：把三個吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”分別標記為4B、C,

則將三個吉祥物進行排列，有：

48、C,4C、B,B、A、C,8、C、力，C、A、B,C、B、A,

共6種站法，

再將甲乙進行插空，因為甲乙不相鄰，且甲乙均不站在兩端，則有：

4甲、B、乙、C,4乙、8、甲、C,4、甲、C、乙、B,4乙、C、甲、8,

B、甲、.4、乙、C,B、乙、力、甲、C,B、甲、C、乙、4B、乙、。、甲、A,C、甲、力、乙、B,C、乙、4、甲、8,

C、甲、B、乙、4。、甲、反乙、4.

共有12種不同的站法，

故答案為：12.

2.(九年級上?全國?課后作業(yè))求解下列問題：

(1)在1?10這10個自然數(shù)中，每次取兩個數(shù)，使得所取兩數(shù)之和大于10,共有多少種取法？

(2)在I?1()()這100個自然數(shù)中，每次取兩個數(shù)，使得所取兩數(shù)之和大于1()0,共有多少種取法？

(3)你還能提出什么問題？

(4)各邊長度都是整數(shù)、最大邊長為11的三角形有多少個？本題與上述哪個問題有聯(lián)系？它們的區(qū)別是什么？

【答案】(1)25；(2)2500；(3)見解析；(4)36,見解析

【知識點】列舉隨機實驗的所有可能結(jié)果

【分析】(1)仔細分析題意，可先取出一個數(shù)，根據(jù)取出的這個數(shù)來確定另一個數(shù)的可能取值，取第一個數(shù)為1()，則

第二個數(shù)可以為1,2,9,同理第一個數(shù)取9,可以發(fā)現(xiàn)若第一個數(shù)為10,則可能的取法有9種，若第一個數(shù)取9,

則可能的取法有7種，若第一個數(shù)取8,可能的取法有5種，將所有類別的取法相加，即可求得結(jié)果；

(2)利用類似于(1)的方法進行分析即可解答；

(3)提一個類似于(1)(2)的問題即可；

(4)結(jié)合(1)、(2)的方法，注意要考慮兩邊相等的情況

【詳解】(1)根據(jù)題意每次取的兩個數(shù)之和大于10,可能取法為：

10+1、10+2、10+3、...10+9,共9種

9+2、9-3、9+4、...9+8,共7種

8+3、8+4、8+5、8+6、8+7,共5種

7+4、7+5、7+6,共3種

6+5,共1種

in2

所以可能的取法共有9+7+5+3+1=—=25（種）

4

（2）同理可得可能的取法的種數(shù)為31=2500（種）

4

（3）（答案不唯一）在1到21這21個自然數(shù)中，每次取兩個不同的數(shù)，使得所取的兩個數(shù)之和大于21,有多少種不

同的取法？

（4）根據(jù)題意得：①每次取兩個不同的數(shù)，使得所取的兩個數(shù)之和大于11,有10+8+6+4+2=30種不同的取法；

②若另兩個數(shù)相同，則6+6,7+7,...?11+11,共6種不同的取法：所以各邊長都是整數(shù)，最大邊長為11的三角形有：

30+6=36（個）.

它與上述兩個問題都類似，區(qū)別這個問題要考慮兩個數(shù)相同時的情況.

【點睛】此題考查分類加法計數(shù)原理的運用.分類加法計數(shù)原理：完成一件事，有〃類辦法，在第1類辦法中有叫種不

同的方法，在第2類辦法中有也種不同的方法......在笫〃類辦法中有機〃種不同的方法，那么完成這件事共有

加/+〃?2+……+〃〃?種不同的方法.注意分類后，尋找規(guī)律，避免大量運算，其次注意分類討論要不重不漏.

題型二判斷實驗所得結(jié)果是否是等可能的

3,彤彤拋五次硬幣，3次正面朝上，2次反面朝上，她拋第6次時，下面說法正確的是哪一個？（）

A.一定正面朝上B.一定反面朝上

C.不可能正面朝上D.有可能正面朝上也有可能反面朝上

【答案】D

【知識點】判斷實驗所得結(jié)果是否是等可能的

【分析】根據(jù)等可能事件的意義解答即可.

【詳解】解：?.?拋硬幣正面朝上和反面朝上的概率相同，

二.每一次拋都是有可能正面朝上也有可能反面朝上，

故選：D.

【點睛】本題考查了等可能事件的定義，能夠正確判斷事件發(fā)生的概率是解本題的關(guān)鍵.

4.（九年級上?全國?課后作業(yè)）在做針尖落地的實驗中，正確的是（）

A.甲做了4000次，得出針尖觸地的機會約為46%,于是他斷定在做第4001次時，針尖肯定不會觸地

B.乙認為一次一次做，速度太慢，他拿來了大把材料、形狀及大小都完全一樣的圖釘，隨意朝上輕輕拋出，然后

統(tǒng)計針尖觸地的次數(shù)，這樣大大提高了速度

C.老師安排每位同學(xué)回家做實驗，圖釘自由選取

D.老師安排同學(xué)回家做實驗，圖釘統(tǒng)一發(fā)（完全一樣的圖釘）.同學(xué)交來的結(jié)果，老師挑選他滿意的進行統(tǒng)計，

他不滿意的就不要

【答案】B

【知識點】判斷實驗所得結(jié)果是否是等可能的

【分析】根據(jù)模擬實驗帶有一定的偶然性，相應(yīng)的條件性得到正確選項即可.

【詳解】A.在做第4001次時，針尖可能觸地，也可能不觸地，故錯誤，不符合題意；

B.符合模擬實驗的條件，正確，符合題意；

C.應(yīng)選擇相同的圖釘，在類似的條件下實驗，故錯誤，不符合題意；

D.所有的實驗結(jié)果都是有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的，故錯誤，不符合題意；

故選B.

【點睛】本題考查的是模擬實驗的條件.解答本題的關(guān)鍵是注意實驗器具和實驗環(huán)境應(yīng)相同，實驗的結(jié)果帶有一定的

偶然性.

題型三概率的意義理解

5.（24-25九年級上?江蘇泰州?期末）某事件力發(fā)生的概率是高，則下列推斷正確的是（）

A.做100次這種實驗，事件力必發(fā)生3次

B.做100次這種實驗，事件4不可能發(fā)生4次

C.做1000次這種實驗，事件A必發(fā)生3（）次

D.大量重復(fù)做這種實驗，事件力平均每100次發(fā)生3次

【答案】D

【知識點】概率的意義理解

【分析】本題考查了概率的意義，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)概率的意義，即可解答.

【詳解】解：某事件力發(fā)生的概率是就，大量重豆做這種實驗，事件片平均每100次發(fā)生3次，

故選：D

6.（23-24九年級上?江蘇淮安?期中）小明在做拋擲均勻硬幣實驗時，前10次實驗中正面朝上是9次，則第11次正面

朝上的概率為.

【答案】2/0.5

2

【知識點】概率的意義理解

【分析】本題考查的是概率的公式，注意拋硬幣只有兩種情況，每次拋出的概率都是一致的，與次數(shù)無關(guān).根據(jù)一枚

硬幣只有正反兩面，拋擲硬幣正反出現(xiàn)的概率是相同的即可得到答案.

【詳解】解：???一枚均勻硬幣只有正反兩面，拋擲硬幣正反出現(xiàn)的概率是相同的，

???拋擲一枚硬幣，硬幣落地后，正面朝上的概率是上，

???第11次正面朝上的概率為:，

故答案為：y.

7.（江蘇泰州?二模）某射擊隊為了解運動員的年齡情況，作了一次年齡調(diào)查，根據(jù)射擊運動員的年齡（單位：歲），

繪制出如下的統(tǒng)計圖.

（1）求m的值;

（2）求該射擊隊運動員的平均年齡；

（3）小文認為，若從該射擊隊中任意挑選四名隊員，則必有一名隊員的年齡是15歲.你認為她的判斷正確嗎？為什

么？

【答案】（1）20：（2）15歲；（3）不正確，理由見解析.

【知識點】概率的意義理解、求加權(quán)平均數(shù)、由扇形統(tǒng)計圖求某項的百分比

【分析】（1）用1減去各個年齡的百分數(shù)即可求解：

（2）利用加權(quán)平均數(shù)公式求出平均數(shù)即可解決問題；

（3）判斷錯誤.可能抽到13歲，14歲，16歲，17歲.

【詳解】解：（1）1—10%-30%-25%一15%=20%.

故機的值是20；

...I3>:10%+I4X30%+15X25%+16X20%+17XI5%_

（2）-----------------而%-----------------=，5（歲）X'

故該射擊隊運動員的平均年齡是15歲；

（3）小文的判斷是錯誤的，可能抽到的是13歲、14歲、16歲、17歲.

【點睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖，加權(quán)平均數(shù)的知識和概率知識，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵.

題型四判斷幾個事件概率的大小關(guān)系

8.（22-23九年級上?江蘇揚州?期末）一只不透明的袋子有1個白球，3個紅球，4個黃球，這些球除顏色外都相同，

攪均后從中任意摸出一個球，在下列事件發(fā)生概率最高的是（）

A.摸到黃球B.摸到紅球C.摸到白球D.摸到黑球

【答案】A

【知識點】判斷幾個事件概率的大小關(guān)系

【分析】分別求出摸到各種顏色的求的概率，再比較大小即可.

【詳解】袋子中洪有1+3+4=8個球，有1個白球，3個紅球，4個黃球，沒有黑球.

到白球的概率=7

O

摸到黃球的概率=:

X

3

摸到紅球的概率=9

摸到黑球的概率=0

.?.摸到黃球的概率最高.

故選：A

?件1發(fā)生的所有可能結(jié)果數(shù)

【點睛】本題主要考查了概率的計算，事件A發(fā)生的概率=.掌握概率的計算方法是解題

所有事件發(fā)生的結(jié)果總數(shù)

的關(guān)鍵.

9.（九年級上?江蘇南京?期末）隨機拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，下列事件中，概率最大的是（）

A.朝上一面的數(shù)字恰好是6B,朝上一面的數(shù)字是2的整數(shù)倍

C.朝上一面的數(shù)字是3的整數(shù)倍D.朝上一面的數(shù)字不小于2

【答案】D

【知識點】判斷幾個事件概率的大小關(guān)系

【分析】根據(jù)概率公式，逐一求出各選項事件發(fā)生的概率，最后比較大小即可.

【詳解】解：A.朝上一面的數(shù)字恰好是6的概率為：1+6=：；

O

B.朝上一面的數(shù)字是2的整數(shù)倍可以是2、4、6,有3種可能，故概率為：3+6=；；

C.朝上一面的數(shù)字是3的整數(shù)倍可以是3、6,有2種可能，故概率為：2+6=g；

D.朝上?面的數(shù)字不小于2可以是2、3、4、5、6,有5種可能，，故概率為：5+6=自

??.D選項事件發(fā)生的概率最人

故選D.

【點睛】此題考查的是求概率問題，掌握概率公式是解決此題的關(guān)鍵.

題型五根據(jù)概率公式計算概率

10.（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）從甲、乙、丙三位同學(xué)中任選一人參加初中生數(shù)學(xué)競賽，甲被選中的概率

是（）

A,三B-TC-ID*1

【答案】A

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率

【分析】本題考查用概率公式計算簡單事件的概率，根據(jù)概率公式計算即可.

【詳解】解：???從甲、乙、丙三位同學(xué)中任選一人參加初中生數(shù)學(xué)競賽，共有3種等可能情況，

???甲被選巾的概率為

故選：A

11.（24-25九年級上?江蘇南通?期末）一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標上“大”“美”“海安”

四個漢字，隨機摸出一個小球，摸出的小球上的漢字是“美??的概率是（）

A.-B.-C.-D.：

8642

【答案】C

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率

【分析】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率?所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.直接利用概率公式計算.

【詳解】解：???袋子中分別裝著標有“大"美”“海”“安”四個漢字的4個小球，

二從袋中摸出一個球，則球上的漢字剛好是“美”的概率是!.

4

故選：C.

12.（24-25九年級上?江蘇宿遷?期末）如圖，轉(zhuǎn)盤中3個扇形的面積都相等.任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,

指針所落扇形中的數(shù)為偶數(shù)的概率為

【答案】I

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率

【分析】本題考查「概率公式：隨機事件A的概率P(4)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

直接利用概率公式求解即可.

【詳解】解—：根據(jù)題意可得：指針指向的可能情況有3種，而其中是偶數(shù)的有1種，

??.”指針所落扇形中的數(shù)為偶數(shù)”發(fā)生的概率為"，

故答案為：J.

13.(2025,江蘇宿遷?二模)2025年宿遷馬拉松比賽于3月30口7：30在項王故里鳴槍開跑.張先生和王女士報名參

加了此次比賽，在經(jīng)過的某路口有三個不道(分別記為A,8,C),假設(shè)每個人經(jīng)過此路口時走每個年道是等可能

的.

(1)王女士經(jīng)過此路口時走A車道的概率為—：

(2)請用列表或畫樹狀圖的方法求張先生和王女士經(jīng)過此路口時走不同車道的概率.

【答案】⑴；

(2)t

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率

【分析】本題考查了利用概率公式求概率，利用樹狀圖或列表法求概率，解題的關(guān)鍵是列出所有的倩況，再利用公式

求概率；

(1)直接利用概率公式求概率;

（2）利用列表法進行求解即可.

【詳解】（1）解：??.有三個車道（分別記為A、8、C）,每個人經(jīng)過此路口時走每個車道是等可能的

，王女士經(jīng)過此路口時走A車道的概率為：；，

故答案為：

（2）解：利用列表列表如下：

張先生王女士AHc

A(4/(48)（4。）

B("M（83）(“?

C(CM)S)(C,C)

共有9種等可能的情況，張先生和王女士經(jīng)過此路II時走不同車道的有6種情況，

故張先生和王女士經(jīng)過此路口時走不同車道的概率為：1=

題型六根據(jù)概率作判斷

14.（江蘇南京一?模）下列說法正確的是（）

A.購買江蘇省體育彩票有“中獎”與“不中獎''兩種情況，所以中獎的概率是g

B.國家級射擊運動員射靶一次，正中靶心是必然事件

c.如果在若干次試驗中一個事件發(fā)生的頻率是:，那么這個事件發(fā)生的概率一定也是:

44

D.如果車間生產(chǎn)的零件不合格的概率為高，那么平均每檢查1000個零件會查到1個次品

【答案】C

【知識點】概率的意義理解、根據(jù)概率作判斷

【詳解】解：A、購買江蘇省體育彩票，?中獎”的概率是中獎的張數(shù)與發(fā)行的總張數(shù)的比值，故本項錯誤；

B、國家級射擊運動員射靶一次，正中靶心是隨機事件，故本項錯誤；

c、如果在若干次試驗中一個事件發(fā)生的頻率是:，那么這個事件發(fā)生的概率一定也是;，正確；

44

D、如果車間生產(chǎn)的零件不合格的概率為荒，那么平均每檢查1000個零件不一定會查到1個次品，故本項錯誤，

故選C.

【點睛】本題考查概率的意義，隨機事件.

15.（江蘇蘇州?中考真題）下圖的轉(zhuǎn)盤被劃分成六個相同大小的扇形，并分別標上1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字,

指針停在每個扇形的可能性相等.四位同學(xué)各自發(fā)表了下述見解：

甲：如果指針前三次都停在了3號扇形，下次就一定不會停在3號扇形；

乙：只要指針連續(xù)轉(zhuǎn)六次，一定會有一次停在6號扇形；

內(nèi)：指針停在奇數(shù)號扇形的概率與停在偶數(shù)號扇形的概率相等；

J'：運氣好的時候，只要在轉(zhuǎn)動前默默想好讓指針停在6號扇形，指計停在6號扇形的可能性就會加大.

其中，你認為正確的見解有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【知識點】根據(jù)概率作判斷

【詳解】隨機事件發(fā)生的可能性大小在。至1之間，可能性大的也不是肯定會發(fā)生，可能性小的也不是肯定不會發(fā)生,

所以只有丙的說法是對的.

甲、錯誤，是隨機事件，不能確定;

乙、錯誤，是隨機事件，不能確定；

丙、正確，由于奇數(shù)號扇形和偶數(shù)號扇形數(shù)目相同，指針停在奇數(shù)號扇形的機會等于停在偶數(shù)號扇形的機會；

丁、錯誤，隨機事件，不受意識控制.

故選A.

【點睛】本題是概率的求法的基礎(chǔ)應(yīng)用題，在中考中比較常見，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度一般.

16.甲、乙兩人輪流做下面的游戲：擲一枚均勻的骰子（每個面分別標有1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字），如果朝上的

數(shù)字大于3,則甲獲勝，如果朝上的數(shù)字小于3,則乙獲勝，你認為獲勝的可能性比較大的是—.

【答案】甲

【知識點】根據(jù)概率作判斷

【詳解】?,?1,2,345,6這六個數(shù)字中大于3的數(shù)字有3個:456,，P（甲獲勝）=：=!，

62

21

???123,4,5,6這六個數(shù)字中小于3的數(shù)字有2個:1、2,.力（乙獲勝）

63

??獲勝的可能性比較大的是甲，故答案為:甲.

17.（22-23九年級上?江蘇鹽城?期末）如圖是計算機“掃雷”游戲的畫面，在9x9個小方格的雷區(qū)中，隨機地埋藏著20

顆地雷，每個小方格最多能埋藏1顆地雷.小林和小艾輪流點擊，小林先點一個小方格，顯示數(shù)學(xué)2,它表示圍著數(shù)字

2的8個方塊中埋藏著2顆地雷（包含數(shù)字2的黑框區(qū)域記為A）.

（1）若小艾在區(qū)域力內(nèi)圍著數(shù)字2的8個方塊中任點一個，未踩中地雷的概率是.

（2）現(xiàn)在小艾點擊了右下角的小方格，出現(xiàn)數(shù)字1（包含數(shù)字1的黑框區(qū)域記為8）,輪到小林點擊，若小林打算在區(qū)域力

和區(qū)域3中任點一個未點擊的方塊，從安全的角度考慮，他應(yīng)該選擇哪個區(qū)域？說明理由.

（3）若小林和小艾均在B區(qū)域各點擊一次，則兩人均安全的概率有多大？

【答案】⑴:

4

(2)應(yīng)該選擇區(qū)域4理由見解析

嗚

【知識點】列表法或樹狀圖法求概率、根據(jù)概率作判斷、根據(jù)概率公式計算概率

【分析】本題主要考查概率：

(1)根據(jù)概率公式計算出概率即可；

(2)根據(jù)概率公式分別計算出兩個區(qū)域踩雷的概率，然后得出結(jié)論即可；

(3)區(qū)域8內(nèi)3個方塊中埋藏著1顆地雷，兩個安全，列樹狀圖解答即可.

【詳解】(I)解：???區(qū)域/內(nèi)8個方塊中埋藏著2顆地雷，

???有6個方塊沒有地雷，

.?.未踩中地雷的概率是：

84

故答案為：—：

4

3

(2)解：由(1)知，區(qū)域/未踩中地雷的概率是:，

?.嘔域B的3個方塊中埋著1顆地雷，有2個方塊沒有地雷，

2

???區(qū)域小未踩中地雷的概率是：

32

-4>y*

，從安全的角度考慮，他應(yīng)該選擇區(qū)域小

(3)解：區(qū)域d內(nèi)3個方塊中埋藏著1顆地雷，兩個安全，列樹狀圖如下:

開始

共有6種可能的結(jié)果，兩人均安全可能有2種，

21

???兩人均安全的概率為：7=7-

63

題型七已知概率求數(shù)量

18.（2024?江蘇淮安?模擬預(yù)測）一個僅裝有球的不透明布袋里只有6個紅球和〃個白球（僅有顏色不同）.若從中任

2

意摸出一個球是紅球的概率為《，則〃=（）

A.9B.15C.30D.90

【答案】A

【知識點】已知概率求數(shù)量、解分式方程（化為一元一次）

【分析】本題考查了簡單的概率計算，解分式方程.熟練掌握簡單的概率計算是解題的關(guān)鍵.

由題意知，計算求解，然后作答即可.

【詳解】解：由題意知，=

6+n5

解得39,

經(jīng)檢驗，〃=9是原分式方程的解.

故選：A.

19.（22?23九年級上?江蘇連云港?階段練習(xí)）不透明的口袋里裝有除顏色外其余都相同的紅、黃、藍三種顏色的小球

若干個，其中紅球2個，藍球1個.若從中任意摸出一個球，它是藍球的概率為:，求黃球的個數(shù)為（）

4

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【知識點】已知概率求數(shù)量

藍球個數(shù)

【分析】根據(jù)概率公式變形式：袋中球的總數(shù)=即可得出答案.

摸出一個是藍球的概率

【詳解】解一?袋中藍球1個，從中任意摸出一個球，它是藍球的概率為入

???袋中球的總數(shù)是：1,

4

???袋中有紅球2個，藍球1個，

???黃球的個數(shù)為：4-2-1=1：

故選：A.

【點睛】此題考查了隨機事件的概率，熟練掌握概率公式以及它的變形式是解答此題的關(guān)鍵.

20.（24-25九年級上?江蘇南京?期末）在一個瓶子中裝有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的總數(shù)，他進行了如下操

作：小明先從瓶子中倒出20粒豆子，接著小明給這些豆子全部標上記號，然后把這些被標上記號的豆子又重新裝回瓶

子中，充分搖勻后又從瓶子中倒出了一些豆子，發(fā)現(xiàn)倒出的3（）粒豆子中，被標記的豆子有5粒.小明通過計算得出瓶

子中豆子的總數(shù)為粒.

【答案】120

【知識點】已知概率求數(shù)量、概率的其他應(yīng)用

【分析】本題主要考查了概率的應(yīng)用，根據(jù)概率的意義正確列出算式是解題的關(guān)鍵.

由題意可知標上記號豆子的概率為《，然后再用標記豆子的數(shù)量除以概率即可解答.

【詳解】解：由題意可知：瓶子中被標記豆子的概率為總，

所以瓶了中豆子的總數(shù)為20+、5=20x3]0=120粒.

故答案為：120.

21.（24-25九年級上?江蘇揚州?期末）一個袋子里裝有紅、黃、藍三種顏色的小球.它們的重量、大小都相同，其中

紅球有6個，黃球有5個，并知任意摸出1個黃球的概率是;.問：

4

（1）袋子里藍球有多少個？

⑵任意摸出1個紅球的概率是多少？

【答案】（1）藍球有9個

嗚

【知識點】已知概率求數(shù)量、根據(jù)概率公式計算概率

【分析】本題考查求概率，利用概率求數(shù)量，熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵：

（1）根據(jù)概率求出總數(shù)，進行求出藍球的個數(shù)即可；

（2）直接根據(jù)概率公式進行計算即可.

【詳解】（D解：5-1-6-5=9（個）：

4

答：藍球有9個；

（2）任意摸出1個紅球的概率是冷二=之.

9+6-510

題型八幾何概率

22.（24-25九年級匕江蘇南京?期末）如圖，飛鏢游戲板中的每一塊小正方形都完全一樣.假設(shè)飛鏢擊中任何一個位

置都是等可能的，任意投擲飛鏢1次（擊中陰影區(qū)域的邊界或者沒有擊中游戲板，則重投1次），則飛鏢擊中陰影區(qū)

域的概率是（）

【答案】C

【知識點】幾何概率

【分析】本題考查了幾何概率，掌握某事件的概率等于這個事件所占有的面積與總面積之比成為解題的關(guān)鍵.

先計算出陰影部分的面積，然后計算陰影部分的面積與整個圖形的面積的比即可.

【詳解】解：???陰影部分為正方形，正方形的邊長為質(zhì)萬二后，

.??陰影區(qū)域的面積為心『=5,

???整個正方形的面積為3x3=9,

???飛鏢擊中陰影區(qū)域的概率是g.

故選C.

23.（24-25九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí)）如圖，在扇形水用中，40月=90。，正方形OCQE的頂點C、。、￡分別

在04弧48、OB上,連接EC.在扇形內(nèi)隨機選取一點P,則點P落在陰影部分的概率是（）

【答案】B

【知識點】幾何概率、求其他不規(guī)則圖形的面積、正方形性質(zhì)理解

【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，幾何概率，理解S陰影=S制形8”是解題關(guān)鍵.根據(jù)正方形的性質(zhì)得出

加彭=Sq形88,再根據(jù)幾何概率的概念求值即可.

【詳解】如圖，連接

???OCOE是正方形,

???S-=S"，ZBOD=45°,

S陰影=S用形300=58班形L,

S1

?..點尸落在陰影部分的概率是尸=「一=5，

?電影AM,

故選：B.

24.（2冬25九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期末）如圖，可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被分成兩個扇形區(qū)域，分別標有字母4和8,標有4

的扇形圓心角的度數(shù)為135。，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，指針落在標有力的扇形區(qū)域內(nèi)的概率為.

3

【答案】-/0.375/37.5%

8

【知識點】幾何概率

【分析】本題考查了幾何概率：某事件的概率=這個事件所占有的面積與總面積之比.根據(jù)幾何概率的求法，用標有力

的扇形的面積除以轉(zhuǎn)盤的面積，根據(jù)扇形的面積公式，標有力的扇形的面積與轉(zhuǎn)盤的面積之比等于標有4的扇形圓心

角的度數(shù)與360。之比.

【詳解】解：自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，指針落在標有力的扇形區(qū)域內(nèi)的概率=蕓=￡,

36（）8

故答案為：,3

O

25.（22?23九年級下?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖，有一個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，被分成了三個大小相同的扇形，分別標

有數(shù)字2,4,6；另有一個不透明的瓶子，裝有分別標有數(shù)字I,3,5的三個完全相同的小球，小杰先轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤,

停止后記下指針指向的數(shù)字（若指針指在分界線上則重轉(zhuǎn)）.小玉再從瓶子中隨機取出一個小球，記下小球上的數(shù)字.

圖1

(1)小杰先轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，停止后記下指針指向的數(shù)字2的概率為二

(2)若得到的兩數(shù)字之和是3的倍數(shù)，則小杰勝；若得到的兩數(shù)字之和是7的倍數(shù)，則小玉勝，此游戲公平嗎？為什么？

(請用樹狀圖或列表法說明)

【答案】⑴I

(2)公平，理由見解析

【知識點】列表法或樹狀圖法求概率、幾何概率

【分析】本題考杳概率公式、列表法與樹狀圖法，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的概率.

(1)根據(jù)題意和圖1,可以求得小杰先轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，停止后記下指針指向的數(shù)字2的概率；

(2)先畫出樹狀圖，然后即可得到此游戲是否公平.

【詳解】(1)解：由圖1可得，

小杰先轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，停止后記下指針指向的數(shù)字2的概率為1,

故答案為：;；

(2)解：此游戲公平，

理由：樹狀圖如下，

開始

一1

小杰246

/1\ZK/N

小玉135135135

兩數(shù)之和3575797911

由上可得，一共有9種等可能性，其中得到的兩數(shù)字之和是3的倍數(shù)的有3種，得到的兩數(shù)字之和是7的倍數(shù)的有三

種，

，此游戲公平.

題型九列舉法求概率

26.（24-25九年級上?江蘇連云港?期末）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，有3次正面朝上，1次反面朝上，第5次拋擲,

正面朝上的概率是（）

A.-B.YC.-D.—

5244

【答案】B

【知識點】列舉法求概率

【分析】本題主要考查了概率的計算，一枚質(zhì)地均勻的硬幣，拋擲后共有2種可能性：正面朝上、反面朝上，所以每

次拋擲后正面朝上的概率均為:.

【詳解】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，有3次正面朝上，1次反面朝上，

第5次拋擲，正面朝上的概率是

故選：B.

27.（23-24九年級上?江蘇淮安?期中）張老師的漁具包內(nèi)有3.6m,4.5m,5.4m,6.3m四種規(guī)格的魚竿各一支，從中

任意取出一支魚竿長度是5.4m的概率是（）

A.0B.zrC.，-D.-y

234

【答案】D

【知識點】列舉法求概率

【分析】本題考查了運用列舉法求概率，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：因為隨機取出一支魚竿共有3.6m,4.5m,5.4m,6.3m四種等可能結(jié)果，其中長為5.4m有一種等可能性，

即概率為打

故選D.

28.（2023九年級上?江蘇?專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加一次節(jié)日活動，很幸運的是他們都得到了一

件精美的禮品（如圖），他們每人只能從其中一串的最下端取一件禮品，直到禮物取完為止，甲第一個取得禮物，然

后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件禮物，當然取法各種各樣，那么他們共有種不同的取法.事后他們打

開禮物仔細比較，發(fā)現(xiàn)禮物。最精美，那么取得禮物?？赡苄宰畲蟮氖且煌瑢W(xué).

【答案】10丙

【知識點】列舉法求概率、根據(jù)概率公式計算概率

【分析】本題考查了列舉法求概率，概率公式的應(yīng)用；

根據(jù)每人只能從其中一串的最下端取一件禮品得出所有取禮物的順序，然后利用概率公式求解即可.

【詳解】解：甲、乙、丙、丁、戊取禮物的順序為：

①AB、C、D、E；

②4、C.。、E、R：

③力、C、D、B、E；

④）力、C、B、D、Ex

⑤C、D、E、A、

⑥C、D、4、B、E；

⑦C、。、力、E、

@C.A、B、D、E；

⑨C、A.D、B、Ex

⑩C、力、D、E、B.

則共有1。種,

所以取得禮物。的概率分別為：P(乙)q,P(丙)=9P(丁)=5，

所以取得禮物D可能性最大的是丙同學(xué).

故答案為：1(),丙.

29.(24-25九年級上?江蘇蘇州?期中)十月有多部影片上映.小亮和小麗準備分別從《志愿軍》、《毒液》、《浴火

之路》三部電影中隨機選擇一部觀看.

(1)小亮從這三部電影中，隨機選擇?部觀看，則他選中《志愿軍》的概率為二

(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，求小亮和小麗恰好選擇觀看同一部電影的概率.

【答案】⑴g

(2)|

【知識點】列表法或樹狀圖法求概率、列舉法求概率

【分析】本題考杳了等可能情形下的概率計算，對于結(jié)果數(shù)較少的采用列舉法，而對于兩次抽取問座采用列表或樹狀

圖；

(1)對結(jié)果進行列舉，根據(jù)利用概率計算公式p=2進行計算即可；

m

(2)畫樹狀圖法或列表法，可得所有的結(jié)果，利用概率計算公式進行計算即可；

m

能畫樹狀圖法或列表法進行求解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：《志愿軍》、《毒液》、《浴火之路》共有3中結(jié)果，

???他選中《志愿軍》的概率為g.

故答案：y;

(2)解：表示如卜.：A：《志愿軍》、B：《毒液》、C：《浴火之路》

列表如下:

ABC

A(44)(43)(4C)

BMW，B）(8?

C(c，/)(c㈤(GC)

共有9種等可能結(jié)果，其中小亮和小麗恰好選擇觀看同一部電影的結(jié)果有3種,

答：小亮和小麗恰好選擇觀看同一部電影的概率為g.

題型十列表法或樹狀圖法求概率

30.（24-25九年級上?江蘇鹽城?期中）“中華麋鹿園”“丹頂鶴自然保護區(qū)”“鹽城大縱湖旅游景區(qū)''和"黃海海濱國家森林

公園”是鹽城市四個有代表性的旅游景點.若小麗從這四個景點中隨機選擇兩個景點游覽，則這兩個景點中有“丹頂鶴

自然保擰區(qū)”的概率是（）

11I

-

A.6B.4-D.2-

【答案】D

【知識點】列表法或樹狀圖法求概率

【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，根據(jù)題意正確列表成為解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)題意列表得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到選擇兩個景點中有“丹頂鶴自然保護區(qū)''的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率

U算公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)“中華麋鹿園”“丹頂鶴自然保護區(qū)”“鹽城大縱湖旅游景區(qū)''和"黃海海濱國家森林公園”四個景點分別用

月、B、C、。表示，列表如下：

ABCD

A(A.B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(CfA)(C5)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)

由表格可知一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中選擇“丹頂鶴自然保護區(qū)”的結(jié)果數(shù)有6種,

這兩個景點中有“丹頂鶴自然保護區(qū)”的概率為*=

故選：D.

31.（24-25九年級上?江蘇南京?期末）甲、乙、丙三人各自通過力PP買到了某演唱會門票，三張票的座位是連續(xù)的,

記甲乙座位相鄰的概率為4，甲乙座位不相鄰的概率為6,則4p2.（填“天或“=”號）

【答案】＞

【知識點】列表法或樹狀圖法求概率

【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，先列樹狀圖，得出共6種等可能結(jié)果，則甲乙座位相鄰的結(jié)果有4種,

甲乙座位不相鄰的結(jié)果有2種，即可作答.

【詳解】解：依題意，把三張票的連續(xù)的座位是記為1,2,3,列樹狀圖如下：

共6種等可能結(jié)果，則甲乙座位相鄰的結(jié)果有4種，甲乙座位不相鄰的結(jié)果有2種,

c42c21

P.=—=—,P、=—=一，

163263

故答案為：＞.

32.（2025?江蘇泰州?二模）甲、乙2名學(xué)生各自隨機選擇到力、B、。三家書店中的一家購書.

（1）甲學(xué)生在B書店購書的概率為；

⑵求甲、乙2名學(xué)生在同一書店購書的概率.

【答案】⑴;

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率

【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.

（1）根據(jù)甲學(xué)生到書店購書有3種選擇，到4書店的概率即可求得；

（2）列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，再將符合題意的結(jié)果除以所有結(jié)果，即可解答.

【詳解】（1）解：甲學(xué)生到書店購書有力、B、C,3種選擇，

故到4書店的概率為;.

（2）畫樹狀圖，如圖

甲

乙

共有9科等可能性結(jié)果.甲、乙2名學(xué)生在同一書店購書的結(jié)果有3種，

???甲、乙2名學(xué)生在同一書店購書的概率為:

題型十一游戲的公平性

33.（2023九年級上?全國?專題練習(xí)）小穎、小明兩人做游戲，擲一枚硬幣，雙方約定：正面朝上小穎勝，反面朝上

小明勝，則這個游戲（）

A.公平B.對小穎有利C.對小明有利D.無法確定

【答案】A

【知識點】游戲的公平性

【分析】先利用概率公式計算出小穎勝的概率為上，小明勝的概率為:，然后再利用兩者的概率相等可判斷游戲公平.

【詳解】解：擲一枚硬幣，共有2種等可能的結(jié)果，其中正面朝上的結(jié)果數(shù)為1,反面朝上的結(jié)果數(shù)為1,

，.小穎勝的概率為:，小明勝的概率為！，

1_1

22

.??這個游戲是公平的.

故選：A.

【點睛】本題考查了游戲公平性和概率公式，判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概

率相等就公平，否則不公平.

34.(24?25九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí))如圖，轉(zhuǎn)盤力中的4個扇形面積相等，轉(zhuǎn)盤8中的6個扇形的面積相等,

有人設(shè)計了如下游戲規(guī)則：甲、乙兩人分別任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤力、4一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，將指針所落扇形中的2個數(shù)

相乘，如果所得的積是偶數(shù)，則甲獲勝；若所得的積是奇數(shù)，則乙獲勝.

(1)用列表法或樹狀圖求出甲、乙兩人分別獲勝的概率；

(2)當此游戲規(guī)則修改為：當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，將指針所落扇形中的2個數(shù)字相加，如果所得的和是偶數(shù)，則甲獲勝;

若所得的和是奇數(shù)，則乙獲勝，這樣的規(guī)則公平嗎？通過計算說明理由.

【答案】(1)甲勝的概率;，乙勝的概率

(2)這樣的規(guī)則公平，見解析

【知識點】游戲的公平性、列表法或樹狀圖法求概率

【分析】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

（1）根據(jù)?題意畫出樹狀圖，展示所有等可能的結(jié)果，利用概率公式進而得出甲、乙獲勝的概率即可得加答案;

（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖，展示所有等可能的結(jié)果，利用概率公式進而得出甲、乙獲勝的概率即可得出答案.

【詳解】（1）解：畫樹狀圖如圖所示：

23456246823691^2H58482n6

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